東華理工大學(xué)2006級(jí)碩士研究生公選課

1、東華理工大學(xué) 20062006 級(jí)碩士研究生公選課數(shù)值分析課程考試專業(yè)：計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)學(xué)號(hào)：06081203010608120301 姓名：劉向陽編寫連續(xù)函數(shù)最佳平方逼近的算法程序(以函數(shù)形式)。并用此程序進(jìn)行數(shù)值實(shí) 驗(yàn)，并提交相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)與報(bào)告。一算法數(shù)學(xué)基本原理：預(yù)備知識(shí)：最佳平方逼近定義：對(duì) f(x) Ca,b中的一個(gè)子集 書=span(0j(x),i(x), ,唯唯),求 S*(x) 嘰使：II右一空CsO III | =嚴(yán)空崔II尹Q)SCxO II青= 靈尋J月戸Cr) hO)-SO)* . 稱 S (x)是 f(x)在子集書a,b 中的最佳平方逼近函數(shù).s=工2m -科$

2、-注意到 S(x) 書等價(jià)于為了求 S*(x),由(1)可知該問題等價(jià)于求多元函數(shù)bn子(先，二，呼)=J口口a砒砒 a2djaJ=O的最小值.由于 l(a,ai,a )是關(guān)于 a0,ai,a 的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)求di-=o二0,1,皿)極值的必要條件，即：dirbn2 Q Q) 撫匕(x)審審k(x)dr=0二0, 1工丿)dakajQJ J&二P(工)鎮(zhèn)鎮(zhèn)) )(h)妙菱妙菱(x) dr勺-2 J P ()% (j)dLr 0 33于是有這是關(guān)于 a0,ai,a 的線性方程組，稱為法方程2oQ)，妙Q)力二( (f O) )叫O)(=0,1 ) )由于 如 x),誠 x),n

3、(X)線性無關(guān)，故系數(shù)：detG(収血，豐(于是方程組 有唯一解 a二(k=0,1,n)從而得到b G)二云叫(三)+叫(三)數(shù)學(xué)步驟：1、題目要求用 Lengendre 多項(xiàng)式做基，因此要將被逼近函數(shù)的區(qū)間a,b變換到 區(qū)間-1,1之間，b a b a即輸入函數(shù)g(t)Ca,b，利用tx(-1乞tid)做坐標(biāo)變換得到了2 2b - a b - ag(x)即f(x)C-1,12 22、逼近函數(shù)的求解過程：當(dāng)區(qū)間為1,1，權(quán)函數(shù)p(x)三 1時(shí)，由1,x,*,正交化得到的多項(xiàng)式就稱為勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式，并用 P(x ), P( x),，Pn(x ),表示。則通過逼近函數(shù)的求解過程得

4、到擬合系數(shù)的公式如下：血=(f(x),Pk(x)/(Pk(x),Pk(x) (k=0,1,n)其中：(f (x),Pk(x) = . ”x)f (x)Pk(x)dx( ( (x) =1)(利用高斯勒讓德五點(diǎn)求積公式求解)于是 f(x) C-1,1在書中的最佳平方逼近函數(shù)為:工 &)二 尸o Q)玩 尸1( (X) )+EPn( (M) )3、再將區(qū)間-1,1,變換為區(qū)間a,b上的最佳平方逼近多項(xiàng)式:b -a(Pn(X),Pm(X) (X)Pn(X),Pm(X)dx珥律0(m- n)A2* n 12* n 1(m二n)(m=n二、程序步驟與功能說明1程序輸入部分：1)輸入被逼近函數(shù)的數(shù)學(xué)

5、表達(dá)式：g(x);2)輸入被逼近函數(shù)的區(qū)間下限：變量a3)輸入被逼近函數(shù)的區(qū)間上限：變量b4)輸入欲最佳平方逼近的函數(shù)的最高次數(shù)：變量n2、利用以下基本原理公式，求解擬合系數(shù)% =(f(x),Pk(x)/(Pk(x),Pk(x) (k=0,1,n)其中：1(f (x),Pk(x) = . “x)f (x)R(x)dx(T(x) =1)(利用高斯勒讓德五點(diǎn)求積公式求解)1(Pn(x),Pm(x)=嚴(yán)Pn(x),Pm(x)3；=n)求帀&公式分子：1編寫求解勒讓德多項(xiàng)式基的函數(shù)，并顯示出來2編寫Gauss-Lengendre求積函數(shù)利用函數(shù)，1通過(f (x), Pk(x) =J -(x)f (x)Pk(x)dx(x) =1)得到分子，循環(huán)得到的結(jié)果放置到矩陣.A2求 公式分母 藥百(k=0,1n)3.利用不同階矩陣求和函數(shù)mmpadd，求得逼近函