公開課2.4.1平面向量數量積的物理背景及其含義

1、2.4.1 平面向量數量積的平面向量數量積的物理背景及其含義物理背景及其含義向量的夾角向量的夾角OAB OABab0 ,當OAB baab記作已知已知兩個非零向量兩個非零向量 和和 ，作，作 ， ，則，則 叫做向量叫做向量 和和 的的夾角夾角OAa OBb AOB)1800( abababab與 同向OABab180 ,當ab與 反向ab與 垂直90 ,當, a b 記作問問 題題sF 一個物體在力一個物體在力F 的作用下產生的位移的作用下產生的位移s，那么力，那么力F 所做的功應當怎樣計算？所做的功應當怎樣計算？為此，我們引入向量為此，我們引入向量“數量積數量積”的概念。的概念。 功是一個功

2、是一個標量標量，它由力和位移兩個向量來確定，它由力和位移兩個向量來確定.這給這給我們一種啟示，能否把我們一種啟示，能否把“功功”看成是這兩個向量的一種運看成是這兩個向量的一種運算的結果呢？算的結果呢？其中其中是是 F 與與 s 的夾角的夾角 .W = |F|s| cos問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結果又該如何表述？般向量，其結果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。cosSFW| a| bcos ba功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積

3、；平面向量的數量積的定義平面向量的數量積的定義規(guī)定：零向量與任意向量的數量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數量積為0，即即 00a （1）兩向量的數量積是一個）兩向量的數量積是一個數量數量，而不是向量，符號由夾角決定，而不是向量，符號由夾角決定. （3） 在運用在運用數量積公式解題時，一定要注意兩向量夾角的數量積公式解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍是范圍是 0，180說明說明： 已知非零向量已知非零向量 與與 ，我們把數量，我們把數量 叫作叫作 與與 的的數量積數量積（或（或內積內積），記作），記作 ，即規(guī)定，即規(guī)定 |cosa bababa b |cosa ba b （2） a b中間的中間的

4、“ ”在向量的運算中不能省略，也不能在向量的運算中不能省略，也不能寫寫 成成ab ，ab 表示向量的另一種運算（外積）表示向量的另一種運算（外積）思考：向量的數量積是一個數量，那么它什么向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？時候為正，什么時候為負？| co sabab 當當0 90時時 為正；為正；a b 當當90 180時時 為負。為負。a b 當當 =90時時 為零。為零。a b 數量積符號由數量積符號由cos 的符號所決定的符號所決定問題：問題：向量的數量積運算與實數同向量積的線性運算的向量的數量積運算與實數同向量積的線性運算的結果有什么不同？結果有什么不同？實數同向

5、量積的實數同向量積的線性運算的結果是線性運算的結果是向量向量兩向量的數量積是一個實數，是一個兩向量的數量積是一個實數，是一個數量數量當當a與與b同向時，同向時，abab；當當a與與b反向時，反向時，abab；aaa2a2或或a .aa問題：設問題：設a與與b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，則，則ab等于多少？等于多少？反之成立嗎？反之成立嗎？ ab ab0問題：當問題：當a與與b同向時，同向時，ab等于什么？當等于什么？當a與與b反向時，反向時，ab等于什么？特別地，等于什么？特別地，aa等于什么？等于什么？ . cosbaba 12, 9, 54 2,.ababab 例：已知求與的夾角

6、212abaa bb 例：已知 ， 滿足：=9，求的取值范圍。問題：問題：ab與與ab的大小關系如何？為什么的大小關系如何？為什么？ abab 問題：對于向量問題：對于向量a，b，如何求它們的夾角，如何求它們的夾角？ 向量數量積的性質向量數量積的性質a b 設 ,都是非零向量,則1)0aba b 222,|,|a ba baba ba babaaaaa ）當當同同向向時時； 當當反反向向時時； 特特別別的的或或3|abab ） 4|a ba bab ）c co os s = =為為 ， 的的夾夾角角| co sabab 例例 、在、在ABCABC中中， 求求8,7,60abCBC CA ,00

7、ABCABa ACba ba bABC 1、已知中，當或時，試判斷的形狀。練習練習: :,0ABCABa BCba bABC 變式：已知中，當時，試判斷的形狀。例例 、已知、已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，求求a ab b a a與與b b的夾角的夾角=120=120平面向量數量積的幾何意義平面向量數量積的幾何意義向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影是什么？是什么？ 投影一定是正數嗎？投影一定是正數嗎？| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影OABab 1BbOBaOA ，作作，過點，過點B作作1BB垂直于直線垂直于直線OA，垂足為，垂足為 ，則，

8、則1B 1OB| b | cosacosC說明：說明：（2）投影也是一個數量，不是向量。）投影也是一個數量，不是向量。（1）OABab 1BBOAab 1BOABab )(1B為銳角時，為銳角時，| b | cos0為鈍角時，為鈍角時，| b | cos0為直角時，為直角時，| b | cos=0當當 = 0 時投影為時投影為|b|當當 = 180 時投影為時投影為-|b|.問題：根據投影的概念，數量積問題：根據投影的概念，數量積ab=a| |bcos的幾何意義是什么？的幾何意義是什么？ 數量積數量積ab等于等于a的模與的模與b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘積，或等于的乘積，或等于

9、b的模與的模與a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘積的乘積. .上的投影為在時）當（上的投影為在時）當（上的投影為在時）當（上的投影為在時）當（夾角為與若abbababababa000012041203902301,8| ,4|32024練一練：練一練：abba )()()(bababa cbcacba )(交換律：交換律：對數乘的結合律：對數乘的結合律：分配律：分配律：則則，和實數和實數、已知向量已知向量 cba數量積的運算律數量積的運算律下面我們證明運算律（下面我們證明運算律（3）：）：cbcacba )(分配律：分配律：.OCAA1Ba b 1 2 證證：.cOCbABaOAO

10、，作作，任取一點任取一點，如圖如圖方向上的投影等于方向上的投影等于在在即即cOBba)( 即即，方向上的投影的和方向上的投影的和在在、cba cos|ba21cos|cos| ba 21cos|cos|cos| bcacbac bcacbac )(.)(cbcacba B1c ab 想一想：想一想： 向量向量數量積數量積不滿足不滿足結合律結合律 .向量的數量積滿足結合律嗎？說明：說明：()a bcc 表示一個與共線的向量，()ab ca 而表示一個與 共線的向量ca但與不一定共線，()()a bcab c )cb(ac)ba( 即：即：成立嗎？成立嗎？應用舉例 1100 2 0=03 0 =

11、4= 50, 0 6 =0 0 7aaBABAaba babababa ba 例 、判斷正誤，并簡要說明理由若則對任一非零向量 有若，則， 中至少有一個為 對任意向量 22 8 b cabcabca bab ，都有若 ，是兩個單位向量，則 22 1 23 4,005 67a b cacb caba ba bababa bababa ba bababb cacabc 例 、寫出下列正確命題的序號：已知 ，為非零不共線向量，則若=0,則 若=0 則或若 ,則若,則-不與 垂直、 、 常用公式222(1)()2abaa bb 22(2)() ()ababab 222| 6,| 4,b60,(2 )

12、(3 ),() ,|abaa bababababab 已知與 的夾角為，求已知與 的夾角為，求，當且僅當，不共線與且，例、已知)(4|3|baba？互相垂直與向量，為何值時bkabkak例、354,3k2kabababab:已知，向量 與 的夾角為，如果（）（）,求實數 的值.6332baababab4:已知，向量 與 的夾角為，且（） （）=-72,求.練習1、練習1、2222() 思考 是一個常用的結論，如何構造一個圖形解釋這個公式的 幾何意義？9例5 已知=, =， 求 .利用平面向量數量積求解利用平面向量數量積求解長度長度問題問題|aa a 1(2008)12,3,abababab例上

13、海 :已知，向量 與 的夾角為，求變式：變式：32,13ababababab若，求:(1)(2)與的夾角的余弦值.(2008)13,1205ababab練習江蘇 :已知，向量 與 的夾角為，求最??？時，取何值，問夾角為與練習題：btatbaba0120, 1利用平面向量數量積求解利用平面向量數量積求解夾角夾角問題問題|cosbaba 例： 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的夾角(2007)21,1b .abaaba 練習：上海 :已知，（）求，課堂小結：1、向量的數量積的定義、向量的數量積的定義已知兩個非零向量已知兩個非零向量 與與 ，

14、它們的夾角為，它們的夾角為，我們把，我們把數量數量 叫做叫做 與與 的數量（或內積的數量（或內積,點乘），即點乘），即abcosa b abcosa ba b 規(guī)定：零向量與任意向量的數量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數量積為0，即即 0 0a2 2、向量數量積的幾何意義、向量數量積的幾何意義| cosabba 數數 量量 積積等等 于于與與 投投 影影的的 乘乘 積積 。3、數量積運算律、數量積運算律(1)a bb a （交換律）（交換律）(2)()()()aba bab （數乘結合律）（數乘結合律）(3)()abca cb c （分配律）（分配律）課堂小結：4、向量數量積的性質、向量數量積的

15、性質a b 設, 都 是 非 零 向 量 ,則1)0aba b 222,|,|a ba baba ba babaaaaa ）當當同同向向時時； 當當反反向向時時； 特特別別的的或或3 |a bab ） 4|a ba bab ）c co os s= =為為 ， 的的夾夾角角5. 常用常用a 求向量的求向量的模模.常用求向量的常用求向量的夾角夾角.a acosa bab1、有四個式子：有四個式子：其中正確的個數為（其中正確的個數為（ ）A A、4 4個個B B、3 3個個C C、2 2個個D D、1 1個個2、已知、都是單位向量，下列結論正確的是（已知、都是單位向量，下列結論正確的是（ ）A A、B B、C C、 D D、3、有下列四個關系式：有下列四個關系式：，其中正確的個數是（），其中正確的個數是（）A A、1 1B B、2 2C C、3 3D D、4 400 a00 a|baba ab1 ba22ba abab 0 ba000 )()(cbacba abba 00 acbcaba D