向量加、減法運算及其幾何意義(公開課)

1、向量加、減法運算及其幾何意義(公開課)知識回顧知識回顧 1. 向量與數(shù)量有何區(qū)別向量與數(shù)量有何區(qū)別? 2. 怎樣來表示向量向量怎樣來表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?數(shù)量只有大小沒有方向數(shù)量只有大小沒有方向,如如:長度長度,質(zhì)量質(zhì)量,面積等面積等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向線段來表示用有向線段來表示,線段的長度表示線段的大小，箭頭所指方向線段的長度表示線段的大小，箭頭所指方向表示向量的方向表示向量的方向。AB2）用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點

2、字母表示示.如aAB,長度相等長度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因為如此正因為如此,我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量,即任何向即任何向量可以在不改變它的大小和方向的前提下量可以在不改變它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.) 上海上海香港香港臺北臺北引入引入1：上海上海香港香港臺北臺北O(jiān)ABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法則：向量加法的三角形法則：CAB首尾連首尾連首尾相接首尾相接嘗試練習(xí)一：嘗試練習(xí)一：ABCDE（1）根據(jù)圖示填空：）根據(jù)圖示填空：例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a

3、 b ab 則則 三角形法則三角形法則作法作法1：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O，作作 ， ，OAa ABb 例題講解：例題講解：思考思考1：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個向量共線時，加法的三角形法：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個向量共線時，加法的三角形法 則則是否還適用？如何作出兩個向量的和？是否還適用？如何作出兩個向量的和？abab（1）（2）ABCBCA 當(dāng)向量當(dāng)向量 不共線時，和向量的長度不共線時，和向量的長度 與向量與向量 的長度和的長度和 之間的大小關(guān)系如何？之間的大小關(guān)系如何？ab、b三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊綜合以上探究我們可得結(jié)論： 圖圖1 1表示橡皮條在兩個力表

4、示橡皮條在兩個力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向伸方向伸長了長了EOEO；圖；圖2 2表示橡皮條在一個力表示橡皮條在一個力F F的作用下，沿相同方向的作用下，沿相同方向伸長了相同長度伸長了相同長度EOEO。從力學(xué)的觀點分析，力。從力學(xué)的觀點分析，力F F與與F F1 1、F F2 2之間的關(guān)之間的關(guān)系如何？系如何？MCEOF1F2圖圖1ME OF圖圖2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：OABCab起點相同起點相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則：OABCab起點相同起點相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則：

5、 文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共起點為起點的對角線所對應(yīng)向量就是和向邊形，則以公共起點為起點的對角線所對應(yīng)向量就是和向量。量。例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ab例題講解：例題講解：作法作法2：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 為鄰邊作為鄰邊作 OACB ，.OCOAOBab 連結(jié)連結(jié)OC，則，則平行四邊形法則平行四邊形法則嘗試練習(xí)二：嘗試練習(xí)二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出，用向量加

6、法的三角形法則和平行四邊形法則作出ab abbba思考思考2:數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對任意數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么對任意向量那么對任意向量 的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？請畫圖進行探索。請畫圖進行探索。,a b OABCababba accb cba ACD例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同

7、時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3ADBC例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水

8、的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3答：船實際航行速度為答：船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC（1）你還能回想起實數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？）你還能回想起實數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？（2）兩個實數(shù)的減法運算可以看成加法運算嗎？）兩個實數(shù)的減法運算可以看成加法運算嗎？思考思考：如設(shè)如設(shè),x yR xy實數(shù)實數(shù) 的相反

9、數(shù)記作的相反數(shù)記作 。aa如何定義向量的減法運算呢？如何定義向量的減法運算呢？ 向量的減法運算及其幾何意義向量的減法運算及其幾何意義回顧：回顧：一、相反向量：一、相反向量：規(guī)定：規(guī)定：設(shè)向量設(shè)向量 ，我們把與，我們把與 長度相同，方向相反長度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）（3）設(shè)）設(shè) 互為相反向量，那么互為相反向量，那么,a b2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義向量的減法運算及其幾何意義記作：記作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的減法：二、向量的減法：（2）aBACab設(shè)設(shè)DE又又所以所以你能利用我們學(xué)過的向量的加法法則作出你能利

10、用我們學(xué)過的向量的加法法則作出 嗎？嗎？ 不借助向量的加法法則你能直接作出不借助向量的加法法則你能直接作出 嗎？嗎？ a b三、幾何意義：三、幾何意義： 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba（1）如果從）如果從 的終點指向的終點指向 終點作向量，所得向量是什么呢？終點作向量，所得向量是什么呢？ab（2）當(dāng)）當(dāng) ， 共線時，怎樣作共線時，怎樣作 呢？呢？abABOABO注意：注意：（1）起點必須相同。（）起點必須相同。（2）指向被減向量的終點。）指向被減向量的終點。一般地一般地abBabbAO（三角形法則三角形法則）a練習(xí)：練習(xí)：(1)AB

11、AD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB AC三、幾何意義三、幾何意義注意：注意：（1）起點必須相同。（）起點必須相同。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點。的終點。一般地一般地abBabbAO 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB AC已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。例例3abOBACDab作法：作法：在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點O，則則作作注意：注意：起點相同，連接終點，指

12、向被減向量的終點。起點相同，連接終點，指向被減向量的終點。a b 練習(xí)：練習(xí)：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。,a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b ABCD解：由作向量和的平行解：由作向量和的平行四邊形法則，得四邊形法則，得AC=a+b;由作向量差的方法，知由作向量差的方法，知DB=AB-AD=a-b.ab例例2 2： 平行四邊形平行四邊形ABCDABCD中，中，AB=a,AD=b,AB=a,AD=b,用用 a, ba, b表示向量表示向量AC,DBAC,DB。例例3 : 化簡化簡 ( (A AB B- -C CD D) )- -( (A

13、AC C- -B BD D) )解解:ADBCba例例4已知已知|a|=6,|b|=8,且且|a+b|=| a- b|,求求|a- b|.練習(xí)練習(xí)1正方形正方形ABCD邊長為邊長為1，=a，=b， =c，則，則|a+b+c|等于（等于（ ）A0 B3 C DC練習(xí)練習(xí)2 2化簡化簡PMPNMN 結(jié)果是結(jié)果是 0 0練習(xí)3 a，b為非零向量，且為非零向量，且|a- b|=| a|+| b|，則則 （ ）Aa與與b方向相同方向相同 Ba = b Ca =b Da與與b方向相反方向相反ab|ab練習(xí)練習(xí)4 4向量向量 , , 的模分別是的模分別是3，4，求，求的取值范圍。的取值范圍。 D D1,71,7ABCD練習(xí)練習(xí)5:5:如圖：平行四邊形如圖：平行四邊形ABCD, ABCD, 用用 表示向量表示向量 , aAB , bAD ba,.,DBAC變式五變式五: :若若|AB|=8,|AC|=5,|AB|=8,|AC|=5,則則|BC|BC|的取值范圍是的取值范圍是_._.變式四變式四: 在本例中在本例中,|a|, |b|,|a+b|,|a-b|有什么關(guān)系有什么關(guān)系?變式三變式三: 在本例中在本例中, a+b與與a-b有可能相等嗎有可能相等嗎?變式二變式二: 在本例中在本例中,當(dāng)