第一章矢量分析

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版1第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版2本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1.

2、6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版31. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。一個(gè)只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個(gè)既

3、有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示 注意注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶繂挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶緼矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 自由矢量自由矢量 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版4zzyyxxAeAeAeA矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量

4、表示zlGc o s,uG lGG ll c o s, c o s, c o s,yzzxxySyzzxxySR Q d y d zP R d x d zQ P d x d yR Qn xP Rn yQ Pn zd S xy12uz1231 ,s i nhh r h r x y zeeexyz c o s (,)nR n RR n NoImage模的計(jì)算模的計(jì)算單位矢量單位矢量NoImageNoImage方向角與方向余弦方向角與方向余弦NoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 &

5、 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版5位置矢量位置矢量(矢徑矢徑)xyzeeexyz ( ) ( ) ( ),xyzRexx eyy ezzRR 位矢位矢 的大小的大小( (模模) )為為34qErr G 起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)在點(diǎn)起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)在點(diǎn)M的矢量的矢量 為點(diǎn)為點(diǎn)M的位置矢量的位置矢量, ,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱位矢：位矢： 。 NoImage34qErr *NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage位矢位矢 的方向余弦的方向余弦34qErr NoI

6、mage直角坐標(biāo)的表達(dá)式：直角坐標(biāo)的表達(dá)式：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版6（1）矢量的加減法）矢量的加減法()()fRfR 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的加法xyzeeexyz AB矢量的減法矢量的減法BA2 2 22

7、2 2a r c c o s (/)a r c ta n (/)r x y zz x y zyx ()d ffR Rd Rxyze e ex y z 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律(,)z31(1 ),(2),(3) ( )( )RRRf Rf RRRR 交換律交換律第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版7（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）xyzeeexyz

8、zzyyxxBABABAABBAcosxyzeeexyz 矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeeexyzeeexyzAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角xyze e ex y z x y zre xe ye zxyzeeexyz xyzeeexyzBA/221 313dd duShh u u e第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版8（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）(,)Fxyz、112323ddduShhuue2

9、22u x y z (, )Fxyz tsinAB0uy(,)u x y z 、22()xy zA x z e y z e x y e 矢量矢量 與與 的叉積的叉積x y ze e ex y z x y zre x e y e z用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫(xiě)成行列式形式為寫(xiě)成行列式形式為( , )uMt 、1321hhh若若 ，則，則( , )F M t,)(,)(,)(,)xxyyzzF x y ze F x y ze F x y ze F x y z （若若 ，則，則負(fù)交換率負(fù)交換率第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出

10、版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版9（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算CBCACBA)()FM222uxxxyz(,)xyz 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版101.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場(chǎng)與波理論中，在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：

11、直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。 三維坐標(biāo)系中一個(gè)坐標(biāo)的等值曲面，稱為該坐標(biāo)的三維坐標(biāo)系中一個(gè)坐標(biāo)的等值曲面，稱為該坐標(biāo)的坐標(biāo)曲面坐標(biāo)曲面；三維坐標(biāo)系中兩個(gè)坐標(biāo)曲面的交集即為坐標(biāo)曲線；三個(gè)坐標(biāo)曲面三維坐標(biāo)系中兩個(gè)坐標(biāo)曲面的交集即為坐標(biāo)曲線；三個(gè)坐標(biāo)曲面的交點(diǎn)確定三維空間點(diǎn)的坐標(biāo)。的交點(diǎn)確定三維空間點(diǎn)的坐標(biāo)。第第1 1章章 矢

12、量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版111. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面積元面積元線元矢量線元矢量()uM、Edd dzSx y體積元體積元1 2 3123dd d dVhhh u u uNoImage坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量222uzzxyz 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 x y zeeexyz x

13、y zeeexyz yex yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydxdd dxSy zesD dSq123,hhh坐標(biāo)曲面坐標(biāo)曲面0limc o sc o sc o snyzzxxySR QP RQ PS 坐標(biāo)曲線上坐標(biāo)曲線上x(chóng)yz增大方向增大方向兩兩正交，滿足右手螺兩兩正交，滿足右手螺旋法則旋法則均為常矢量均為常矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版12矢量在直角坐標(biāo)系中表達(dá)及運(yùn)算矢量在直角

14、坐標(biāo)系中表達(dá)及運(yùn)算sinc o ssinsinc o sc o sc o sc o ssinsinsinc o srxyzxyzxyeeeeeeeeeee l0uu 222u x y z 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版132. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系123(,)u uu坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量NoImage坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)曲面坐標(biāo)曲面NoImage 分別指向各自坐標(biāo)變量增大的方向分別指向各自坐標(biāo)變量增大的方向 兩兩正

15、交，滿足右手螺旋法則兩兩正交，滿足右手螺旋法則 不是常矢量不是常矢量NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版14圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系NoImageNoImageoxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系,ne1 1N Ne e i iiiqQ eNoImageNoImage坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系l 和

16、和 是隨是隨 變化的變化的NoImageNoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版15NoImageNoImageNoImageNoImage矢量在圓柱坐標(biāo)系中的表示及運(yùn)算矢量在圓柱坐標(biāo)系中的表示及運(yùn)算第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版16xyze e ex y z ze

17、erz位置矢量位置矢量NoImage線元矢量線元矢量331212ddduSh huu e體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版173. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量1231 , 1h h h 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)曲面坐標(biāo)曲面NoImage 分別指向各自坐標(biāo)變量增大的方向分別指向各自坐標(biāo)變量增大的方向 兩兩正交，滿足右手螺旋

18、法則兩兩正交，滿足右手螺旋法則 三個(gè)單位矢量均不是常矢量三個(gè)單位矢量均不是常矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版18球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系NoImageNoImageNoImage球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出

19、版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版1911N Nee iiiiqQ e0*S M M M 時(shí)，000A 1limd limnCS MS MQd Qv lSS d S FdSF S oz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系01 1N Ne e i iiiqQ 1c o sc o sc o s2u uuulxyz c o sc o sc o sxyz xyzu u u ueeeeeelxyz 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系第第1 1章章 矢量分析

20、矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版20(,)r2dsin d drSr dsin d dSrrdd dSr r球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元rerr位置矢量位置矢量xyzeeexyz線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版2

21、1NoImageNoImageNoImageNoImage矢量在球坐標(biāo)系中的表示及運(yùn)算矢量在球坐標(biāo)系中的表示及運(yùn)算第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版224. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 ,ne0ne00(,)dCvxyz l Q ( ) ()A M frrA 122c o s ,c o s ,c o s333()frdSF S 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系11N Nee iiiiqQ e0*S M M M 時(shí)，0

22、00A 1limd limnCS MS MQd Qv lSS d S FdSF S 圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系01c o sc o sc o s2u uuulxyz c o sc o sc o sxyz xyzu u u ueeeeeelxyz c o s c o s c o sxyzxyzu u uGe e ex y zl e e e lddF S F1limdlimnCS MS MI dIH lSS dS ,ne31RRRRRddFS122c o s ,c o s ,c o s333()fr第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與

23、電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版23 在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都不一定都是長(zhǎng)度，其線元必然有一個(gè)修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉是長(zhǎng)度，其線元必然有一個(gè)修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù)梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫(xiě)出其線元、，就可正確寫(xiě)出其線元、面元和體元。面元和體元。NoImageNoImage體元：NoImageNoImage線元：NoImageNoImageNoImage面元：正交曲線坐標(biāo)系：正交曲線坐標(biāo)系：第第1 1章

24、章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版24a. 在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長(zhǎng)度量，其拉梅系數(shù)均為均為長(zhǎng)度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：即：NoImageNoImageb. 在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 , 其中其中 為角度，其對(duì)為角度，其對(duì)應(yīng)的線元應(yīng)的線元 ，可見(jiàn)拉梅系數(shù)為：，可見(jiàn)拉梅系數(shù)為：NoImageNoImageNoImage在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中，其中 均為均為 角度，其拉梅

25、系數(shù)為：角度，其拉梅系數(shù)為：NoImageNoImageNoImage注意：注意：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版25q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。 例如例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。q 如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)。 例如例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。q 如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱

26、為靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)，反之為，反之為時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)。定義：定義：確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)場(chǎng)。p 什么是場(chǎng)？什么是場(chǎng)？p 場(chǎng)有哪些性質(zhì)？場(chǎng)有哪些性質(zhì)？p 產(chǎn)生場(chǎng)的源是什么？產(chǎn)生場(chǎng)的源是什么？p 場(chǎng)的分布和變化用什么來(lái)描述？場(chǎng)的分布和變化用什么來(lái)描述？第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版26時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分

27、別表示為： 1231 12 23 3d ddduuul hue hue hueNoImage從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)，即場(chǎng)是空間點(diǎn)從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)，即場(chǎng)是空間點(diǎn)M的的函數(shù)函數(shù)NoImageNoImage靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：直角坐標(biāo)系下，直角坐標(biāo)系下，NoImageNoImageNoImageNoImage矢量場(chǎng)的坐標(biāo)分量表示矢量場(chǎng)的坐標(biāo)分量表示NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等

28、教育電子音像出版社 出版出版271. 1. 標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面等值面等值面: : 標(biāo)量場(chǎng)取得標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值同一數(shù)值的點(diǎn)在空的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：由隱函數(shù)存在定理知：函數(shù)由隱函數(shù)存在定理知：函數(shù)u u為單值，且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)為單值，且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 不全為零時(shí)，等值面一定存在；不全為零時(shí)，等值面一定存在；常數(shù)常數(shù)C C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；過(guò)空間任意一點(diǎn)有且僅有一個(gè)等值面

29、通過(guò)，即互不相交。過(guò)空間任意一點(diǎn)有且僅有一個(gè)等值面通過(guò)，即互不相交。 等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：xyze e ex y z ,xyzuuu1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版28標(biāo)量場(chǎng)的等值線標(biāo)量場(chǎng)的等值線( (面面) )意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教

30、育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版29例：例：設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)置一電量為設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)置一電量為q q的電荷，在空間形成電位場(chǎng)，電位的電荷，在空間形成電位場(chǎng)，電位滿足標(biāo)量函數(shù)滿足標(biāo)量函數(shù) ，其中，其中r是空間點(diǎn)到電荷的距離，于是電位是空間點(diǎn)到電荷的距離，于是電位場(chǎng)的等值面就是電位相同的點(diǎn)所構(gòu)成的曲面，由方程場(chǎng)的等值面就是電位相同的點(diǎn)所構(gòu)成的曲面，由方程（C為常數(shù)不為零）為常數(shù)不為零）12,.C C4qur4quCr即是以原點(diǎn)為中心的球面，以不同常數(shù)值即是以原點(diǎn)為中心的球面，以不同常數(shù)值 就得到一就得到一族同心球面。族同心球面。第第1 1章章 矢

31、量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版302. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)在某點(diǎn)處沿某方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)在某點(diǎn)處沿某方向的空間變化率。NoImage概念概念： lxyze e ex y z u(M)沿沿 方向增加；方向增加； lc o sc o sc o sx y zn eee u(M)沿沿 方向減??；方向減??； l n u(M)沿沿 方向無(wú)變化。方向無(wú)變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點(diǎn)特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)：方向?qū)?shù)

32、既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版31NoImage 的方向余弦。的方向余弦。 c o s c o s c o snR QP RQ Pyz zx xy 式中式中： xyzRQPRQPReeeyzzxxy方向?qū)?shù)的計(jì)算公式方向?qū)?shù)的計(jì)算公式(直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系)第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 &

33、高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版32例例1 1：求函數(shù)：求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) M(1,0,1) 處沿處沿的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。NoImageNoImage解解：NoImageNoImageNoImage在在M(1,0,1)處有處有NoImageNoImageNoImage的方向余弦的方向余弦NoImageNoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版33問(wèn)題問(wèn)題：在空間某點(diǎn)處，沿哪個(gè)方向變化率最大、該最大的

34、變：在空間某點(diǎn)處，沿哪個(gè)方向變化率最大、該最大的變化率又是多少？化率又是多少？標(biāo)量標(biāo)量場(chǎng)中給定點(diǎn)對(duì)應(yīng)場(chǎng)中給定點(diǎn)對(duì)應(yīng)無(wú)窮無(wú)窮多個(gè)方向多個(gè)方向方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)：函數(shù)：函數(shù)u(M) 在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率的問(wèn)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率的問(wèn)題。題。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版34NoImage改寫(xiě)為兩個(gè)矢量的點(diǎn)積形式改寫(xiě)為兩個(gè)矢量的點(diǎn)積形式 NoImageNoImage令令 NoImagep矢量矢量 表示點(diǎn)表示點(diǎn)M處沿曲線處沿曲線l方向

35、的單位矢量，僅僅與方向的單位矢量，僅僅與l的方向的方向有關(guān)，與函數(shù)有關(guān)，與函數(shù)u(M)無(wú)關(guān)；無(wú)關(guān)；p矢量矢量 只與函數(shù)只與函數(shù)u(M)在點(diǎn)在點(diǎn)M處的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)，與曲線的處的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)，與曲線的方向無(wú)關(guān)，在給定點(diǎn)處為一固定矢量；方向無(wú)關(guān)，在給定點(diǎn)處為一固定矢量； NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版35NoImage表明：表明： G在在l方向上的投影等于函數(shù)方向上的投影等于函數(shù)u在該方向上的方向?qū)?shù)在該方向上的方向?qū)?shù) 則則

36、 當(dāng)當(dāng) 方向和方向和 方向相同時(shí)，即方向相同時(shí)，即 ，方向?qū)?shù)取得，方向?qū)?shù)取得最大值，該最大值為最大值，該最大值為 ； 其他方向上，其他方向上， 。NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage矢量矢量 的方向?qū)?yīng)著函數(shù)的方向?qū)?yīng)著函數(shù)u( (M) )變化率最大的方向！變化率最大的方向！矢量矢量 的模為這個(gè)最大變化率的值！的模為這個(gè)最大變化率的值！ NoImageNoImage這正是我們尋找的！這正是我們尋找的！ 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社

37、高等教育電子音像出版社 出版出版36梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：NoImage圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 11gradsinruuuueeerrr球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系gradxyzuuuueeexyz直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 3. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度（ 或或 ）Ru意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向maxgrad|luuelxyzR R RRe e ex y z 梯度的定義與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，它是由標(biāo)量場(chǎng)的梯度的定義與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，它是由標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)分布所決定，但是它的表達(dá)形式與

38、坐標(biāo)系有關(guān)場(chǎng)分布所決定，但是它的表達(dá)形式與坐標(biāo)系有關(guān)第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版37附：附：哈密頓算子哈密頓算子 （矢性微分算子）（矢性微分算子）l 算子本身并無(wú)意義，而是一種微分運(yùn)算符號(hào)，同時(shí)又被算子本身并無(wú)意義，而是一種微分運(yùn)算符號(hào)，同時(shí)又被看做矢量，它在運(yùn)算中具有看做矢量，它在運(yùn)算中具有矢量矢量和和微分微分雙重性質(zhì)；雙重性質(zhì)；l 算子不對(duì)位于它左邊的物理量產(chǎn)生作用，而算子不對(duì)位于它左邊的物理量產(chǎn)生作用，而必對(duì)必對(duì)它右邊它右邊的物理

39、量產(chǎn)生作用；的物理量產(chǎn)生作用；xyzeeexyz 直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下 梯度的表示梯度的表示：xyzeeexyz 直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下 u第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版38標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量，它在空間某點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場(chǎng)

40、在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面），且指標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面），且指向場(chǎng)值增加的方向向場(chǎng)值增加的方向NoImage梯度場(chǎng)梯度場(chǎng)：標(biāo)量場(chǎng)中每一點(diǎn)的梯度與場(chǎng)中點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)所形成的矢量場(chǎng)：標(biāo)量場(chǎng)中每一點(diǎn)的梯度與場(chǎng)中點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)所形成的矢量場(chǎng)第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版39梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式：NoImag

41、e第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版40 解解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為點(diǎn)的梯度為xyzeeexyzxyzeeexyz 例例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：場(chǎng)。試求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量

42、沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。xyzeeexyz第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版41表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式

43、可知，沿el方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為對(duì)于給定的對(duì)于給定的P P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為 Auu uu u u )212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版42而該點(diǎn)的梯度值為而該點(diǎn)的梯度值為 0u 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成

44、立。0A xyzrexeyez 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版43例例：已知：已知證明：證明：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage其中：其中： 表示對(duì)表示對(duì)x,y,z的運(yùn)算，的運(yùn)算， 表示對(duì)表示對(duì) 的運(yùn)算，的運(yùn)算，解：解： NoImage(1)(1)NoImage(2)(2)NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版

45、社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版44p 在電磁場(chǎng)中，通常以在電磁場(chǎng)中，通常以 表示場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以表示場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以 表表示源點(diǎn)的坐標(biāo)，因此以上運(yùn)算結(jié)果在電磁場(chǎng)中非常有用。示源點(diǎn)的坐標(biāo)，因此以上運(yùn)算結(jié)果在電磁場(chǎng)中非常有用。NoImageNoImageNoImage(3)(3)NoImage同理同理NoImageNoImage則則NoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版45 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有

46、確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)場(chǎng)。如果物理量為矢量，則該物理量所確。如果物理量為矢量，則該物理量所確定的場(chǎng)為定的場(chǎng)為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)。矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量是隨空間位置變化的矢量，矢量場(chǎng)為矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量是隨空間位置變化的矢量，矢量場(chǎng)為空間坐標(biāo)的函數(shù)。空間坐標(biāo)的函數(shù)。矢量場(chǎng)的矢量函數(shù)表達(dá)矢量場(chǎng)的矢量函數(shù)表達(dá)NoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出

47、版社 出版出版46n 矢量場(chǎng)的描述方式矢量場(chǎng)的描述方式n 矢量場(chǎng)性質(zhì)矢量場(chǎng)性質(zhì)n 產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源？產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源？研究?jī)?nèi)容：研究?jī)?nèi)容：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版471.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一

48、矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fxyzeeexyz x y zeeexyz x y ze e ex y z 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版48矢量線不僅存在，而且充滿了矢量場(chǎng)所在空間；矢量線不僅存在，而且充滿了矢量場(chǎng)所在空間；矢量場(chǎng)空間任意一點(diǎn)處，有且僅有一條矢量線通過(guò)；矢量場(chǎng)空間任意一點(diǎn)處，有且僅有一條矢量線通過(guò)；即矢量線互不相交。即矢量線互不相

49、交。 矢量線的特點(diǎn)矢量線的特點(diǎn)：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版49例例1 1：設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)置一電量為設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)置一電量為q q的電荷，則在其周?chē)臻g的任一的電荷，則在其周?chē)臻g的任一點(diǎn)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為點(diǎn)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為00dlim limCnSSFlSS NoImageNoImage其中其中 為為M點(diǎn)的矢徑；點(diǎn)的矢徑； ，求電場(chǎng)強(qiáng)度，求電場(chǎng)強(qiáng)度 的矢的矢量線。量線。NoImage例例2 2：求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng) 通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn) 的矢量

50、的矢量線方程。線方程。NoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版502. 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 問(wèn)題問(wèn)題： 如何定量描述矢量場(chǎng)的大?。咳绾味棵枋鍪噶繄?chǎng)的大??？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 幾個(gè)概念幾個(gè)概念：有向曲線、有向曲面有向曲線、有向曲面/ /面元面元( (正方向的選擇正方向的選擇) )第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社

51、& 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版51矢量場(chǎng)穿過(guò)面積元的通量矢量場(chǎng)穿過(guò)面積元的通量通量的概念通量的概念NoImageSdR矢量場(chǎng)通過(guò)曲面的通量矢量場(chǎng)通過(guò)曲面的通量NoImageNoImage222222xyzAeyz ezx exy 其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；0AA 面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；RddnF e S穿過(guò)面積元穿過(guò)面積元 的通量。的通量。例如：電通量、磁通量例如：電通量、磁通量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像

52、出版社高等教育電子音像出版社 出版出版52 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是NoImage矢量場(chǎng)穿過(guò)閉合曲面的通量矢量場(chǎng)穿過(guò)閉合曲面的通量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版53矢量場(chǎng)通過(guò)面積元的通量矢量場(chǎng)通過(guò)面積元的通量通量的物理意義通量的物理意義NoImageSdRNoImageSdR矢量場(chǎng)通過(guò)曲面的通量

53、矢量場(chǎng)通過(guò)曲面的通量NoImageF與與 相交成銳角相交成銳角(d0)NoImageNoImageF與與 相交成鈍角相交成鈍角(d0)NoImage穿向曲面穿向曲面S正側(cè)的正通量和穿向曲正側(cè)的正通量和穿向曲面的負(fù)通量的代數(shù)和！面的負(fù)通量的代數(shù)和！NoImageNoImageNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版54NoImage通過(guò)閉合曲面有通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出NoImage有凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入No

54、Image進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量 矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量從矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了與曲面內(nèi)產(chǎn)生建立了與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。dsFS正源正源負(fù)源負(fù)源三種可能結(jié)果三種可能結(jié)果p 表示穿出閉合曲面的正通量和進(jìn)入閉合曲面負(fù)通量的代數(shù)和表示穿出閉合曲面的正通量和進(jìn)入閉合曲面負(fù)通量的代數(shù)和無(wú)源？無(wú)源？第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社

55、出版出版55例：例：位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)中，任何一點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)中，任何一點(diǎn)M處的電位移處的電位移矢量為矢量為24qDrr r其中其中r是點(diǎn)電荷是點(diǎn)電荷q到點(diǎn)到點(diǎn)M的距離，的距離， 是從點(diǎn)電荷是從點(diǎn)電荷q指向指向M的單位矢量。的單位矢量。設(shè)設(shè)S為以點(diǎn)電荷為中心，為以點(diǎn)電荷為中心，R為半徑的球面，求從內(nèi)穿出為半徑的球面，求從內(nèi)穿出S的電通量。的電通量。 球面球面S S內(nèi)產(chǎn)生電通量的源，正是球面內(nèi)的電荷；內(nèi)產(chǎn)生電通量的源，正是球面內(nèi)的電荷； 靜電場(chǎng)中的正電荷就是發(fā)出矢量線的正通量源；負(fù)電荷即為靜電場(chǎng)中的正電荷就是發(fā)出矢量線的正通量源；負(fù)電荷即為負(fù)通量源負(fù)通量源第第1 1章

56、章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版56通量源在閉合曲面內(nèi)的分布情況？通量源在閉合曲面內(nèi)的分布情況？通量源的強(qiáng)弱？通量源的強(qiáng)弱？ 矢量場(chǎng)穿過(guò)閉合曲面的通量是一個(gè)積分量，不能反映場(chǎng)域矢量場(chǎng)穿過(guò)閉合曲面的通量是一個(gè)積分量，不能反映場(chǎng)域內(nèi)每一點(diǎn)的通量特性；為了研究矢量場(chǎng)在空間某點(diǎn)附近的通量?jī)?nèi)每一點(diǎn)的通量特性；為了研究矢量場(chǎng)在空間某點(diǎn)附近的通量特性特性(即源的特性即源的特性)，引入矢量場(chǎng)的散度！，引入矢量場(chǎng)的散度！第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁

57、場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版573. 矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度定義：流出單位體積封閉面的通量定義：流出單位體積封閉面的通量00( , , ) d ( , , )limlimSVVF x y zSdiv F x y zVV l 矢量場(chǎng)的散度為一矢量場(chǎng)的散度為一標(biāo)量標(biāo)量; ;l 表示場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即該點(diǎn)處單位體積表示場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即該點(diǎn)處單位體積內(nèi)散發(fā)出的該矢量的通量，具有場(chǎng)的局部性質(zhì)內(nèi)散發(fā)出的該矢量的通量，具有場(chǎng)的局部性質(zhì); ; l 描述了矢量場(chǎng)中描述了矢

58、量場(chǎng)中某點(diǎn)處某點(diǎn)處通量源的通量源的密度密度( (強(qiáng)度強(qiáng)度) )第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版58散度的物理意義散度的物理意義l 散度恒為零的矢量場(chǎng)散度恒為零的矢量場(chǎng) 為為無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)；l 如果把矢量場(chǎng)中每一點(diǎn)的散度與場(chǎng)中之點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)就如果把矢量場(chǎng)中每一點(diǎn)的散度與場(chǎng)中之點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)就得到一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，稱為該矢量場(chǎng)產(chǎn)生的得到一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，稱為該矢量場(chǎng)產(chǎn)生的散度場(chǎng)散度場(chǎng)。( 0)div A第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與

59、電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版59直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 000( ,)xF x y zNoImageNoImage即流出即流出 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點(diǎn)的體積元點(diǎn)的體積元 V 為一直平行六面體，如圖所示。則為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzxyPA uuxyzeeexyz和和0 xx兩面元的通量為：兩面元的通量為：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編

60、寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版60于是根據(jù)定義求得散度為：于是根據(jù)定義求得散度為： 同理，可計(jì)算出應(yīng)流出另兩組側(cè)面的通量，最后得：同理，可計(jì)算出應(yīng)流出另兩組側(cè)面的通量，最后得：NoImagezyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSdNoImage第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版61圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)FyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：c o s c o s c o sxyzxyzRQ PR QPeeey zz xx yeee 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫(xiě)編寫(xiě)高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版624. 散度定理散度定理NoImage體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S通量與散度的關(guān)系：