六年級(jí)奧數(shù)圖形題

1、 六年級(jí)奧數(shù)圖形題 2 1、正方形ABCD面積為1-&羯G分別是BC、DC和AD邊的中點(diǎn),求陰影自吩的面積是多少？ 3BPS. 2W=t 1、如圖,M5C中,如：口3=2:1,犯;EC=31CF.FAAA,那么工ER 是的面積的幾分之幾？ 【分析】如古國(guó)所示,連族月C.DC-8-7-1: 城指勾較定凄AC=LZJ:-LC*=.4B1-BC2,所以況=121+1;-8=81?2C=9. 那么4邊號(hào)ABCD的總輛等于遍 21十那9-42,即青局部的臺(tái)積為 127842=54. 分析醺朝財(cái)線(xiàn)如下羽 根據(jù)“金字塔藉似曷僵針：BD=2:3: 111X 4520 2、 3、 【分析】2-L上士344553

2、12 Aa) GF r.GP 工 【分析】k 以 D EC 人如圖,兩個(gè)長(zhǎng)方形大小相同？長(zhǎng)和寬分別為12和盯求陰影局部的12 1、如圖,在正方形川歐笫中,F、產(chǎn)分別在比與上.且CF-2DFf連接斯,以產(chǎn),本膠于點(diǎn)G,過(guò)G作孫,即得到兩個(gè)正方形.3/和正方形PCGf設(shè)正方形M2的面積為X正方形PCXG的面積為邑？那么乎邑=- K圖中的數(shù)字分別表示兩個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)直角三角冊(cè)的面積,另一個(gè)三角刑的面積 6、如果一個(gè)正方形的周長(zhǎng)和一個(gè)圓的周長(zhǎng)相等,那么正方形的面積是圓面積的 解析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,那么正方形的周長(zhǎng)為4,圓形周長(zhǎng)也是4,那么圓形的半徑=4+2兀=2/氏正方形的面積=1x1=1圓形的面積

3、=Ttx2/兀2=4/兀正方形的面積是圓面積的：1+4/兀=兀/4=+4=%答:正方形的面積大約是圓面積的 7、一、相加法： 這種方法是將不規(guī)那么圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個(gè)根本規(guī)那么圖形,分別計(jì)算它們的面積,然后相加求出整個(gè)圖形的面積 例如,右圖中,要求整個(gè)圖形的面積,只要先求出上面半圓的面積,再求出下面正方形的面積,然后把它們相加就可以了如圖. 、相減法：這種方法是將所求的不規(guī)那么圖形的面積看成是假設(shè)干個(gè)根本規(guī)那么圖形的面積之差求陰影局部的面積,只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可如圖.4、 5、 【分析】說(shuō)可號(hào)業(yè)為x .例如,右圖,假設(shè) 三、直接求法：這種方法是根據(jù)條件,從整體出發(fā)直接求出不

4、規(guī)那么圖形面積如下頁(yè)右上圖,欲求陰影局部的面積,通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)底 四、重新組合法：這種方法是將不規(guī)那么圖形拆開(kāi),根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要,重新組合成一個(gè)新的圖形,設(shè)法 求出這個(gè)新圖形面積即可 例如,欲求右圖中陰影局部面積,可以把它拆開(kāi)使陰影局部分布在正方形的 求出其面積了如圖. 五、輔助線(xiàn)法：這種方法是根據(jù)具體情況在圖形中添一條或假設(shè)干條輔助線(xiàn),使不規(guī)那么圖形轉(zhuǎn)化成假設(shè)干個(gè)根本規(guī)那么圖形,然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖,求兩個(gè)正方形中陰影局部的面積.此題雖然可以用相減法解決, 但不如添加一條輔助線(xiàn)后用直接法作更簡(jiǎn)便如圖. 六、割補(bǔ)法：這種方法是把原圖形的一局部切割下來(lái)補(bǔ)在圖形中

5、的另一局部使之成為根本規(guī)那么圖形,從而使問(wèn) 題得到解決 .例如,如右圖,欲求陰影局部的面積,只需把右邊弓形切割下來(lái)補(bǔ)在左邊,這樣整個(gè)陰影局部面積恰是正方形面 積的一半如圖 2,高4的三角形,就可以直接求面積了如圖. 4個(gè)角處,這時(shí)采用相減法就可 七、平移法：這種方法是將圖形中某一局部切割下來(lái)平行移動(dòng)到一恰當(dāng)位置,使之組合成一個(gè)新的根本規(guī)那么圖形,便于求出面積. 例如,如上頁(yè)最后一圖,欲求陰影局部面積,可先沿中間切開(kāi)把左邊正方形內(nèi)的陰影局部平行移到右邊正方形內(nèi),這樣整個(gè)陰影局部恰是一個(gè)正方形如圖. 八、旋轉(zhuǎn)法：這種方法是將圖形中某一局部切割下來(lái)之后,使之沿某一點(diǎn)或某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補(bǔ)在另一圖形

6、的 一側(cè),從而組合成一個(gè)新的根本規(guī)那么的圖形,便于求出面積 例如,欲求上圖1中陰影局部的面積,可將左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180.,使A與C重合,從而構(gòu)成 如右圖2的樣子,此時(shí)陰影局部的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積如圖. 九、對(duì)稱(chēng)添補(bǔ)法：這種方法是作出原圖形的對(duì)稱(chēng)圖形,從而得到一個(gè)新的根本規(guī)那么圖形 個(gè)新圖形面積的一半.例如,欲求右圖中陰影局部的面積,沿AB在原圖下方作關(guān)于A(yíng)B為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)扇形ABD.弓 形CBD的面積的一半就是所求陰影局部的面積如圖. 十、重疊法：這種方法是將所求的圖形看成是兩個(gè)或兩個(gè)以上圖形的重疊局部,然后運(yùn)用“容斥原理 B=SA+SB-SAAB解

7、決.例如,欲求右圖中陰影局部的面積,可先求兩個(gè)扇形面積的和,減去正方形面積,由于陰影局部的面積恰好是兩個(gè)扇形重疊的局部如圖 .原來(lái)圖形面積就是這 等腰直角三角形,任意一條邊都可求出面積.斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的 面積 梯形對(duì)角線(xiàn)連線(xiàn)后,兩腰局部面積相等. 圓的面積占外接正方形面積的% 在三角形 ABC 中,點(diǎn) E 是 BC 邊上的中點(diǎn),點(diǎn) F 是中線(xiàn) AE 上的點(diǎn),其中 A 已 3AF,并且延長(zhǎng) BF 與 AC 相交于 D,如以下圖所示.假設(shè)三角形 ABC 的面積為 48,請(qǐng)問(wèn)三角形 AFD 的面積為多少 解答蛙解答蛙EE, ,因因 E是是BC中點(diǎn)出所以中點(diǎn)出所以5?S?WaA

8、EL即即5-3廠(chǎng)廠(chǎng)87又又S,掰掰E=&ck2$AEC,所以工所以工JBD=&ABC為為/ /I所所以以S?8=1,601、如圖,ABC 盅的長(zhǎng)方形, DEFO 的長(zhǎng)方形.那么,三角形 BCM 勺面積與三角形 DCMS 積之差是多少 解答：長(zhǎng)方形ABCG勺面積是28,長(zhǎng)方形 DEFG的面積是20, 梯形ABEF的面積是51,從圖中可以看出, 三角形BCM勺面積 與三角形DC胸積之差就等于梯形ABEF的面積減去長(zhǎng)方形 ABCG勺面積再減去長(zhǎng)方形DEFG勺面積,得到結(jié)果. 2、 如下圖,長(zhǎng)方形 ABCD3 的陰影局部白面積之和為 70,AB=8,AD=15 四邊形 BFGO 勺面積為 解答: 四邊

9、形EFGO勺面積=三角形AFC+三角形BDF-白色局部的面積三角形AFCE角形BDF土方形面積的一半 即60,白色局部的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影局部的面積,即 120-70=50所以四邊形的面積：60-50=10 3、4. 利用特殊規(guī)律 4、 L爭(zhēng)皿爭(zhēng)皿ABC,36 F 六年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第五講巧求面積 第五講巧求面枳第五講巧求面枳 本講主要介紹平面圖形面積的一些巧妙算法,首先看一個(gè)例子. 加圖,BC=CE,AD=CD,求三角形ABC的面積是三角形CDE面積的幾倍? 解： 連結(jié)BD,在A(yíng)ABD與ABCD中,由于A(yíng)DRC,又由于這兩個(gè)三角形的高是回一條高,所以S蹩SA5CD.在A(yíng)BCD與ZXDC

10、E中,由于BCXE,又由于這兩個(gè)三角弦也具有同一條高,所以有SABCD二SMDE.因此,SAABC=SAABDfSABCD=2sAeDE. 從以上的推導(dǎo)中看一看這兩個(gè)三角形面積之比與這兩個(gè)三角形的邊有什么關(guān)系. 由于三角形的面積=/X底X高,作DN垂直CE于N,AM垂直CE于M,如右 圖, SAA3C=|XBCXA SA6E=；XCEXDN, 為時(shí)巴 X 處 SDEIxCEXDN工EN2 在A(yíng)ACH與ZDCN中,有&C:CD=AM:DN.因此, 5AABC_=BC-AC 二CECD- 即,當(dāng)兩個(gè)三角形各有一個(gè)角,它們的和是180時(shí),這兩個(gè)三角形的面積之比等于分別夾這兩個(gè)角的兩條邊的長(zhǎng)度乘積之比

11、. 即,當(dāng)兩個(gè)三角形各有一個(gè)角,它們的和是180時(shí),這兩個(gè)三角形的面積之比等于分別夾這兩個(gè)角的兩條邊的長(zhǎng)度乘積之比. 類(lèi)似可知,當(dāng)兩個(gè)三角形各有一個(gè)角,它們相等時(shí),這個(gè)結(jié)論也成立. 解：在A(yíng)BC與ZXCDE中,由于A(yíng)DRC,所以AC=2CD,又由于BCXE,所以S ABC=2義1xSACDE=2SACDE. 管：ZkABC的面積是ACDE面積的2倍. 下面我們就應(yīng)用上面這個(gè)結(jié)論來(lái)看幾個(gè)具體例子. 例例1如圖,三角形ABC的面積為1,并且AE=3AB,BD=2BC,那么ABDE的面積是多少？ 解：在A(yíng)BDE與Z1ABC中,ZDBE+ZABC=180.由于A(yíng)E=3AB,所以BE=2AB.又由于BD

12、=2BC,所以SABDE=2X2XSAABC=4X1=4. 智：ABDE的面積是4. 于1平方厘米,那么ABC的面積是多少？ 解：在A(yíng)ABC與AADE中,NBAC=/DAE.由于A(yíng)B=6AD,AC=3AE,所以ABC=6X3XSAADE=18X1=18平方厘米. 答,AABC的面積為18平方厘米. 例例3如圖,將杷C的各邊都延長(zhǎng)一倍至7、B,、C連接這些點(diǎn),得到一個(gè)新的三角形ABC.假設(shè)ABC的面積為,求AA/BF積. 解,在,B,B與ZXABC中,ZAZBl+ZABC=180.由于A(yíng)B二AA,所以A,B二2AB,又由于=BC,所以S,B,B=1X2XSAABC=2SAABC=2. 同理S&U

13、C=2X1XSAABC=2. SAA,cA=2X1XSAABC=2. 所以S2UBrC二SAABfB+SABZCC+SZkVCA+SAABC=2+2+2+l 寄ABC,的面積為7. 例例4如以下圖,將凸四邊形ABCD的各邊都延長(zhǎng)一倍至Z、B、CLD,連接這些點(diǎn)得到一個(gè)新的四邊形A,BCD,假設(shè)四邊形ABCD 的面積為30平方厘米,那么四邊形ABCD的面積是多少？ 分析要求四邊形ABCD的面積,必須求出四邊形ABCD與四邊形ABLDy的關(guān)系,因而就要求出AA,B,B、ZXB,C,C、AC7DyD.卜D,A與四邊形ABCD的關(guān)系. 解：連結(jié)AC、BD. 在B,B與ABC中,NA,BB,+NABC=

14、180.由于A(yíng)二鄴,所以卜B=2AB?又由于BB=BC,所以有SAHB,B=2X1XS2kABC=2SABC. 同理有SAB,CC=2X1XSABCD=2SABCD例例2如圖,在/XABC中,AB是AD的6倍,AC是AE的3倍,如果AADE的面積生 甕DA=2XIXSAABD=2SAABD. 所以四辿形&CD二 S 也 aBCC+SACDD+SnID 彩 ABCD =2SAABC+2SABCD+2SADC+2SAASD+S 四邊刑ABCD -2(SAABC+SA2DC)+2CSECI+SAABD)+S 四邊用 ABCD 二禽四邊形 ABCD+玄四邊/ABCD+S 四邊蘢 ABCD 二 53 四

15、邊形 ABCD 那么 E 四邊形 ABCD 二如一 5 二 5(平方厘米). 笞工四邊用杷CD的面積為6平方厘米. 六年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第五講巧求面積習(xí)題 習(xí)題五習(xí)題五 1,直角三角形ABC中,AD=DB=4喔米,AE=1AC=形DBCE的面積.I以下圖 2,以下圖中的三角形祓分成了甲陰影局部、乙兩局部,相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度,求兩局部的回積之比. A+S：四邊 3厘米,求四邊 圖中的藪字是 3 .如上右圖,在A(yíng)ABC中,AD=1AB,BE=EF=FC,CG=|GA,求陰影局部面積占三角形ABC面積的幾分之幾？ 4 .如圖,BD=|BC,三角形ABC的面積是48平方厘米,AC=16厘米,杷二11厘米,三角

16、形DAE的面積是多少？ 5 .己知,AE=1AC,CD=7BC,BF=!AB,求三角形DEF的面積與三346 角形物的面積之比.以下圖 7.如以下圖所示,把ABC的BA邊延長(zhǎng)1倍到D點(diǎn),AC邊延長(zhǎng)3倍到F點(diǎn),CB邊延長(zhǎng)2倍到E點(diǎn),連接DE、EF、FD,得到ADEF.己知三角形DEF的面積為54平方厘米,求AABC的面積. 6.如以下圖所示,己知ABCD是長(zhǎng)方形,三角形DEF的面積之比. 票求三角形ABE與 9 .在A(yíng)ABC中jCD.AE.BF分別為K、AC、AB長(zhǎng)的7求SNNM與S州c之比. 10 .把邊長(zhǎng)為40厘米的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC截成兩個(gè)三角形,在兩個(gè)三角形內(nèi)按圖示剪下兩個(gè)內(nèi)接正

17、方形M,K這兩個(gè)正方形中面積較大的是哪一個(gè)？它匕已交小的正方形面積大多少平方厘米？ 10.解：為了方便,在以下圖中標(biāo)上字母八G、工Kl.Ml.K,連結(jié)DK.容易知道BE=4AB,MN=；AC,AC2=2AB2, 所以SM=BE2=9AB i2 SH=M1N?=9AC2=-AB2, 1.2Q SM-SN=-AB-AB2 114 =T7AB2=-X402=44-平方厘米5b5by8.如上右圖所示,S一0=1,積. 2 AE=ED,BD=-BC,求陰影的面 簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會(huì)計(jì)算面積,首先要能識(shí)別一些特別的圖形：正方形、三角形、 平行四邊形、梯形等等,然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面

18、積.如果我們把這些圖形畫(huà)在方格紙上,不但容易識(shí)別,而且容 易計(jì)算. 上面左圖是邊長(zhǎng)為4的正方形,它的面積是4X4=16格；右圖是3X5的長(zhǎng)方形,它的面積是3X5=15格. 上面左圖是一個(gè)銳角三角形,它的底是5,高是4,面積是5X4+2=10格；右圖是一個(gè)鈍角三角形,底 是4,高也是4,它的面積是4X4+2=8格.這里特別說(shuō)明,這兩個(gè)三角形的高線(xiàn)一樣長(zhǎng),鈍角三角形的高線(xiàn)有可能在三角形的外面. 上面左圖是一個(gè)平行四邊形,底是5,高是3,它的面積是5X3=15格；右圖是一個(gè)梯形,上底是4, 下底是7,高是4,它的面積是 4+7X4+2=22格. 上面面積計(jì)算的單位用“格,一格就是一個(gè)小正方形.如果小

19、正方形邊長(zhǎng)是1厘米,1格就是1平方厘米； 如果小正方形邊長(zhǎng)是1米,1格就是1平方米.也就是說(shuō)我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位,1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中,我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積,省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位 一、三角形的面積 用直線(xiàn)組成的圖形,都可以劃分成假設(shè)干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是： 三角形面積=底x高+2. 這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的根底.因此我們不僅要掌握這一公式,而且要會(huì)靈活運(yùn)用. 例1右圖中BD長(zhǎng)是4,DC長(zhǎng)是2,那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢 解：三角形ABD與三角形ADC勺高相同. 三角形ABD面積=4X高+2. 三角形ADC

20、面積=2X高+2. 因此三角形ABD的面積是三角形ADC積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底,這條邊上的高就 是三角形的高,所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底,和相應(yīng)的三條高 例2右圖中,BD,DEL,EC的長(zhǎng)分別是2,4,是線(xiàn)段AE的中點(diǎn),三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積. 解：BC=2+4+2=8. 三角形ABC面積=8X4+2=16. 我們把A和D連成線(xiàn)段,組成三角形ADE它與三角形ABC的高相同,而DE長(zhǎng)是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理,EF是AE的一半,三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半. 這樣一來(lái),三角形DFE的面積

21、是三角形ABC面積的;. 例3右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影局部面積 解：ABEF也是一個(gè)長(zhǎng)方形,它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影局部高都與 而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來(lái),就是FE的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是 FEXBE-2, 它恰好是長(zhǎng)方形ABEF面積的一半. 同樣道理,FECD&是長(zhǎng)方形,它內(nèi)部三個(gè)三角形陰影局部面積之和是它的面積的一半 因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形ABC面積的一半,也就是 20X12+2=120. 通過(guò)方格紙,我們還可以從另一個(gè)途徑來(lái)求解.當(dāng)我們畫(huà)出中間兩個(gè)三角形的高線(xiàn),把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直 角三角形后,圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半,而長(zhǎng)方形ABCD

22、!由這假設(shè)干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所有這些 直角三角形陰影局部白面積之和是長(zhǎng)方形ABC面積的白一半. 例4右圖中,有四條線(xiàn)段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道,還有兩個(gè)角是直角,那么四邊形ABCD陰影局部的面積是多少 解：把A和C連成線(xiàn)段,四邊形ABCM分成了兩個(gè),三角形ABC三角形ADC. 對(duì)三角形ABC來(lái)說(shuō),AB是底邊,高是10,因此 面積=4X10+2=20. 對(duì)三角形ADC來(lái)說(shuō),DC是底邊,高是8,因此 面積=7X8+2=28. 四邊形ABCD面積=20+28=48. BE一樣長(zhǎng). 這一例題再一次告訴我們,鈍角三角形的高線(xiàn)有可能是在三角形的外面 例5在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF線(xiàn)段AE=3,DE2,

23、求三角形BEF的面積. 解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的,但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積 三角形ABE面積=3X6X2=9. 三角形BCF面積=6X(6-2)+2=12. 三角形DEF面積=2X(6-3)+2=3. 我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出： 三角形BEF面積=6X6-9-12-3=12. 例6在右圖中,ABC虛長(zhǎng)方形,三條線(xiàn)段白長(zhǎng)度如下圖,M是線(xiàn)段DE的中點(diǎn),求四邊形ABMD(陰影局部) 的面積. 解：四邊形ABMD,的太少,直接求它面積是不可能的,我們?cè)O(shè)法求出三角形DC*三角形MBEW面積, 然后用長(zhǎng)方形ABC而面積減去它們,由此就可以求得四邊

24、形ABMD勺面積. 把M與C用線(xiàn)段連起來(lái),將三角形DCE成兩個(gè)三角形.三角形DCE的面積是7X2+2=7. 由于M是線(xiàn)段DE的中點(diǎn),三角形DMCW三角形MC前積相等,所以三角形MCEw積是7+2=. 由于BE=8是CE=2的4倍,三角形MBE與三角形MC*一樣,因此三角形MBE積是 X4=14. 長(zhǎng)方形ABCD面積=7X8+2=70. 四邊形ABMD面積=70-7-14=49. 二、有關(guān)正方形的問(wèn)題 先從等腰直角三角形講起. 一個(gè)直角三角形,它的兩條直角邊一樣長(zhǎng),這樣的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角90度,還有兩個(gè)角都是45度,通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形. 兩

25、個(gè)一樣的等腰直角三角形,可以拼成一個(gè)正方形,如圖a.四個(gè)一樣的等腰直角三角形,也可以拼成一個(gè) 正方形,如圖b. 一個(gè)等腰直角三角形,當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng),從圖a知,它的面積是 直角邊長(zhǎng)的平方+2. 當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng),從圖b知,它的面積是 解： 從前面的圖形上可以知道,前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形,等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半,第一個(gè)等腰直角三角形的面積是斜邊的平方+4 例7右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成 .第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8.后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng),恰好是前 一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半,求這個(gè)圖形的面積 8X8+2=32. 這一個(gè)

26、圖形的面積是 32+16+8+4+2+1=63. 例8如右圖,兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起,小長(zhǎng)形的寬是2,A點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn),并且三角形ABC是等腰 直角三角形,那么圖中陰影局部的總面積是多少 解：為了說(shuō)明的方便,在圖上標(biāo)上英文字母D,E,F,G. 三角形ABC的面積=2X2+2=2. 三角形ABCADEEFG都是等腰直角三角形. 三角形ABC的斜邊,與三角形ADE的直角邊一樣長(zhǎng),因此三角形ADE面積=ABC面積X2=4. 三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形EFG面積=ABC0積+2=1. 陰影局部的總面積是4+1=5. 例9如右圖,一個(gè)四邊形ABCD勺兩條邊的長(zhǎng)度AD

27、=7,BC=3,三個(gè)角的度數(shù)：角B和D是直角,角A是45.求這個(gè)四邊形的面積. 隊(duì) 解：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE. 由于 A是45,角D是90,角E是 180 -45 -90 =45 , 所以AD弱等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形. 四邊形ABCD勺面積,是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差,即 7X7+2-3X3+2=20. 這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來(lái)試題圖上并沒(méi)有畫(huà)出虛線(xiàn)三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形 補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué),用直線(xiàn)AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形,并認(rèn)為這兩個(gè)直角三

28、角形是一樣的,這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做,角A是45.,這一條件還用得上嗎圖形上線(xiàn)段相等, 兩個(gè)三角形相等,是不能靠眼睛來(lái)測(cè)定的,必須從幾何學(xué)上找出根據(jù),小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過(guò)幾何,千萬(wàn)不要隨便對(duì)圖形下Z論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線(xiàn)索.有45.和直角,你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形. 現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問(wèn)題. 例10在右圖11X15的長(zhǎng)方形內(nèi),有四對(duì)正方形標(biāo)號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì),每一對(duì)是相同的正方形, 那么中間這個(gè)小正方形陰影局部面積是多少 解：長(zhǎng)方形的寬,是“一與“二兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和,長(zhǎng)方形的長(zhǎng),是“一、“三與“二三個(gè)正 方形的邊長(zhǎng)之和. 長(zhǎng)-寬=15-11=4 是“三正方形的邊長(zhǎng)

29、. 寬又是兩個(gè)“三正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和,因此 中間小正方形邊長(zhǎng)=11-4X2=3. 中間小正方形面積=3X3=9. 如果把這一圖形,畫(huà)在方格紙上,就一目了然了 例11從一塊正方形土地中,劃出一塊寬為1米的長(zhǎng)方形土地見(jiàn)圖,剩下的長(zhǎng)方形土地面積是平方米.求 劃出的長(zhǎng)方形土地的面積. 解：剩下的長(zhǎng)方形土地,我們道 長(zhǎng)-寬=1米. 還知道它的面積是平方米,那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢 如果能求出,那么與上面“差的算式就形成和差問(wèn)題了 我們把長(zhǎng)和寬拼在一起,如右圖 從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和,但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形,如以下圖就拼成一個(gè)大正方形,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng),恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與

30、寬之和. 15.75 15.T5 15.75 1 15.75 可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形,仔細(xì)觀(guān)察一下,就會(huì)發(fā)現(xiàn),它的邊長(zhǎng),恰好是長(zhǎng) 方形的長(zhǎng)與寬之差,等于1米. 現(xiàn)在,我們就可以算出大正方形面積： X4+1X1=64平方米. 64是8X8,大正方形邊長(zhǎng)是8米,也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的 長(zhǎng)+寬=8米. 因此 長(zhǎng)=8+1+2=米. 寬=米. 那么劃出的長(zhǎng)方形面積是 X1=4.5平方米. 例12如右圖.正方形ABCDW正方形EFGO放在一起.小正方形EFGC勺邊長(zhǎng)是6,求三角形AEG陰影部分的面積. 解：四邊形AEC虛一個(gè)梯形.它的下底是AD,上底是EG高是CD因此 四邊形AEC

31、面積=小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)X大正方形邊長(zhǎng)+2 三角形ADG是直角三角形,它白一條直角邊長(zhǎng)DG=小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng),因此 三角形ADG面積=小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)X大正方形邊長(zhǎng)+2. 四邊形AECD與三角形ADG面積一樣大.四邊形AHCD它們兩者共有,因此,三角形AEMf三角形HCG!積相 等,都加上三角形EHG0積后,就有 陰影局部面積=三角形ECG0積 二小正方形面積的一半 =6X6+2=18. 十分有趣的是,影陰局部面積,只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān),而與大正方形邊長(zhǎng)卻沒(méi)有關(guān)系 三、其他的面積 這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來(lái)不難,但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少,

32、請(qǐng)讀者仔細(xì) 體會(huì). 例13畫(huà)在方格紙上的一個(gè)用粗線(xiàn)圍成的圖形如右圖,求它的面積 解：直接計(jì)算粗線(xiàn)圍成的面積是困難的,我們通過(guò)扣除周?chē)叫魏椭苯侨切蝸?lái)計(jì)算 周?chē)≌叫斡?個(gè),面積為1的三角形有5個(gè),面積為的三角形有1個(gè),因此圍成面積是 例6與此題在解題思路上是完全類(lèi)同的 例14以下圖中ABCD是6X8的長(zhǎng)方形,AF長(zhǎng)是4,求陰影局部三角形AEF的面積. 解：三角形AEF中,我們知道一邊AF,但是不知道它的高多長(zhǎng),直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三 角形AEB,底邊AB,就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng),高是長(zhǎng)方形的寬,即BC的長(zhǎng),面積就可以求出.三角形AEB的面積是長(zhǎng)方形面積的一半,而擴(kuò)大的三角形AF

33、B是直角三角形,它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的,很容易算出它的面積.因此 三角形AEF面積=三角形AEB面積-三角形AFB面積 =8X6+2-4X8+2=8. 這一例題告訴我們,有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形,當(dāng)然擴(kuò)大的局部也要容易求出,從而間接地解決了問(wèn)題.前面例9的解法,也是這種思路. 例15下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16,寬是10.中間有兩條道路,一條是長(zhǎng)方形,一條是平行四邊形,那么有草局部的面積 陰影局部有多大 解：我們首先要弄清楚,平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底X高.從圖上可以看出,底是2,高恰 好是長(zhǎng)方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與10X2的長(zhǎng)方形面積

34、相等. 可以設(shè)想,把這個(gè)平行四邊形換成10X2的長(zhǎng)方形,再把橫豎兩條都移至邊上如前頁(yè)右圖,草地局部面 積陰影局部還是與原來(lái)一樣大小,因此 草地面積=(16-2)X(10-2)=112. 例16右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起,求陰影局部的面積 解：實(shí)際上,陰影局部是一個(gè)梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接來(lái)求它的面積 陰影局部與三角形BC6在一起,就是原直角三角形.你是否看出,ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一 起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD勺面積與陰影局部面積一樣大.梯形ABCD勺上底BC,是直角邊AD的長(zhǎng)減去3,高就是DC的長(zhǎng).因此陰影局部面積等于 梯形ABCD

35、面積=(8+8-3)X5+2=. 上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們,如何把不容易算的面積,換成容易算的面積,數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換 的本領(lǐng),首先要提升對(duì)圖形的觀(guān)察水平 例17以下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.AF,FE,EC都等于3,CB,BD都等于4.求這個(gè) 圖形的面積. 解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的 2 16 10 三角形ABC面積=3+3+3X4+2=18. 三角形CDE積=4+4X3+2=12. 這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊局部-四邊形BCEG只要減去這個(gè)重疊局部,所求圖形的面積立即可以得出 由于A(yíng)F=FE=EC=3,所以AGF,FGE,EGC是三個(gè)面積相等的三角形

36、. 由于CB=BD=4,所以CGBBG皿兩個(gè)面積相等的三角形. 2X三角形DEC面積 =2X2X三角形GBC面積+2X三角形GCE面積. 三角形ABC面積 =三角形GBC面積+3X三角形GCE0積. 四邊形BCEG1積 =三角形GBC0積+三角形GCE1積 =2X12+18+5=. 所求圖形面積=12+18-=. 例18如下頁(yè)左圖,ABCG4X7長(zhǎng)方形,DEFG2X10長(zhǎng)方形.求三角形BCM與三角形DEM面積之差. 解：三角形BCMf非陰影局部合起來(lái)是梯形ABEF.三角形DEMf非陰影局部合起來(lái)是兩個(gè)長(zhǎng)方形的和. 三角形BCM1積-三角形DEM積 =梯形ABEF面積-兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和 =7+

37、10X4+2+2-4X7+2X10 =3. 4 4 例19上右圖中,在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)了一些直線(xiàn),邊上有三塊面積分別是13,35,49.那么圖中陰影局部的面 積是多少 解：所求的影陰局部,恰好是三角形AB*三角形CDE的公共局部,而面積為13,49,35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有 被三角形ABC與三角形CDE住的局部,因此 三角形ABC面積+三角形CDE面積+13+49+35 =長(zhǎng)方形面積+陰影局部面積 三角形ABC底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng),高是長(zhǎng)方形的寬；三角形CDE底是長(zhǎng)方形的寬,高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng).因此,三角形ABC面積,與三角形CDE0積,都是長(zhǎng)方形面積的一半,就有陰影局部面積=13+49+35=97. 一、四

38、種常見(jiàn)幾何體的平面展開(kāi)圖 1 .正方體 沿正方體的某些棱將正方體剪開(kāi)鋪平,就可以得到它的平面展開(kāi)圖,這一展開(kāi)圖是由六個(gè)全等的正方形組成的, 見(jiàn)圖61. 圖6l只是正方體平面展開(kāi)圖的一種畫(huà)法,還有別的畫(huà)法從略. 2 .長(zhǎng)方體 沿長(zhǎng)方體的某些棱將長(zhǎng)方體剪開(kāi)鋪平,就可以得到它的平面展開(kāi)圖.這一展開(kāi)圖是六個(gè)兩兩彼此全等的長(zhǎng)方形組成的,見(jiàn)圖62.圖62只是長(zhǎng)方體平面展開(kāi)圖的一種畫(huà)法,還有別的畫(huà)法從略. 比 J Cx 口】 3 .直圓柱體沿圓柱的一條母線(xiàn)和側(cè)面與上、下底面的交線(xiàn)將圓柱剪開(kāi)鋪平,就得到圓柱體的平面展開(kāi)圖. 它由一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)全等的圓組成,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱底面圓的周長(zhǎng),寬是圓柱體的高.這

39、個(gè)長(zhǎng)方形又叫圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖.圖63就是圓柱的平面展開(kāi)圖. 4 .直圓錐體 沿圓錐體的一條母線(xiàn)和側(cè)面與下底面圓的交線(xiàn)將圓錐體剪開(kāi)鋪平,就得到圓錐的平面展開(kāi)圖.它是由一個(gè)半徑為圓錐體的母線(xiàn)長(zhǎng),弧長(zhǎng)等于圓錐體底面圓的周長(zhǎng)的扇形和一個(gè)圓組成的,這個(gè)扇形又叫圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖.具體圖形見(jiàn)圖64. 二、四種常見(jiàn)幾何體外表積與體積公式 1 .長(zhǎng)方體 長(zhǎng)方體的外表積=2x(axb+bxc+cxa) 長(zhǎng)方體白體積=axbxc這里a、b、c分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高. 2.正方體 正方體的外表積=6Xa2 正方體的體積=a3這里a為正方體的棱長(zhǎng). 3 .圓柱體 圓柱體的側(cè)面積=2兀Rh 圓柱體的全面積=2兀Rh+

40、2%R=2兀Rh+R 圓柱體的體積=兀R2h這里R表示圓柱體底面圓的半徑,h表示圓柱的高. 4 .圓錐體 圓錐體的側(cè)面積=TtRl 圓錐體的全面積=兀Rl+兀R 圓錐體的體積=；7TR%這里R.Lh分別為圓錐體底面圓的半徑 母線(xiàn)長(zhǎng)與高. 三、例題選講 例1圖6-5中的幾何體是一個(gè)正方體,圖66是這個(gè)正方體的一個(gè)平面展開(kāi)圖,圖6-7a、b、c 也是這個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖,但每一展開(kāi)圖上都有四個(gè)面上的圖案沒(méi)畫(huà)出來(lái),請(qǐng)你給補(bǔ)上. 在圖67分析與解：從圖65和圖66中可知: 與宮互相處于相對(duì)面的位置上.只要 a、b、c三個(gè)展開(kāi)圖中,判定誰(shuí)與誰(shuí)處在互為對(duì)面的位置上,那么標(biāo)有數(shù)字的四個(gè)空白面上的圖案 便可

41、以補(bǔ)上. 再看圖67中的b,同上,1與3,2與處在互為對(duì)面的位置上. b、c標(biāo)有數(shù)字的空白面上的圖案見(jiàn)圖6-8中的a、b、c. 例2圖6-9中的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體,四邊形APQB長(zhǎng)方體的一個(gè)截面即過(guò)長(zhǎng)方體上四點(diǎn)A、P、Q 與長(zhǎng)方體相交所得到的圖形,P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點(diǎn),請(qǐng)?jiān)诖碎L(zhǎng)方體的平面展圖上,標(biāo)出線(xiàn)段 QPPA來(lái).先看圖6-7中的a,仔細(xì)觀(guān)察可知, 1與4,3與11處在互為對(duì)面的位置上. 最后再看圖6-7中的c,同上, 1與臼,2與4處在互為對(duì)面的位置上. C的平面 ACCQ 圖 6B 分析與解：只要能正確畫(huà)出圖6-9中長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖,問(wèn)題便能迎刃而解.圖中所要標(biāo)出的線(xiàn)

42、段AGCQQRPA Cr D 困-10 例3在圖611中,MN是圓柱體的同一條母線(xiàn)上且位于上、下底面上的兩點(diǎn),假設(shè)從沿怎么樣的路線(xiàn)路程最短 分析與解：沿圓柱體的母線(xiàn)MN各圓柱的側(cè)面剪開(kāi)鋪平,得出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖,見(jiàn)圖面到達(dá)N點(diǎn).實(shí)際上是從側(cè)面展開(kāi)圖的長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn) 短.所以最短路線(xiàn)就是側(cè)面展開(kāi)圖中長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線(xiàn),見(jiàn)圖612和圖613.6-10中的粗實(shí)線(xiàn),就是題目 M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N, 612,從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè) No而兩點(diǎn)間以線(xiàn)段的長(zhǎng)度最 國(guó)白-11 左面的外表積為12X7=7平方厘米 幾何體的外表積為9X2+8X2+7X2= 答：略 例4圖614中的幾何體

43、是一棱長(zhǎng)為4厘米的正方體,假設(shè)在它的各個(gè)面的中央位置上,各打一個(gè)直徑為 深為1厘米的圓柱形的孔,求打孔后幾何體的外表積是多少兀 分析與解：由于正方體的棱長(zhǎng)為2厘米,而孔深只有1厘米,所以正方體沒(méi)有被打透.這一來(lái)打孔后所得幾何體的 外表積,等于原來(lái)正方體的外表積,再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個(gè)圓柱的高為徑為1厘米. 正方體的外表積為42X6=96平方厘米 一個(gè)圓柱的側(cè)面積為2兀X1X1=平方厘米 幾何體的外表積為96+X6=平方厘米 答： 略 例5圖615是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體拼成的幾何體,求此幾何體的外表積是多少分析與解： 從圖615中可以看出,18個(gè)小正方體一共擺了三層,

44、第一層2個(gè),第二層7個(gè),由于18-7-2=9,所 以第三層擺了9個(gè).另外,上、下兩個(gè)面的外表積是相同的,同樣,前、后；左、右兩個(gè)面的外表積也是分別相同 的.由于小正方體的棱長(zhǎng)是1厘米,所以 例6圖616中所示圖形,是一個(gè)底面直徑為20厘米的裝有一局部水的圓柱形玻璃杯,水中放著一個(gè)底面直徑為 6厘米,高20厘米的一個(gè)圓錐體鉛錘,當(dāng)鉛錘從水中取出后,杯里的水將下降幾厘米兀= 2厘米, 1厘米,底面圓的半 上面的外表積為12X9=9平方厘米 前面的外表積為12X8=8平方厘米 圖iq a&-15 / 圖616 分析與解： 由于玻璃杯是圓柱形的,所以鉛錘取出后,水面下降局部實(shí)際是一個(gè)小圓柱,這個(gè)圓柱的

45、底面與玻璃杯的底面一樣,是一直徑為20厘米的圓,它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積,這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度. 由于圓錐形鉛錘的體積為 1X7TXI2X20=607T立立方厘方厘米米 設(shè)水面下降的高度為x,那么小圓柱的體積為x20+22Xx=1007tx立方厘米 所以有以下方程： 6071=10071x,解此方程得： x=厘米 答：鉛錘取出后,杯中水面下降了厘米. 例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼,截成兩段后,兩段外表積的和為平方分米,求原來(lái)那根圓鋼的體積是多少兀 二 分析與解： 根據(jù)圓柱體的體積公式,體積=底面積X高.假設(shè)圓鋼長(zhǎng)為x,由于將圓鋼截成兩段后,兩段外表積的和,等于圓鋼的側(cè)面積加上四個(gè)底面圓的面積,所以有下面式子： 27tx2+2Xx+4兀X2+22 =2兀x+4兀 根據(jù)題目中給出的條件,可得下面方程： 2兀x+4兀= 解方程： 75.36-4TT 方=2H 75367X314出、 2X314=1分米 圓鋼的體積為T(mén)TX2+22X10=立方分米 答：略. 例8一個(gè)圓錐的側(cè)面展