第七章非正弦周期性電路

1、第七章第七章: :非正弦周期性電路非正弦周期性電路7.1 7.1 非正弦周期電流非正弦周期電流電路中的電壓和電流都是非正弦周期量。電路中的電壓和電流都是非正弦周期量。非正弦周期性電路非正弦周期性電路: :非正弦周期量：按非正弦規(guī)律周期性變化的電壓和電流。非正弦周期量：按非正弦規(guī)律周期性變化的電壓和電流。0tf （t）T2T3T0tf （t）T0tf （t）T2T3T4T0tf （t）T非正弦周期量的產(chǎn)生非正弦周期量的產(chǎn)生 tsin2tsin6tu t3sin2tu2非正弦周期量的產(chǎn)生非正弦周期量的產(chǎn)生1. 1.交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電源是非正弦量。交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電源是非正弦量。2. 2.電路中有幾

2、個(gè)不同頻率的正弦量共同作用疊加后為非正弦量。電路中有幾個(gè)不同頻率的正弦量共同作用疊加后為非正弦量。3. 3.電路中存在非線性元件。電路中存在非線性元件。0u（t）t tsin6tu1u1（t）u2（t）u（t）0ti i(t)20ti i(t)327.27.2非正弦函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)非正弦函數(shù)分解為傅立葉級數(shù) t7sin74t5sin54t3sin34tsin4tf4 tsin4tf1 t5sin54t3sin34tsin4tf3一個(gè)非正弦周期函數(shù)可以用無窮多個(gè)頻率成整數(shù)倍的正弦函數(shù)之和表示一個(gè)非正弦周期函數(shù)可以用無窮多個(gè)頻率成整數(shù)倍的正弦函數(shù)之和表示0t tf (t)1T20t tf1 (

3、t)1T20t tf2 (t)1T20t tf3 (t)1T20t tf4 (t)1T2 t3sin34tsin4tf27.27.2周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)1kkk0) tksin(b) tkcos(2) t (fT00dt) t (fT2T0kdt) tkcos() t (fT2T0kdt) tksin() t (fT2b為傅立葉系數(shù)為傅立葉系數(shù)、）的周期；）的周期；（為為，式中式中kk0btfTT2周期為周期為T T的周期性時(shí)間函數(shù)的周期性時(shí)間函數(shù)f(tf(t) )分解成的傅立葉級數(shù)是分解成的傅立葉級數(shù)是周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù) 2傅立葉級的

4、常用的表達(dá)式傅立葉級的常用的表達(dá)式)tksin(AA) t (fk1KK02A002k2kKbA)barctan(kkk式中式中A0項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)K=1項(xiàng)項(xiàng) 稱為非正弦周期函數(shù)的基波稱為非正弦周期函數(shù)的基波)tsin(A11K 2各各項(xiàng)統(tǒng)稱為非正弦周期函數(shù)的高次諧波項(xiàng)統(tǒng)稱為非正弦周期函數(shù)的高次諧波7.37.3對稱波形的傅立葉級數(shù)對稱波形的傅立葉級數(shù)1. 周期函數(shù)的波形在橫軸上、下部分包圍的面積相等。周期函數(shù)的波形在橫軸上、下部分包圍的面積相等。a a0 0=0=0，無直流分量。，無直流分量。2. 周期函數(shù)為奇函數(shù)周期函數(shù)為奇函數(shù)滿足滿足f（t）=f（t），波形對稱于原點(diǎn)。），波形對稱于原

5、點(diǎn)。a0=0、aK=0。表示為表示為1kK) tksin(b) t (f0T2Ttf(t)對稱波形的傅立葉級數(shù)對稱波形的傅立葉級數(shù)3. 周期函數(shù)為偶函數(shù)周期函數(shù)為偶函數(shù)滿足滿足f（t）=f（t），波形對稱于縱軸。），波形對稱于縱軸。 bK=0。表示為表示為1kK0) tkcos(a2a) t (f4. 周期函數(shù)為奇諧波函數(shù)周期函數(shù)為奇諧波函數(shù)T2滿足滿足f（t）=f（t + ），波形移動(dòng)半個(gè)周期后與原函數(shù)波形），波形移動(dòng)半個(gè)周期后與原函數(shù)波形k k為奇數(shù)為奇數(shù)對稱于橫軸。對稱于橫軸。)tksin(b) tkcos(a ) t (fK1kK表示為表示為f(t)t0tf(t)0例題例題dt) tk

6、cos() t (fT4a2T0K2T4T4T0m) tksin() tksin(k1TA44T02T4Tmdt) tkcos(dt) tkcos(TA4已知周期函數(shù)已知周期函數(shù)f（t）如圖所示，求其傅立葉級數(shù)的展開式。）如圖所示，求其傅立葉級數(shù)的展開式。tf(t)0AmAmT2TTf f（t t）既是偶函數(shù)（）既是偶函數(shù)（ bK=0）又是奇諧波函數(shù)（又是奇諧波函數(shù)（aK=0，不含偶次諧波）不含偶次諧波） 2ksinkA4m) t5cos(51) t3cos(31) tcos(kA4) t (fm例題例題) t5sin(251) t3sin(91) tsin(A8) t (f2m1)4Tt (

7、5sin251)4Tt (3sin91)4Tt (sinA8) t (f2m2一個(gè)周期函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)有時(shí)還與縱軸的位置有關(guān)一個(gè)周期函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)有時(shí)還與縱軸的位置有關(guān)tf1(t)0AmAmT2TTf2(t)Am0T2tAm求圖所示三角波求圖所示三角波f2（t t）的傅立葉級數(shù)展開式。）的傅立葉級數(shù)展開式。查表得三角波查表得三角波f1（t t）展開式為）展開式為) t5cos(251) t3cos(91) tcos(A82m例題例題) t (f) t (f) t (f21有時(shí)平移橫軸會(huì)使諧波分析簡化有時(shí)平移橫軸會(huì)使諧波分析簡化tf(t)0AmTf1(t)t0Tf2(t)t0Am1

8、2求圖所示矩形波求圖所示矩形波f（t t）的傅立葉級數(shù)展開式。）的傅立葉級數(shù)展開式。解解 將將f（t t）分解為）分解為f f1 1(t)(t)和和f f2 2(t)(t)之和之和mmA21) t5sin(51) t3sin(31) tsin(A27.47.4非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算0X0L0CXLjX1L計(jì)算電路的一般步驟計(jì)算電路的一般步驟:1. 把激勵(lì)分解為傅立葉級數(shù)把激勵(lì)分解為傅立葉級數(shù)2. 分別求出各次諧波單獨(dú)作用下的響應(yīng)分別求出各次諧波單獨(dú)作用下的響應(yīng)對于直流對于直流Cj1X1CCjk1XCKLjkXLK對于一次諧波對于一次諧波對于對于K次諧波次諧波3. 應(yīng)用

9、疊加原理將各次諧波單獨(dú)作用時(shí)響應(yīng)的瞬時(shí)值疊加應(yīng)用疊加原理將各次諧波單獨(dú)作用時(shí)響應(yīng)的瞬時(shí)值疊加例題例題V)45t3sin(60) tsin(18040u+uRLCi i在圖在圖RLC串聯(lián)電路中串聯(lián)電路中,已知已知R=10,L=0.05H,C=50F.電源電壓為電源電壓為式中式中 =314rad/s=314rad/s。試求電路中的電流試求電路中的電流i i。解解 （1）直流分量單獨(dú)作用時(shí)）直流分量單獨(dú)作用時(shí)I I（0）= 0（2）一次諧波單獨(dú)作用時(shí)）一次諧波單獨(dú)作用時(shí)Cj11U+RLjV012702180U12 .784910503141j05. 0314j10Z61A2 .786 . 22 .7

10、84903 .127ZUI111I I1 1例題例題（3）三次諧波單獨(dú)作用時(shí)）三次諧波單獨(dú)作用時(shí)V454 .4245260U39 .687 .27105031431j05. 03143 j10Z63A9 .2353. 19 .687 .27454 .42ZUI333（4）電流）電流i i為各次諧波電流瞬時(shí)值之和為各次諧波電流瞬時(shí)值之和)9 .23t3sin(253. 1)2 .78tsin(26 . 2iii31A)9 .23t3sin(17. 2)2 .78tsin(67. 3C3 j13U+RL3 j I I3 37.57.5非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率非正弦周期電流電路中的有效

11、值和有功功率)tksin(IIi1Kkkm0T02dtiT1IT01k2kkm0dt)tksin(II T1一、有效值一、有效值已知周期量的傅立葉級數(shù)已知周期量的傅立葉級數(shù)20T020IdtIT12k2kmk2T02kmI2Idt)tk(sinIT10dt)tksin(II2T1kkmT00) lk(0dt)tlsin(I )tksin(I 2T1llmkkmT0則有效值則有效值各次諧波自身的平方各次諧波自身的平方兩個(gè)不同次諧波乘積的兩倍兩個(gè)不同次諧波乘積的兩倍非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率V)45t3sin(60) tsin(18040u2221

12、20UUUU222120IIII222120UUUU所以所以周期量的有效值等于它的個(gè)次諧波有效值的平方和的平方根周期量的有效值等于它的個(gè)次諧波有效值的平方和的平方根非正弦電壓的有效值非正弦電壓的有效值例題例題 求電源電壓求電源電壓的有效值的有效值V140260218040222解解非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率T00avIidtT1IdtiT1IT0rectdtiT2I2T0rect二、平均值二、平均值非正弦周期量的平均值是它的直流分量非正弦周期量的平均值是它的直流分量dt) tsin(IT2I2T0mrectm2T0mI2)tcos(TI2m2T

13、0mrectUdtUT2I) tsin(Iim1整流平均值整流平均值上下半周對稱的電流上下半周對稱的電流例題例題 計(jì)算正弦電流計(jì)算正弦電流及表及表7-1所示矩形波電壓所示矩形波電壓u2的整流平均值的整流平均值,矩形波的最大值為矩形波的最大值為Um。正弦電流的整流平均值正弦電流的整流平均值矩形波電壓的整流平均值矩形波電壓的整流平均值非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率整流平均值整流平均值有效值有效值fK11. 1I22/IKmmf11. 115. 12/A3/AKmmf三、波形因數(shù)三、波形因數(shù)11. 1Kf11. 1Kf工程上為了粗略反映波形的性質(zhì)，定義波

14、形因數(shù)為工程上為了粗略反映波形的性質(zhì)，定義波形因數(shù)為正弦波的波形因數(shù)為正弦波的波形因數(shù)為對非正弦波，如波形因數(shù)對非正弦波，如波形因數(shù)波形比正弦波尖波形比正弦波尖如波形因數(shù)如波形因數(shù)波形比正弦波平坦波形比正弦波平坦表表7-1中三角波的波形因數(shù)中三角波的波形因數(shù)三角波比正弦波尖三角波比正弦波尖非正弦周期電流電路的有效值和有功功率非正弦周期電流電路的有效值和有功功率)tksin(UUuku1kkm0)tksin(IIiki1kkm0)tksin(II)tksin(UUuipki1kkm0ku1kkm0四、非正弦周期電流電路的有功功率四、非正弦周期電流電路的有功功率dt)tksin(II)tksin(

15、UUT1ki1kkm0ku1kkm0T0T0T0uidtT1pdtT1P電壓電流取關(guān)聯(lián)參考方向，并設(shè)電壓電流取關(guān)聯(lián)參考方向，并設(shè)瞬時(shí)功率為瞬時(shí)功率為平均功率為平均功率為非正弦周期電流電路的有效值和有功功率非正弦周期電流電路的有效值和有功功率kKKkikukmkmcosIU)cos(IU21k1KKK00cosIUIUPK210PPPPdt)tksin(I )tksin(UT1PT0kikmkukmK00T0000IUdtIUT1P同次諧波電壓與電流的乘積的平均值為同次諧波電壓與電流的乘積的平均值為不同次諧波電壓與電流的乘積的平均值為零不同次諧波電壓與電流的乘積的平均值為零得到得到非正弦周期電流

16、電路中，只有同次諧波的電壓和電流才構(gòu)成非正弦周期電流電路中，只有同次諧波的電壓和電流才構(gòu)成平均功率，不同次諧波的電壓和電流不構(gòu)成平均功率。平均功率，不同次諧波的電壓和電流不構(gòu)成平均功率。例題例題V)60t3sin(50) tsin(4 .14110uA)60t3sin(3 . 0)70tsin(i0IUP000設(shè)兩端網(wǎng)絡(luò)在相關(guān)聯(lián)參考方向下，有設(shè)兩端網(wǎng)絡(luò)在相關(guān)聯(lián)參考方向下，有1I11cosIUP3333cosIUPW2 .24)700cos(2124 .141W5 . 7)6060cos(23 . 0250310PPPPW7 .315 . 72 .24求兩端網(wǎng)絡(luò)吸收的功率求兩端網(wǎng)絡(luò)吸收的功率解解

17、非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率非正弦周期電流電路中的有效值和有功功率五、等效正弦波五、等效正弦波等效正弦波代替非正弦周期波的條件等效正弦波代替非正弦周期波的條件:1.等效正弦波和非正弦周期波頻率相同等效正弦波和非正弦周期波頻率相同;2.等效正弦波和非正弦周期波有效值相同等效正弦波和非正弦周期波有效值相同;3.用等效正弦波代替非正弦周期波后用等效正弦波代替非正弦周期波后,全電路的有功功率不變。全電路的有功功率不變。用第三個(gè)條件確定等效正弦電壓和等效正弦電流的相位差用第三個(gè)條件確定等效正弦電壓和等效正弦電流的相位差UIParccos等效正弦波不可能與被代替的非正弦周期波在各方面完全等效，等

18、效正弦波不可能與被代替的非正弦周期波在各方面完全等效，它只是在一定誤差允許條件下的一種計(jì)算方法。它只是在一定誤差允許條件下的一種計(jì)算方法。例題例題V7 .10431100U22A03. 45 . 04I22W8 .24376cos5 . 0311 .53cos4100P已知某兩端網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流為已知某兩端網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流為V) t3sin(231) tsin(2100uA)76t3sin(25 . 0)1 .53tsin(24iV) tsin(27 .104ueUIParccos7 .5403. 47 .1048 .243arccosA)7 .54tsin(203. 4ie以上兩式中以上兩式

19、中 =314rad/s=314rad/s。式求電壓、電流的等效正弦波。式求電壓、電流的等效正弦波。解解 電壓電流的有效值各為電壓電流的有效值各為電路的功率電路的功率設(shè)電壓的初相為零設(shè)電壓的初相為零等效正弦電壓與電流的相位差為等效正弦電壓與電流的相位差為等效正弦電流等效正弦電流7.67.6對稱三相電路中的諧波對稱三相電路中的諧波) t (uuA3TtuuB3TtuuC一、正序、負(fù)序及零序?qū)ΨQ量一、正序、負(fù)序及零序?qū)ΨQ量在對稱三相非正弦周期電流電路中在對稱三相非正弦周期電流電路中) t5sin(U) t3sin(U) tsin(Uum5m3m1A3Tt5sinU3Tt3sinU3TtsinUum5

20、m3m1B32tsinU) t3sin(U32tsinUm5m3m13Tt5sinU3Tt3sinU3TtsinUum5m3m1C32tsinU) t3sin(U32tsinUm5m3m1設(shè)設(shè)uA為奇諧波函數(shù)為奇諧波函數(shù)對稱三相電路中的諧波對稱三相電路中的諧波tsinUum11A32tsinUum11B32tsinUum11C對稱三相周期量中各次諧波情況對稱三相周期量中各次諧波情況1.它們的基波它們的基波2.它們的三次諧波它們的三次諧波3.它們的五次諧波它們的五次諧波t3sinUum33At3sinUum33Bt3sinUum33Ct5sinUum55A32t5sinUum55C32t5sin

21、Uum55B為一組正序?qū)ΨQ量為一組正序?qū)ΨQ量,它們的它們的1、7、13次等諧波都各是一組正序?qū)ΨQ量。次等諧波都各是一組正序?qū)ΨQ量。為一組零序?qū)ΨQ量為一組零序?qū)ΨQ量,它們的它們的3、9、15次等諧波都各是一組零序?qū)ΨQ量。次等諧波都各是一組零序?qū)ΨQ量。為一組負(fù)序?qū)ΨQ量為一組負(fù)序?qū)ΨQ量,它們的它們的5、11、17次等諧波都各是一組負(fù)序?qū)ΨQ量。次等諧波都各是一組負(fù)序?qū)ΨQ量。對稱三相電路中的諧波對稱三相電路中的諧波5P3P1PUUU、25P23P21PPUUUU二、三相電源的諧波情況二、三相電源的諧波情況1.三相電源作星形連接三相電源作星形連接設(shè)它的相電壓各次諧波的有效值各設(shè)它的相電壓各次諧波的有效值各

22、為為5B3B1BBuuuu5C3C1CCuuuu25P21P25l21 llUU3UUUPlU3U 5A3A1AAuuuu+NABC相電壓的有效值為相電壓的有效值為線電壓的有效值線電壓的有效值3線電壓的有效值小于相電壓有效值的線電壓的有效值小于相電壓有效值的 倍。倍。對稱三相電路的諧波對稱三相電路的諧波33333ZEZ3E3I99999ZEZ3E3I0ZEZEIZEUU33333333AB32.三相電源作三角形連接三相電源作三角形連接0ZEZEIZEUU99999999AB9+3IABC3E3E3E03Z03Z03Z由于環(huán)流的存在由于環(huán)流的存在,使得相電壓中的使得相電壓中的3次、次、9次諧波：次諧波：相電壓和線電壓中都不含零序諧波。相電壓和線電壓中都不含零序諧波。對稱三相電路中的諧波對稱三相電路中的諧波2923NII3I3A3N3A33AI3ZIZU3N33A3AZ3ZUI三、三、Y形連接負(fù)載情況形連接負(fù)載情況1.三相四線制電路三相四線制電路3A3N3A3NN3N3NNIZ3I3ZIZU+Ni iA Ai iBi ic ci iNNN+N1AU1AIZ1Z5N+N5AU5AI+NN3AU3AIZ33ZN3中線電流的有效值為中線電流的有效值為各序?qū)ΨQ波的計(jì)算各序?qū)ΨQ波的計(jì)算對正序諧波對正序諧波對負(fù)序諧波對負(fù)序諧波對三次諧波對三次諧波對稱三相電路中的諧波對稱三相電路中的諧波2.三相三