等腰三角形的概念和性質(zhì)

1、細(xì)心觀察 積極探索在觀察中發(fā)現(xiàn)特點(diǎn) 在探索中提高能力 讓我們一起 走進(jìn)美麗的數(shù)學(xué)世界A AC CB B 的三角形叫等腰三角形的三角形叫等腰三角形. . 腰腰腰腰底邊底邊底角底角底角底角頂角頂角一、一、 相等的兩邊都叫做相等的兩邊都叫做腰腰，另一邊叫做，另一邊叫做底邊底邊，兩，兩腰的夾角叫做腰的夾角叫做頂角頂角，腰和底邊的夾角叫做，腰和底邊的夾角叫做底角底角. .有兩邊相等有兩邊相等1.1.以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng)以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng), ,可以構(gòu)成等腰三角可以構(gòu)成等腰三角形的是形的是( )( )(A A)4,9,4 (B)3,3,1 (C)2,4,2 (D)6,1,12. .已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分

2、別是已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3 3和和7,7,則它則它的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是( )( )(A)13 (B)17 (C) 13或17 (D)不確定不確定CB3、已知一等腰三角形三邊分別為已知一等腰三角形三邊分別為3x-1、 x+1、5，試求，試求x的值。的值。做一做做一做1 1： (1)(1)把準(zhǔn)備的等腰三角形紙片拿出來；把準(zhǔn)備的等腰三角形紙片拿出來；(2)(2)把三角形的頂角頂點(diǎn)記為把三角形的頂角頂點(diǎn)記為A A，底角頂點(diǎn)記為，底角頂點(diǎn)記為B B，C C。(3)(3)把三角形對(duì)折，讓兩腰把三角形對(duì)折，讓兩腰ABAB，ACAC重疊在一起，折重疊在一起，折痕為痕為ADAD。 二二. .等腰三角形性質(zhì)的

3、探索等腰三角形性質(zhì)的探索BACDABCDAB(C)D通過折疊通過折疊你發(fā)現(xiàn)什你發(fā)現(xiàn)什么？么？ 等腰三角形等腰三角形是是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在頂角平分線所在的直線的直線是它的對(duì)是它的對(duì)稱軸。稱軸。 重合的線段：重合的線段：ABABACACBDBDCDCDADADADAD重合的角重合的角BADCADBCADBADCBACD 把剪出的等腰三角形沿折痕對(duì)折，把剪出的等腰三角形沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角找出其中重合的線段和角(1)(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形等腰三角形是軸對(duì)稱圖形(2)B = C,(2)B = C,(3) BD = CD,(3) BD = CD,(4)ADB=ADC

4、= 90(4)ADB=ADC= 90, ,(5)BAD = CAD (5)BAD = CAD ，CABD問題問題1:1:上述結(jié)論（上述結(jié)論（2 2）用文字如何表述？）用文字如何表述？等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等. .問題問題2:2:上述結(jié)論上述結(jié)論3 3、4 4、5 5用一句話可以歸納為什么？用一句話可以歸納為什么？等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合邊上的高互相重合. .即即兩底角相等兩底角相等即即AD為底邊上的中線為底邊上的中線即即AD為底邊上的高為底邊上的高即即AD為頂角平分線為頂角平分線ACB 性質(zhì)性質(zhì)1

5、1：等腰三角形的兩個(gè)底等腰三角形的兩個(gè)底角相等角相等 ( (簡(jiǎn)寫簡(jiǎn)寫“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”) )在ABC中AB=ACAB=ACBBCC 注意：注意：在在一個(gè)一個(gè) 三角形中三角形中,等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角. 性質(zhì)性質(zhì)2 2：等腰三角形頂角的平分線、底邊等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。上的高、底邊上的中線互相重合。（簡(jiǎn)稱（簡(jiǎn)稱“三線合一三線合一”）CAB 1 2D D一般的三角一般的三角形有這種性形有這種性質(zhì)嗎？質(zhì)嗎？要注意是指頂角要注意是指頂角的平分線、底邊的平分線、底邊上的高、底邊上上的高、底邊上的中線這三線重的中線這三線重合。合。在在ABCABC中中（1 1）AB=

6、ACAB=AC，ADBCADBC， _=_ _=_，_=_=_；（2 2）AB=ACAB=AC，ADAD是中線，是中線， =，_；（3 3）AB=ACAB=AC，ADAD是角平分線，是角平分線， _ _，_=_. _=_. CAB 1 2D D等腰三角形等腰三角形“三線合一三線合一”的性質(zhì)的性質(zhì)用符號(hào)語言表示為：用符號(hào)語言表示為：1 12 2B BC C1 12 2ADADBCBCADADBCBCBDBDCD(2)(2)有一個(gè)角是有一個(gè)角是6060的等腰三角形，的等腰三角形，其它兩個(gè)內(nèi)角也為其它兩個(gè)內(nèi)角也為6060。（。（ ） 知識(shí)鞏固：知識(shí)鞏固：判斷下列語句是否正確判斷下列語句是否正確. .

7、(1)(1)等腰三角形的角平分線、中線和高等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合互相重合.( ).( )(3)(3)等腰三角形的底角都是銳角（等腰三角形的底角都是銳角（ ） (4)(4)鈍角三角形不可能是等腰三角形鈍角三角形不可能是等腰三角形 。 （ ） 解 已知已知:在在ABC中，中，AB=AC，B=800。 求求C和和A的大小。的大小。AB=ACAB=ACC=BC=B=80=800 0又又A+B+C=180A+B+C=1800 0A=180A=1800 0-B-B-CC( (已知已知) )( (等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角) )=180=1800 0-80-800 0-80-800 0( (等式的

8、性質(zhì)等式的性質(zhì)) )答：答：C C是是80800 0，A A是是20200 0。A ABC=20=200 0在等腰在等腰ABCABC中，頂角為中，頂角為8080。，底角底角內(nèi)角內(nèi)角。則另外個(gè)角的度數(shù)是則另外個(gè)角的度數(shù)是 ?；蚧?分類討論分類討論 如圖如圖, ,在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，AD=AE,AD=AE,求證：求證：BD=CEBD=CEABCDE方法一：方法一：利用等腰三角形的性質(zhì)利用等腰三角形的性質(zhì)等腰對(duì)等角等腰對(duì)等角方法二：方法二：全等三角形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì) 如圖在如圖在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，AD=AE,AD=AE,求證：求證：BD=CEB

9、D=CEABCDEF F證明：證明：作作AFBC于點(diǎn)于點(diǎn)FAB=ACBF=CF(三線合一三線合一)又又AD=AE DF=EF (三線合一三線合一)BD=BF-DF =CF-EF=CE即即BD=CE 如圖在如圖在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，AD=AE,AD=AE,求證：求證：BD=CEBD=CEABCDE證明：證明：AD=AEAB=ACB=CADE=AED (等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角)ADB=1800-ADE=1800-AED=AEC在在ABD與與AEC中中B=CADB=AECAB=ACABD AEC (AAS)BD=CE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)解：解： AB=AC

10、 AB=AC（已知）（已知） B=C B=C（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） 又又BAC=120BAC=120B=C= 30B=C= 30 又又BD=AD(BD=AD(已知已知) ) BAD=B= 30 BAD=B= 30（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） 同理同理 CAE =C= 30 CAE =C= 30 DAE =BAC DAE =BACBADBADCAECAE =120 =12030303030 =60 =60 變式練習(xí)：如圖變式練習(xí)：如圖, ,在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=120BAC=120，點(diǎn)，點(diǎn)D D、E E是底邊的兩點(diǎn)，是底邊的兩點(diǎn)，且且BD=ADBD=AD，CE=AECE=AE，求求DAEDAE的度數(shù)。的度數(shù)。ABCDE(1)(1)本節(jié)課里你學(xué)到了什么？本節(jié)課里你學(xué)到了什么？(2)(2)等腰三角形中常作的輔助線等腰三角形中常作的輔助線: :作頂角的平分線、底邊上的高或底邊上的中線作頂角的平分線、底邊上的高或底邊上的中線等腰三