九年級數(shù)學期中復習資料

1、WORD格式一元二次方程及應用【知識梳理】專業(yè)資料整理1 一元二次方程知識點一一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點：只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2；是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式一般形式： ax2 + bx + c = 0(a 0).其中， ax2 是二次項， a 是二次項系數(shù)；bx 是一次項，是一次項系數(shù)；c 是常數(shù)項。知識點三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。典型例題：b

2、m211、已知關于x 的方程（ m+2 降次解一元二次方程3 ） x+ （ m-3） -1=0是一元二次方程，求m 的值。配方法知識點一直接開平方法解一元二次方程（1）如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a 0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=a ,x2=a .（2）直接開平方法適用于解形如x2=p 或 (mx+a)2 =p(m 0)形式的方程，如果p 0，就可以利用直接開平方法。（ 3） 用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。（ 4

3、） 直接開平方法解一元二次方程的步驟是：移項；使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為 1；兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法， 叫做配方法， 配方的目的是 降次 ，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。（ 1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（ 2）方程兩邊都除以二次項系數(shù)；（ 3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；（ 4）若等號右邊為非負數(shù)，直接開平方求出方程的解。公式法知識點一公式法解一元二次方

4、程（1）一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)，如果b2 -4ac 0，那么方程的兩個根2bb4ac為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，2a我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c 的值直接求得方程的解，公式法。這種解方程的方法叫做（2）一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a 0)的過程。（3）公式法解一元二次方程的具體步驟：方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a 0)，一般 a 化為正值確定公式中a,b,c的值，注意符號；求出 b2-4ac 的值；若 b2-4ac0，則把a,b,c 和b-4ac 的

5、值代入公式即可求解，若b2-4ac 0，則方程無實數(shù)根。知識點二一元二次方程根的判別式式子 b2 -4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a 0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，即 =b 2-4ac. 0，方程 ax2+bx+c=0(a 0)有兩個不相等的實數(shù)根 =0 ，方程 ax2 +bx+c=0(a 0)有兩個相等的實數(shù)根 0，方程 ax2+bx+c=0(a 0)無實數(shù)根因式分解法知識點一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的詳細步驟：移項，將所有的

6、項都移到左邊，右邊化為0；把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法 有提公因式、 平方差公式和完全平方公式；令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用合適的方法解一元一次方程3 一元二次方程的根與系數(shù)的關系2若一元二次方程x +px+q=0 的兩個根為x1,x2,則有x1+x 2=-p,x 1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a 0)有兩個實數(shù)根x1,x2,則有x1+x 2 =b, x1x2=caa22.3 實際問題與一元二次方程知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：（ 1） 審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量

7、以及它們之間的等量關系。（ 2） 設：是指設元，也就是設出未知數(shù)。（ 3） 列：列方程是關鍵步驟 ,一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。（ 4） 解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。（ 5） 驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。（ 6） 答：寫出答案。知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型（1）數(shù)字問題三個連續(xù)整數(shù)：若設中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1， x+1。三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)） ：若中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。三位數(shù)的表示方法：設百位、 十位、個位上的數(shù)字

8、分別為a,b,c，則這個三位數(shù)是100a+10b+c.（2）增長率問題設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關系為a（1x ） 2=b 。（3）利潤問題利潤問題常用的相等關系式有：總利潤 = 總銷售價 -總成本；總利潤 = 單位利潤×總銷售量；利潤 =成本×利潤率（4）圖形的面積問題根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、 高等相關元素的關系， 將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程?！镜湫屠}分析】【例 1】已知 ABC 中， AB c， BC a， AC 6， x 為實數(shù)，且ab6 ， x2ab 9 (1)求 x 的值

9、；(2)若 ABC 的周長為10，求 ABC 的面積 S ABC 解： （ 1） a6 b 代入 x2ab 9 中得 x2(b3)20 ，x20 ， (b3)20 ，x0 ， b3 （ 2）由（ 1）知 ab 3，c1064，SABC143222252【例 2】、某商店購進600 個旅游紀念品，進價為每個6 元，第一周以每個10 元的價格售出200 個，第二周若按每個10 元的價格銷售仍可售出200 個，但商店為了適當增加銷量， 決定降價銷售（根據(jù)市場調查，單價每降低1 元，可多售出50 個，但售價不得低于進價） ，單價降低 x 元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個4 元的價

10、格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利1250 元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？解：由題意得出：200 ×（10-6） + （10-x-6）（ 200+50x） + （ 4-6）（ 600-200-（ 200+50x） =1250，即 800+（ 4-x）（ 200+50x） -2（ 200-50x） =1250，整理得： x2-2x+1=0 ，解得： x1 =x 2=1 ， 10-1=9 ，答：第二周的銷售價格為9 元【例 3】、要在一塊長 52m，寬 48m 的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路下面分別是小亮和小穎的設計方案（ 1）求小亮設計方案中甬路的寬度x

11、；（ 2）求小穎設計方案中四塊綠地的總面積（友情提示：小穎設計方案中的與小亮設計方案中的取值相同）解：（ 1）根據(jù)小亮的設計方案列方程得：（ 52-x）（ 48-x） =2300解得： x=2 或 x=98 （舍去）小亮設計方案中甬道的寬度為2m；（ 2）作 AI CD， HJ EF，垂足分別為 I， J， AB CD， 1=60 °， ADI=60 °， BC AD，四邊形 ADCB 為平行四邊形， BC=AD由（ 1）得 x=2 ， BC=HE=2=AD在 Rt ADI 中， AI=2sin60°=3 ，小穎設計方案中四塊綠地的總面積為52 × 48

12、-52 ×2-48 × 2+ （3 ） 2=2299 平方米【例4】、小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10 件，單價為80 元；如果一次性購買多于10 件，那么每增加1 件，購買的所有服裝的單價降低2 元，但單價不得低于50 元按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了 1200 元請問她購買了多少件這種服裝？解：設購買了 x 件這種服裝，根據(jù)題意得出：80-2（ x-10）x=1200 ，解得： x1 =20， x2=30 ，當 x=30 時， 80-2（ 30-10）=40 （元） 50 不合題意舍去；答：她購買了 20 件這

13、種服裝【例5】、“低碳生活，綠色出行”，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具某運動商城的自行車銷售量自 2013 年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，該商城 1 月份銷售自行車 64 輛， 3 月份銷售了 100 輛（1）若該商城前4 個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該商城4 月份賣出多少輛自行車？（2）考慮到自行車需求不斷增加，該商城準備投入3 萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車，已知 A 型車的進價為500 元 / 輛，售價為 700 元 / 輛， B 型車進價為1000 元 / 輛，售價為 1300元/ 輛根據(jù)銷售經(jīng)驗， A 型車不少于 B 型車的2 倍，但不超過 B 型車的 2.8 倍假設所進車輛全

14、部售完，為使利潤最大，該商城應如何進貨？解：（ 1）設平均增長率為 x，根據(jù)題意得：64（ 1+x） 2=100解得： x=0.25=25% 或 x=-2.25四月份的銷量為：100（ 1+25% ） =125 輛，答：四月份的銷量為125 輛（2）設 A 型車 x 輛，根據(jù)題意得： 2×30000 500x30000 500x2x 2.8，解得： 30 x 3510001000B型車的利潤大于A 型車的利潤，當 A 型車進貨量最小時有最大利潤，最大利潤為：200 × 30+300 × 15=10500 ；【例 6】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20 件，

15、每件盈利40 元，為了擴大銷售，增加盈利， 盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價一元，商場平均每天可多售出2 件，若商場平均每天要盈利1200 元，每件襯衫應降價多少元？【解析】設每件襯衫降價x 元，則每件襯衫盈利(40 x)元，降價后每天可賣出(20+2x)件，由關系式：總利潤= 每個商品的利潤×售出商品的總量，可列出方程【解答】設每件襯衫降價x 元， 依題意，得 (40 x)(20+2x)=1200 ，整理得： x2 30x+200=0 ， 解得： x1 =10 ， x2 =20 ，因為要盡快減少庫存，所以x=10 舍去答：每件襯衫應降價20

16、元二次函數(shù)【知識梳理】一二次函數(shù)的基本概念1二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（ a，b ，c 是常數(shù)， a0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調：二次項系數(shù) a 0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的結構特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)， b 是一次項系數(shù)， c 是常數(shù)項二 二次函數(shù)的基本形式4. y a x2hk 的性質：總結：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質xh 時， y 隨 x 的增大而增大； x h 時， y 隨a0向上h ，k

17、X=hx 的增大而減??；x h 時， y 有最小值 k xh 時， y 隨 x 的增大而減小； x h 時， y 隨a0向下h ，kX=hx 的增大而增大；x h 時， y 有最大值 k 三 二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：將拋物線解析式轉化成頂點式y(tǒng) a xh 2k ，確定其頂點坐標h，k ；保持拋物線 yax 2 的形狀不變，將其頂點平移到h ，k處，具體平移方法如下：y=ax 2向上 (k>0)【或向下 (k<0) 】平移 |k|個單位y=ax 2+ k向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0) 】向右 (h>0)

18、 【或左 (h<0) 】平移 |k| 個單位平移 |k| 個單位平移 |k| 個單位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位y=a (x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位y=a( x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移” 概括成八個字“左加右減，上加下減”四二次函數(shù) y a x h2bxc 的比較k 與 y ax2總結：從解析式上看，ya xh 2k 與 yax2bx c是兩種不同的表達形式，后者通過配2b2b ，kb 2方可以得到前者，即yaxb4ac，其中 h

19、4ac2a4a2a4a五二次函數(shù) yax2bxc 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點式 ya (xh)2k ，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為： 頂點、與 y 軸的交點0 ，c、以及0 ，c 關于對稱軸對稱的點2h，c、與 x 軸的交點1，0，2（若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.xx ，0畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y 軸的交點 .六二次函數(shù) yax2bxc 的性質1. 當 a0 時，拋物線開口向上，對稱軸為xb，頂點坐標為b ，4acb22a2a4

20、a當 xb 時， y 隨 x 的增大而減小； 當 xb時， y 隨 x 的增大而增大； 當 xb2a2a2a時， y 有最小值 4acb24a2.當 a 0 時，拋物線開口向下，對稱軸為xb ，頂點坐標為b ，4ac b2當2a2a4axb 時， y 隨 x 的增大而增大； 當 xb 時， y 隨 x 的增大而減?。?當 xb時， y 有2a2a2a最大值 4ac b24a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： yax 2bx c （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；2.頂點式： ya(xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；3.兩根式： ya (xx1)( xx2

21、) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即 b24ac 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便 一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩

22、個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1. 二次項系數(shù) a二次函數(shù)y ax2bx c 中， a 作為二次項系數(shù)，顯然 a 0 當 a0 時，拋物線開口向上， a 的值越大， 開口越小， 反之 a 的值越小， 開口越大； 當 a0 時，拋物線開口向下， a 的值越小， 開口越小， 反之 a 的值越大， 開口越大總結起來， a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸 在 a0 的前提下，當 b0 時，b0，

23、即拋物線的對稱軸在y 軸左側；2a當 b0 時，b0，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當 b0 時，b0，即拋物線對稱軸在y 軸的右側2a 在 a0 的前提下，結論剛好與上述相反，即當 b0 時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸右側；2a當 b0時，b0，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當 b0時，b0，即拋物線對稱軸在 y軸的左側2a總結起來，在a 確定的前提下，b 決定了拋物線對稱軸的位置總結：3. 常數(shù)項 c 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為正； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為 0； 當 c0 時

24、，拋物線與y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為負總結起來，c 決定了拋物線與y 軸交點的位置總之，只要a，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關于 x 軸對稱y2b x 關c于 x 軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2ya xh2hk 關于 x 軸對稱后，得到的解析式是k ；2. 關于 y 軸對稱y2b xcyax2bxca x；關于 y 軸對稱后，得到的解析式是ya x2k 關于 y 軸對稱后，得到的解析式是ya xh2k ；h3. 關于原點對稱y2b

25、x 關c于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；a xya x2ya xh2h關k于原點對稱后，得到的解析式是k ；4. 關于頂點對稱y2b xc2b 2a xyaxbx c；關于頂點對稱后，得到的解析式是2aya x2k 關于頂點對稱后，得到的解析式是ya2k hx h5. 關于點m，n 對稱222n ky a x hk 關于點 m，n 對稱后，得到的解析式是ya x h 2m根據(jù)對稱的性質， 顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此 a永遠不變 求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）

26、的頂點坐標及開口方向， 再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十 二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）：一元二次方程 ax 2bx c 0 是二次函數(shù) y ax2bxc 當函數(shù)值 y0 時的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點個數(shù)： 當b24ac0 時，圖象與 x 軸交于兩點 Ax1 ，0，B x2 ，0 ( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2是一元二次方程ax2bxc0 a0 的兩根這兩點間的距離ABx2 x1b24ac.a當0時，圖象與 x 軸只有一個交點；當0時，圖象與 x 軸沒有交點 .1'當 a0

27、時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 ；2'當 a0時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 2. 拋物線 yax2bx c 的圖象與y 軸一定相交，交點坐標為(0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結：求二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ，b ，c 的符號， 或由二次函數(shù)中a ，b ， c 的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合； 二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知

28、與 x 軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.【典型例題分析】【例 1】若拋物線y= （ m 1） xm2 m 開口向下，則m=_ 【答案】 -1【解析】試題分析：根據(jù)二次函數(shù)的定義條件可得 m2m=2 ，m 1 0 解得 m=2 或 m= 1，且 m 1，因此當 m=2 或 1 時，這個函數(shù)都 是二次函數(shù)；由 m 1 0， m 1 可知 m= 1考點：二次函數(shù)的性質；二次函數(shù)的定義【點睛】根據(jù)二次函數(shù)的定義條件可得二次項系數(shù)不為0，且最高次項的系數(shù)為2，由此即可求解考點典例二、二次函數(shù)的解析式【例 2】如圖，二次函數(shù)y=x 2+bx+c 的圖象過點B（ 0， 2）它與反比例函數(shù)y=

29、 的圖象交于點 A （ m， 4），則這個二次函數(shù)的解析式為（）A y=x 2 x 2B y=x2 x+2C y=x2 +x 2D y=x 2+x+2【答案】 A【解析】試題分析：將A （m， 4）代入反比例解析式得：4= 8 ，即 m= 2，m A（ 2， 4），42bc 4將 A （ 2， 4）， B（ 0， 2）代入二次函數(shù)解析式得：2，c解得： b= 1，c= 2，則二次函數(shù)解析式為y=x 2 x 2故選 A【點晴】先根據(jù) A 在反比例函數(shù)圖象上，求出m 的值，再把A 、 B 點坐標代入二次函數(shù)y=x 2+bx+c 中，求出 b、 c 的值即可 .考點典例三、二次函數(shù)的最值【例 3】已

30、知 0 1 ，那么函數(shù) = 22+8 6 的最大值是（）xyxx2A 10.5B 2C 2.5D 6【答案】 C1【點睛】根據(jù)頂點式得到它的頂點坐標是（2，2），再根據(jù)其a 0 且 0x，即可求出2函數(shù)的最大值【例 4】.當 2 xl時，二次函數(shù) yx m21 有最大值4，則實數(shù) m 的值為【】m 27(B)3或3(c)2 或3(D)2 或3 或7(A)44【答案】 C【解析】試題分析：當2 xl時，二次函數(shù)yx m2m21 有最大值4，二次函數(shù)在2 xl上可能的取值是x= 2 或 x=1 或 x=m.當 x= 2時，由42mm 21 解得 m7，此時 yx265，它在7244162 xl的最

31、大值是65 > 4 ，與題意不符 .16當 x=1 時，由412m 21 解得 m2 ，此時 yx222 xl的m5，它在最大值是4，與題意相符 .當 x= m 時 ， 由 4m m221 解 得 m3 ， 此 時 y2mx34 . 對yx24 ，它在2 xl的最大值是 4，與題意相符；對yx3234 ，它在 2 xl在 x=1 處取得，最大值小于4，與題意不符 .綜上所述，實數(shù)m 的值為 2 或3 .故選 C考點典例四、二次函數(shù)的圖象與性質【例 5】二次函數(shù)y ax2bxc （ a0 ）的圖象如圖所示，下列結論：2a b0 ； abc 0 ； b24ac 0 ； ab c0 ； 4a

32、2b c 0 ，其中正確的個數(shù)是 （）A2B3C4D5【答案】 B故選 B考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系【點睛】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質進行逐項分析即可求出答案.考點典例五、二次函數(shù)圖象與平移變換【例 5】)如果將拋物線 yx22x 1向上平移，使它經(jīng)過點A(0,3) ，那么所得新拋物線的表達式是 _ 【答案】 y x22x3【解析】試題分析：可知拋物線過(0, 1)，上下平移時只改變常數(shù)項，由條件知平移后經(jīng)過(0,3) ，故平移后解析式為yx22x3.考點： 1.拋物線平移的含義；2.求拋物線的函數(shù)解析式 .【點睛】 根據(jù)題意易得新拋物線的頂點，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得新拋物

33、線的解析式【例 6】如圖，已知二次函數(shù)y=a（ x h） 2+3 的圖象經(jīng)過原點O （0， 0），A （ 2， 0）（1）寫出該函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若將線段OA 繞點 O 逆時針旋轉60 °到 OA，試判斷點A是否為該函數(shù)圖象的頂點？【答案】 (1)x=1；（ 2）是 .【解析】試題分析：（ 1）由于拋物線過點O（ 0， 0）， A（2，0），根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=1 ；（2）作 A Bx 軸與 B，先根據(jù)旋轉的性質得OA =OA=2， A OA=2，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得OB=12OA =1 ，A B=3 OB=3 ，則 A點的坐標為 （

34、 1，3 ），根據(jù)拋物線的頂點式可判斷點A為拋物線y =3 （ x 1） 2+3 的頂點試題解析：（ 1）二次函數(shù)y=a（xh） 2+3 的圖象經(jīng)過原點O （ 0， 0）， A（ 2， 0）拋物線的對稱軸為直線x=1 ；（ 2）點 A是該函數(shù)圖象的頂點理由如下：如圖，作 A Bx軸于點 B，線段 OA 繞點 O 逆時針旋轉 60 °到 OA， OA =OA=2， A OA=2，在 Rt A OB中， OA B=30 °，1OA =1 ， OB=2AB=3OB= 3， A點的坐標為（1，3 ），點 A為拋物線y= 3 （ x 1） 2+3 的頂點考點：1.二次函數(shù)的性質；2.

35、坐標與圖形變化-旋轉 .【例7】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC 的邊長為4，頂點A、C 分別在x 軸、 y軸的正半軸， 拋物線y1x2bxc 經(jīng)過B、C 兩點，點D為拋物線的頂點，連接AC、2BD、 CD（ 1）求此拋物線的解析式（ 2）求此拋物線頂點 D 的坐標和四邊形 ABCD 的面積【答案】（ 1） y1 x22x 4 ；（ 2） D（ 2， 6）， 122考點： 1待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；2二次函數(shù)圖象上點的坐標特征【例 8】如圖，頂點 M 在 y 軸上的拋物線與直線上，點 B 的橫坐標為 2，連結 AM 、BM yx1 相交于A 、 B 兩點，且點A 在 x 軸（ 1）

36、求拋物線的函數(shù)關系式；（ 2）判斷 ABM的形狀，并說明理由；（3）把拋物線與直線yx 的交點稱為拋物線的不動點若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（ m ， 2m ），當 m 滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點？【答案】（ 1）拋物線的解析式為 yx 21 （2） ABM 是直角三角形，且BAM 90 °理由見試題解析；（ 3）平移后的拋物線總有不動點，m1 4【解析】試題解析：解： （ 1）點 A 是直線 yx 1 與 x軸的交點，A 點為（ -1， 0）點 B 在直線 yx 1上，且橫坐標為2，B 點為（ 2， 3）過點 A、 B 的拋物線的頂點M 在 y 軸上，故設其解析

37、式為： y ax2cac0a 1c，解得：c14a3拋物線的解析式為 yx 21 （2） ABM 是直角三角形，且BAM 90 °理由如下：作 BC x 軸于點 C， A（-1， 0）、 B（ 2， 3） ACBC3， BAC 45 °；點 M 是拋物線 y x21 的頂點，M 點為（ 0， -1） OA OM 1， AOM 90 °MAC 45 °； BAM BAC MAC 90 °ABM 是直角三角形（ 3）將拋物線的頂點平移至點（m ，2m），則其解析式為yx22m m拋物線的不動點是拋物線與直線yx 的交點，x22mxm化簡得： x22

38、m1 x m22m0 2m 122m 4m 14 1 m2當 4m 1 0 時，方程 x22m1xm22m 0 總有實數(shù)根， 即平移后的拋物線總有不動點 m 1 4考點：二次函數(shù)的綜合應用（待定系數(shù)法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判別式）旋轉【知識梳理】1 圖形的旋轉知識點一旋轉的定義在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點 O 轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點 O 叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。知識點二旋轉的性質旋轉的特征：（ 1）對應點到旋轉中心的距離相等； （ 2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（ 3）旋轉前后的圖形全等。理解以下幾點：（ 1） 圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（ 2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。 （ 3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點三利用旋轉性質作圖旋轉有兩條重要性質： （ 1）任意一對對應點