泛函和變分法PPT精選文檔

1、1計算物理計算物理3/lesson/ComputationalPhysics3/lesson/ComputationalPhysics泛函和變分法泛函和變分法2泛函和變分法泛函和變分法n泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念n最簡最簡泛函的極值問題泛函的極值問題n其它類型其它類型泛函的極值問題泛函的極值問題n泛函和變分用于微分方程邊值問題泛函和變分用于微分方程邊值問題3泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念(1/4)(1/4)n泛函的定義泛函的定義n例例( (最短路徑最短路徑) )：設(shè)：設(shè) C 為定義在為定義在 a

2、, , b 上、上、滿足條件滿足條件 y( (a) ) = = y1 1 和和 y( (b) ) = = y2 2 的、所有可的、所有可微函數(shù)微函數(shù) y( (x) ) 的集合。用的集合。用 L 表示這樣一段表示這樣一段曲線的曲線的長長( (如右圖所示如右圖所示) )，L = = L y( (x) )n問題：沿哪一條路徑的路程最短問題：沿哪一條路徑的路程最短n函數(shù)的形式函數(shù)的形式 y( (x) ) 不同不同abOyxAOyxBn例例( (捷線問題捷線問題) )：質(zhì)點在重力作用下沿一：質(zhì)點在重力作用下沿一條光滑的、從點條光滑的、從點 A 到點到點 B 的曲線運動，的曲線運動，所需的時間所需的時間

3、T 取決于曲線的形狀取決于曲線的形狀( (如右圖如右圖所示所示) )，T = = T y( (x) )n問題：沿哪一條路徑的下落時間最短問題：沿哪一條路徑的下落時間最短n函數(shù)的形式函數(shù)的形式 y( (x) ) 不同不同4泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念(2/4)(2/4)n定義：設(shè)定義：設(shè) C 是函數(shù)是函數(shù)( (形式形式) )的集合，的集合，B 是實數(shù)集合；如果對是實數(shù)集合；如果對 C 中的任一元素中的任一元素 y( (x) )，在，在 B 中都有一個元素中都有一個元素 J 與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，則稱則稱 J 為為 y( (x) ) 的泛函，記為的泛函，記為 J y( (x) )n泛函是

4、函數(shù)的函數(shù)，以函數(shù)為自變量，而非普通變量泛函是函數(shù)的函數(shù)，以函數(shù)為自變量，而非普通變量n最短路徑：最短路徑：L = = L y( (x) )n捷線問題捷線問題：T = = T y( (x) )n最簡最簡泛函泛函：滿足以下關(guān)系的滿足以下關(guān)系的泛函稱為泛函稱為最簡最簡泛函泛函 其中其中 F ( ( x, , y, , y ) ) 的的稱為核稱為核函數(shù)函數(shù)5泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念(3/4)(3/4)n函數(shù)的變分和泛函的變分函數(shù)的變分和泛函的變分n定義：設(shè)定義：設(shè) y( (x) ) 是是泛函泛函 J y( (x) ) 的定義域內(nèi)任意函數(shù)，如果的定義域內(nèi)任意函數(shù)，如果 y( (x) )

5、 變化為定義域內(nèi)的另一新函數(shù)變化為定義域內(nèi)的另一新函數(shù) Y( (x) )，則，則 Y( (x) ) 與與 y( (x) ) 之之差差 d d y = = Y( (x) ) - - y( (x) ) 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y( (x) ) 的變分的變分n函數(shù)變分和微分的比較函數(shù)變分和微分的比較n變分和微分都是自變量變分和微分都是自變量 x 的函數(shù)的函數(shù)n微分是微分是同一個函數(shù)同一個函數(shù) y( (x) )，由于自變量，由于自變量 x 的取值不同而導(dǎo)的取值不同而導(dǎo)致函數(shù)值致函數(shù)值 y 的變化；變分是由于的變化；變分是由于函數(shù)形式的不同函數(shù)形式的不同而導(dǎo)致而導(dǎo)致函數(shù)值的變化函數(shù)值的變化n函數(shù)求導(dǎo)和求變分可

6、以交換次序函數(shù)求導(dǎo)和求變分可以交換次序6泛函和變分的基本概念泛函和變分的基本概念(4/4)(4/4)n最簡最簡泛函泛函的一階和二階變分的一階和二階變分n其中其中 d d J 稱為泛函稱為泛函的一階變分，的一階變分，d d 2 2J 稱為稱為二階變分二階變分n泛函的極值條件就是泛函的極值條件就是一階變分為零：一階變分為零：d d J = = 0 07最簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(1/9)(1/9)n最簡最簡泛函的歐拉方程泛函的歐拉方程n最簡最簡泛函的極值泛函的極值歐拉方程歐拉方程n歐拉方程的解僅僅對應(yīng)極值歐拉方程的解僅僅對應(yīng)極值函數(shù)，不關(guān)心函數(shù)，不關(guān)心泛函的泛函的大小大小n通過變分運算等

7、價于通過變分運算等價于一定邊界條件下的常微分方程一定邊界條件下的常微分方程n例：如下泛函例：如下泛函( (不是不是最簡最簡泛函泛函) )的極值問題的極值問題),(),(ddd),(dd )()(21)(0DD2212yxuyxusquyxyxfyxyuxuuJ=-= 等價于以下邊界條件下的靜電場中的泊松方程等價于以下邊界條件下的靜電場中的泊松方程),( ),(),( ),(2102222yxqnuyxuyxuyxfyuxu=8最簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(2/9)(2/9)n例：求以下例：求以下最簡最簡泛函的極值問題泛函的極值問題1 , 0 ,d)()(101 0 2=xxyyxxyy

8、yJn核函數(shù)和微分方程核函數(shù)和微分方程n滿足邊界條件的極值函數(shù)滿足邊界條件的極值函數(shù)n例：求解例：求解最短路徑最短路徑問題問題9最簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(3/9)(3/9)n例：求解捷線問題例：求解捷線問題10最簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(4/9)(4/9)n歐拉方程的其它算法歐拉方程的其它算法n如果如果 F 中不顯含中不顯含 yn ，不滿足邊界條件，則極值函數(shù)不存在，不滿足邊界條件，則極值函數(shù)不存在n如果如果 F 中不顯含中不顯含 yn如果如果 F 中不顯含中不顯含 x11最簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(5/9)(5/9)n例：再求解捷線問題例：再求解捷線問題12最

9、簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(6/9)(6/9)n例例( (最小旋轉(zhuǎn)面最小旋轉(zhuǎn)面) )：光滑曲線：光滑曲線以點以點 A( (x0 0, , y0 0) ) 和和 B(B(x1 1, , y1 1) ) 為端點為端點( (如右圖如右圖) )，求一條曲線，求一條曲線使它使它繞繞 Ox 軸軸旋轉(zhuǎn)時所得曲面的面積最小旋轉(zhuǎn)時所得曲面的面積最小xyABn以以 y( (x) ) 表示任意曲線，得旋轉(zhuǎn)面面積表示任意曲線，得旋轉(zhuǎn)面面積n從歐拉方程的極值問題求曲線方程從歐拉方程的極值問題求曲線方程13最簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(7/9)(7/9)n瑞利瑞利- -里茲法的步驟里茲法的步驟n選一組相對

10、完備的基函數(shù)選一組相對完備的基函數(shù) w0 0, , w1 1, , , , wn, , ，線性展開，線性展開 y為待定系數(shù) ),(1iiiixwy=n只取前面只取前面 n 項，作為項，作為 y 的近似，代入的近似，代入泛函，積分泛函，積分),( d)(),(,(d),(2111nniiiniiiIxxwxwxFxyyxFyJ=nJ y = = I( ( 1 1, , 2 2, , , , n) ) 按多元函數(shù)取極值方法按多元函數(shù)取極值方法niIi, 2 , 1 , 0= 求解以上求解以上 n 個關(guān)于個關(guān)于 i 的方程，得到系數(shù)的方程，得到系數(shù) i，代入展開式代入展開式即可得到即可得到 y 的近

11、似，再計算可得到的近似，再計算可得到 J y n取前面取前面 n11 項，重復(fù)以上項，重復(fù)以上2 2和和3 3步，直至步，直至 J y 收斂收斂14最簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(8/9)(8/9)n求解以下泛函的極值求解以下泛函的極值函數(shù)函數(shù)0) 1 ()0( ,d)4()(1 0 22=-=yyxxyyyxyJn取滿足邊界條件的基函數(shù)：取滿足邊界條件的基函數(shù)：w i = = x i (1-(1-x) )n只取前面只取前面 n 項，作為項，作為 y 的近似的近似15最簡泛函的極值問題最簡泛函的極值問題(9/9)(9/9)n瑞利瑞利- -里茲法的關(guān)鍵：選擇合適的基函數(shù)里茲法的關(guān)鍵：選擇合

12、適的基函數(shù)n冪函數(shù)：冪函數(shù)：1,1, x, , x2 2, , = = x i n三角函數(shù)：三角函數(shù)：1,1, cos x, , sin x, , cos 2 2x, , sin 2 2x, , n其它：盡量同時滿足邊界條件其它：盡量同時滿足邊界條件16其它類型泛函的極值問題其它類型泛函的極值問題(1/4)(1/4)n依賴于多個函數(shù)的泛函依賴于多個函數(shù)的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式=10 212121d),(,xxmmmxyyyyyyxFyyyJn歐拉方程歐拉方程miyFxyFii, 2 , 1 , 0)(dd=-n例：求解以下泛函的極值問題例：求解以下泛函的極值問題1 , 0 , 1

13、, 0d)2(,2/02/02/ 0 22=-=xxxxzzyyxyzzyzyJn解：解：17其它類型泛函的極值問題其它類型泛函的極值問題(2/4)(2/4)n例：不均勻的介質(zhì)中，折射率為例：不均勻的介質(zhì)中，折射率為 n( (x, , y, , z) )，光的傳播速度，光的傳播速度為為 c/ /n。求光從。求光從 A( (x0 0, , y0 0, , z0 0) ) 到到 B( (x1 1, , y1 1, , z1 1) ) 的傳播路徑的傳播路徑n設(shè)設(shè) 過過 A 和和 B 的某條光滑曲線：的某條光滑曲線：y = = y( (x), ), z = = z( (x) )n費馬原理：光沿由費馬原

14、理：光沿由 A 到到 B 的所需時間最短的曲線行進的所需時間最短的曲線行進=B A 22B A d1),(d,xzyczyxnvszyTn泛函的極值問題：要求泛函的極值問題：要求 T 取極小值取極小值18其它類型泛函的極值問題其它類型泛函的極值問題(3/4)(3/4)n依賴于函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的泛函依賴于函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式 =10 )(d),(xxmxyyyyxFyJn歐拉方程歐拉方程0dd) 1()(dd)(dd)(22=- -mmmmyFxyFxyFxyFn例：求解以下泛函的極值問題例：求解以下泛函的極值問題1 , 1 , 0d)4(214/04/04/ 0 22=

15、-=- =xxxxyyyyxyyyJn解：解：19其它類型泛函的極值問題其它類型泛函的極值問題(4/4)(4/4)n依賴于多元函數(shù)的泛函依賴于多元函數(shù)的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式y(tǒng)uqxupyuqxupyxqqppuuyxFyxuyxuJD=222111121212121 , , ,dd),(),(),(n歐拉方程歐拉方程0)()( , 0)()(222111=-=-qFypFxuFqFypFxuFn例：拉普拉斯方程的第三類邊界問題例：拉普拉斯方程的第三類邊界問題=)( , 02222 unuyuxu 該定解問題轉(zhuǎn)化為以下泛函的極值問題該定解問題轉(zhuǎn)化為以下泛函的極值問題-=s u uyxyuxuyxuJd)21(dd )()(21),(22220泛函和變分用于泛函和變分用于(1/1)(1/1)n斯特姆斯特姆- -劉維型方程劉維型方程 L y = = l l r r ( (x) ) yn本征值：本征值：l l1 1 l l2 2 l l3 3 n本征函數(shù)：本征函數(shù)：y1 1( (x), ), y2 2( (x), ), y3 3( (x), ), 構(gòu)成完備正交系構(gòu)成完備正交系mnbanmnnnxxxyxyxyxxLydrrl= d)()()( ),()()(n任意函數(shù)任意函數(shù) f( (x)