剛塑性有限元法及其在軋制中的應(yīng)用

1、剛塑性有限元法及其在軋制中的應(yīng)用剛塑性有限元法及其在軋制中的應(yīng)用軋制技術(shù)及連軋自動(dòng)化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室1.1.學(xué)習(xí)目的和要求學(xué)習(xí)目的和要求l了解現(xiàn)代軋鋼生產(chǎn)和軋制技術(shù)的發(fā)展概況；l了解現(xiàn)代軋制理論研究的基本任務(wù)；l掌握剛塑性有限元的基本概念；l掌握剛塑性有限元的基本理論；l掌握剛塑性有限元的基本方法；2.2.學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容l剛塑性有限元的基本概念和基本理論；l剛塑性有限元相關(guān)技術(shù)問(wèn)題的處理方法；l求解軋制過(guò)程的剛塑性有限元程序。3.3.本課程的基礎(chǔ)和相關(guān)知識(shí)本課程的基礎(chǔ)和相關(guān)知識(shí)l 現(xiàn)代塑性加工力學(xué)現(xiàn)代塑性加工力學(xué) 基本方程、變分原理、有限元基礎(chǔ)知識(shí)；l 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) 矩陣分析、

2、優(yōu)化方法、數(shù)值分析；l計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí) 操作系統(tǒng)、FORTRAN語(yǔ)言和FORTRAN4.0編程軟件。4.4.講課和學(xué)習(xí)方法講課和學(xué)習(xí)方法l 課堂講授課堂講授 基本概念、基本理論、基本方法 程序剖析；l 課外自學(xué)課外自學(xué) 消化理解、閱讀程序；l上機(jī)實(shí)踐上機(jī)實(shí)踐 調(diào)試程序1.1.緒緒 論論 1.1 1.1 現(xiàn)代軋制理論研究的發(fā)展概況現(xiàn)代軋制理論研究的發(fā)展概況1.1.1 1.1.1 現(xiàn)代軋鋼生產(chǎn)的發(fā)展現(xiàn)代軋鋼生產(chǎn)的發(fā)展1.1.2 1.1.2 軋制技術(shù)的發(fā)展軋制技術(shù)的發(fā)展1.1.3 1.1.3 現(xiàn)代軋制理論研究的基本任務(wù)現(xiàn)代軋制理論研究的基本任務(wù)1.2 1.2 軋制理論數(shù)值方法軋制理論數(shù)值

3、方法1.2.1 1.2.1 初等理論中的數(shù)值方法初等理論中的數(shù)值方法1.2.2 1.2.2 滑移線理論及其數(shù)值解法滑移線理論及其數(shù)值解法1.2.3 1.2.3 能量法及其數(shù)值解法能量法及其數(shù)值解法1.2.4 1.2.4 彈塑性有限元法彈塑性有限元法1.1 1.1 現(xiàn)代軋制理論研究的發(fā)展概況現(xiàn)代軋制理論研究的發(fā)展概況 20世紀(jì)世紀(jì)60年代前年代前，軋鋼生產(chǎn)過(guò)程手工手工操作和使用單體單體設(shè)備。 軋制理論主要解決問(wèn)題軋制力、力矩、功率、寬展和前滑等參數(shù)的近似近似計(jì)算。 主要進(jìn)展提出卡爾曼和奧羅萬(wàn)方程，采用一些假設(shè)條件推導(dǎo)出軋制力和寬展等公式，逐步形成了以工程法為核心的傳統(tǒng)軋制理論體系。 20世紀(jì)世紀(jì)

4、60年代以后年代以后，隨著軋鋼生產(chǎn)軋鋼生產(chǎn)和軋制技術(shù)軋制技術(shù)的飛躍發(fā)展和用用戶對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量戶對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量要求的日益提高，以計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)為工具，以現(xiàn)代數(shù)值現(xiàn)代數(shù)值分析方法分析方法的為特征的現(xiàn)代軋制理論現(xiàn)代軋制理論得到了迅速發(fā)展。1.1.1 1.1.1 現(xiàn)代軋鋼生產(chǎn)的發(fā)展現(xiàn)代軋鋼生產(chǎn)的發(fā)展l 20世紀(jì)世紀(jì)5070年代年代發(fā)展趨勢(shì)是大型化、高速化和連續(xù)化發(fā)展趨勢(shì)是大型化、高速化和連續(xù)化 1960年前建立的熱帶鋼軋機(jī)，輥身范圍11202490mm，年生產(chǎn)能力100200萬(wàn)噸，帶鋼卷重614噸，最大精軋速度為1012m/s，技術(shù)進(jìn)步是將AGC應(yīng)用于精軋機(jī)； 20世紀(jì)6070年代，軋機(jī)向現(xiàn)代化技術(shù)方面發(fā)展，同

5、時(shí)連鑄技術(shù)發(fā)展成熟。大型連鑄坯、步進(jìn)式加熱爐、大型化的粗軋機(jī)、7機(jī)架精軋機(jī)組、AGC、升速軋制、層流冷卻技術(shù)以及軋制過(guò)程計(jì)算機(jī)控制的全面應(yīng)用。l 20世紀(jì)世紀(jì)80年代以后年代以后軋鋼生產(chǎn)主要向提高產(chǎn)品質(zhì)量、降低消軋鋼生產(chǎn)主要向提高產(chǎn)品質(zhì)量、降低消耗、優(yōu)化軋制過(guò)程、開(kāi)發(fā)新鋼材和新品種方向發(fā)展。耗、優(yōu)化軋制過(guò)程、開(kāi)發(fā)新鋼材和新品種方向發(fā)展。 板形、厚度及超級(jí)鋼我國(guó)軋鋼生產(chǎn)的發(fā)展我國(guó)軋鋼生產(chǎn)的發(fā)展 1957年鞍鋼第一套2800/1700mm半連續(xù)式板帶鋼軋機(jī) 到目前為止，輥身長(zhǎng)度在1422mm以上的熱軋寬帶鋼軋機(jī)8套、薄板坯連鑄連軋帶鋼軋機(jī)10余套。 武鋼、本鋼1700mm3/4連續(xù)式熱帶鋼軋機(jī)各一

6、套 寶鋼2050mm3/4連續(xù)式熱帶鋼軋機(jī) 攀鋼1450mm半連續(xù)式熱帶鋼軋機(jī) 太鋼1549 mm半連續(xù)式熱帶鋼軋機(jī) 梅鋼1422mm全連續(xù)式熱帶鋼軋機(jī) 寶鋼1580、鞍鋼1780mm半連續(xù)式熱帶鋼軋機(jī)各一套 珠鋼1500、邯鋼1900和包鋼1750薄板坯連鑄連軋機(jī)各一套。1.1.2 1.1.2 軋制技術(shù)的發(fā)展軋制技術(shù)的發(fā)展軋鋼生產(chǎn)的發(fā)展促進(jìn)了軋制技術(shù)的進(jìn)步l 連鑄技術(shù)l 連鑄直接軋制技術(shù)(CC-DR)l 連鑄熱裝直接軋制技術(shù)(CC-HCR)l AGC、AFC、ATCl SFR及無(wú)頭軋制技術(shù)l ISP及CSP薄板坯連鑄連軋技術(shù) 1.1.3 1.1.3 現(xiàn)代軋制理論研究的基本任務(wù)現(xiàn)代軋制理論研究

7、的基本任務(wù)求解軋制變形區(qū)各種分布量，如應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)、速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)等，為板形板厚控制和型鋼孔型設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。對(duì)軋制過(guò)程中工具及工件的溫度溫度與變形變形進(jìn)行綜合研究，為鋼的高精度軋制及軋機(jī)的高精度控制服務(wù)。對(duì)軋件不均勻變形及軋件頭尾不穩(wěn)定變形過(guò)程的理論研究，為提高產(chǎn)品質(zhì)量和成材率、進(jìn)一步優(yōu)化軋制規(guī)程服務(wù)。提高軋制過(guò)程參數(shù)的理論解析精度，建立和完善建立和完善控制軋制過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。開(kāi)展軋制過(guò)程熱力學(xué)及冶金學(xué)參數(shù)的綜合研究，對(duì)軋制過(guò)程的變形溫度、變形程度、金屬的微觀組織及產(chǎn)品的最終性能進(jìn)行綜合模擬，實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)根據(jù)產(chǎn)品使用進(jìn)行鋼材成份及軋制過(guò)程的預(yù)設(shè)計(jì)。1.2.1 1.2.1 初等理論中的數(shù)值方法

8、初等理論中的數(shù)值方法 采用有限差分方法求解卡爾曼或奧羅萬(wàn)方程。 基本思想：在變形區(qū)內(nèi)取微元體，建立力平衡微分方程，然后在變形區(qū)內(nèi)進(jìn)行差分網(wǎng)格劃分，在已知邊界條件下，采用差分方法求解微元體上的力平衡方程。 特點(diǎn)：能夠定性地得出變形區(qū)中的軋制力和金屬流動(dòng)規(guī)律，但計(jì)算精度有待于進(jìn)一步提高。1.2.2 1.2.2 滑移線理論及其數(shù)值解法滑移線理論及其數(shù)值解法 滑移線法：把軋制過(guò)程變形區(qū)劃分為一系列由滑移線族組成的滑移線網(wǎng)絡(luò)，每條滑移線均為達(dá)到屈服切應(yīng)力k，根據(jù)Henky應(yīng)力方程可以確定變形區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)。 近年來(lái)，利用計(jì)算機(jī)可以形成金屬成型變形區(qū)的滑移線網(wǎng)絡(luò)，并計(jì)算相應(yīng)的滑移線場(chǎng)。 特點(diǎn)：滑移線法只能處理

9、理想剛塑性體平面變形或軸對(duì)稱變形問(wèn)題，對(duì)三維變形問(wèn)題、溫度和材料性質(zhì)參數(shù)分布不均問(wèn)題是無(wú)能為力的。 1.2.3 1.2.3 能量法及其數(shù)值解法能量法及其數(shù)值解法 能量法的基礎(chǔ)是剛塑性材料的變分原理。 基本思想：給定邊界條件設(shè)定含有待定參數(shù)的運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)或靜力許可應(yīng)力場(chǎng)建立相應(yīng)能量泛函使其最小化確定待定參數(shù)得到真實(shí)的速度場(chǎng)由塑性力學(xué)基本關(guān)系求出變形及力能參數(shù)得到變形區(qū)內(nèi)的應(yīng)變場(chǎng)。 優(yōu)點(diǎn)：能量法可以求解三維變形問(wèn)題，直接得出變形功率、轉(zhuǎn)矩和由速度場(chǎng)決定的寬展、前滑; 缺點(diǎn)：由于不能直接得出靜水壓力，所以不能直接得出應(yīng)力分布。此外，能量法也難以處理溫度、變形抗力等不均勻分布的問(wèn)題。 1.2.4 1

10、.2.4 彈塑性有限元法彈塑性有限元法 彈塑性有限元法分析金屬成型時(shí)采用彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系，考慮變形的歷史相關(guān)性，在求解時(shí)需要采用增量加載，在每一個(gè)加載步中，只能有少數(shù)單元從彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)，以便減小計(jì)算誤差，因此，所需計(jì)算機(jī)的容量較大、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。 優(yōu)點(diǎn)：不僅可以求解塑性區(qū)的擴(kuò)展、應(yīng)力、應(yīng)變分布，而且可以有效地處理卸載問(wèn)題，計(jì)算殘余應(yīng)力、殘余應(yīng)變分布。 缺點(diǎn)：存在積累誤差，計(jì)算機(jī)容量較大，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。2.2.剛塑性有限元法的基本理論剛塑性有限元法的基本理論 2.1 2.1 有限元法的基本概念有限元法的基本概念 有限元法有限元法：把工件劃分成有限結(jié)點(diǎn)相連接的單元，以結(jié)點(diǎn)上的速度(位移)作為

11、未知量，利用最小能原理求解相應(yīng)的方程組確定此未知量，按結(jié)點(diǎn)速度與單元內(nèi)部應(yīng)變以及單元內(nèi)部應(yīng)力之間的關(guān)系確定各單元的應(yīng)力、應(yīng)變分布。2.2 2.2 剛塑性有限元法及基本思想剛塑性有限元法及基本思想 用有限元方法分析金屬塑性成型過(guò)程時(shí)，采用剛塑性用有限元方法分析金屬塑性成型過(guò)程時(shí)，采用剛塑性材料本構(gòu)模型進(jìn)行求解材料本構(gòu)模型進(jìn)行求解就是剛塑性有限元法。 基本思想基本思想：從剛塑性材料的變分原理變分原理出發(fā)，按有限元模式把能耗率泛函能耗率泛函表示為節(jié)點(diǎn)速度的非線性函數(shù)，利用數(shù)學(xué)上的最優(yōu)化理論最優(yōu)化理論得出滿足極值條件的最優(yōu)解，即使總能耗率取最小值的運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)，根據(jù)塑性力學(xué)的基本關(guān)系和

12、本構(gòu)方程得出應(yīng)變速度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)以及變形和力能參數(shù)。 2.3 2.3 剛塑性材料模型剛塑性材料模型 金屬成型過(guò)程中，材料變形的物理過(guò)程非常復(fù)雜，為了便于數(shù)學(xué)處理，必須做出一些假設(shè)，把變形中的某些過(guò)程理想化。用剛塑性有限元法分析材料變形問(wèn)題時(shí)，材料滿足下列基本假設(shè)： (1) 材料均質(zhì)各向同性； (2) 忽略材料的彈性變形，不計(jì)體積力與慣性力； (3) 材料的變形流動(dòng)服從Levy-Mises流動(dòng)理論； (4) 材料的體積不變或微可壓縮。 2.3.1 2.3.1 理想剛塑性材料模型理想剛塑性材料模型 理想剛塑性材料模型的基本假設(shè)如下： (1) 材料均質(zhì)各向同性； (2) 忽略材料的彈性變形，不計(jì)體積力

13、與慣性力； (3) 材料的變形流動(dòng)服從Levy-Mises流動(dòng)理論； (4) 材料的體積不變； (5) 不考慮加工硬化，忽略變形抗力對(duì)變形速度的敏感性。2.3.1.1 2.3.1.1 理想剛塑性材料模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系理想剛塑性材料模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖2-1 理想剛塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系2.3.1.2 2.3.1.2 理想剛塑性材料模型的特點(diǎn)理想剛塑性材料模型的特點(diǎn)l 只要等效應(yīng)力達(dá)到一恒定數(shù)值，材料便發(fā)生屈服，而且材料在整個(gè)變形過(guò)程中屈服應(yīng)力不再發(fā)生變化。l 采用理想剛塑性材料模型進(jìn)行能量積分時(shí)，可以把等效應(yīng)力做為常數(shù)提到積分號(hào)之外，從而使積分過(guò)程得到簡(jiǎn)化。2.3.1.3 2.3.1.3 采用

14、該模型進(jìn)行采用該模型進(jìn)行FEMFEM求解應(yīng)該注意的問(wèn)題求解應(yīng)該注意的問(wèn)題 在軋制變形區(qū)中，由于軋件各點(diǎn)的溫度、變形速度和變形程度的不同，屈服應(yīng)力相差很大，在整個(gè)變形區(qū)內(nèi)采用理想剛塑性材料模型必然會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)誤差。因此，用有限元法求解時(shí)，把變形區(qū)劃分成足夠多的單元，這樣可以認(rèn)為每個(gè)單元內(nèi)的溫度、變形速度和變形程度相同，在每個(gè)單元內(nèi)采用理想剛塑性材料模型，不同單元采用不同的屈服應(yīng)力，這樣處理才能得到比較接近實(shí)際的結(jié)果。2.3.2 2.3.2 剛塑性硬化材料模型剛塑性硬化材料模型 剛塑性硬化材料基本假設(shè)如下： (1) 材料均質(zhì)各向同性； (2) 忽略材料的彈性變形，不計(jì)體積力與慣性力； (3)

15、材料的變形流動(dòng)服從Levy-Mises流動(dòng)理論； (4) 材料的體積不變； (5) 考慮加工硬化和變形抗力對(duì)變形速度的敏感性。 2.3.2.1 2.3.2.1 剛塑性硬化材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系剛塑性硬化材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 圖2-2 剛塑性硬化材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系2.3.2.2 2.3.2.2 剛塑性硬化材料的變形抗力剛塑性硬化材料的變形抗力 對(duì)于剛塑性硬化材料來(lái)說(shuō)，當(dāng)材料的化學(xué)成份和物理狀態(tài)一定時(shí)，通常把變形抗力表示成變形溫度、變形速度和變形程度的函數(shù)：( , , ) sf T 0nsa()nmsbc(2-1)(2-2)(2-3)2.3.2.3 2.3.2.3 Mises流動(dòng)法則流動(dòng)法則 理想剛塑性

16、材料和剛塑性硬化材料都假設(shè)材料是不可壓縮的，根據(jù)Mises流動(dòng)法則，變形速度分量與偏差應(yīng)力分量成正比，即 這種材料的變形速度場(chǎng)與偏差應(yīng)力場(chǎng)一一對(duì)應(yīng)，但由于靜水壓力是不確定的，所以當(dāng)以速度為未知量進(jìn)行求解時(shí)，不能直接求得應(yīng)力場(chǎng)。而體積可壓縮材料模型可巧妙地解決這一問(wèn)題。 yxyyzxzxzxyzxyyzzxd(2-4)2.3.3 2.3.3 剛塑性可壓縮材料模型剛塑性可壓縮材料模型 剛塑性可壓縮材料的基本假設(shè)如下： (1) 材料均質(zhì)各向同性； (2) 忽略材料的彈性變形，不計(jì)體積力與慣性力； (3) 材料的變形流動(dòng)服從Levy-Mises流動(dòng)理論； (4) 材料的體積微可壓縮 ； (5) 考慮加

17、工硬化和變形抗力對(duì)變形速度的敏感性。(1) (1) 剛塑性可壓縮材料的屈服條件剛塑性可壓縮材料的屈服條件 剛塑性可壓縮材料與剛塑性硬化材料的主要差別是放松了體積不變條件的約束，即假設(shè)屈服與靜水壓力有關(guān)，屈服條件不僅取決于偏差應(yīng)力的二次不變量，也取決于應(yīng)力的一次不變量。122222222223()1 =()()()6()6xyzxyzmxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxJJ (2-5)(2-6)剛塑性可壓縮材料的屈服條件剛塑性可壓縮材料的屈服條件 在主軸條件下，屈服條件：1222221223311()()() 2mg(2-7)122222222122211()()()6()2 39

18、xyyzzxxyyzzxmggJJ(2-8)Misees屈服曲面平面1122 , 23圖2-3 剛塑性可壓縮材料主應(yīng)力空間的屈服曲面可壓縮參數(shù)可壓縮參數(shù)對(duì)對(duì)屈服條件的影響屈服條件的影響 在平面上(1 + 2 + 3 =3m=0 ),橢球體與Mises屈服圓柱相切，即剛塑性可壓縮材料與Mises屈服條件一致。在平面以外(m0)，剛塑性可壓縮材料比理想剛塑性材料容易進(jìn)入屈服狀態(tài)?？蓧嚎s參數(shù)g值越小，橢球體長(zhǎng)軸延長(zhǎng)，越接近于Mises屈服條件。當(dāng)考慮加工硬化時(shí)，橢球體的體積將隨著加工硬化而膨脹。 數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)l 數(shù)量場(chǎng)：對(duì)于空間或部分空間的任意一點(diǎn)M，都有一個(gè)確定的數(shù)值f(M)與之對(duì)

19、應(yīng)，則稱在這個(gè)空間或部分空間上確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)。該數(shù)量場(chǎng)可用數(shù)值函數(shù)f(M)來(lái)確定。例如溫度場(chǎng)就是一個(gè)數(shù)量場(chǎng)。l 矢量場(chǎng)：對(duì)于空間或部分空間的任意一點(diǎn)M，都有一個(gè)確定的矢量f(M)與之對(duì)應(yīng)，則稱在這個(gè)空間或部分空間上確定了一個(gè)矢量場(chǎng)。該矢量場(chǎng)可用矢量函數(shù)f(M)來(lái)確定。例如速度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)均是矢量場(chǎng)。 勢(shì)和勢(shì)場(chǎng)勢(shì)和勢(shì)場(chǎng)l 梯度：設(shè)函數(shù)u = f ( x, y, z )在空間或部分空間具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)空間或部分空間的每一個(gè)點(diǎn)P ( x, y, z )都可以確定一個(gè)矢量： 這個(gè)矢量就稱作函數(shù)u = f ( x, y, z )在點(diǎn)P ( x, y, z )的梯度。l 利用場(chǎng)的概念，該矢量函數(shù)在

20、空間或部分空間確定了一個(gè)矢量場(chǎng)，即梯度場(chǎng)。它是由數(shù)值函數(shù)產(chǎn)生的，稱數(shù)值函數(shù)為這個(gè)矢量場(chǎng)的勢(shì)，矢量函數(shù)則稱為有勢(shì)場(chǎng)或勢(shì)場(chǎng)。 kzfjyfixfzyxf),( grad(2) (2) 塑性勢(shì)和變形速度分量塑性勢(shì)和變形速度分量 假設(shè)剛塑性可壓縮材料的屈服函數(shù)為塑性勢(shì) ：1222222221()()()()6()2ijxyyzzxxyyzzxmFg(2-9)()ijijijFdd根據(jù)塑性勢(shì)的定義：()ijijijFd則(2-10)dtdddt 兩邊同除以時(shí)間增量，令變形速度分量變形速度分量 利用(2-9)式和(2-10)式可直接求出應(yīng)變速度分量：2(1)92(1)92(1)9222xxmyymzzmx

21、yxyyzyzzxzxgdgdgdddd(2-11) 與與 之間關(guān)系之間關(guān)系 下面以 為例推導(dǎo) 與 之間關(guān)系dd()ijxxFddd1222222221()()()()6()2ijxyyzzxxyzmFg1222222222()()()312()()()6()22223()33 2 ()2 ()3 xyzxmijxxyyzzxxyyzzxmxyzmxxyzmijijxgFgggFF由于2233(1)392 ()2 ()mmxmijijggFF 與與 之間關(guān)系之間關(guān)系 可得：(2-12)32 ()ijddF dd的簡(jiǎn)化形式的簡(jiǎn)化形式 根據(jù)單位體積的塑性變形功率 ：dxxyyzzxyxyyzyzz

22、xzxdw (2-13)把(2-11)式代入(2-13)式整理可得：212921292129xxmxyxyyymyzyzzzmzxzxgddgddgdd所以 32d (2-14)222222222222222222222222()1()92 2()3192 2()331 333xyzxyyzzxmxyxxyzxyyzzxmxyzxyyzzxmmxydgdgdgd 2222222222222222222222236()921 333()6()231 2222226()231 ()(3zxyyzzxmmxyzxyzxyyzzxmxyzxyyzzxxyyzzxmxygdgdgd 2222222)()

23、6()22 3yzzxxyyzzxmgd(3) (3) 應(yīng)力應(yīng)變速度關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變速度關(guān)系 把(2-14)式代入(2-11)式21921392219222xxmyymvzzmvmmxyxyyzyzzxzxgdgddgdggddd 剛塑性可壓縮材料剛塑性可壓縮材料 與與 g 和和 關(guān)系關(guān)系 22333vxyzxyzmmg dgdg(2-15)當(dāng) 一定時(shí)，g 越小，體積變形速度小；當(dāng)g = 0時(shí)，此時(shí)剛塑性可壓縮材料的屈服條件變?yōu)镸ises屈服條件，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系變?yōu)長(zhǎng)evy-Mises流動(dòng)法則，剛塑性可壓縮材料模型變?yōu)椴豢蓧嚎s的理想剛塑性或剛塑性硬化材料模型。從這個(gè)意義來(lái)講，剛塑性不可壓縮材料可以看

24、作剛塑性可壓縮材料在g=0時(shí)的特例，因此更具有普遍性。 根據(jù)(2-11)和(2-14)式可得體積變形速率與可壓縮參數(shù)和靜水壓力關(guān)系 ：mV1222222221()()()6()2xyyzzxxyyzzxmgm(3) (3) 應(yīng)力應(yīng)變速度關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變速度關(guān)系 2213922 13922 139212 39xxmvxvxxvgggggg0.5/2 3xyxyxyd如果采用張量形式，并引入克羅內(nèi)克爾符號(hào)，可得剛塑性可壓縮材料的應(yīng)力應(yīng)變速度關(guān)系：212()39ijijijvg(2-16)(4) (4) 等效應(yīng)變速度等效應(yīng)變速度 把(2-16) 代入(2-13)式：212()39ijijijvg212

25、=39212 39212 3922 33xxyyzzxyxyyzyzzxzxxxvyyvzzvxyxyyzyxggg 23zxzx 12222222221()()()6()9xyyzzxxyyzzxvg(2-17) 這樣，利用(2-16)式就可以從變形速度分量中直接求出應(yīng)力場(chǎng)。因此，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)出發(fā)以節(jié)點(diǎn)速度為未知量求解塑性變形過(guò)程時(shí)，能夠簡(jiǎn)便地求出變形和力能參數(shù)。2222222222222222222124()()()()3932124 ()()3932 3()6(9xyzvxyzvxyzxyyzzxxyzVVxyyzzxxyzVxygg 222222222221)21 ()()()6

26、()9yzzxVxyyzzxxyyzzxVgg(5) (5) 剛塑性可壓縮材料的流動(dòng)法則剛塑性可壓縮材料的流動(dòng)法則 根據(jù)(2-15)式可得： 將上式代入(2-11)式，可得：v239mmgd(2-18)219221993 2xmmxmxmxmxmmxmgdgdgdd(5) (5) 剛塑性可壓縮材料的流動(dòng)法則剛塑性可壓縮材料的流動(dòng)法則 上式表明，剛塑性可壓縮材料的流動(dòng)法則是偏差應(yīng)變速度分量與偏差應(yīng)力分量成正比。與Levy-Mises流動(dòng)法則一致，只不過(guò)是體積變形速率不等于零。32ymxyyzxmzmzxxmymzmxyyzzxd(2-19)(6) (6) 剛塑性可壓縮材料的特點(diǎn)剛塑性可壓縮材料的

27、特點(diǎn) 剛塑性可壓縮材料與剛塑性硬化材料的主要差別是，放松了體積不變條件的約束，即假設(shè)屈服與靜水壓力有關(guān)。體積變化率取決于靜水壓力，當(dāng)求出材料的屈服應(yīng)力、等效應(yīng)變速率和給定材料的體積可壓縮參數(shù)后，可以直接從速度場(chǎng)求得應(yīng)力場(chǎng)，所得結(jié)果與體積不可壓縮條件的解十分接近，而且計(jì)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化。(7) (7) 可壓縮參數(shù)可壓縮參數(shù)g g對(duì)體積變形的影響對(duì)體積變形的影響 將式(2-15)兩端乘以時(shí)間增量dt，可得：vmg(2-20)以單向壓縮應(yīng)力狀態(tài)為例，其應(yīng)力分量及等效應(yīng)力為：0 0 0 0 03xyxyyzzxzm (2-21)9/39zmgg所以體積變形為：(2-23)(2-22)9vgg(7)(7)

28、 可壓縮參數(shù)可壓縮參數(shù)g對(duì)體積變形程度的影響對(duì)體積變形程度的影響 利用上式計(jì)算不同等效應(yīng)變下，可壓縮參數(shù)g對(duì)體積變形程度的影響 表2-1 可壓縮參數(shù)g對(duì)體積變形程度的影響 g10.050.010.0010.00010.13.160.1660.03330.003330.000330.26.320.3320.06660.006670.000670.39.490.4990.09990.010000.00100 從上表可見(jiàn)，在1030%的等效應(yīng)變條件下，可壓縮參數(shù)g取0.010.0001之間時(shí)，材料的體積變化不超過(guò)0.1%，可以近似滿足體積不可壓縮條件。因此，求解金屬材料的軋制過(guò)程，可壓縮參數(shù)g可取0

29、.010.0001。2.4 2.4 剛塑性材料的基本方程剛塑性材料的基本方程 剛塑性材料發(fā)生塑性變形時(shí)，由表面積 S 所圍成的體積 V 中，應(yīng)力 、速度 和應(yīng)變速率 應(yīng)滿足下列基本方程: 1.力平衡微分方程(2-24)ijivij,0000 xyxxzyxyyzij jzyzxzxyzxyzxyz2.幾何方程(2-25),1211()2212yxxxxyyyziji jj iyyzxzzzzxvvvxyxvvvvvxzyvvvxxz2.4 2.4 剛塑性材料的基本方程剛塑性材料的基本方程2.4 2.4 剛塑性材料的基本方程剛塑性材料的基本方程3.本構(gòu)關(guān)系(2-26)33223332223322

30、xxmxyxyijijyymyzyzzzmzxzxs2.4 2.4 剛塑性材料的基本方程剛塑性材料的基本方程 4.屈服準(zhǔn)則 5.體積不可壓縮條件 6.邊界條件上在給定速度表面viiSvv ijjipnpS在給定外力表面上(2-27)(2-28)(2-29)(2-30)223ijijs skk0vijijxyz 2.4 2.4 剛塑性材料的基本方程剛塑性材料的基本方程式中： 、 等效應(yīng)變速率和等效應(yīng)力； 偏差應(yīng)力； 屈服剪切應(yīng)力； 外力表面單位法線矢量的方向余弦。 對(duì)于剛塑性材料發(fā)生塑性變形時(shí)，需要對(duì)上述基本方程進(jìn)行聯(lián)立求解來(lái)確定變形區(qū)的速度、應(yīng)變速率和應(yīng)力。由于直接求解這些偏微分方程組非常困難

31、，因此，人們尋求其它求解途徑，即利用變分原理求解。 ijskjn2.5 剛塑性有限元的基本原理剛塑性有限元的基本原理l 剛塑性材料的變分原理是剛塑性有限元法的理論基礎(chǔ)，變分原理通過(guò)能量積分把偏微分方程組的求解問(wèn)題變成了求泛函極值問(wèn)題，從而為各種實(shí)際問(wèn)題的求解提供了一種新方法。l 材料模型不同，變分原理的形式也不相同。根據(jù)附加條件的情況，變分原理可分為一般變分原理、不完全廣義變分原理和完全廣義變分原理。2.5.1 Mapkov原理原理 (第一變分原理第一變分原理) 設(shè)剛塑性變形體的體積為V，表面積為S0。在Sp上給定表面力 ，在Sv上給定速度 vi，在滿足變形的幾何條件、速度邊界條件和體積不變條

32、件的一切許可速度場(chǎng)中，真實(shí)的速度場(chǎng)使泛函 取極小值。ip23PsijijiiVSdVp v ds (2-31)2.5.2 剛塑性可壓縮材料的變分原理剛塑性可壓縮材料的變分原理 在滿足變形的幾何條件、速度邊界條件和體積微可壓縮條件的一切許可速度場(chǎng) 中，真實(shí)的速度場(chǎng)使泛函 取極小值。 ivpiiVSdVp v ds(2-32)2.5.3 剛塑性材料的廣義變分原理剛塑性材料的廣義變分原理 在第一變分原理中，運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)必須滿足幾何條件、速度邊界條件和體積不可壓縮條件。在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有些條件比較容易滿足，而有的條件不易滿足，因此引用拉格朗日乘子把這些約束條件全部或部分引入總體能量泛函中，通過(guò)泛函

33、變分使這些約束條件得到滿足。引入約束條件后，變分原理的表達(dá)式要發(fā)生變化，統(tǒng)稱為廣義變分原理。引入部分約束條件的稱為不完全廣義變分原理，全部約束條件同時(shí)引入的稱為完全廣義變分原理。 (1) 不完全廣義變分原理不完全廣義變分原理 設(shè)定初始速度場(chǎng)時(shí)，幾何條件和速度邊界條件容易滿足，而體積不可壓縮條件則不易滿足，所以把體積不變條件通過(guò)拉格朗日乘子引入能量泛函中，得到新能量泛函： 在滿足幾何方程和速度邊界條件的一切速度場(chǎng) 中，真實(shí)的速度場(chǎng)使上述能量泛函取駐值。 ivpiiijijVSVdVp v dsdV (2-33)(2) 完全廣義變分原理完全廣義變分原理 在一切位移速度、應(yīng)變速度和應(yīng)力函數(shù)中，使能量

34、泛函 取駐值的vi、 和 必為剛塑性材料的正確解。ijij, ()1 ()2pviiijijiiiVSVSijiji jj iVdVp v dsdVvv dsvvdV(2-34)第一變分原理與廣義變分原理的差別第一變分原理與廣義變分原理的差別 第一變分原理要求能量泛函取最小值，而廣義變分原理僅要求能量泛函取駐值； 第一變分原理要求速度場(chǎng)滿足運(yùn)動(dòng)許可條件，靜力許可條件是通過(guò)變分過(guò)程近似滿足的，而廣義變分原理的速度場(chǎng)不受任何約束，所有方程均由變分過(guò)程近似滿足； 第一變分原理比廣義變分原理所得到結(jié)果精度高，但前者初始速度場(chǎng)的設(shè)定比后者難。 2.6 速率敏感材料的總體能量泛函速率敏感材料的總體能量泛函

35、 求解軋制問(wèn)題時(shí)，總體能量泛函的表達(dá)式為： 式中： 塑性變形功率； 接觸表面摩擦功率； 外張力功率，前張力取負(fù)號(hào)，后張力取正號(hào)； 速度不連續(xù)面上的剪切功率。pfs(2-35)pfS2.6.1 內(nèi)部塑性變形功率內(nèi)部塑性變形功率 對(duì)于速率敏感性材料或在高溫下成型的金屬 ,單位體積的塑性變形功率： 速率敏感材料的內(nèi)部塑性變形功率為： 001() 1nmijEdadm (2-37)1 1pVdVm (2-38)2.6.2 接觸表面上的摩擦功率接觸表面上的摩擦功率 軋制過(guò)程中，軋輥與軋件接觸表面上存在中性面，為了避免因摩擦力變向出現(xiàn)第二類奇異點(diǎn)而導(dǎo)致能量泛函不收斂的問(wèn)題，可采用摩擦應(yīng)力模型： 摩擦應(yīng)力是

36、相對(duì)滑動(dòng)速度vg的函數(shù)，因此摩擦功率為： 1223gsfgvmvk(2-38)2210()()3gsffggvssvmddsvkk ds (2-39)2.6.3 外張力功率外張力功率 式中： 作用有外張力的表面； 張應(yīng)力，軋件受拉時(shí)取正值，受推時(shí)取負(fù)值； 相應(yīng)表面處的位移速度。isv ds(2-40)siv2.6.4 速度不連續(xù)面上的剪切功率速度不連續(xù)面上的剪切功率 式中： 速度不連續(xù)面； 屈服剪應(yīng)力； 速度不連續(xù)面上的速度不連續(xù)量。(2-41)ksssvkssssv ds速率敏感材料軋制過(guò)程總體能量泛函速率敏感材料軋制過(guò)程總體能量泛函 在軋制過(guò)程中，邊界上的外力為接觸表面上的摩擦應(yīng)力、變形區(qū)

37、端部的張應(yīng)力和速度不連續(xù)面上的剪切應(yīng)力，相應(yīng)的總體能量泛函為： 對(duì)于簡(jiǎn)單軋制過(guò)程來(lái)說(shuō)，總體能量泛函可簡(jiǎn)化為： 221 1 ()13sgiksVssssmdVvkk dsvdsv dsm(2-42)221 1 ()13sgVsmdVvkk dsm(2-43)2.7 剛塑性有限元的求解途徑剛塑性有限元的求解途徑l設(shè)定運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)。l建立總體能量泛函，并把泛函表示成速度的函數(shù)。l利用數(shù)學(xué)上的極值理論求解泛函的駐值或最小值。l利用幾何方程和本構(gòu)方程確定應(yīng)變速度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。l通過(guò)接觸表面應(yīng)力積分求出總軋制力和平均單位壓力，利用速度場(chǎng)求出軋件寬展、前滑和軋件側(cè)面形狀參數(shù)。2.7.1 軋制變形區(qū)的有限元離

38、散化軋制變形區(qū)的有限元離散化 (1) (1) 研究目標(biāo)的選擇研究目標(biāo)的選擇zox根據(jù)變形特征確定研究目標(biāo)。利用對(duì)稱面上一個(gè)方向速度為零的特點(diǎn)，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化。如果變形過(guò)程的幾何條件、物理?xiàng)l件在變形區(qū)內(nèi)部及邊界上對(duì)稱，那么其真實(shí)解也必然對(duì)稱。圖2-2 板帶軋制過(guò)程的對(duì)稱面 (2) 單元類型的選取單元類型的選取 研究目標(biāo)確定之后，便可著手在所選區(qū)域內(nèi)設(shè)置節(jié)點(diǎn)、劃分單元。除了速度已知邊界之外，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一組速度未知量，對(duì)于2維問(wèn)題節(jié)點(diǎn)速度為 ,3維問(wèn)題為 ，所以設(shè)置的節(jié)點(diǎn)越多，求解時(shí)未知數(shù)越多。單元類型的選擇，可根據(jù)所處理問(wèn)題的特點(diǎn)來(lái)確定，求解平面變形問(wèn)題，常用四邊形單元，求解3維變形問(wèn)題常用立方體

39、單元。 yxvv 、zyxvvv、2.7.2 總能量泛函的離散化總能量泛函的離散化 把軋制變形區(qū)劃分為有限個(gè)單元之后，總能量泛函便可由單元能量泛函迭加求和來(lái)得到。下面以簡(jiǎn)單軋制過(guò)程為例進(jìn)行說(shuō)明。(1) 單元能量泛函單元能量泛函 對(duì)于平面變形條件下的簡(jiǎn)單軋制過(guò)程，設(shè)單元的面積為Se，外力已知邊界為L(zhǎng)e，則單元能量泛函為： 當(dāng)單元的速度插值函數(shù)設(shè)定之后，單元內(nèi)的 便可確定。在給定材料屈服應(yīng)力和摩擦邊界條件下，單元能量泛函實(shí)際上是單元節(jié)點(diǎn)速度的函數(shù)： ee221 1 ()13esgSLmdSvkk dLm(2-44)ij 、e112244(,)xyxyxyf vvvvvv(2-45)(2) 總能量泛

40、函總能量泛函 根據(jù)(2-44)式對(duì)所研究區(qū)域全部單元的能量泛函求和，便可得到總能量泛函：式中：nm單元總數(shù)； nl 接觸表面單元數(shù)目。ee221 1111 ()13enmnmnlsgSLeeemdSvkk dLm(2-46)(3) 接觸表面的速度邊界條件接觸表面的速度邊界條件 軋制過(guò)程接觸表面上的節(jié)點(diǎn)必須滿足速度邊界條件： tgyxvv (2-47)圖2-3 軋制特征角(4) 總體能量泛函總體能量泛函 由于接觸表面節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)速度分量只有一個(gè)是未知量 ，同時(shí)對(duì)于 x 軸的節(jié)點(diǎn)垂直方向的速度已知(為零)，除去節(jié)點(diǎn)已知速度分量之后，把節(jié)點(diǎn)未知速度分量統(tǒng)一用 表示，總體能量泛函表示成未知速度分量的函數(shù)

41、：式中：nx未知量總數(shù)。xviv12( ,)inxf v vvv(2-48)2.7.3 總能量泛函的最小化總能量泛函的最小化 用剛塑性有限元法求解時(shí)，根據(jù)變分原理應(yīng)求總體能量泛函的極小值。從式(2-48)可知，總體能量泛函是節(jié)點(diǎn)速度矢量的多元函數(shù)。根據(jù)多元函數(shù)求極值的條件，則有： 由于變分是任意的，必須有下列方程組成立：1 0 enxeeevvvv(2-49)10 enxeevv(2-50)(1) (1) 線性化處理線性化處理 采用Newton-Raphson方法線性化求解時(shí)，假定泛函連續(xù)并存在各階導(dǎo)數(shù)，則借助于泰勒級(jí)數(shù)在任一點(diǎn)展開(kāi)。在第次迭代時(shí)，泛函可在第次迭代求得的值上展開(kāi)，略去二階以上的

42、高階微量，從而得到以為未知量的線性方程組：211111 0 eenmnmnmeeeeTeeekkkkvvvvv211111 eenmnmnmeeeTeeeekkkvvvv (2-51)(2-52)(2) (2) 阻尼因子阻尼因子 采用(2-52)式求解時(shí)，先給定一個(gè)初始速度場(chǎng) ，然后用迭代法按上式求出 ，直到相鄰兩次迭代速度近似解的偏差充分小時(shí)為止。迭代時(shí)，為了防止發(fā)散一般采用公式： vv1 kkvvv(2-53)01式中： 阻尼因子， 。2.8 剛塑性有限元的基本公式剛塑性有限元的基本公式 從上節(jié)可以看出，剛塑性有限元求解過(guò)程的一個(gè)基本步驟是計(jì)算單元的能量泛函計(jì)算單元的能量泛函。為此，需要解

43、決以下幾個(gè)方面問(wèn)題：l設(shè)定初始速度場(chǎng)；l設(shè)定單元的速度分布函數(shù)插值函數(shù)；l建立單元變形速度與節(jié)點(diǎn)速度的關(guān)系；l計(jì)算單元能量泛函；l求單元能量泛函的一階偏導(dǎo)數(shù)即梯度；l求單元能量泛函的二階偏導(dǎo)數(shù)即Hessian矩陣。 2.8.1 單元坐標(biāo)及速度插值、形狀函數(shù)單元坐標(biāo)及速度插值、形狀函數(shù) 單元內(nèi)任意一點(diǎn)的速度及坐標(biāo)可以用單元節(jié)點(diǎn)的速度及坐標(biāo)進(jìn)行插值計(jì)算。對(duì)速度及坐標(biāo)的插值使用相同的線性插值函數(shù)，該函數(shù)只與單元的形狀和節(jié)點(diǎn)的配置有關(guān)，因此，稱之為形狀函數(shù)或形函數(shù)，與此相應(yīng)的單元稱為線性等參單元。(1)(1) 四邊形線形等參單元四邊形線形等參單元 為了便于插值與積分，單元內(nèi)部采用局部坐標(biāo)系 ，整體坐標(biāo)

44、系的任意四邊形單元映射到局部坐標(biāo)系后就變?yōu)檎叫螁卧?，單元?jié)點(diǎn)編號(hào)及坐標(biāo)系的映射變換如圖2-4所示。 42y13xO3124O( , ) 圖2-4 單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)及坐標(biāo)系的映射變換(2)(2) 單元局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的變換單元局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的變換 整體坐標(biāo)系中4個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為 ，局部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 如下： 單元局部坐標(biāo) 與整體坐標(biāo) 的變換關(guān)系：( , ) , 14kkxyk (, )kkint(1)/ 2)12341231-1-1 11( 1)-1 1-11( 1)kkkk (2-54),(yx( , ) (2-56)41 122334414112233441( , )( , )kkkkkkxN x

45、N xN xN xNxyN yN yN yN yNy (3)(3) 四邊形等參單元的形函數(shù)及其性質(zhì)四邊形等參單元的形函數(shù)及其性質(zhì) 式(2-56)中 稱為單元的形函數(shù)，具有以下性質(zhì)：l形函數(shù) 是與坐標(biāo)插值函數(shù)相同形式的雙線性插值函數(shù)；l形函數(shù) 在節(jié)點(diǎn)上， ；l形函數(shù) 在節(jié)點(diǎn)上， 。 ( , )kN ( , )kN ( , )kN ( , )kN (,)1kkkN (,)0 , kllNlk (4)(4)形形函數(shù)表達(dá)式的確定函數(shù)表達(dá)式的確定 以 為例說(shuō)明其確定過(guò)程： 1( , )N 42y13xO3124O上圖局部坐標(biāo)系中，單元24、34兩條邊方程可表示為： 1-01-0(2-57)(4)(4)形

46、形函數(shù)表達(dá)式的確定函數(shù)表達(dá)式的確定 根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)(3)， 在節(jié)點(diǎn)2、3、4處的值為零，而直線24、34經(jīng)過(guò)這些節(jié)點(diǎn)，所以可?。?根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)(2)， 在節(jié)點(diǎn)1處其值為1，把1點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入上式得：1( , )N 1( , )(1)(1)NC (2-58)1( , )N 11(1 1)(1 1)4CC(2-59)11111( , )(1)(1)(1)(1)44N (2-60)(5)(5)四邊形等參單元的形函數(shù)四邊形等參單元的形函數(shù) 22233344411( , )(1)(1)(1)(1)4411( , )(1)(1)(1)(1)4411( , )(1)(1)(1)(1)44NNN 1

47、( , )(1)(1) (1 4)4kkkNk (2-61)(2-62)(6)(6) 單元內(nèi)任一點(diǎn)的速度與節(jié)點(diǎn)速度的關(guān)系單元內(nèi)任一點(diǎn)的速度與節(jié)點(diǎn)速度的關(guān)系 4141( , )( , )xkxkkykykkvNvvNv (2-63) evNv(2-64) xyvvv 4321432100000000NNNNNNNNN Tyxyxyxyxevvvvvvvvv443322112.8.2 單元變形速度與節(jié)點(diǎn)速度關(guān)系、單元變形速度與節(jié)點(diǎn)速度關(guān)系、B矩陣矩陣 (1) 平面變形的幾何方程平面變形的幾何方程xxyyyxxyvxvyvvyx(2-68)(2) 以節(jié)點(diǎn)速度表示的幾何方程 4414141411( ,

48、 )( , )()ixxxixixkxkykiyyyiiykykkyiixxyyixixyiNvvxxvNvvNvyyvNvvNNvvvxyyx (2-69)(3) 幾何方程的矩陣形式 11212342123431122334434400000000 xyxxyyxxyyxyvvvbbbbvccccvcbcbcbcbvvv (2-70)4) , 3 , 2 , 1( , , iyNcxNbiiii式中：(3) 幾何方程的矩陣形式 Txyxy4321BBBBB iiiiibccbB00 eBv令 (2-74)(2-71)(2-73)(2-75)BiB式中： 單元應(yīng)變矩陣或B矩陣； 典型子矩陣。2

49、.8.3 Jacobi矩陣及其逆矩陣和行列式矩陣及其逆矩陣和行列式 單元應(yīng)變B矩陣中的元素bi及ci是形函數(shù) 對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)，為了便于積分計(jì)算，形函數(shù) 對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該用 對(duì) 及 的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)表示。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： ( , )iN ( , )iN ( , )iN TiiiiiTiiiiiNNNNNxyxyxyxyNNNNNxyxyxyxy(2-76)(1) 2維問(wèn)題的維問(wèn)題的Jacobi矩陣矩陣 將上式寫成矩陣形式：iiiiNxyNxNNxyy(2-77) xyJxy(2-78)(1) 2維問(wèn)題的維問(wèn)題的Jacobi矩陣矩陣 1( , )(1)(1)4( , )1(1) 4 (1

50、4)( , )1(1)4kkkiiiiiiNNiN (2-79)444111444111( , ) ( , )iiiiiiiiiiiiiiiiiiNNxyxyxNxJxyNNyNyxy (2-80)(2) Jacobi矩陣的逆矩陣及行列式矩陣的逆矩陣及行列式 1iiiiiiiiNNxyNNxxJNNNxyNyy(2-81)1 1 yxJyxJ(2-82)xyxyJ(2-83)2.8.4 高斯積分高斯積分 對(duì)于2維變形問(wèn)題，建立單元內(nèi)任意一點(diǎn)變形速度與節(jié)點(diǎn)速度關(guān)系之后，在給定初始速度場(chǎng)條件下，即可對(duì)單元能量泛函進(jìn)行積分計(jì)算。在單元局部坐標(biāo)系中，單元能量泛函式可表示成： 剛塑性有限元中的數(shù)值積分常

51、用高斯積高斯積分，即按照數(shù)學(xué)上的規(guī)則在單元內(nèi)選取若干個(gè)積分點(diǎn)，用積分點(diǎn)處的函在單元內(nèi)選取若干個(gè)積分點(diǎn)，用積分點(diǎn)處的函數(shù)值與求積系數(shù)之積的累加結(jié)果近似代替原積分?jǐn)?shù)值與求積系數(shù)之積的累加結(jié)果近似代替原積分。 1112211111 ()13esgfmJ d dvkk Jdm (2-84)(1)單元塑性變形功率單元塑性變形功率高斯積分表示高斯積分表示 式中：n單元積分點(diǎn)個(gè)數(shù)，Hi、Hj求積系數(shù)。 41111111111 111nnepijijiJ d dH HJJmmm (2-85)G13124OG3 G2G4 對(duì)于2維問(wèn)題采用線性單元時(shí)，n=2, Hi=Hj =1，此時(shí)單元內(nèi)有4個(gè)高斯積分點(diǎn)，積分點(diǎn)

52、坐標(biāo)為0.57735027，如圖2-5所示。(2)單元摩擦功率的積分單元摩擦功率的積分 單元摩擦功率的積分，可采用1維高斯積分近似計(jì)算：12211221122211()3 ()3 =()3esfgfnsigfisgfimvkk JdmHvkk Jmvkk J(2-86) 對(duì)于1維問(wèn)題采用線性單元時(shí)，n=2, Hi=1，此時(shí)單元內(nèi)有2個(gè)高斯積分點(diǎn)，積分點(diǎn)坐標(biāo)為0.57735027。12OG1G2(3) 1維問(wèn)題的維問(wèn)題的Jacobi矩陣行列式矩陣行列式 式中：x1、x2為摩擦表面單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的整體坐標(biāo)值； N1、N2為1維單元的兩個(gè)形函數(shù)。212121ifiiNNNxJxxx(2-87)121(

53、1)21(1)2NN(2-88)(4) 單元的能量泛函單元的能量泛函 采用高斯積分后，2維變形簡(jiǎn)單軋制過(guò)程的單元能量泛函為： 式中： 分別為單元高斯積分點(diǎn)處的等效應(yīng)力、等效應(yīng)變及Jacobi 矩陣行列式的值。42221111()13esgfiimJvkk JmfJJ、 、 和(2-90)2.8.5 矩陣分析中的公式矩陣分析中的公式(1) 數(shù)值函數(shù)對(duì)向量變量的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)值函數(shù)對(duì)向量變量的偏導(dǎo)數(shù)TTTTA XAXX AAX 12TnAaaa12TxXxxx()TTf XA XX A設(shè) 是給定的向量， 是向量變量，且 ，則有 (2-a)(1) 數(shù)值函數(shù)對(duì)向量變量的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)值函數(shù)對(duì)向量變量的偏導(dǎo)數(shù) ()

54、Tf XA XAXXijn nAaT12xXxxx()Tf XX AX設(shè) 是給定的矩陣， 是向量變量，且 ，則有() 2Tf XAAAXX如果 ，則 (2-b)(2-c)(2) 向量函數(shù)對(duì)向量變量的偏導(dǎo)數(shù)向量函數(shù)對(duì)向量變量的偏導(dǎo)數(shù) ijn nAaT12nXxxx()f XAX設(shè) 是給定的矩陣， 是向量變量，且 ，則有()()TTTf XAXf XAX(2-d)2.8.6 能量泛函的一階偏導(dǎo)數(shù)能量泛函的一階偏導(dǎo)數(shù)(梯度梯度)(1) 平面變形問(wèn)題單元的等效應(yīng)變速度列陣平面變形問(wèn)題單元的等效應(yīng)變速度列陣 平面變形問(wèn)題單元的變形速度列陣 TexyxyB v222411931 xxyyxyvTTTgZC

55、Cg (2-91)(2-92)式中的常數(shù)矩陣和向量式中的常數(shù)矩陣和向量 4209924 0991003Z 1 1 0C (2-94)(2-93) TZ 222224209924 0991003422419999342241419999393xTxyxyyxyxxyxyxyyxyxxyxyyxyxxyyZ 2xy 1 TTCCg 21 1111 10011TTxxyxyyxyxyxyVCCgggg (1) 2維平面變形條件下的等效應(yīng)變維平面變形條件下的等效應(yīng)變 222 4111() 93TexyxyTTxxyyxyvB vZgg 1 TeTTeeTTTeCCvBZ B vvBCC B vg(2-

56、95)(1) 2維平面變形條件下的等效應(yīng)變維平面變形條件下的等效應(yīng)變 上式可以進(jìn)一步寫成更為簡(jiǎn)潔的形式： TeTTeZvBZB v412109912141 0991003TggZZCCggg (2-96)(2-97)等效應(yīng)變不用等效應(yīng)變不用(2-96)式簡(jiǎn)潔形式？式簡(jiǎn)潔形式？ 因?yàn)椴捎皿w積可壓縮方法進(jìn)行求解時(shí)，如果等效應(yīng)變采用(2-96)式簡(jiǎn)潔形式，則要求單元內(nèi)每一個(gè)高斯積分點(diǎn)處的體積變形速度都很小，這樣的約束條件過(guò)于苛刻，經(jīng)常出現(xiàn)迭代計(jì)算發(fā)散現(xiàn)象，導(dǎo)致有限元數(shù)值求解過(guò)程無(wú)法進(jìn)行。(1) 2維平面變形條件下的等效應(yīng)變維平面變形條件下的等效應(yīng)變 為了排除每一個(gè)高斯積分點(diǎn)處體積變形速度都很小這一嚴(yán)

57、格約束，單元的體積變形速度取各高斯積分點(diǎn)處體積變形速度的平均值，即：444111111 444eeeVkkkkkkCC BvCBvC B v1 eTTeeTTTevBZ B vvBCC B vg(2-98)(2-100)411 4kkBB(2-99)(2) 等效應(yīng)變速度對(duì)速度向量的一階偏導(dǎo)數(shù)等效應(yīng)變速度對(duì)速度向量的一階偏導(dǎo)數(shù) 等效應(yīng)變速度(2-100)式對(duì)速度向量的一階偏導(dǎo)數(shù)：1 TeTTeePeBZBvBCCBvKvgv1 TTTPKBZBBCC Bg(2-101)(2-102) PK式中：8 8的矩陣。(3) 單元梯度單元梯度 把變形抗力模型代入單元塑性變形功率表達(dá)式，并對(duì)單元節(jié)點(diǎn)速度向量

58、求一階偏導(dǎo)數(shù)：44111144114411111111 nmenmPiiemnnmPeeeiiePeiiaJaJmmaJaJmvvvJJKvv(2-103)(4) 單元摩擦功率對(duì)速度向量的一階偏導(dǎo)數(shù)單元摩擦功率對(duì)速度向量的一階偏導(dǎo)數(shù) 接觸表面任意一點(diǎn)的速度邊界條件： vxvytgyxvv 接觸表面任意一點(diǎn)的相對(duì)滑動(dòng)速度：secgRxvvv(2-104)單元內(nèi)任意一點(diǎn)的速度與節(jié)點(diǎn)速度的關(guān)系單元內(nèi)任意一點(diǎn)的速度與節(jié)點(diǎn)速度的關(guān)系 對(duì)于2維軋制過(guò)程的接觸表面單元而言，單元節(jié)點(diǎn)上只有一個(gè)未知量，因此，單元內(nèi)任意一點(diǎn)的速度與節(jié)點(diǎn)速度的關(guān)系如下： efexffvvNv120.5(1- ) 0.5(1) fT

59、efxxNvvv(2-105)(2-106) 對(duì)節(jié)點(diǎn)速度向量的一階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)速度向量的一階偏導(dǎo)數(shù)gv 把(2-105)式代入(2-104)式可得相對(duì)滑動(dòng)速度： secegRffvvNv(2-107)sec gTfefvNv 2222()22 secgggeeffggTfefvkkvvvvvkvNv (2-108)(2-109)單元能量泛函的一階偏導(dǎo)數(shù)即梯度單元能量泛函的一階偏導(dǎo)數(shù)即梯度 接觸表面單元摩擦功率的一階偏導(dǎo)數(shù)： 單元能量泛函的一階偏導(dǎo)數(shù)即梯度：22221111() sec 33egfTssfffeeiiffvkkmmJJNvv 42111 sec3eefePefeeTsPffiiv

60、vmJKvJN(2-110)(2-111)2.8.7 能量泛函的二階偏導(dǎo)數(shù)能量泛函的二階偏導(dǎo)數(shù)(Hessian矩陣矩陣) 1223 (1) (1) (1) nmeTeTnmeTePeTeTePavvmavKvmvvmKv 2.8.7 能量泛函的二階偏導(dǎo)數(shù)能量泛函的二階偏導(dǎo)數(shù)(Hessian矩陣矩陣)412421324221 (1) (1) eePPeieePPPeeTeTiTePeTTeeePPPPeeTiJKvvJKJKvvvvmKvvKvKvJKmvv 由于 (2-112)2.8.8 總體能量泛函能量泛函的梯度矩陣和總體能量泛函能量泛函的梯度矩陣和Hessian矩陣矩陣 根據(jù)迭加原理對(duì)所有