《金融工程》10

1、L/O/G/O金金 融融 工工 程程 學學 第十章第十章 期權(quán)的回報與價格分析期權(quán)的回報與價格分析 第一節(jié) 期權(quán)的回報與盈虧分布 第二節(jié) 期權(quán)價格的特性期權(quán)的回報與盈虧分布期權(quán)的回報與盈虧分布 一般來說，在分析期權(quán)回報和盈虧的時候，有這樣兩個術(shù)語： 回報（payoff） 不考慮期權(quán)費情況下的期權(quán)到期回報 盈虧（Gain or Loss/Profit） 考慮期權(quán)費的期權(quán)到期回報 X：期權(quán)的執(zhí)行價格 c、p：歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格 C與P：美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格Page 3X一、看漲期權(quán)的回報與盈虧分布一、看漲期權(quán)的回報與盈虧分布 看漲期權(quán)多頭的回報與盈虧分布 回報回報 payoff

2、盈虧盈虧 profit 0 stock price c (a) 看漲期權(quán)多頭看漲期權(quán)多頭Page 4看漲期權(quán)空頭的回報與盈虧分布看漲期權(quán)空頭的回報與盈虧分布 payoff profit c 0 stock price (b) 看漲期權(quán)空頭看漲期權(quán)空頭 XPage 5二、看跌期權(quán)的回報與盈虧分布二、看跌期權(quán)的回報與盈虧分布 看跌期權(quán)多頭看跌期權(quán)多頭 payoff profit X x-c 0 stock price (a) 看跌期權(quán)多頭 XPage 6期權(quán)價格的特性期權(quán)價格的特性 一、內(nèi)在價值與時間價值一、內(nèi)在價值與時間價值 （一）期權(quán)的內(nèi)在價值（一）期權(quán)的內(nèi)在價值 期權(quán)的內(nèi)在價值期權(quán)的內(nèi)在價值

3、（Intrinsic Value）是指多方行使期權(quán)時可以獲得的收益最大值的貼現(xiàn)值與0之間的較大者 無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值等于maxS-Xe-r(T-t)，0 有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)內(nèi)在價值等于maxS-I-Xe-r(T-t)，0，其中I為標的資產(chǎn)所獲現(xiàn)金收益的貼現(xiàn)值 Page 7 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為 maxXe-r(T-t)-S ，0 有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為 maxXe-r(T-t)+I-S ，0 有收益的美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)由于提前執(zhí)行有可能是合理的，因此其內(nèi)在價值與歐式看跌期權(quán)不同。 課本177頁例題Page 8（二）實值、平價與虛值期權(quán)（二）實

4、值、平價與虛值期權(quán) 平價點：使期權(quán)內(nèi)在價值由正值變化到0的標的資產(chǎn)價格的臨界點 對于看漲期權(quán)來說 把SXe-r(T-t)時的看漲期權(quán)稱為實值期權(quán)實值期權(quán)（In the Money） 把 S=Xe-r(T-t)的看漲期權(quán)稱為平價期權(quán)平價期權(quán)（At the Money） 把SS時的看跌期權(quán)稱為實值期權(quán) 把 Xe-r(T-t) +I=S的看跌期權(quán)稱為平價期權(quán) 把Xe-r(T-t) +I=max(S-X e-r(T-t), 0) 時間價值 0 s =內(nèi)在價值 虛值期權(quán) 平價期權(quán) 實值期權(quán) (SX e-r(T-t) Page 41（二）看跌期權(quán)價格曲線（二）看跌期權(quán)價格曲線 1.歐式看跌期權(quán)價格曲線歐式

5、看跌期權(quán)價格曲線 我們先看無收益資產(chǎn)看跌期權(quán)的情形。歐式看跌期權(quán)的上限為 ，下限為 。當 時，它就是歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值，也是其價格下限，當 時，歐式看跌期權(quán)內(nèi)在價值為0，其期權(quán)價格等于時間價值。當S= 時，時間價值最大。當S趨于0和時，期權(quán)價格分別趨于 和0。特別地，當S=0時， 。 )(tTrXe0 ,max)(SXetTr0)(SXetTr0)(SXetTr)(tTrXe)(tTrXe)(tTrXepPage 42 r越低、期權(quán)期限越長、標的資產(chǎn)價格波動率越高，看跌期權(quán)價值以0為中心越往右上方旋轉(zhuǎn)，但不能超過上限，如下圖所示： 看跌期權(quán)價格 Xe-r(T-t) 上限 歐式看跌期權(quán)價格

6、下限、 內(nèi)在價值 時間價值 0 Xe-r(T-t) SPage 432.美式看跌期權(quán)價格曲線美式看跌期權(quán)價格曲線 對于無收益標的資產(chǎn)來說，美式看跌期權(quán)上限為X，下限為XS。但當標的資產(chǎn)價格足夠低時，提前執(zhí)行是明智的，此時期權(quán)的價值為XS。因此當S較小時，看跌期權(quán)的曲線與其下限或者說內(nèi)在價值XS是重合的。當S=X時，期權(quán)時間價值最大。其它情況與歐式看跌期權(quán)類似，如下圖所示。Page 44美式看跌期權(quán)價格曲線美式看跌期權(quán)價格曲線美式看跌期權(quán)價格曲線 x x 上限 美式看跌期權(quán)價格 下限、 內(nèi)在價值 時間價值 0 x x sPage 45六、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系六、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間

7、的平價關(guān)系 （一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 1.無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) 考慮如下兩個組合： 組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金 組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn))(tTrXePage 46 在期權(quán)到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即： （10.16） 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（Parity）。 如果式（10.16）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（10.16）成立。 SpX

8、ectTr)(Page 472.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)有收益資產(chǎn)歐式期權(quán) 在標的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為 ，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系： （5.17） ()r T tIXe()r T tcIXepSPage 48（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系 1.無收益資產(chǎn)美式期權(quán) 由于Pp,從式（10.16）中我們可得： 對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)來說，由于c=C，因此： 即 （10.18）SXecPtTr)(SXeCPtTr)()(tTrXeSPCPage 49無收益資產(chǎn)美式期權(quán)無收益資產(chǎn)美式期權(quán) 考慮以下兩個組合： 組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為X的現(xiàn)金 組合B：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)Page 50 如果美式期權(quán)沒有提前執(zhí)行，則在T時刻組合B的價值為max(ST,X)，而此時組合A的價值為 因此組合A的價值大于組合B。 如果美式期權(quán)在時刻提前執(zhí)行，則在時刻 ，組合B的價值為X，而此時組合A的價值大于等于 。因此組合A的價值也大于組合B。 XXeXStTrT )(),max()(trXePage 51 因此： 又由于c=C，我們有： 即 結(jié)合式（5.18），我們可得： （10.19） 這就是美式看漲期權(quán)和看