1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)

1、aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則 為常數(shù)為常數(shù).0)( xf)(xf設函數(shù)設函數(shù)y=f(x) 在在 某個區(qū)間某個區(qū)間 內(nèi)可導，內(nèi)可導，f(x)為為增函數(shù)增函數(shù)f(x)為為減函數(shù)減函數(shù)復習一、函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關系復習一、函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關系yxaob yf x(圖一圖一)0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bf極大值極大值f(b)點點a a叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的極小值點極小值點，f(a a)叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的極小值極小值.點點b b叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的極大值

2、點極大值點，f(b b)叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的極大值極大值.極小值點極小值點、極大值點極大值點統(tǒng)稱統(tǒng)稱極值點極值點，極大值極大值和和極小值極小值統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值極值(極值即極值即峰谷處峰谷處的值）的值）.極小值極小值f(a)復習二、函數(shù)的極值定義復習二、函數(shù)的極值定義(2)求導數(shù)f (x)；(3)求方程f (x）=0的根； (4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格檢查f (x)在方程根左右的符號如果左正右負（+ -），那么f(x)在這個根處取得極大值； 如果左負右正（- +），那么f(x)在這個根處取得極小值；(1) 確定函數(shù)的定義域；復習三、用導數(shù)法求解函數(shù)極值的復習三、用導數(shù)法求

3、解函數(shù)極值的步驟：步驟：4復習四、知識回顧最值問題復習四、知識回顧最值問題 一般地，設函數(shù)一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數(shù)存在實數(shù)M滿足：滿足： 1最大值最大值 （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最大值最大值 52最小值最小值 一般地，設函數(shù)一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數(shù)存在實數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) =

4、M那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最小值最小值 新課導入新課導入 觀察下圖，點觀察下圖，點a與點與點b處的函數(shù)值，與他處的函數(shù)值，與他們附近點的函數(shù)值有什么關系？們附近點的函數(shù)值有什么關系？ab)(bf)(af觀察下圖中的曲線觀察下圖中的曲線 a點的函數(shù)值點的函數(shù)值f(a)比其他點的函比其他點的函數(shù)值都大數(shù)值都大b點的函數(shù)值點的函數(shù)值f(b)比其他比其他點的函數(shù)值都小點的函數(shù)值都小 在某些問題中，往往關心的是函數(shù)在在某些問題中，往往關心的是函數(shù)在整個定義域區(qū)間上，哪個值最大或最小的整個定義域區(qū)間上，哪個值最大或最小的問題，這就是我們通常所說的問題，這就是我們通常所說的最值問題最值

5、問題. 導數(shù)在研究函數(shù)中的應導數(shù)在研究函數(shù)中的應用用二、新課最大值與最小值 觀察右邊一個定義在觀察右邊一個定義在區(qū)間區(qū)間a,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)的圖象，你能找出函數(shù)的圖象，你能找出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間）在區(qū)間a，b上上的最大值、最小值嗎？的最大值、最小值嗎？發(fā)現(xiàn)圖中， _是極小值，_是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值是_。f(x2)f(b)f(x1)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6f(x3)f(x5)f(x4) f(x6)f(a) 極值反映的是函數(shù)在某一點附近的極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域

6、的性質(zhì)性質(zhì).但是，在解決實際問題或在研究函但是，在解決實際問題或在研究函數(shù)性質(zhì)時，往往更關心函數(shù)在某個區(qū)間數(shù)性質(zhì)時，往往更關心函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值最大，哪個值最小？上哪個值最大，哪個值最小？探究探究 你能找出函數(shù)你能找出函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a，b上的最大值上的最大值最小值嗎？最小值嗎？ 從圖從圖3.3-13可以看出，函數(shù)可以看出，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的最大值是上的最大值是f(a)，最小值是最小值是 .3f x xfy abxyoa1x2x3xo4x5xbxy xfy 143 . 3圖153 . 3圖 在上圖中，觀察在上圖中，觀察a,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)的圖

7、像，它們在的圖像，它們在a,b上是否有最大值上是否有最大值最小值？如果有，分別是多少？最小值？如果有，分別是多少？ 一般地，如果在區(qū)間一般地，如果在區(qū)間a,b上函上函數(shù)數(shù)y=f(x)的圖像是一條的圖像是一條連續(xù)不斷連續(xù)不斷的的曲線，那么它必有曲線，那么它必有最大值最大值和和最小值最小值.觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的最值嗎？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在開區(qū)間內(nèi)在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)不一定有最不一定有最大值與最小大值與最小值值. 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上的連續(xù)函上的連續(xù)函數(shù)必有最大數(shù)必有最大值與最小值值與最

8、小值因此：該函數(shù)沒因此：該函數(shù)沒有最值。有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函數(shù)在如何求出函數(shù)在a,b上的最值？上的最值？一般的如果在區(qū)間，一般的如果在區(qū)間，a,b上函數(shù)上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。必有最大值和最小值。 (2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)(端點處端點處) 比較比較,其中最大的一個為最大值，最小的其中最大的一個為最大值，最小的 一個最小值一個最小值. 求求f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的最值的

9、步驟：上的最值的步驟：(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值內(nèi)極值(極大值或極小值極大值或極小值)；注意注意:1.在定義域內(nèi)在定義域內(nèi), 最值唯一最值唯一;極值不唯一極值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. 21233,3fxxx 解：1、求出所有導數(shù)為、求出所有導數(shù)為0的點；的點；2、計算；、計算；3、比較確定最值。、比較確定最值。3( )6123 3f xxx例1:求函數(shù)在， 上的最大值與最小值. 0,22fxxx 令解得：或(2)22( 2)10(3)15,( 3)3ffff 又，3( )6 123310.f xxx函數(shù)在，上的最大值為22，最小值為題型：求函數(shù)

10、的最大值和最小值題型：求函數(shù)的最大值和最小值 求函數(shù)求函數(shù) 在在 0,3上的最大值與最小值上的最大值與最小值. . 31f x =x - 4x + 43 42.33:4,0,3,x = 2,f x =1x -4x+43f 解 由例 可知 在上 當時 f 0 = 4,f 3 =1,又由于因此，函數(shù)因此，函數(shù)f(x)在在0,3上的最大值上的最大值是是4，最小值是，最小值是 .43有極小值，并且極小值為有極小值，并且極小值為oxy23 4x4x31xf3163.1圖圖 上述結論可從函數(shù)上述結論可從函數(shù)f(x)在在0,3上的上的圖像得到直觀的驗證圖像得到直觀的驗證. 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x2-4x+

11、6在區(qū)間在區(qū)間1，5內(nèi)的極值與最值內(nèi)的極值與最值 .解解: f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2.x1（1，2）2（2，5）50y-+3112y 故函數(shù)故函數(shù)f(x) 在區(qū)間在區(qū)間1，5內(nèi)的極小內(nèi)的極小值為值為3，最大值為，最大值為11，最小值為，最小值為. 求函數(shù)求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間在區(qū)間-2,2上上的最大值與最小值的最大值與最小值.動動手動動手解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y當當x變化時變化時, 的變化情況如下表的變化情況如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2y

12、 -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13從上表可知從上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.練一練：練一練：函數(shù)函數(shù) y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的上的最大值為最大值為 ,最小值為最小值為 .分析分析: 由由 f (x)=3x +6x9=0,所以，區(qū)間所以，區(qū)間4 , 4 端點處的函數(shù)值為端點處的函數(shù)值為 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1 函數(shù)值為函數(shù)值為f (3)=27, f (1)=576-5當當x變化時，變化時，y 、 y的變化情況如下表：的變化情況如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0

13、y2027-576比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在4 , 4 上的最大上的最大值為值為 f (4) =76，最小值為，最小值為 f (1)=5練習：練習：求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 42, 2x54-5422-102-18aa-40例5 求函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間-1，4內(nèi)的最值。 故函數(shù)f(x) 在區(qū)間-1，4內(nèi)的最大值為8，最小值為-1. 解:f (x)=2x-4令f (x

14、)=0，即2x-4=0，得x=2x-1（-1，2）2（2，4）4 y，0y-+83-1例5、求函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間-1，4內(nèi) 的最大值和最小值 另解: 將二次函數(shù)f(x)=x2-4x+3配方，利用二次函數(shù)單調(diào)性處理1下列說法正確的是( )A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f(x) ( )A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能課堂練習DA3.函數(shù) ，在1，1上的最小值為( )A.0 B.2 C.1 D.4

15、32111432yxxx1312A求下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。4,2,71862)() 1 (23xxxxxf練 習最大值 f (1)=3，最小值 f (3)= 61解:.cos21)(xxf 當x變化時, 的變化情況如下表:yy , 從上表可知,最大值是,最小值是0.2 , 0sin21y2上的最大值與最小值在區(qū)間、求函數(shù)xx令 ,解得0)( xf.34,3221 xxx 0f(x) )(xf )32, 0( )34,32( 32 34 )2 ,34( 2+-+000233 2332 的取值范圍。三個交點，求函數(shù)的圖像有相異與、直線axxxfay3)()3(3。的圖像有三個相異交

16、點與時，所以當是極小值是極大值，可得單調(diào)區(qū)間和極值點及由解：xxyayaffxfxfxxxxf3222) 1 (2) 1(0)(0)() 1)(1(333)(32的取值范圍。恒成立，求實數(shù)時，當、設mmxfxxxxxf0)(2 , 25221)(4232022年4月1日4時12分37 2 2、 函數(shù)函數(shù)y=xy=x3 3-3x-3x2 2，在，在2 2，4 4上的上的最大值為最大值為( )( )A.-4 B.0 C.16A.-4 B.0 C.16D.20D.20C C練練 習習2022年4月1日4時12分384153.已知函數(shù)y=-x2-2x+3在區(qū)間a,2上的最大值為 ，則a等于（ ）A.

17、B. C. D. 或2321212321典型例題典型例題 322( )262 2371a2( )2 2f xxxaf x例題 ：已知函數(shù)在， 上有最小值求實數(shù) 的值；求在， 上的最大值。反思：本題屬于逆向探究題型：反思：本題屬于逆向探究題型： 其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數(shù)值其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數(shù)值大小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。大小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。 21( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或( 240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)( )2, 2fx由知在的 最 大 值 為 3.(0),fa(2)

18、8fa 21x402fxx3討論函數(shù)（ ）=4x在， 的最值情況。動手試試動手試試2( )1281(21)(61)fxxxxx 1( )( )6f xf最大值沒有最小值 應用應用( 2009年天津（文）21T )處的切線的斜率；設函數(shù) 其中 ,131223Rxxmxxxf. 0m（1）當 時，求曲線 在點 1m xfy 1, 1 f（2）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值。 xf答:（1）斜率為1; .1 ,1,1,1內(nèi)是增函數(shù)減函數(shù)，在內(nèi)是，在mmmmxf ;313223mmxf極小 313223mmxf極大(2)（0404浙江文浙江文2121）（本題滿分）（本題滿分1212分）分）已知已知a a為實

19、數(shù)，為實數(shù)，（）求導數(shù)）求導數(shù) ；（）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若）若 在（在（-，-2-2和和22，+）上）上都是遞增的，求都是遞增的，求a a的取值范圍。的取值范圍。)(4()(2axxxf )(xf 0)1( f)(xf)(xf2( )324fxxax12a maxmin9450( 1),( )2327ffff 2( )32402,2fxxax兩個根在22a 2022年4月1日4時12分43知識要點：知識要點： .函數(shù)的最大與最小值函數(shù)的最大與最小值 設設y = f(x)是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間a , b上的函數(shù)上的函數(shù),y = f(

20、x)在在(a , b)內(nèi)有導數(shù)內(nèi)有導數(shù),求函數(shù)求函數(shù)y = f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a , b上的最大最小值上的最大最小值,可分兩步進行可分兩步進行:求求y = f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值內(nèi)的極值; 將將y = f(x)在各極值點的極值與在各極值點的極值與f(a), f(b)比較，比較，其中最大的一個為最大值其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值。最小的一個為最小值。 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a , b上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增(減減),則則f(a) 為最小為最小(大大)值值,f(b)為最大為最大(小小)值。值。 小結小結 （1）極值是僅對某一點的附近）極值是僅對某一點的附近而

21、言，是在而言，是在局部局部范圍內(nèi)討論問題，范圍內(nèi)討論問題，而最值是對而最值是對整個整個定義域而言，是在定義域而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題整體范圍內(nèi)討論問題 . 極大（小）值與極大（?。┲禈O大（?。┲蹬c極大（小）值的區(qū)別是什么？的區(qū)別是什么？ （2）函數(shù)在其定義域上的最大值）函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個，而函數(shù)的極與最小值至多各有一個，而函數(shù)的極值則可能不止一個，也可能沒有極值值則可能不止一個，也可能沒有極值,并且極大值（極小值）不一定就是最并且極大值（極小值）不一定就是最大值（最小值）大值（最小值）.知識要點知識要點 一般地，求函數(shù)一般地，求函數(shù)y=f(x)在在a,b上的最大上

22、的最大值與最小值的步驟如下：值與最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)）求函數(shù)y=f(x)在在a,b內(nèi)的極值內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)）將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的的各極值與端點處的函數(shù)值函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值最大值，最小的一個是最小值.知識拓展知識拓展求函數(shù)的最值時求函數(shù)的最值時,應注意應注意: 閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最上的連續(xù)函數(shù)一定有最值值.開區(qū)間開區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最值值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極值必是函則此極值必是函數(shù)的最值數(shù)的最值.課堂小結課堂小結

23、 一般地，求函數(shù)一般地，求函數(shù)y=f(x)在在a,b上的最大上的最大值與最小值的步驟如下：值與最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在在a,b內(nèi)的極值內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)）將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的的各極值與端點處的函數(shù)值函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值最大值，最小的一個是最小值. 函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在整體范圍內(nèi)討對整個定義域而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題，是一個整體性的概念論問題，是

24、一個整體性的概念.高考鏈接高考鏈接（全國卷全國卷）已知已知a 0 ，函數(shù)函數(shù)f(x) = （ -2ax ） 2xxe ，當，當X為何值時，為何值時，f(x)取得最小值？取得最小值？證明你的結論證明你的結論. 解解:對函數(shù)對函數(shù) 求導數(shù)得求導數(shù)得 ,f(x)2xf (x) = (x +2x-2ax-2a)e 令令 解得解得 f (x) = 0, 2212x = a-1-a +1,x = a-1+a +1當當x變化時變化時,f(x),f(x) 的變化如下表的變化如下表:x),(1x1x),(21xx2x),(2x)(xf )(xf + 0 0 +遞增極大值遞減 極小值 遞增 所以當所以當 時，時，

25、f(x)取得最小值取得最小值.112aax1( )21(0),f xxxx( )f x（2008安徽文）安徽文）設函數(shù)設函數(shù) 則則 （ ） A有最大值有最大值 B有最小值有最小值 C是增函數(shù)是增函數(shù)D是減函數(shù)是減函數(shù)B隨堂練習隨堂練習1. 已知已知f(x)=2x3-6x2+m（m為常數(shù)），在為常數(shù)），在-2 , 2上有最大值上有最大值3，函數(shù)在，函數(shù)在-2 , 2上的最小值上的最小值_.-372. 函數(shù)函數(shù)f(x)=x3+ax+b，滿足，滿足f(0)=0，且在，且在x=1時取得極小值，則實數(shù)時取得極小值，則實數(shù)a的值為的值為_.-33. 函數(shù)函數(shù)f(x)=x-3x+1在閉區(qū)間在閉區(qū)間-3,0上的上的最大值、最小值分別是（最大值、最小值分別是（ ）A. 1，1 B. 1，-17 C. 3，-17 D. 9，-19C4. 函數(shù)函數(shù)f(