函數(shù)的單調(diào)性75427

1、函數(shù)的單調(diào)性一，函數(shù)的單調(diào)性的概念，概念：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，稱為的單調(diào)增區(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，稱為的單調(diào)減區(qū)間單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間，單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的性質(zhì)若函數(shù)在其定義域內(nèi)的兩個區(qū)間，上都是增（減）函數(shù)，一般不能簡單認(rèn)為在上是增（減）函數(shù)，單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的寫法對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題，因此在寫單調(diào)區(qū)間時，包括端點(diǎn)可以，不包括也可以，但對于某些點(diǎn)無意義時單調(diào)區(qū)間就不包括這些點(diǎn)二，函

2、數(shù)單調(diào)性的證明，取值：設(shè)，為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值，且；，作差變形：作差，并通過因式分解，配方，有理化等方法，向有利于判斷差值符號的方向變形；，定號：確定差值的符號，當(dāng)符號不確定時，可考慮分類討論；，判斷：根據(jù)定義作出結(jié)論注意：，的三個特征一定要予以重視函數(shù)單調(diào)性定義中的，有三個特征：一是任意性，即任意取，任意二字決不能丟掉二是有大小，通常規(guī)定三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間三者確一不可例討論函數(shù)的單調(diào)性例證明在定義域上是減函數(shù)三，函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，定義法：直接運(yùn)用單調(diào)性的概念判斷，直接法：運(yùn)用已知的結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性如一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出了解以下結(jié)論，對于直接判

3、斷函數(shù)的單調(diào)性有好處：（） 函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反（） 當(dāng)恒為正或恒為負(fù)時，函數(shù)與的單調(diào)性相反（） 在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)等，圖象法：即根據(jù)函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性例判斷函數(shù)在其定義域的單調(diào)性四，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的討論方法中間變量法增增減減增減增減增減減增中間變量法可簡化為同增異減即把通過中間變量分解為兩個函數(shù)：外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，內(nèi)外函數(shù)同增減時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，內(nèi)外函數(shù)增減相異時，復(fù)合函數(shù)就為減函數(shù)例已知，試討論函數(shù)的單調(diào)性。例判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：（） （）五，單調(diào)區(qū)間的求法，圖象法：能作出圖象的函數(shù)我們可通過觀察確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例求函數(shù)的單調(diào)區(qū)

4、間，定義法：有些函數(shù)不能作出圖象，也不能觀察出單調(diào)區(qū)間，只有用定義法來求其單調(diào)區(qū)間例求的單調(diào)區(qū)間注：其中用到了相等分界法，單調(diào)區(qū)間的間斷點(diǎn)的取值有以下幾種方式：（） 使分母為零的自變量的取值（） 使絕對值號內(nèi)的式子為零的自變量的取值（） 二次函數(shù)的對稱軸（） 定義法中與相等時的取值（相等分界法）六，函數(shù)的單調(diào)性的可逆性函數(shù)的單調(diào)性具有可逆性，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則且時，有類似地，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則且時，有利用函數(shù)的單調(diào)性的可逆性，可以脫去某些函數(shù)記號，有可以解某些不等式例解不等式例已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且滿足，若，則的符號是否確定？反過來若，則是否一定大于零？例若是定義在上的減函數(shù)，且對一

5、切，都有（）求的值；（）若，解不等式。七，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用利用函數(shù)的單調(diào)性可解決有關(guān)方程，不等式，值域等問題例（）解方程(2)求函數(shù)的值域(3)解不等式八，抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷沒有具體的函數(shù)解析式的函數(shù)，我們稱為抽象函數(shù)，根據(jù)題目研究抽象函數(shù)的單調(diào)性，是一類重要的題型，解法主要是采用定義法例已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，且（為常數(shù)）在區(qū)間上是減函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性例設(shè)函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，令（） 求證：在上是增函數(shù)（） 若，求證：九，利用函數(shù)的單調(diào)性求極值應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性，可以求函數(shù)的值域，解決與值域有關(guān)的問題，求函數(shù)的極值例已知函數(shù)對任意，總有，且當(dāng)時，（） 求證是上的減函數(shù)（） 求在，上的最大值與最小值例如圖，在矩形中，已知，在，上，分別截取，設(shè)四邊形的面積為（） 寫出四邊形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式；（） 求當(dāng)為何值時取得最大值，最大值是多少？練習(xí)： 函數(shù)的值域?yàn)?函數(shù)的遞減區(qū)間為 已知函數(shù)，且，試確定的符號 設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且（） 求證：；（） 若且，求的取值范圍 已知，證明是定義域上的減函數(shù)，且滿足等式的實(shí)數(shù)值至多只有一個 已知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對定義域內(nèi)任意，都有且，求使不等式成立的的取值范圍 是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)