自動控制第5章4

1、15.4.1相位（角）裕度和增益裕度相位（角）裕度和增益裕度ReIm01平面G大時K小時K圖5-46 的極坐標圖) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnmmn 對于對于K K值比較大時值比較大時，系統(tǒng)系統(tǒng)可能不穩(wěn)定?？赡懿环€(wěn)定。當增益增大到一定值時，當增益增大到一定值時， 的軌跡通過的軌跡通過-1+j0-1+j0點。對于小點。對于小的的K K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 的軌跡靠近的軌跡靠近-1+j0-1+j0點的程度，可以用來度量穩(wěn)定點的程度，可以用來度量穩(wěn)定程度程度( (對條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用對條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用) )。 在實際系統(tǒng)中常

2、用在實際系統(tǒng)中常用相位裕量相位裕量和和增益裕量增益裕量表示。表示。 )(jG)(jG)(jG5.4 系統(tǒng)相對穩(wěn)定性系統(tǒng)相對穩(wěn)定性2ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖：若系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖：a點：ojGjG180)(1| )(|但b點：1| )(|180)(jGjGo但若a點沿著單位圓順時針轉過r角，則 同時成立。 ojGjG180)(, 1| )(|若b點沿著負實軸向左移動到(-1,j0)點，則 同時成立 ojGjG180)(, 1| )(|c)(180cojG定義相角裕度為a點剪切頻率 x定義幅值裕度為| )(|1xjGhb點相角交越頻率3相位裕度、相角裕度相位裕度、相角裕度

3、(Phase Margin)設系統(tǒng)的剪切頻率設系統(tǒng)的剪切頻率(Gain cross-over frequency)為為c1)()()(cccjHjGjA相角裕度定義：相角裕度定義：開環(huán)頻率特性在剪切頻率處所對應的相角與開環(huán)頻率特性在剪切頻率處所對應的相角與1800之差，稱之差，稱為相角裕度。即：為相角裕度。即：)()(180ccjHjG相角裕度的含義：相角裕度的含義：則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)相頻特性再滯后對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)相頻特性再滯后 度。度。當0 時，相位裕度為正值；時，相位裕度為正值；0為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，

4、相位裕度必須為正相位裕度必須為正。在極坐標圖上的臨界點:幅值為0分貝，相角為180時，相位裕度為負值。時，相位裕度為負值。當45增益裕度、幅值裕度增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h設系統(tǒng)的相位穿越頻率設系統(tǒng)的相位穿越頻率(Phase cross-over frequency) 12()()()(kjHjGxxx, 1, 0 k定義幅值裕度為：定義幅值裕度為：)()(1xxjHjGh幅值裕度幅值裕度h對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大 倍倍，則則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。h)()(log20 xxjHjGh的

5、含義是的含義是：若以分貝值表示，則有若以分貝值表示，則有1h0)(dBh增益裕度為正值；增益裕度為正值；1h 或或0)(dBh正增益裕度表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負增益裕度表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定正增益裕度表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負增益裕度表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。的。 (最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng))若若增益裕度為負值。增益裕度為負值。x若若 或或67ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖：a點：ojGjG180)(1| )(|但b點：1| )(|180)(jGjGo但若a點沿著單位圓順時針轉過r角，則 同時成立。 ojGjG180)(, 1| )(|若b點沿著負實軸向左移動到(-1,j0)點，則 同時成立 ojG

6、jG180)(, 1| )(|c)(180cojG定義相角裕度為a點剪切頻率 x定義幅值裕度為| )(|1xjGhb點相角交越頻率8Stable SystemUnstable SystemBodeBode圖上相位裕度與幅值裕度表示圖上相位裕度與幅值裕度表示9Stable SystemUnstable System100)(dBh0判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的又一方法)()(180ccjHjG)()(log20 xxjHjGh11一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無窮大無窮大，因為這類系統(tǒng)的極，因為這類系統(tǒng)的極坐標圖與負實軸不相交。因此，從理論上講，一階或二階系坐標圖與負實軸不相交。因此，從

7、理論上講，一階或二階系統(tǒng)不可能是統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的。當然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說只能是近似的，這當然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說只能是近似的，這是因為在推導系統(tǒng)方程時，忽略了一些小的時間滯后，因此是因為在推導系統(tǒng)方程時，忽略了一些小的時間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果涉及這些小的滯后，它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果涉及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少增益能夠增大多少。對于不穩(wěn)定

8、系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，統(tǒng)穩(wěn)定，增益應當減少多少增益應當減少多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少？一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少？126030 與5.4.2關于相位裕度和增益裕度的幾點說明關于相位裕度和增益裕度的幾點說明 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的相位裕度相位裕度和和增益裕度增益裕度是系統(tǒng)的極坐標圖對是系統(tǒng)的極坐標圖對-1+j0-1+j0點靠近程度的度量。這兩個裕度可以作為系統(tǒng)設計準則。點靠近程度的度量。這兩個裕度可以作為系統(tǒng)設計準則。僅僅用用增益裕度增益裕度和和相位裕度相位裕度，都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。，都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。為了確定系

9、統(tǒng)的為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性，必須同時給出這兩個量。，必須同時給出這兩個量。 對于最小相位系統(tǒng)，只有當對于最小相位系統(tǒng)，只有當相位裕度和增益裕度都是正值相位裕度和增益裕度都是正值時，時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。負的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。 適當?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成適當?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的不良影響，并且指明了頻率值。的不良影響，并且指明了頻率值。 工程中為了得到滿意的性能，相位裕度應當在工程中為了得到滿意的性能，相位裕度應當在 之之間，增益裕度應當大于間，增益裕度應當大于6 6分貝。分貝。 13最小相位系統(tǒng)

10、臨界穩(wěn)定時最小相位系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時G(jw)曲線過曲線過(-1,j0)點，點，該點：該點： ojGjG180)(1| )(| -110j14例例5-9 一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)05. 01)(2 . 01 ()(sssKsGK=1時系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過增益K的調整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40解：180)()()(xxxjHjG18005. 02 . 090)(xxxarctgarctg即9005. 02 . 0 xxarctgarctg2121211)(tgtgtgtgtgxxxx05. 02 . 0105. 02

11、. 0 005. 02 . 01xx 10 x相位穿越頻率x增益裕度15)()(log20)(xxjHjGdBh)05. 01)(2 . 01 (1log20 xxxjjj22)1005. 0(1log20)102 . 0(1log2010log20dB281720 在在x處的開環(huán)對數(shù)幅值為處的開環(huán)對數(shù)幅值為16根據(jù)根據(jù)K=1時的開環(huán)傳遞函數(shù)時的開環(huán)傳遞函數(shù)c1)()(ccjHjG)05. 01)(2 . 01 (1)(ccccjjjjG1)0025. 01)(04. 01 (122ccc 1c10405. 02 . 090)(cccarctgarctg 76104180)(180c相位裕度相

12、位裕度增益穿越頻率增益穿越頻率截止頻率截止頻率 )05. 01)(2 . 01 ()(sssKsG17 由題意20logh=20dB知：10h1 . 0)(xjG1 . 0)0025. 01)(04. 01 (22xxxK 5 . 225. 0141101 . 0K驗證是否滿足相位裕度的要求。驗證是否滿足相位裕度的要求。根據(jù)根據(jù) 40的要求，則得的要求，則得：1404018005. 02 . 090)(cccarctgarctg5005. 02 . 0ccarctgarctg2 . 105. 02 . 0105. 02 . 0cccc 4c1)0025. 01)(04. 01 (22cccK

13、2 . 502. 128. 14K不難看出不難看出，5 . 2K就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求。就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求。 10 x1819例5-11 設一單位反饋系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖5-50所示(最小相位系統(tǒng))。寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求ttr)(時的穩(wěn)態(tài)誤差。解：20211lg20)51(1lg20)01. 01(1lg20)1 . 01(1lg20lg20222K1110010K10K)2 . 01)(1001 ()101 (10)(sssssG由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過計算相位裕度由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過計算相位裕度是否大于

14、零來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知是否大于零來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知1c在在c處處4 .1065101. 011 . 0190)(arctgarctgarctgc則得6 .73)(180c單位斜坡輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為單位斜坡輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為1 . 01011vssKe 0 0 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定225.6 標準二階系統(tǒng)中階躍標準二階系統(tǒng)中階躍時間響應與頻率響應之時間響應與頻率響應之間的關系間的關系S(S+2n)n2R(s)C(s)圖3-8 標準形式的二階系統(tǒng)方塊圖_在圖在圖3-8所示的標準二階系統(tǒng)中，單位階躍響應中的最大超所示的標準二階系統(tǒng)中，單位階躍響應中的最大超調量可以精確地與頻

15、率響應中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，調量可以精確地與頻率響應中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，從本質上看，在頻率響應中包含的系統(tǒng)動態(tài)特性與在時間響應從本質上看，在頻率響應中包含的系統(tǒng)動態(tài)特性與在時間響應中包含的系統(tǒng)的動態(tài)特性信息是相同的。中包含的系統(tǒng)的動態(tài)特性信息是相同的。)2()(2nnsssG)2()(2nnjjjG設截剪切頻率設截剪切頻率14)(2222nccncjGc則有則有2322224nncc 422244ncnc24)4(44222222nnnc )214(2422nc24214(ncnarctg290)(根據(jù)相位裕度的定義 nccarctg290180)r

16、ctg 242142 arctg上式說明相位裕度僅僅與阻尼比有關。上式說明相位裕度僅僅與阻尼比有關。14)(2222nccncjG 2400.20.40.60.811.21.41.61.820102030405060708090圖圖5-515-51標準二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關系標準二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關系25相位裕度與阻尼比直接相關相位裕度與阻尼比直接相關。對于標準二階系統(tǒng)，相位裕度與阻尼比之間的關系對于標準二階系統(tǒng)，相位裕度與阻尼比之間的關系近似地用直線表示如下：近似地用直線表示如下：100因此，相位裕度相當于阻尼比。對于具有一對主導極點因此，相位裕度相當于阻尼比。對于

17、具有一對主導極點的高階系統(tǒng)，根據(jù)頻率響應估計瞬態(tài)響應中的相對穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，根據(jù)頻率響應估計瞬態(tài)響應中的相對穩(wěn)定性（即阻尼比）時，根據(jù)經(jīng)驗，可以應用這個公式。性（即阻尼比）時，根據(jù)經(jīng)驗，可以應用這個公式。 對于小的阻尼比，諧振頻率與有阻尼自然頻率的值幾乎是對于小的阻尼比，諧振頻率與有阻尼自然頻率的值幾乎是相同的。因此，對于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系相同的。因此，對于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系統(tǒng)瞬態(tài)響應的速度。統(tǒng)瞬態(tài)響應的速度。221nr21nd265.6.2截止頻率與帶寬截止頻率與帶寬(Cutoff frequency and bandwidth)dB)(L0帶寬b33圖5-53

18、截止頻率與系統(tǒng)帶寬當閉環(huán)頻率響應的幅值下當閉環(huán)頻率響應的幅值下降到零頻率值以下降到零頻率值以下3分貝分貝時，對應的頻率稱為時，對應的頻率稱為截止截止頻率。頻率。dBjRjCjRjC3)0()0(lg20)()(lg20對于dBjRjC0)0()0(lg20系統(tǒng)dBjRjC3)()(lg20b 閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信號分量，但是可以使頻率低于截止頻率的號分量，但是可以使頻率低于截止頻率的信號分量通過。信號分量通過。 閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于-3-3分貝時，對分貝時，對應的頻率范圍稱為系統(tǒng)的應的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬帶寬。272222)()()(nnnssssRsC2222)2()1 (1)(nnj1)0( j2)2()1 (2222nbnb1)21 (21222nb二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：頻率特性：)0()()(AAMbb707. 0)2()1 (12222nbnb由帶寬的定義得：28帶寬指標取決于下列因素：帶寬指標取決于下列因素：1、對輸入信號的再現(xiàn)能力。對輸入信號的再現(xiàn)能力。 大的帶寬對應于小的上升時間，即對應于快速特性。大的帶寬對應于小的上升時間，即對應于快速特性。粗略地說，帶寬與響應速度成反比。粗略地說，帶寬與響應速度成反