基本不等式完整新版(非常全面)

1、1 1 / / 8 8基本不等式專題輔導(dǎo)一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1 1、基本不等式原始形式（1 1）若a,b三R，則a2b2_2ab2以（2 2）若a, b R，則 abab 乞a2 22 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b R，則a b _2 ab3 3、基本不等式的兩個(gè)重要變形（1） 若a, b R,則-_bab2（2 2）若a,b R*，則ab：a b飛 2丿總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值； 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值；特別說(shuō)明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式_ 21 1、設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式：.a

2、b 一11+-a b2 2、已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2ab bc ca4 4、 求最值的條件：“一正，二定，三相等”5 5、常用結(jié)論1（1 1）若x A0， 貝 yX +蘭2（當(dāng)且僅當(dāng)x =1時(shí)取“= =”）X1（2 2）若x 0 0，則X2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“= =”）X（3 3）若ab 0，則b_2（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“= =”）b b a a2 2（4 4）若a,b R，則 abab 乞（口）2乞旦匚2 22 2（5 5）若a,bR*，則丄仝玩蘭吐軋 4丄 + +1 12 2 V V 2 2a a b b特別說(shuō)明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“= =”

3、6 6、柯西不等式（1 1）若a,b,c,d R，則（a2b2（c2d2） -（ac bd ）23 3、已知a b c = 1，求證：a2b2c -34 4、已知a,b, R，且a b 1，求證：(1_a)(1 _b)(1 _c) _8a b c（2 2）若耳耳,比匕也R，則有:（aj a22a32）（1d2b?2R2）_（曲a?b2%b3）2（3 3）設(shè)aa?,a*與 b,b2, ,bn是兩組實(shí)數(shù)，則有(a；+a2? + +a：) (b；+b22+b；)蘭(a +a2b2+and)25 5、已知a,b, c R，且a b c = 1，2 2 / / 8 8題型三：利用不等式求最值（一）（湊項(xiàng)

4、）41 1、已知x 2，求函數(shù)y=2x-4的最小值;2x 47 7、（ 2013 年江蘇卷（數(shù)學(xué)）選修 4 4 5 5 :不等式選講已知a _b 0，求證: :2a3b3_ 2ab2-a2b6 6、（ 2013 年新課 標(biāo)H卷數(shù)學(xué)（理）選修 4 4 5 5 :不等式選 講設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a b c = 1, ,證明：1( (i)ab bc ca；( (32 , 2 2a b c , n)-_1._1.b c a題型二：利用不等式求函數(shù)值域1 1、求下列函數(shù)的值域21(1 1)y = 3x22x2(2 2)y = x(4 -x)1(3 3)y = x(x 0)x(4 4)1y = x(x

5、： ：0)x變式 1 1： 已知x 2，求函數(shù)y二2x42x 4的最小值;變式 2 2:已知x：2, 求函數(shù)y = 2x42x - 4的最大值;3 3 / / 8 8變式 1 1 當(dāng)S：時(shí)，求y =4x（8 -2x）的最大值;變式：求函數(shù) y y = = . . 4x4x 3 3 亠，1111 - -4x4x（3 3 ；：；： X X ：1 1）的最大值;4 44 43變式 2 2：設(shè)0：x，求函數(shù)y =4x（32x）的最大值。5A練習(xí)：1 1 已知 X X ,求函數(shù) y y =4x=4x _2_2 I I 的最小值;44x4x -5-52 2、若0：x：2，求y =、x（6 - 3x）的最大

6、值;5A2 2、已知X，求函數(shù) y y = =4x4x_ _2 2 - 的最大值;44x4x5 5變式：若0：x：4，求y =x （8 -2x）的最大值;題型四：利用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）1 1、當(dāng)i： 一時(shí)，求y =x（8 -2x）的最大值；3、求函數(shù)y= 2x-1亠. 5 - 2x（：: x：:總）的最大值;2 24 4 / / 8 8變式 5 5：1 1（4 4 1 1）若x, y 0且2x，y，求的最小值；x y（2 2）若a,b, x, y R且三垃二仁求x，y的最小值;x x y y變式1：已知a,b 0,a22，求t =11的最小值;a b4 8變式 2 2：已知x,y 0

7、,1，求xy的最小值;x y題型五：巧用“1”的代換求最值問(wèn)題1 11 1、已知a, b . 0, a 2b = 1，求t= 的最小值;a b法一：19變式 4 4：已知x, y 0，且4，求x y的最小值;x y5 5 / / 8 8變式 6 6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：a a62a5，若-14存在兩項(xiàng)am, an，使得.aman= 4a1，求的最小值；m n6 6 / / 8 8題型六：分離換元法求最值（了解）x?+7x +101 1、求函數(shù)y（x = -1）的值域;x +1題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用ab1、已知log2a log2b _ 1，求39的最小值變式:求函數(shù)x28x -1（x

8、1）的值域;2 2、（ 20092009 天津）已知a,b .0,求1J2 2、abab 的最小值;a a b bx 22、求函數(shù)亍的最大值;（提示： 換元法）變式 1 1： （20102010 四川）如果a b 0，求關(guān)于a,b的表達(dá)21 1式a的最小值；ab a（a-b）.x亠1變式：求函數(shù)汁廿的最大值;變式 2 2： （20122012 湖北武漢診斷）已知，當(dāng)a .0,a = 1時(shí)， 函數(shù)y =loga（x-1）1的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx - y n =0上，求4m- 2n的最小值；7 7 / / 8 84 4、（ 2013 年山東（理）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2- 3xy -

9、 4y2-z =0，則當(dāng)空取得最大值z(mì)2 1 2時(shí)，的最大值為（）x y z9A A.0B B.1C C.D D 34（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數(shù)求最值）變式 1 1:已知a,b . 0,滿足ab = a b 3，求ab范圍;變式 3 3: （20112011 浙江）已知x, y 0,x2y2x1,變式 2 2： （20102010 山東）已知x, y 0,1_l_ 12 x 2 y一3求xy最大值；（提示：通分或三角換元）2變式：設(shè)x, y, z是正數(shù)，滿足x-2y，3z = 0,求的xz最小值；3 3、已知x, y 0,x 2y 2xy =8，求x 2y最小值;8 8 / /

10、8 8求xy最大值；9 9 / / 8 8題型九：利用柯西不等式求最值1 1、二維柯西不等式a b（a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)；即 ad 二 be 時(shí)等號(hào)成立）c d若a,b,c,d R，則（a2b2）（c2d2） _ （ac bd）22 2、二維形式的柯西不等式的變式（1）Ja2+b2%：c2+d2糾 ac+bda b（a,b,c, d R,當(dāng)且僅當(dāng)；即 ad 二 be 時(shí)等號(hào)成立）c d（2）. a2b2. c2d2亠 ac bda b（a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)；即 ad 二 be 時(shí)等號(hào)成立）c d3 3、二維形式的柯西不等式的向量形式ap|a|pap|a|p（當(dāng)且僅當(dāng)7 或存在實(shí)數(shù)

11、k,使 ak 時(shí),等號(hào)成立）4 4、三維柯西不等式若ai,a2,a3,b1,b2,b R，則有：(訂a22a32)(1d2b22b32)一a?b2asbs)2（a,bR,當(dāng)且僅當(dāng)色二邑二旦時(shí)等號(hào)成立）b b2 d5 5、一般n維柯西不等式設(shè)*2, ,an與 db,bn是兩組實(shí)數(shù)，則有: :2 2 22 2 2 2（印 a a2 a an）（b,戈mg） Gb, azdmabn）（aR,當(dāng)且僅當(dāng)引呂bi b2詈時(shí)等號(hào)成立）題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1 a1 1、（ 20122012 沈陽(yáng)檢測(cè)）已知x,y .0,且（x y）（）_9x y恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最小值；11 n2 2、已知x y

12、 z 0 0 且恒成立,x_y y_z x_z如果n N，求n的最大值；（參考：4 4）（提示：分離參數(shù)，換元法）I- |- 2(3)(a b)(c d) _ (. ac . bd )（a,b,c,d 一 0,當(dāng)且僅當(dāng)a b；即ad=bc時(shí)等號(hào)成立）14變式：已知a, b - 0滿則一 一=2，若a b亠c恒成立,a b求c的取值范圍；1010 / / 8 8題型分析 題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1 1、設(shè)x,y,z R，若x2y2z24，則x - 2y 2z的最小值為 _ 時(shí)，（x, y,z）二 _4 4、（2013 年湖南卷（理）已知a, b, c三，a 2b 3 6,則a24b29c2的最小值是（Ans:12）析：(x-2y 2z)2乞(x2y2z2)12(2)222=4 9 = 36 x _2y 2z最小值為-62 2、設(shè)x, y, z R,2x - y -2z =6，求x2y2z2的最5、( 2013 年湖北卷(理)設(shè)x,y,z R, ,且滿足：x2y2z2= 1, ,x 2 y 3z = . 14, ,求x y z的值；小值m，并求此時(shí)x, y, z之值。424m=4；(x,y,z)=(333)3 3、設(shè)x, y, z R,2x -3y z = 3，求x2(y -1)2z2之最小值為_(kāi) ，此