復(fù)變函數(shù)：1-復(fù)變函數(shù)

1、u參考書目參考書目 1.復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研 室編，高等教育出版社。室編，高等教育出版社。 2.復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論鐘玉泉編，高等教育出版鐘玉泉編，高等教育出版 社。社。 3 .新編復(fù)變函數(shù)題解新編復(fù)變函數(shù)題解孫清華、趙德修，孫清華、趙德修， 華中科技大學(xué)出版社。華中科技大學(xué)出版社。u教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 以參考書以參考書1為主，并從為主，并從2中補(bǔ)充少量內(nèi)容，難中補(bǔ)充少量內(nèi)容，難度介于度介于1和和2之間。之間。u考核方式考核方式 作業(yè)作業(yè) 20% ， 隨堂測驗(yàn)隨堂測驗(yàn) 20%, 期末考試期末考試 60%第一章第一章 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1. 復(fù)平面與復(fù)球面

2、復(fù)平面與復(fù)球面cossin ,.iieizre引入記號任一復(fù)數(shù)可表示為OxyzPNS NPz除去北極點(diǎn)外，復(fù)球面上的點(diǎn) 與復(fù)平面上的點(diǎn) 一一對應(yīng)。PNz 當(dāng)時，。引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 。 復(fù)平面并上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱為擴(kuò)充復(fù)平面。 擴(kuò)充復(fù)平面與復(fù)球面上的點(diǎn)一一對應(yīng)。Remark :關(guān)于 的幾點(diǎn)說明0,0,;0運(yùn)算無意義(,0,;aaaaa 但可為0)時0(,;bbb 但可為 )時. 的實(shí)部、虛部及輻角都沒有意義,.復(fù)平面上每條直線都通過點(diǎn).沒有一個半平面包含點(diǎn)2. 區(qū)域區(qū)域nn 考慮中的點(diǎn)集。以表示中距離。01o1yx00 :zzzz 稱為 的鄰域一個鄰域。000zGGzzG 設(shè),若 包含 的一個鄰域,則稱

3、為內(nèi)點(diǎn)的一個內(nèi)點(diǎn)。2 (0,1):區(qū)間是 中開集， 但它不是例中開集。GG 中每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱開集為開集。D稱 為區(qū)域，若它滿足以下兩區(qū)域 個條件： ,DPDPDPDDDD設(shè) 為區(qū)域，但 的任意小鄰域內(nèi)都包含 中的點(diǎn)，則稱 為 的邊界點(diǎn)。 的所有邊界點(diǎn)組成 的邊界 ，記為邊界。 DDDD設(shè) 為閉區(qū)域 區(qū)域，稱為 閉區(qū)域。1) D 是開集； 2) DDD是連通的，即 中任意兩點(diǎn)都可以用完全屬于 的一條折線連接起來。 例：開區(qū)域閉區(qū)域 沒有重點(diǎn)的連簡單曲線續(xù)曲線。 起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的簡簡單閉曲線單曲線。邊界簡單、不閉不簡單、不閉不簡單、閉簡單、閉 例：,BBBBB 設(shè) 為上區(qū)域，若 中任意一條簡

4、單閉曲線的內(nèi)部總屬于則稱為單連通區(qū)域，單連通區(qū)域與多連通區(qū)域否則稱 為多平面連通區(qū)域。單連通區(qū)域多連通區(qū)域例3. 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1. 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)的極限復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)的極限000 ( )0 |,0,( )(0). .0 |D|( )|ef:,wf zzzzAstzzf zA 設(shè)函數(shù)在 的去心鄰域內(nèi)有定義。若存在確定的常數(shù)， 當(dāng)時有 00( ),Af zzzfz則稱 為當(dāng) 趨于 時的極限(或 在點(diǎn) 的極限)0lim( ),zzf zA記作 0( ).zzf zA或記作 當(dāng)時， 關(guān)于復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)極限的定義有以下幾點(diǎn)值得注意：0Remark1 .()f z 可以無定

5、義。Remark2. 幾何解釋：0Remark3. ( )f zzz若當(dāng)時極限存在,則極限唯一。0zz( )f zA00 ( )lim( )zzzzf zf z 如果 以不同的方式趨于 ，而趨于不同的常數(shù)，則不存在。00 ( )lim( )zzzzf zf z 如果 以某個方式趨于 ，而沒有極限，則不存在。00 ( )Remark4. zzzzf zA的方式是任意的。無論 從什么方向、以什么方式趨向 ，都要趨向于常數(shù) 。因此，驗(yàn)證復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)沒有極限反而同一個變得簡單：( )argf zz 在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上例極限不存在。0 xyO(),( )izref z記:則解.00arg( )arg0a

6、rgzzf zzzz當(dāng) 沿不同的射線趨于原點(diǎn)時，有不同的極限 ，因此當(dāng)時沒有極限.xyO000000,(0)arg;(0)arg;argxzzxit txzzzxittxzz當(dāng) 沿射線趨于 時，趨于當(dāng) 沿趨于 時，趨于故在負(fù)實(shí)軸上每一點(diǎn)極限不存在。00( )lim( ),xxf xf xxxx 對比單變量實(shí)函數(shù)的極限只能沿 軸趨向 ,這正是復(fù)分析與實(shí)分析不同的根源。000000000( )( , )( , ), ( , ), (Thm, ),1,f zu x yiv x yAuiv zxiy u x y v x yu v xy設(shè)為實(shí)函數(shù)為實(shí)數(shù)。0lim( )zzf zA則的充要條件是00000

7、0, lim( , )lim( , ).xxyyxxyyu x yuv x yv， 000000Proo ()(f).uuuivuivuuvvvv只要用到下面的不等式，具體證明略。( )( , )( , )( , ),( , )f zu x yv x yuu x yvv x y 上面的定理將求復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個二元實(shí)變函數(shù)的極限問題。. 下面是有關(guān)復(fù)變函數(shù)極限的有理運(yùn)算的定理000Thm2P ( )( )( ), ( ) roof .f zg zzzf z g zz若和在點(diǎn) 有極限，則其和、差、積、商（要求分母的極限不為零）在點(diǎn) 仍有極限，其極限值等于在點(diǎn) 的極限的和、差、積、商。

8、證明略2. 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性000 lim( )(),ef.Dzzf zf zfzfDfD若則稱 在點(diǎn) 連續(xù).若 在區(qū)域 內(nèi)處處連續(xù),則稱 在 內(nèi)連續(xù)0 ,Remark fz在點(diǎn) 不連續(xù) 則必為以下三種情況之一：0()f z無定義；0lim( )zzf z不存在；0000()lim( )lim( )()zzzzf zf zf zf z有定義，存在，但.( )argf zz 在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸例上不連續(xù)。 關(guān)于復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性有以下幾個定理：000( )( , )( , ), ( , ), (Thm),3, :f zu x yiv x y u x y v x yfzxiy設(shè)為實(shí)函數(shù)

9、則 在連續(xù)的充分必要條件是00 ( , ), ( , )(,)u x y v x yxy在連續(xù)。000( )(Thm4 ) zf zg zzz在 連續(xù)的函數(shù)和的和、差、積、商（要求分母在 不為零）在點(diǎn) 仍連續(xù)。0000 ( )( )()( ( )Thm5hg zzwf hhg zwf g zz若在 連續(xù),在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在 連續(xù)。 對大多數(shù)函數(shù)來說,由定義直接驗(yàn)證連續(xù)性很繁瑣.下面的推論很有用:201201 1)( ),Corollary,)nnnP zaa za za zaaa多項(xiàng)式函數(shù)(,在整個復(fù)平面上連續(xù)；2) ( ),( )( )( )P z Q zP zQ z設(shè)為多項(xiàng)式函數(shù)，則有理分式函數(shù)在復(fù)平面上使分母不為零的點(diǎn)處連續(xù)。 Thm4oo.Prfz根據(jù)定義,不難驗(yàn)證常數(shù)函數(shù)和 在復(fù)平面上連續(xù),由即得推論000*0,|( )|.fzfzMzf zM 設(shè) 在點(diǎn) 連續(xù).證明 在 的某個鄰域內(nèi)是有界的,即存在