直線方程五種形式優(yōu)秀教師

1、1直線的點(diǎn)斜式方程 1點(diǎn)斜式方程設(shè)直線I過點(diǎn)Po(X0, yo)，且斜率為k,那么直線的方程為y yo=k(x xo),由于此方程是由直線上一點(diǎn)Po(xo, yo)和斜率k所確定的直線方程，我們把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式 方程注意：利用點(diǎn)斜式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否(1) 當(dāng)直線I的傾斜角a =90°時(shí)，斜率k不存在，不能用點(diǎn)斜式方程表示，但這時(shí)直線I恰與y軸平 行或重合，這時(shí)直線I上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于X0,所以此時(shí)的方程為X=xo.(2) 當(dāng)直線I的傾斜角a =0°時(shí)，k=0，此時(shí)直線I的方程為y=yo，即y yo=O.(3) 當(dāng)直線I的傾斜角不為0

2、6;或90°時(shí)，可以直接代入方程求解.2斜截式方程：如果一條直線通過點(diǎn)(0, b)且斜率為k,貝U直線的點(diǎn)斜式方程為y=kx+ b其中k為斜率，b 叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，簡稱直線的截距.注意：利用斜截式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.(1) 并非所有直線在y軸上都有截距，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，如直線 x=2在y軸上就沒有截距，即只有不與y軸平行的直線在y軸上有截距，從而得 斜截式方程不能表示與x軸垂直的直線的方程.(2) 直線的斜截式方程y=kx+b是y關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)k=0時(shí)，該函數(shù)為常 量函數(shù).x=b；當(dāng)kM0時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)，且當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)

3、遞增，當(dāng) k<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.(3) 直線的斜截式方程是直線的點(diǎn)斜式方程的特例。要注意它們之間的 區(qū)別和聯(lián)系及其相互轉(zhuǎn)化. 直線點(diǎn)斜式方程的理解1由于點(diǎn)斜式方程是由斜率公式k=g°推出的，因此表示的直線上缺少一個(gè)點(diǎn)P(xo, yo),x xoX Xoyyo= k(x xo)才是整條直線；2. 經(jīng)過點(diǎn)Po(xo, yo)的直線有無數(shù)條，這無數(shù)條直線可以分為兩類： 斜率存在時(shí)，直線方程yy°=k(x xo)； 斜率不存在時(shí)，直線方程為x=xo.3. 直線的點(diǎn)斜式方程實(shí)際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式；4. 從函數(shù)的角度來看，當(dāng)斜率 k存在時(shí)，直線方程可以看作是函數(shù)解

4、析式，當(dāng)斜率k不存在時(shí)，直線 方程為x=xo,它不是函數(shù)解析式。2. 直線的兩點(diǎn)式方程假設(shè)直線I經(jīng)過兩點(diǎn)A(X!, %), B(X2, y2), (XiM X2)，那么直線I的方程為y"二X-人，這種形式的方程叫 yYi X2 Xi做直線的兩點(diǎn)式方程. 兩點(diǎn)式方程的理解：(1) 當(dāng)直線沒有斜率(xi=x2)或斜率為零(yi=y2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式一 二一Xl表示它的方程；丫2 Yi X2 Xi(2) 可以把兩點(diǎn)式的方程化為整式(X2 xi)(y yi)= (y2 yi)(x xi),就可以用它來求過平面上任意兩點(diǎn) 的直線方程；如過兩點(diǎn)A(i , 2), B(i, 3)的直線方程可以求

5、得x=i，過兩點(diǎn)A(i, 3), B( 2, 3)的直線 方程可以求得y=3.(3) 需要特別注意整式(X2 Xi)(y yi)= (y2 yi)(x xi)與兩點(diǎn)式方程 上土二上互 的區(qū)別，前者對于任丫2 一 Yi X2 為意的兩點(diǎn)都適用，而后者那么有條件的限制，兩者并不相同，前者是后者的拓展。3. 直線的截距式方程假設(shè)直線I在x軸上的截距是a,在y軸上的截距是b,且aM 0, bM 0,那么直線I的方程為-=i，這種a b 形式的方程叫做直線的截距式方程。用截距式方程表示直線時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1) 方程的條件限制為a 0, bM 0,即兩個(gè)截距均不能為零，因此截距式方程不能表示過原點(diǎn)的

6、直線 以及與坐標(biāo)軸平行的直線；(2) 用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標(biāo)而不是長度；(3) 要注意 截距相等與 截距絕對值相等是兩個(gè)不同的概念，截距式中的截距可正、可負(fù)，不可為零 截距式方程的應(yīng)用(1) 與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為：|a|+|b|+a2 b2 ；(2) 直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為：S= -1 ab | ;2(3) 直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，那么 k= -1或直線過原點(diǎn)，常設(shè)此方程為 x+y=a或y=kx.4. 直線方程的一般形式方程Ax+By+C=0 (A、B不全為零)叫做直線的一般式方程.直線的一般式方程的理解1. 兩個(gè)獨(dú)立的條件可求直線方程：求直線方程，外表上

7、需求 A、B、C三個(gè)系數(shù)，由于A、B不同時(shí)為零， 假設(shè)Am0，那么方程化為x y C = 0，只需確定,C的值；A AA A假設(shè)Bm0，同理只需確定兩個(gè)數(shù)值即可； 因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程；2. 直線方程的其他形式都可以化成一般式，解題時(shí)，如果沒有特殊說明應(yīng)把最后結(jié)果化為一般式，一 般式也可以化為其他形式。3. 在一般式 Ax+By+C=0 (A、B不全為零)中，假設(shè)A=0，那么y= C，它表示一條與y軸垂直的直線；B假設(shè)B=0,那么x=-C，它表示一條與x軸垂直的直線.A5.直線方程的選擇直線形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表示與x軸垂直 的直線一個(gè)定點(diǎn)和斜率k 一點(diǎn)，

8、可設(shè)點(diǎn)斜式 方程斜截式不能表示與x軸垂直 的直線在y軸上的截距 斜率，可設(shè)斜截式 方程兩點(diǎn)式不能表示與x軸、y 軸垂直的直線兩個(gè)定點(diǎn) 兩個(gè)截距截距式不能表示與X軸垂 直、與y軸垂直、過 原點(diǎn)的的直線兩個(gè)截距直線與坐標(biāo)軸圍成 三角形的面積問題可設(shè) 截距式方程一般式能表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果 均可以化為一般式方程題型1.直線的點(diǎn)斜式方程例1.一條直線經(jīng)過點(diǎn)M( 2，- 3),傾斜角a =135°，求這條直線的方程。 解：這條直線經(jīng)過點(diǎn)M( 2，- 3)，斜率是k=tana =-1代入點(diǎn)斜式方程得：y+3=- 1X (x+2)，即x+y+5=0，這就是所求直線的方程例2 求斜率為

9、_2，且分別滿足以下條件的直線方程：3(1) 經(jīng)過點(diǎn)M(.一 3，- 1);( 2)在x軸上的截距是一5.解：(1)所求直線經(jīng)過點(diǎn)(.3 , - 1),斜率為上3 ,所求直線方程為y1(x- .3)，即、-3x 3y-336=0.(2) 所求直線的斜率是 仝，在x軸上的截距為-5,即過點(diǎn)(-5, 0),所求直線的方程為y=-2(x+5),33即 _3x-3y 5、3 = 0.題型2 直線的斜截式方程例3 假設(shè)直線Ax+By+C=0通過第二、三、四象限，貝U系數(shù) A、B、C需滿足條件()(A) A、B、C同號(B) AC<0, BC<0(C) C=0, AB<0(D) A=0,

10、 BC<0解：原方程可化為y=Ax-C，因?yàn)橹本€通過第二、三、四象限，所以其斜率小于0, y軸上的截距小B BAC于0,即A 0，且C 0，即A、B同號，A、C同號，應(yīng)選A.BB解：由，直線y=ax+b的斜率為a,在y軸上的截距為b.當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b=0,即直線經(jīng)過點(diǎn)(1 , 0),選D.y例5寫出過以下兩點(diǎn)的直線方程，再化成斜截式方程.(1) P1(2, 1), P2(0,- 3); (2) P1(2, 0), P2(0, 3)0解：(1)直線P1P2的兩點(diǎn)式方程為： ，整理得斜截式方程為：y=2x- 3.-3-10-2(2)直線P1P2的兩點(diǎn)式方程為：=2，整理得斜截式方程為：

11、y= x+3o30 022例6.三角形的頂點(diǎn)是A(-5, 0)、B(3,- 3)、C(0, 2),求這個(gè)三角形三邊所在的直線方程.解：(用兩點(diǎn)式求AB所在直線的方程)直線AB經(jīng)過點(diǎn)A(- 5, 0)、B(3,- 3)，由兩點(diǎn)式得 丄二口，整理得3x+8y+15=0,這就是直線AB的 -33 + 5方程！(用斜截式求BC所在直線方程)因?yàn)锽(3,- 3)、C(0, 2),所以 kBc 二，截距b=2，由斜截式得 y=- 5x+2,-333整理得5x+3y- 6=0,這就是直線BC的方程.(用截距式求AC所在直線的方程)因?yàn)锳(- 5, 0)、C(0, 2),所以直線在X, 軸上的截距分別是5與2

12、,有截距式得 =1，整理得-522x-5y+10=0，這就是直線AC的方程。題型4 直線的截距式方程 例7.直線的斜率為1，且和坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求該直線的方程。6解：設(shè)直線方程為1 ,因?yàn)橹本€斜率k，又S=-|ab|=3，a ba 62'a -6a _ 6解得 -或 -，所求直線方程為x6y+6=0或x 6y6=0。J b =1b = -1例8.過點(diǎn)A(1, 4)且縱截距與橫截距的絕對值相等的直線共有的條數(shù)為()(A) 1(B) 2(C) 3( D) 4解：(1)當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，橫截距和縱截距都為 0,符合題意；n+4(2)當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為：X =1，由題

13、意a b =1,a bl|a|=|b|f a _ -3f a 二 5解得a 或a 過點(diǎn)P(1, 3)的直線分別與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)P為AB的中點(diǎn)，求直線的方程.(3x+y 6=0) ABC中，A(1, 4), B(6, 6), C( 2, 0),求：(ABC的平行于BC邊的中位線的一般式方程和截距式方程；(2) BC邊的中線的一般式方程，并化為截距式方程. ,綜合(1)、( 2),符合題意的直線共有三條.應(yīng)選C. (b=3(b=5題型5.直線的一般式方程例9.直線經(jīng)過點(diǎn)A(6, 4),斜率為-，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.344解:經(jīng)過點(diǎn)A(6, 4),并且斜率等于 的直線方程的點(diǎn)斜

14、式是：y+4= - (x 6),化成一般式得：4x+3y3312=0.例10.把直線I的方程x 2y+6=0化成斜截式，求出直線I的斜率和它在x軸與y軸上的截距，并畫圖1 1解：將原方程整理，得斜截式y(tǒng)=1x+3,令y=0,可得x= 6,因此，直線I的斜率k=1，它在x軸上的截距 為6,在y軸上的截距是3.【教考動(dòng)向演練】1.以下說法中不正確的選項(xiàng)是(D )(A) 點(diǎn)斜式y(tǒng) y°=k(x x°)適用于不垂直于x軸的任何直線(B) 斜截式y(tǒng)=kx+b適用于不垂直x軸的任何直線(C) 兩點(diǎn)式 上乂二匸生適用于不垂直于坐標(biāo)軸的任何直線yY1 X2花2.截距式-y =1適用于不過原

15、點(diǎn)的任何直線 a b直線3x 2y=4的截距式方程為( D )(A) 3x-r1(B) 1-y=1(D)(D)323.過點(diǎn)(3, 4)且平行于x軸的直線方程是 y+4=0直線方程是x 5=0。4亠14 -23;過點(diǎn)(5, 2)且平行于y軸的(1) 6x 8y 13=0;(2) 7x y 11=0例11 兩直線aix+biy+仁0和a2x+b2y+仁0的交點(diǎn)為P(2, 3),求過兩點(diǎn)Qi(ai, bi), Q2, b2)的直線 方程解：P(2, 3)在直線上，所以 2ai 3b 1-0，兩式相減得 2(ai-a2)+3(bi-b2)=0，即 bbi=kQQ ,J2a2 3b2 ： I 二 0-

16、ai3一 2故所求直線方程為 y- bi = - (x- ai)，即 2x+3y 3bi 2ai =0,3而2ai+3bi = - i,所求直線方程為2x+3y+i=0.解法二：P(2, 3)在直線上，2ai 3bi J = 0所以，2a2 +3b2 +i=0可見兩點(diǎn)Qi(ai, bi), Q2(a2, b2)的坐標(biāo)都滿足方程2x+3y+i=0, 所以過Qi(ai, bi), Q2(a2, b?)兩點(diǎn)的直線方程是2x+3y+i=0.例I2.過點(diǎn)P(i, 2)作直線l，交x, y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使 OAB面積取得最小值時(shí)直線I的方程. 解：設(shè)直線I的截距式方程為：x，Y=I，依題意a&

17、gt;0, b>0，又因?yàn)辄c(diǎn)P(i, 2)在直線I上，所以-=i,a ba b即b+2a=ab,1又因?yàn)?OAB的面積S= 1 ab.2所以 S=i(b+2a)=i(b - 2a)(i 2-(2 2 b 4a)22a b 2a b1>(4 4) =4,2當(dāng)且僅當(dāng)匕二坐時(shí)等號成立.即b=2a時(shí)等號成立。a bb =2ag=2由< i 2 ，解得<,丄+±=ilb =4.a b所以當(dāng)且僅當(dāng)a=2且b=4時(shí)， OAB的面積S取最小值4.此時(shí)，直線的方程為-1，即2x+y-4=0.24【教考動(dòng)向演練】6. 如果AC<0, BC<0,那么直線Ax+By+C=

18、0不通過( C )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限7. 直線l過點(diǎn)P(1, 3),且與x, y軸正半軸所圍成的三角形的面積等于6,那么l的方程是(A )(A) 3x+y- 6=0(B) x+3y- 10=0(C) 3x-y=0( D) x-3y+8=02 28. 假設(shè)直線(2m +m-3)x+(m - m)y=4m- 1在x軸上的截距為1,那么實(shí)數(shù)口是(D )1 i(A) 1(B) 2(C)-;( D) 2或一;2 22 29. 直線l: Ax+By+C=0(A +B工0),點(diǎn)P(X0, y°)在I上，那么l的方程可化為( D )(A) A(x+X0)+B(y+y°