同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1-7無窮小的比較

1、1無窮小的比較無窮小的比較利用等價無窮小替換求極限利用等價無窮小替換求極限第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較2一、無窮小的比較一、無窮小的比較3無窮小無窮小+ +無窮小無窮小= =無窮小無窮小無窮小無窮小- -無窮小無窮小= =無窮小無窮小無窮小無窮小無窮小無窮小= =無窮小無窮小但：但： = =？無窮小無窮小無窮小無窮小xxx20limxxxsinlim020limxxx, 0 , 1 如如, ,0時時當(dāng)當(dāng) x是無窮小是無窮小., x,2xxsin如何比較兩個無窮小？如何比較兩個無窮??？4x2x0.010.00010.10.010.0010.000001xxx20lim;002要快得多要

2、快得多比比 xx, 0 例例 考察考察 時，時， 趨于零的快慢趨于零的快慢0 xx2xxxxsinlim0;00sin快快慢慢相相仿仿與與 xx, 1 定義定義,lim)2( 如果如果, 0lim)1( 如如果果 是是比比就就說說);( o 記作記作是同一過程中的兩個無窮小是同一過程中的兩個無窮小,高階的無窮小高階的無窮小;低階的無窮小低階的無窮小; ,設(shè)設(shè). 0 且且 是比是比就說就說無窮小的比較無窮小的比較),0(lim)3( CC 如如果果是是與與就就說說 同階無窮小同階無窮小;6定義定義是是與與則稱則稱 . 記作記作是同一過程中的兩個無窮小是同一過程中的兩個無窮小,等價無窮小等價無窮小

3、, ,設(shè)設(shè). 0 且且無窮小的比較無窮小的比較Ck lim)4(如如果果的的是是關(guān)關(guān)于于就就說說 ),0, 0( kC k 階無窮小階無窮小., 1lim)5( 如如果果7所以當(dāng)所以當(dāng)x 0時，時，3x 2是比是比x 高階的無窮小，高階的無窮小，即即3x 2 o(x)( ( x 0) ) 因為03lim20 xxx，例例 比較無窮?。罕容^無窮?。?(112 nnn， 因為211limnnn，所以當(dāng) n 時，所以當(dāng) n 時，n1是比21n低階的無窮小所以當(dāng)所以當(dāng)x 0時，時，1- -cos x 與與x2 的同階無窮小。的同階無窮小。 因為21cos1lim20-xxx，當(dāng)當(dāng)x 0時，時，1- -

4、cos x 是是x 的二階無窮小。的二階無窮小。910111 12)1)(1(1lim211 - - - - - -tttttnnntnn1 1 1314二、利用等價無窮小替換求極限二、利用等價無窮小替換求極限定理定理1 1 ).( o 即即 兩個等價無窮小的差一定是一個更高兩個等價無窮小的差一定是一個更高階的無窮小，反之亦然。階的無窮小，反之亦然。 原因？原因？他們太接近了，所以它們的差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于他們太接近了，所以它們的差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于它們之中的任何一個。它們之中的任何一個。定理定理1 1 ).( o 15定理定理1 1證證, - -lim - - 1lim lim ,0 ).( o 即即),( o

5、 lim. )(limo )(1limo, 1 因此因此設(shè)設(shè)則則1- -因此因此 - - ),( o設(shè)設(shè)則則 ).( o 16例例 xsin - -xcos1,0時時當(dāng)當(dāng) x,sinxx,tanxx,21cos12xx- -所以所以時有時有當(dāng)當(dāng)0 x xtan所以所以時有時有當(dāng)當(dāng)0 x所以所以時有時有當(dāng)當(dāng)0 x),(xox ),(xox ).(2122xox 所以所以時有時有當(dāng)當(dāng)0 x,arcsinxx xarcsin),(xox 17定理定理2 2, 設(shè)設(shè)證證 lim lim( lim).(lim 或或A ),(lim 或或且且A lim則則 ) lim lim ).(lim 或或A ( (

6、等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) )定理定理2 2, 設(shè)設(shè)),(lim 或或且且A lim則則 ).(lim 或或A ( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ) limlim替換意義？替換意義？復(fù)雜復(fù)雜簡單簡單19將常用的等階無窮小列舉如下: xx sinxx tan2cos12xx-xx )1ln( mxxm11-211xx -nxxn1)1 (-xex1-axaxln1-2sintan3xxx -xx arcsinxx arctan 當(dāng) x 0 時 , , , 0 .mnNa其中20例例2 2.5sin2tanlim0 xxx求求解解,0時時當(dāng)當(dāng) x 原式原式,22tanxx,

7、55sinxx xxx52lim0.5221231x221x-.1cos1)1 (lim3120-xxx解解: :,0時當(dāng)x1)1 (312- x231x1cos-x221x-0limx原式32-例例3 求求223221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx練習(xí)練習(xí)解解23例例4 4xxxx2sinsintanlim30- -求求解解 原原式式. 0 解解,0時時當(dāng)當(dāng) x - -xxsintan,213x,22sinxx 原式原式.161 錯錯 ,0時時當(dāng)當(dāng) x,tanxx,sinxx30)2(limxxxx- -)cos1(tanxx- -330)2(21

8、limxxx注：注：加、減項加、減項的無窮小不要用等價無窮小代換的無窮小不要用等價無窮小代換.24例例5.) cos1(2sin lim20 xxarcx- -求求解解 ) cos1(2sin lim20 xxarcx- -) cos1(2lim20 sin arcxxxxx- - ) cos)(1 cos1(2lim0 xxxx - - xxxxx cos11lim) cos1(2lim00 - - ) cos1lim(1lim020 x cos1221xxxxxx - -25xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例例6 6解26000coslim11 coslimlimxxxxxexxexxx-0coslimxxexx-求1例例7 7解27練習(xí)練習(xí).cos12tanlim20 xxx- -求求解解,0時時當(dāng)當(dāng) x 原式原式. 8 ,21cos12xx- -.22tanxx22021)2(limxxx281. 無窮小的比較無窮小的比較2. 等價無窮小的替換等價無窮小的替換 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注