復(fù)變函數(shù)第11講

1、14.1 復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 4.2 冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 4.3 泰泰 勒勒 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 4.4 洛洛 朗朗 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)第四章第四章 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)21、 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限4.1 復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)111222,.,.nnnaibaibaib復(fù)數(shù)數(shù)列復(fù)數(shù)數(shù)列一列無(wú)窮多個(gè)有序的復(fù)數(shù)一列無(wú)窮多個(gè)有序的復(fù)數(shù).n 稱(chēng)稱(chēng)為為一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)列列，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列，記記為為注：同時(shí)定義了兩個(gè)實(shí)數(shù)列注：同時(shí)定義了兩個(gè)實(shí)數(shù)列 .,nnab3定義定義4.1,), 2 , 1(nnnniban 其其中中為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)00若若當(dāng)當(dāng)恒恒 有有，,nN

2、nN 記記作作.為為一一復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)iba 不收斂的數(shù)列稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列不收斂的數(shù)列稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列.那那么么 稱(chēng)稱(chēng)為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限，nn 此此時(shí)時(shí)，也也稱(chēng)稱(chēng)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于.n 或或 ，li,m()nnnn 41lim1.2nni 例例討討 論論,021lim, 12221 nnii所所以以分分析析：因因?yàn)闉?021lim nni于于是是 limlim,lim4.1 .nnnnnnaabb 定定理理注：注：00limlim|nnnn522()()()(),lim, lim.nnnnnnnnnnnnnaai bbaabbaabbaabb故故lim, lim,nnnnaabb

3、 “”已已知知即即證明證明lim,0,0,.nnnNnN “”已已知知即即當(dāng)當(dāng)恒恒有有0,0,22nnNnNaabb 當(dāng)當(dāng)恒恒有有，()(),lim.nnnnnnnaai bbaabb故故6該定理說(shuō)明該定理說(shuō)明: : 可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性. .可以證明，兩個(gè)收斂復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商可以證明，兩個(gè)收斂復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差積、商。仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差積、商。課堂練習(xí)課堂練習(xí): :下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;11)1(

4、ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz 72 2、 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) nnn 211 niinns121 級(jí)數(shù)前級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和-級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和-無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)定義定義4.2), 2 , 1( nibannn 設(shè)復(fù)數(shù)列設(shè)復(fù)數(shù)列l(wèi)im4.3nnnsss 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列收收斂斂，則則稱(chēng)稱(chēng)此此級(jí)級(jí)定定數(shù)數(shù)收收斂斂，并并稱(chēng)稱(chēng)極極限限義義為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和，1kks 記記作作. .否否則則稱(chēng)稱(chēng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散. .8說(shuō)明說(shuō)明: 與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同, 判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是性的基本方法是:

5、.lim ssnn 利用極限利用極限0,:z|z|1.nnz例如 級(jí)數(shù)其中 為一確定復(fù)數(shù)滿足1-21nnzzzs ,1時(shí)時(shí)由于當(dāng)由于當(dāng) z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂所以當(dāng)所以當(dāng) z9 根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得出判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的簡(jiǎn)單方法出判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的簡(jiǎn)單方法.111nnnnkkkkkkSaib 事實(shí)上，由于事實(shí)上，由于判斷級(jí)數(shù)是否收斂，實(shí)際上比較困難判斷級(jí)數(shù)是否收斂，實(shí)際上比較困難. .111都都收收斂斂和和收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnnnba定理定理4.24.2.1111

6、nnnnnnnnbia收收斂斂，則則若若10 )1(1 1是否收斂？是否收斂？級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnin解解; 1 11發(fā)散發(fā)散因?yàn)橐驗(yàn)?nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb所以原級(jí)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散數(shù)發(fā)散. . 課堂練習(xí)課堂練習(xí)11(2)(1)ninn 2 2級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 是是否否收收斂斂？ 2111;nnnan 因因?yàn)闉?收收斂斂111.nnnbn 3 3 收收斂斂 所以原級(jí)所以原級(jí)數(shù)收斂數(shù)收斂. . 11常見(jiàn)實(shí)級(jí)數(shù)斂散性判別法：常見(jiàn)實(shí)級(jí)數(shù)斂散性判別法：1 1）比較法；）比較法；2 2）比值法；）比值法；3 3）根值法；）根值法；4 4）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法. .14

7、.3 : lim0.nnnn 定定理理級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件啟示啟示: 判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí), 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn 如果如果級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷應(yīng)進(jìn)一步判斷., 0lim nn 12114 4,.nnnn 定定理理 . . 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂,(*)nnab證明證明22,nnnnnaibab 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，再再由由比比較較法法知知 11,nnnnba.,111也也收收斂斂收收斂斂，從從而而于于是是 nnnnnnba1114.5 .nnnnnnab 定定理理級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂和和都都收收斂

8、斂22,nnnnabab13定義定義4.411nnnn 若若收收斂斂絕絕，則則稱(chēng)稱(chēng)為為對(duì)對(duì)收收斂斂；111.nnnnnn若若發(fā)發(fā)散散，而而收收斂斂，則則稱(chēng)稱(chēng)為為條條件件收收斂斂1111( )()斂斂，發(fā)發(fā)散散， 問(wèn)問(wèn)斂斂嗎嗎？nnnnnnn 若若收收 收 收1112( )()nnnnnnn 和和都都發(fā)發(fā)散散， 問(wèn)問(wèn)發(fā)發(fā)散散嗎嗎？若若 思考思考14解解.)21(211)1(111發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnnninn例例2否否絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂？下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？是是 11;)2();21()1(nnnnniin 01.!)8()4(;2) 1()3(nnnnnniin.1

9、)2(11不不絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂發(fā)發(fā)散散， nnnnin15.2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn.)1(1原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)非非絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn.!)8(!8!8)4(000絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂收收斂斂， nnnnnnninni)7151311()614121(1 ininn由由于于 1.nnni條條件件收收斂斂于于是是16)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn定義定義1設(shè)復(fù)變函數(shù)列：設(shè)復(fù)變函數(shù)列：, 2 , 1,)( nDzzfn-稱(chēng)為稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；級(jí)數(shù)前級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 nkknnzfz

10、fzfzfzs121)()()()()(-級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的部分和；部分和；01()nnfz 收斂，收斂，0 Dz如如果果對(duì)對(duì)于于 內(nèi)內(nèi)某某點(diǎn)點(diǎn) ，01 ( )nnfz 則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)z z 為為一一個(gè)個(gè)收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)； 若級(jí)數(shù)在區(qū)域若級(jí)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都收斂，則內(nèi)的每一點(diǎn)都收斂，則 稱(chēng)該級(jí)數(shù)在稱(chēng)該級(jí)數(shù)在D內(nèi)收斂，收斂點(diǎn)的集合稱(chēng)為函內(nèi)收斂，收斂點(diǎn)的集合稱(chēng)為函數(shù)數(shù) 級(jí)數(shù)的收斂域；級(jí)數(shù)的收斂域；001 ()z.nnfz 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散，則則稱(chēng)稱(chēng) 點(diǎn)點(diǎn)為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)，發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)的的集集合合稱(chēng)稱(chēng)為為的的發(fā)發(fā)散散域域0lim()nnsz存在性注：收斂發(fā)散點(diǎn)，即討論注：收斂發(fā)散點(diǎn)，即討論1

11、8(1),(1)( ).DDzDs z 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)處處處處收收斂斂，則則對(duì)對(duì)于于 內(nèi)內(nèi)的的任任一一點(diǎn)點(diǎn)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和就就是是稱(chēng)稱(chēng)內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)為為它它的的，記記和和函函數(shù)數(shù)為為lim( )( )nnszs z 即即192、 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 20120()()()nnnczacc zacza 的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù), ,其中其中 c0,c1,c2 ,a都是復(fù)常數(shù)都是復(fù)常數(shù). .20120.nnnc zcc zc z 冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), ,為了搞清為了搞清楚它的斂散性楚它的斂散性, ,先建立以下的先建立

12、以下的阿貝爾阿貝爾( (Abel) )定理定理. .形如形如若令若令zz-a,則以上冪級(jí)數(shù)還可以寫(xiě)成如下形式則以上冪級(jí)數(shù)還可以寫(xiě)成如下形式20如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂，則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的一一切切 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂0000(0).nnnc zzzzzzz 定理定理4.5（阿貝爾定理阿貝爾定理) ：z0 收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)0.xyz0發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn)0.yx如如果果在在級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散，則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散00.zzzzz21(?),2,1 ,0,00 nMzcMnn使使得得于于是是，存存在在常常數(shù)數(shù)證明證明000,lim0.nnnnnnc zc z收斂 則, 1|,00

13、 qzzzz所所以以因因?yàn)闉閚nc z,0收收斂斂由由于于 nnMq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc.0絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 nnnzcnMq00nnnzc zz22(2)(2)用反證法用反證法，收收斂斂，若若存存在在 01011,nnnzczzz00(1).nnnc z由知收斂與假設(shè)矛盾，得證23非凡的數(shù)學(xué)家非凡的數(shù)學(xué)家阿貝爾阿貝爾阿貝爾（阿貝爾（Abel,Niels Henrik,1802-1829Abel,Niels Henrik,1802-1829）挪威數(shù)學(xué)）挪威數(shù)學(xué)家。家。18021802年年8 8月月5 5日生于芬島，日生于芬島，18291829年年4 4月月6 6

14、日卒于日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在親還是在18151815年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的一所中學(xué)里讀書(shū)，一所中學(xué)里讀書(shū)，1515歲時(shí)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡歲時(shí)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡（Bernt Michael Holmbo 1795-1850Bernt Michael Holmbo 1795-1850）發(fā)現(xiàn)了阿）發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對(duì)數(shù)貝爾的數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣

15、。學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。1616歲時(shí)阿貝爾寫(xiě)了一篇解歲時(shí)阿貝爾寫(xiě)了一篇解方程的論文。丹麥數(shù)學(xué)家戴根（方程的論文。丹麥數(shù)學(xué)家戴根（Carl Ferdinand Carl Ferdinand Degen 1766-1825Degen 1766-1825）看過(guò)這篇論文后，為阿貝爾的）看過(guò)這篇論文后，為阿貝爾的24數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分的數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分的研究，于是他給阿貝爾回信寫(xiě)到：研究，于是他給阿貝爾回信寫(xiě)到：“. .與其著手解決與其著手解決被認(rèn)為非常難解的方程問(wèn)題，不如把精力和時(shí)間投被認(rèn)為非常難解的方程問(wèn)題，不如把精力和時(shí)間投入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)的研究上

16、。例如，橢圓積分就入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會(huì)取得成功是很好的題目，相信你會(huì)取得成功.”.”。于是阿貝爾。于是阿貝爾開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。阿貝爾阿貝爾1818歲時(shí)，父親去世了，這使生活變得更歲時(shí)，父親去世了，這使生活變得更加貧困。加貧困。18211821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里斯蒂安尼亞大學(xué)。里斯蒂安尼亞大學(xué)。18231823年，他發(fā)表了第一篇論文，年，他發(fā)表了第一篇論文，是關(guān)于用積分方程求解古老的是關(guān)于用積分方程求解古老的“等時(shí)線等時(shí)線”問(wèn)題的。問(wèn)題的。這是對(duì)這類(lèi)方程的第一個(gè)解法

17、，開(kāi)了研究積分方程這是對(duì)這類(lèi)方程的第一個(gè)解法，開(kāi)了研究積分方程的先河。的先河。18241824年，他解決了用根式求解五次方程的不年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問(wèn)題。這一論文也寄給了格丁根的高斯，但可能性問(wèn)題。這一論文也寄給了格丁根的高斯，但是高斯連信都未開(kāi)封。是高斯連信都未開(kāi)封。 251825年，他去柏林，結(jié)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者克萊爾年，他去柏林，結(jié)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者克萊爾（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他與斯坦納）。他與斯坦納建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志雜志。這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾。

18、這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾22篇包括方篇包括方程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面的論文。程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面的論文。1826年，阿貝爾來(lái)到巴黎，他會(huì)見(jiàn)了柯西、勒讓德、狄年，阿貝爾來(lái)到巴黎，他會(huì)見(jiàn)了柯西、勒讓德、狄利赫萊和其他人，但這些會(huì)面也是虛應(yīng)故事，人們利赫萊和其他人，但這些會(huì)面也是虛應(yīng)故事，人們并沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不并沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?。雖然沒(méi)有像克好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?。雖然沒(méi)有像克萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的研究工作。萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的研究工作。撰寫(xiě)了撰寫(xiě)了“關(guān)于一類(lèi)

19、極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)關(guān)于一類(lèi)極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)”的論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪的信中，的論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪的信中，非常自信地說(shuō)：非常自信地說(shuō)：“.已確定在下個(gè)月的科學(xué)院例會(huì)上已確定在下個(gè)月的科學(xué)院例會(huì)上宣讀我的論文宣讀我的論文,由柯西審閱由柯西審閱,恐怕還沒(méi)有來(lái)恐怕還沒(méi)有來(lái)26得及過(guò)目。不過(guò)，我認(rèn)為這是一件非常有價(jià)值的工得及過(guò)目。不過(guò)，我認(rèn)為這是一件非常有價(jià)值的工作，我很想能盡快聽(tīng)到科學(xué)院權(quán)威人士的意見(jiàn)，現(xiàn)作，我很想能盡快聽(tīng)到科學(xué)院權(quán)威人士的意見(jiàn)，現(xiàn)在正昂首以待在正昂首以待.。” 可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西把論文放進(jìn)抽屜可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西把論

20、文放進(jìn)抽屜里，一放了之。（這篇論文原稿于里，一放了之。（這篇論文原稿于1952年在佛羅倫年在佛羅倫薩重新發(fā)現(xiàn)）阿貝爾等到年末，了無(wú)音信。一氣之薩重新發(fā)現(xiàn)）阿貝爾等到年末，了無(wú)音信。一氣之下離開(kāi)了巴黎，在柏林作短暫停留之后于下離開(kāi)了巴黎，在柏林作短暫停留之后于1827年年5月月20日回到了挪威。由于過(guò)渡疲勞和營(yíng)養(yǎng)不良，在日回到了挪威。由于過(guò)渡疲勞和營(yíng)養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核。這在當(dāng)時(shí)是不治之癥。當(dāng)阿旅途上感染了肺結(jié)核。這在當(dāng)時(shí)是不治之癥。當(dāng)阿貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（Christine Kemp）歡）歡度圣誕節(jié)時(shí)，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗度圣誕節(jié)時(shí)，身體非常

21、虛弱，但他一邊與病魔作斗爭(zhēng)一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。爭(zhēng)一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。他原希望回國(guó)后能被聘為大學(xué)教授，但是他的他原希望回國(guó)后能被聘為大學(xué)教授，但是他的這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度27當(dāng)過(guò)代課教師。阿貝爾和雅可比（當(dāng)過(guò)代課教師。阿貝爾和雅可比（Carl Gustav Jacobi 1804-1851）是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始）是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。這是作為橢圓積分的反函數(shù)而為他所發(fā)現(xiàn)人。這是作為橢圓積分的反函數(shù)而為他所發(fā)現(xiàn)的。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中的重要的。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中的重要領(lǐng)域之一，他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)

22、物理以及代數(shù)幾何有領(lǐng)域之一，他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性。此外，在交換群、二項(xiàng)級(jí)數(shù)的嚴(yán)格理雙周期性。此外，在交換群、二項(xiàng)級(jí)數(shù)的嚴(yán)格理論、級(jí)數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。這些工作論、級(jí)數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動(dòng)者。在這個(gè)時(shí)候，使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動(dòng)者。在這個(gè)時(shí)候，阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲的所有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見(jiàn)這篇橢圓函了歐洲的所有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見(jiàn)這篇橢圓函數(shù)的論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作的

23、蠢事之?dāng)?shù)的論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作的蠢事之后，非常吃驚，在后，非常吃驚，在1829年年3月月14日寫(xiě)信給巴黎科學(xué)日寫(xiě)信給巴黎科學(xué)28院表示抗議：院表示抗議：“.這在我們生活的這個(gè)世紀(jì)中，恐這在我們生活的這個(gè)世紀(jì)中，恐怕是數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向怕是數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向老爺們老爺們研研究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒(méi)有得到諸究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒(méi)有得到諸位先生的注意，這是為什么呢？位先生的注意，這是為什么呢？.”。而由于阿貝。而由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對(duì)于這一切一無(wú)所知。阿爾身處孤陋寡聞之地，對(duì)于這一切一無(wú)所知。阿貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無(wú)策了貝爾的病

24、情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無(wú)策了 1829年年4月月5日夜間，阿貝爾的病情急劇惡日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于化，于4月月6日上午日上午11點(diǎn)去世。作為命運(yùn)捉弄人的點(diǎn)去世。作為命運(yùn)捉弄人的是，在他死后的第二天，克萊爾寫(xiě)信給阿貝爾是，在他死后的第二天，克萊爾寫(xiě)信給阿貝爾“.我國(guó)教育部決定招聘您為柏林大學(xué)教授我國(guó)教育部決定招聘您為柏林大學(xué)教授.，一個(gè)，一個(gè)月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書(shū)月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書(shū).?！边@封信還提到，希望這封信還提到，希望阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費(fèi)用阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費(fèi)用支出。他的親人們聽(tīng)到這一消息，禁不住淚流滿支出。他的親人們聽(tīng)到這一消息，禁不

25、住淚流滿面。面。29000000(0).nnnc zzzzzzzzzzzz 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂，則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的一一切切 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 如如果果在在級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散，則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散定理定理4.5（阿貝爾定理阿貝爾定理) ：0()nnncza 0| |zaza0| |zaza對(duì)于冪級(jí)數(shù)（對(duì)于冪級(jí)數(shù)（1），請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的阿貝爾定理），請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的阿貝爾定理.處處發(fā)發(fā)散散？而而在在處處收收斂斂，能能否否在在思思考考題題：30)2()1(0 zzzcnnn31(1) 對(duì)所有的復(fù)數(shù)對(duì)所有的復(fù)數(shù)z都收斂都收斂.3 3、冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑、冪級(jí)數(shù)的收

26、斂圓與收斂半徑(2) 除除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散. 收斂半徑為收斂半徑為收斂半徑為收斂半徑為0.,)0()3(020121發(fā)發(fā)散散收收斂斂使使得得和和存存在在點(diǎn)點(diǎn) nnnnnnzczczzRAbel 則則，由由定定理理, ,必必存存在在一一正正數(shù)數(shù) 滿滿足足：當(dāng)當(dāng)|z|R|z|R|z|R，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，|Z|R為收斂圓為收斂圓.冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)0()nnncza 的收斂圓是以的收斂圓是以a點(diǎn)為中心的圓域點(diǎn)為中心的圓域.注注:(1)冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性待定！冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性待定！0nnnc z (2)32 如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑呢

27、如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑呢? ?我們先我們先討論下面的一個(gè)定理討論下面的一個(gè)定理: :00|.nnnnnnc zcz 定定理理4 4. .6 6 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與有有相相同同的的收收斂斂半半徑徑.|2100RRzczcnnnnnn和和收收斂斂半半徑徑分分別別為為的的和和設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)證證明明： 因因?yàn)闉槭帐諗繑浚?|nnncz 12.RR 所所以以則則收收斂斂，0nnnc z 1RxyO2R331RxyO2R如如 果果則則 說(shuō)說(shuō) 明明存存 在在 這這 樣樣 的的 點(diǎn)點(diǎn)：位位 于于收收 斂斂 圓圓 內(nèi)內(nèi) ， 但但 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 在在處處 不不 絕絕 對(duì)對(duì) 收收 斂斂 ， 這這 與與定定 理理 不不 符符

28、， 從從 而而12*12,.RRzzzAbelRR 因因?yàn)闉闉闉閷?shí)實(shí)的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，注注意意到到定定理理4 4. .6 6，則則求求復(fù)復(fù)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑可可以以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為求求實(shí)實(shí)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂半半徑徑 聯(lián)聯(lián)系系在在高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中中已已經(jīng)經(jīng)學(xué)學(xué)過(guò)過(guò)求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂半半徑徑的的方方法法，我我們們有有0|.nnncz *z34limn1nncc l limnnncl R 1l0,ll 0l ( 0l ( (達(dá)朗貝爾）達(dá)朗貝爾） 柯西柯西定理定理4.74.71nnnc z nc合于合于的系數(shù)的系數(shù)如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù))()()(比值法比值法)(根值法根值法)35例

29、例1.120的收斂范圍及和函數(shù)的收斂范圍及和函數(shù)求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) nnnzzzz121 nnzzzs又又),1(11 zzzn解解; 11lim1 Rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng).,0lim1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnzz 所以所以且且的收斂范圍是的收斂范圍是, 1|0 zznn36201111(| |).nnnzzzzzz .1,;1,11,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且和函數(shù)為且和函數(shù)為收斂收斂zzzznn綜上綜上37例例2 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂圓：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂圓：解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1()2

30、(1 nnnz.!)3(1 nnnnznnnncc1lim , 1)1(lim pnnn; 1 R. 1| z收收斂斂圓圓nnncc1lim)2( , 11lim nnn; 1 R. 1|1| z收收斂斂圓圓38nnncc1lim)3( 1(1)lim(1)!nnnnnnn .1eR .)ln(1的收斂半徑的收斂半徑思考題：求思考題：求nninz ，提提示示：根根據(jù)據(jù)0lim nnnc. R.!)3(1 nnnnzn1lim 1,nnen394 4、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)00( )() nnnfzczz 004.8 (1)( )()nnnf zczz 在在其其收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)定定理理冪冪級(jí)

31、級(jí)數(shù)數(shù)的的和和是是一一個(gè)個(gè)解解函函數(shù)數(shù)析析函函數(shù)數(shù)。00( )( )2(nnnf zczz 在在其其收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)可可以以逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)和和冪冪逐逐級(jí)級(jí)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)積積分分，即即-冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算00() nnnczz 10()nnn czz 1n 實(shí)際上，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)實(shí)際上，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階導(dǎo)數(shù)至任意階導(dǎo)數(shù).4000(2)( )()nnccnf z dzczzdz00z0z0( )() dznnznfdcz或-冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算注：定理注：定理4.8為今后將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)提供了極為今后將函數(shù)展

32、開(kāi)成冪級(jí)數(shù)提供了極大的方便大的方便.00()nncnczzdz 100()1nnnczzn415 5、 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與實(shí)冪級(jí)數(shù)一樣，復(fù)冪級(jí)數(shù)也可以進(jìn)行與實(shí)冪級(jí)數(shù)一樣，復(fù)冪級(jí)數(shù)也可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算.|),(,|),(2010rzzgzbrzzfzannnnnn 設(shè)設(shè),),()()(000Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn ).,min(21rrR 其中其中-冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算則則42).,min(21rrR 其中其中,),()()(0022110Rzzgzfzbabababannnnnn -冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算（即用第一個(gè)冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)

33、乘第二個(gè)級(jí)數(shù)，然后（即用第一個(gè)冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)乘第二個(gè)級(jí)數(shù)，然后合并同次冪系數(shù)合并同次冪系數(shù).） 303122130202112001100000)()()()()(zbabababazbababazbababazbzannnnnn對(duì)角線法對(duì)角線法430a1a00a b0b2a2b1b22a b2 1a b20a b12a b1 1a b10a b02a b0 1a b對(duì)角線法則對(duì)角線法則44在函數(shù)展在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中成冪級(jí)數(shù)中很有用很有用注：上面的運(yùn)算在兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成注：上面的運(yùn)算在兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成立立. 但這并不意味著運(yùn)算后級(jí)數(shù)的收斂半徑就是上但這并不意味著運(yùn)算后級(jí)

34、數(shù)的收斂半徑就是上面兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小一個(gè)收斂半徑面兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小一個(gè)收斂半徑.設(shè)設(shè)0(),nnnfar .)()(0Rzzgazgfnnn ，則則-冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)運(yùn)算運(yùn)算在在內(nèi)內(nèi)解解析析，且且( )|( ),g zzRg zr45例例3.,)(10baazcbznnn 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)表表成成形形如如把把解：注意到解：注意到.)()(11abazbz 211( ) ( ) ( ),( ( )1)1( )ng zg zg zg zg z 所以所以 abzgabazabbz1)(111111代換代換展開(kāi)展開(kāi)11z 1,( )1g z 46223111111()1( )()1

35、1()()()() .nnzazbbag zbabazazababazaR 21,.nzazazazabaRbababa還原還原47本講小結(jié)本講小結(jié)1 1、級(jí)數(shù)收斂的定義和性質(zhì)、級(jí)數(shù)收斂的定義和性質(zhì)2 2、AbelAbel定理定理3 3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑4 4、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)48 我們知道一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓我們知道一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)，現(xiàn)在我們考慮與此相反的問(wèn)題：內(nèi)是解析函數(shù)，現(xiàn)在我們考慮與此相反的問(wèn)題：一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示？一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示？1 1、泰勒展開(kāi)定理、泰勒展開(kāi)定理 對(duì)實(shí)函數(shù)而言，一個(gè)關(guān)鍵性

36、條件是：對(duì)實(shí)函數(shù)而言，一個(gè)關(guān)鍵性條件是：應(yīng)在展開(kāi)應(yīng)在展開(kāi)點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù)點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù). 對(duì)于復(fù)變函數(shù)來(lái)說(shuō)，由于解析函數(shù)具有任意階對(duì)于復(fù)變函數(shù)來(lái)說(shuō)，由于解析函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，所以這一條件是滿足的的導(dǎo)數(shù)，所以這一條件是滿足的.490( )f zzTaylor在在 點(diǎn)點(diǎn)的的展展開(kāi)開(kāi)定理定理1（Taylor定理）定理）.,2 , 1 ,0),(!1)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距離離的的邊邊界界到到為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)200000( )00()( )()()()()2!()

37、 ()!nnfzf zf zfzzzzzfzzzn即即50Dk0z證明：證明：.|0任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)為為設(shè)設(shè)Rzzz ,100 qzzz1( )( ),(*)2kff zdiz 由柯西積分公式由柯西積分公式000001111,()1zzzzzzzz 注注意意到到200001000000()111()().()nnnnzzzzzzzzzzzzzz 0:.kzrR 取取.z51Dk0zz把上面的式子代入把上面的式子代入( (* *),),01001( )( )() 2()nnknff zzzdiz 01001( )()2()nnknfzzdiz ( )000()()!nnnfzzzn 00()nn

38、nczz 若可以交換若可以交換次序次序100110001( )( )()() 2()()Nnnnnknn Nffz zz zdizz 100110001( )1( )()()2()2()Nnnnnkknn Nffz zdz zdiziz ( )1000( )()()( )!nNnNnf zfzzzRzn 0101( )()| 2|()|( )|nnknNNfzzdizRz 0001|() |2|nknNfdszzzz 其中其中000|1rzzzzqz 故故，K 在在上上取取值值，( )Kf 在在 上上解解析析，連連續(xù)續(xù)，( )f 故故|M|M12nknNMdsrq 1201knnn Nn NN

39、dsMqMqrMqq 證畢！證畢！0000(1),( ).zrzzrkrkDf zzTaylorzD注注： 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂范范圍圍是是以以 為為中中心心， 為為半半徑徑的的圓圓域域圓圓 的的半半徑徑可可以以任任意意增增大大 只只要要圓圓及及其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含在在 內(nèi)內(nèi)即即可可 故故在在解解析析點(diǎn)點(diǎn) 處處的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑至至少少等等于于從從 到到 的的邊邊界界上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距離離5400( )()nnnf zczz 0( )f zz在在 的的泰泰勒勒展展式式0( )f zz在在 的的泰泰勒勒展展開(kāi)開(kāi)0( )f zz在在 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展式式0( )f zz

40、在在 展展成成泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)( )00(0)0nnnfzzn 特特別別的的當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .！551010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事實(shí)上事實(shí)上，設(shè)，設(shè)f (z)用另外的方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)用另外的方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù):導(dǎo)導(dǎo)性性質(zhì)質(zhì)得得，再再由由冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求則則00)(azf , 2 , 1 , 0),(!1,0)( nzfnann依依此此類(lèi)類(lèi)推推得得，.)(0是是唯唯一一的的在在注注展展開(kāi)開(kāi)式式的的( (2 2) )Tay

41、lorzzf由此可見(jiàn)，解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)就是它的由此可見(jiàn)，解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)就是它的Taylor級(jí)數(shù)，因而是唯一的級(jí)數(shù)，因而是唯一的. .注注(1) 若若f (z)有奇點(diǎn)，那么有奇點(diǎn)，那么f (z)在解析點(diǎn)在解析點(diǎn) 的的Taylor展開(kāi)式的收斂半徑展開(kāi)式的收斂半徑R等于點(diǎn)等于點(diǎn) 到到f (z)的最近的的最近的一個(gè)奇點(diǎn)一個(gè)奇點(diǎn) 之間的距離，即之間的距離，即0z0z 0|Rz 56(1)直接法直接法-利用公式利用公式;(2)間接法間接法-由由已知函數(shù)的展開(kāi)式，已知函數(shù)的展開(kāi)式，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代換、逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等方法來(lái)展開(kāi)運(yùn)算、代換、逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等方法來(lái)展開(kāi).函數(shù)

42、展開(kāi)成函數(shù)展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)的方法：級(jí)數(shù)的方法：.,2, 1 ,0),(!1,)()(0)(00 nzfnczzczfnnnnn其其中中即即例如例如. 1,1112 zzzzzn57()00()1,(0,1,2,).znzzzeen 2 2、 幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.0)(展展開(kāi)開(kāi)式式的的在在求求Taylorzezfz 例例1 解解:展展開(kāi)開(kāi)式式？的的在在如如何何求求Taylorzezfz0)(2 思考題思考題: 23011.2!3!nznnzzzezznn ,ze在在復(fù)復(fù)平平面面上上解解析析.R 該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑58sinzsin zR 在復(fù)平面

43、上解析，它的收斂半徑,)!12()1(012 nnnnz001( )()22!iziznnnneeiziziinn （一）求導(dǎo)、求積分法.(sin )z(1).cos z 20( 1)(2 )!nnnzn coszR 在復(fù)平面上解析，它的收斂半徑例例2 把下列函數(shù)展開(kāi)成把下列函數(shù)展開(kāi)成 z 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù):(2) ( )ln(1)f zz:,1逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得內(nèi)內(nèi)任任意意取取一一條條路路徑徑在在收收斂斂圓圓cz 10ln(1)( 1),1.1nnnzzzn10000( 1)( 1),11nzznnnnndzzz dzzn解解:因因ln(1+z)在從在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)向左

44、沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)解析，解析， ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是-1,所以它的展開(kāi)式的收斂范圍為所以它的展開(kāi)式的收斂范圍為z1.（逐項(xiàng)積分、求導(dǎo)，收斂半徑不變）（逐項(xiàng)積分、求導(dǎo)，收斂半徑不變）1ln(1)1zz61例例3 把下列函數(shù)展開(kāi)成把下列函數(shù)展開(kāi)成 z 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù):21(1) ( );.(1)f zz解解01,1.1nnzzz011( 1),1.11 ()nnnzzzz 211()(1)1zz 11( 1),1.nnnzz 1n （二）有理式.621(2) ( );.(1)(2)f zzz解解01,1.1nnzzz111(1)(2)21zzzz 1111

45、212zz 00122nnnnnzz101(1)2nnnz收斂半徑R=121(3) ( );.1f zz解解01(1),1.1nnzzz211z 20nnnz(-1)011( 1),1.11 ()nnnzzzz 1R 收斂半徑21( )z1.2z5f zz思考：展開(kāi)為關(guān)于的冪級(jí)數(shù)22112z5(1)4zz提示：=211141()2z64一些常用展開(kāi)式一些常用展開(kāi)式211,1;1nzzzzz 11( 1),1;1nnzzzz 35721sin( 1)|;3!5!7!nnzzzzzzzn 242cos1( 1),|;2!4!(2 )!nnzzzzzn 231,|;2!3!nzzzzezzn 65例

46、例4 .)1()2(1)()2(2的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展成展成將將 zzzf解解(1)211,1.1nzzzzz 113252(1)zz.3)1(1 191)1(31)2(1)()2(222 zzzzf;)1(231)()1(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展成展成將將 zzzf11251(1)5z66泰勒泰勒 (1685 1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家，早期牛頓派英國(guó)數(shù)學(xué)家，早期牛頓派最優(yōu)秀的代表人物之一。最優(yōu)秀的代表人物之一。正的和反的增量方法正的和反的增量方法(1715)(1715) 線性透視論線性透視論(1719)(1719) 他在他在1712 1712 年就得到了現(xiàn)代形式年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式的泰勒公式 .

47、 .他是有限差分理論的奠基人他是有限差分理論的奠基人 . .671 1、 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)-含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義定義 具有如下形式的級(jí)數(shù)具有如下形式的級(jí)數(shù)10010()()()nnnnnczzczzczz 稱(chēng)為稱(chēng)為雙邊冪級(jí)數(shù)，雙邊冪級(jí)數(shù)，正冪項(xiàng)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng)包括常數(shù)項(xiàng))部分部分：)2( ,)()()(001000 nnnnnzzczzcczzc.), 2, 1, 0(0都是常數(shù)都是常數(shù)及及其中其中 nczn負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分：1100()().(3)nnczzczz0100()()(1)nncc zzczz4 4 洛朗洛朗( (Laurent) )級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)01()

48、nnnczz680雙雙邊邊冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)()nnnczz 同時(shí)收斂同時(shí)收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 f2(z)f (z)正冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分f1(z)負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分收斂收斂69nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑1,R 時(shí)時(shí) 收收斂斂011zzrR收斂域收斂域收斂收斂半徑半徑R0zzR收斂域收斂域1若若 ( ):rR 兩收斂域無(wú)公共部分兩收斂域無(wú)公共部分,2( ):rR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分H:0.rzzRR1aRrH12( )( )( )f zf zfz0z70結(jié)論結(jié)論:的的收收

49、斂斂區(qū)區(qū)域域?yàn)闉殡p雙邊邊冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓環(huán)域圓環(huán)域1R2R.0z常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z7100().nnnczzrzzR性質(zhì)：內(nèi)數(shù)項(xiàng)積分項(xiàng)導(dǎo)在在的的和和函函是是解解析析的的, ,而而且且可可以以逐逐和和逐逐求求 現(xiàn)在我們考慮相反的問(wèn)題：在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)現(xiàn)在我們考慮相反的問(wèn)題：在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)能否展開(kāi)成一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù)呢？這也是本節(jié)開(kāi)始提出能否展開(kāi)成一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù)呢？這也是本節(jié)開(kāi)始提出的問(wèn)題的問(wèn)題. . 關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的答案是肯定的，這就是下面關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的答案是肯定的，這就是下面要

50、討論的洛朗定理要討論的洛朗定理. .72定理定理0 ( ) f zrzzR 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線. 0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù). ( )f z則則一一定定能能在在此此圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)展展開(kāi)開(kāi)成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)2. 函數(shù)展開(kāi)成雙邊冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成雙邊冪級(jí)數(shù)73說(shuō)明說(shuō)明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式洛朗展開(kāi)式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). nnnzzcz

51、f)()(0 1) ( )0( )00()!( )()nnnfzcnzf zfz3) 3) 洛洛朗朗展展開(kāi)開(kāi)式式中中的的不不能能寫(xiě)寫(xiě)成成，這這是是因因?yàn)闉槿缛绻?是是函函數(shù)數(shù)的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，不不存存在在。故故需需注注意意洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)系系數(shù)數(shù)與與泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)系系數(shù)數(shù)在在寫(xiě)寫(xiě)法法上上的的區(qū)區(qū)別別。2) 2) 洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中的的正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)部部分分和和負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)部部分分分分別別稱(chēng)稱(chēng)為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的解解析析部部分分和和主主要要部部分分744) 一個(gè)函數(shù)可以在幾個(gè)圓環(huán)內(nèi)解析，在不一個(gè)函數(shù)可以在幾個(gè)圓環(huán)內(nèi)解析，在不同的圓環(huán)內(nèi)洛朗展開(kāi)式是不同的，但在同一圓環(huán)域內(nèi)，同的圓環(huán)

52、內(nèi)洛朗展開(kāi)式是不同的，但在同一圓環(huán)域內(nèi)，不論用何種方法展開(kāi)，所得的洛朗展開(kāi)式唯一。不論用何種方法展開(kāi)，所得的洛朗展開(kāi)式唯一。0( )|f zrzzR假假定定在在內(nèi)內(nèi)有有另另一一展展開(kāi)開(kāi)式式0( )()kkkkf zazz 100(),nzzzC 以以去去乘乘上上式式兩兩端端 并并沿沿環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞 的的任任一一條條正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線 積積分分有有1010( )()()kk nknCCkfdazdz 2nia 即展開(kāi)式唯一即展開(kāi)式唯一.,nnca 75常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 1. 直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法利用定理公式計(jì)算系數(shù)利用定理公式計(jì)算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫(xiě)出然后寫(xiě)出.)()(0nnnzzczf 3. 函數(shù)的洛朗展開(kāi)函數(shù)的洛朗展開(kāi)2