第五章_剛體定軸轉(zhuǎn)動_角動量守恒定律

1、第五章 剛體定軸轉(zhuǎn)動 角動量守恒定律本章內(nèi)容Contentschapter 55.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述rotation of rigidbody with a fixed axis5.4 剛體轉(zhuǎn)動中的功和能剛體轉(zhuǎn)動中的功和能5.2 角動量與角動量守恒角動量與角動量守恒angular momentum andlaw of conservation of angular momentum 5.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律law of rotation of rigidbody with a fixed axiswork and energy of rotating ri

2、gidbody目的要求了解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量：了解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量：q q 、w w、a a 理解質(zhì)點、剛體的角動量，角動量定理及理解質(zhì)點、剛體的角動量，角動量定理及角動量守恒定律。會用他們來處理一些較角動量守恒定律。會用他們來處理一些較簡單的剛體轉(zhuǎn)動問題簡單的剛體轉(zhuǎn)動問題掌握轉(zhuǎn)動定律，能熟練地用他來處理一些掌握轉(zhuǎn)動定律，能熟練地用他來處理一些較簡單的剛體定軸轉(zhuǎn)動問題較簡單的剛體定軸轉(zhuǎn)動問題了解剛體的動能定理了解剛體的動能定理剛體第一節(jié)5 . 1rotation of rigidbody with a fixed axis定軸轉(zhuǎn)動描述1.角坐標(biāo)角坐標(biāo)2.角位移角位移3.角速度角速

3、度常量常量靜止勻角速變角速4.角加速度角加速度變角加速常量常量 勻角加速勻角速用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動方向采用右手螺旋定則 的運動方程的運動方程剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面（包含P并與轉(zhuǎn)軸垂直）參考參考方向方向剛體中任剛體中任一點一點例rad- -1srad- -2sradrad-1rad s-2rad s勻勻 角角 加加 速速 定定 軸軸 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動動例任意時刻的任意時刻的常量常量且且 t = 0 時時 得得由由本題知角加速度求角速度、角坐標(biāo)，屬于本題知角加速度求角速度、角坐標(biāo)，屬于前面已經(jīng)學(xué)過的積分（第二類）問題前面已經(jīng)學(xué)過的積分（第二類）問題得得兩邊積

4、分兩邊積分得得即即由由得得兩邊積分兩邊積分例這是定軸轉(zhuǎn)動中這是定軸轉(zhuǎn)動中線量線量與與角量角量的基本關(guān)系的基本關(guān)系由由得得對比剛剛 體體 的的 定定 軸軸 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動動質(zhì)點質(zhì)點直線直線運動或剛體平動運動或剛體平動速度速度加速度加速度位移位移勻速直線運動勻速直線運動勻變速直線運動勻變速直線運動角速度角速度角加速度角加速度角位移角位移勻角速定軸轉(zhuǎn)動勻角速定軸轉(zhuǎn)動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動第二節(jié)5 . 2angular momentum law of conservation of angular momentum 質(zhì)點的角動量rOmv速度速度位矢位矢質(zhì)量質(zhì)量角角夾夾rvrvL大量天文觀測表明大量

5、天文觀測表明rmvsin常量常量行星繞日作橢圓軌道運動時服從行星繞日作橢圓軌道運動時服從大?。捍笮。篖rmvsin方向：方向：rmv()rpLrmv位矢對動量的叉積位矢對動量的叉積質(zhì)點角動量定理由得兩平行矢量的叉乘積為零兩平行矢量的叉乘積為零即上式又是 力矩力矩其大小的操作定義，微分形式 如果各分力與如果各分力與O點共面，力矩只含正、反兩種方向。可設(shè)順時針為正點共面，力矩只含正、反兩種方向。可設(shè)順時針為正向，用代數(shù)法求合力矩。向，用代數(shù)法求合力矩。即即質(zhì)點質(zhì)點 對給定參考點對給定參考點 的的角動量的時間變化率角動量的時間變化率所受的合外力矩所受的合外力矩等于等于積分形式例如例如， 單擺的角動量

6、大小為單擺的角動量大小為 L = = mvr, , v 為變量。為變量。 在在 t = = 0 時從水平位置靜止時從水平位置靜止釋放，初角動量大小為釋放，初角動量大小為 L0= = m v0 r = =0； 時刻時刻 t 下擺至豎直位置，下擺至豎直位置， 角動量角動量大小為大小為 L = = m v r 。則此過程單擺所受的沖量矩大小等于則此過程單擺所受的沖量矩大小等于 L- -L0= = m v r = = m r 2gr 。即即 質(zhì)點質(zhì)點 對給定參考點對給定參考點 的的沖量矩沖量矩 等于等于 角動量的增量角動量的增量由由有有稱為稱為 沖量矩沖量矩角動量的增量角動量的增量積分得積分得質(zhì)點角動

7、量守恒根據(jù)質(zhì)點的根據(jù)質(zhì)點的 角動量定理角動量定理 若若則則即即常矢量常矢量 若質(zhì)點所受的合外力的方向始終通過參考點，其角動量守恒。如行星若質(zhì)點所受的合外力的方向始終通過參考點，其角動量守恒。如行星繞太陽運動，以及微觀粒子中與此類似的運動模型，服從角動量守恒定律。繞太陽運動，以及微觀粒子中與此類似的運動模型，服從角動量守恒定律。當(dāng)質(zhì)點當(dāng)質(zhì)點 所受的合外力對某參考點所受的合外力對某參考點 的力矩的力矩 為零時，質(zhì)點對該點的角動量為常量（即時間變化為零時，質(zhì)點對該點的角動量為常量（即時間變化率率 為為零）。零）。開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點的角動量守恒定律可以證明應(yīng)用質(zhì)點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二

8、定律開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積證明 時刻時刻 m 對對 O 的角動量大小為的角動量大小為因行星受的合外力總指向太陽，角動量因行星受的合外力總指向太陽，角動量 守恒。守恒。瞬間瞬間位矢掃過的微面積位矢掃過的微面積則則常量常量故，故，位矢在相同時間內(nèi)掃過的面積相等位矢在相同時間內(nèi)掃過的面積相等即即（稱為掠面速率）（稱為掠面速率）剛體的角動量剛體的轉(zhuǎn)動慣量分立質(zhì)點結(jié)構(gòu)的剛體分立質(zhì)點結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點）的若連接兩小球（視為質(zhì)點）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸0.75直桿勻直細(xì)

9、桿對中垂軸的勻直細(xì)桿對中垂軸的勻直細(xì)桿對端垂勻直細(xì)桿對端垂軸的軸的質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)心新軸質(zhì)心軸平行移軸定理平行移軸定理對對新新軸軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量新軸新軸對心軸的平移量對心軸的平移量例如：例如：時時代入可得代入可得端圓盤勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的球體其中其中 可看成是許多半徑不同的共可看成是許多半徑不同的共軸簿圓盤的轉(zhuǎn)動慣量軸簿圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 dI 的疊加。的疊加。 距距 O 為為 y 、半徑為、半徑為 r 、微厚為、微厚為 dy 的簿圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為的簿圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為勻質(zhì)實心球?qū)π妮S的勻質(zhì)實心球?qū)π妮S的密度密度常用

10、公式LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22I =m R123I =m L1轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直剛體的角動量定理角動量定理剛體角動量守恒由由剛體所受合外力矩剛體所受合外力矩若若則則即即知知回轉(zhuǎn)儀萬萬向向支支架架回轉(zhuǎn)儀定向原理基基 座座回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體 （轉(zhuǎn)動慣量（轉(zhuǎn)動慣量 ）使其以角速度使其以角速度 高速旋轉(zhuǎn)高速旋轉(zhuǎn)受合外力矩為零受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布；回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。軸摩擦及空氣阻力很小。角動量守恒角動量守恒常矢量常矢量其中轉(zhuǎn)動慣量其中轉(zhuǎn)動慣量為常量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向

11、若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會受基座改向的影響而不會受基座改向的影響轉(zhuǎn)臺角動量守恒的另一類現(xiàn)象角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變小則變大，變大，乘積乘積保持不變保持不變，變大則變大則變小。變小。收臂收臂大大小小 用外力矩用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂張臂大大小小滑冰花花 樣樣 滑滑 冰冰收臂大小張臂張臂大大小小先使自己先使自己轉(zhuǎn)動起來轉(zhuǎn)動起來收臂收臂大大小小角動量守恒的另一類現(xiàn)象角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變小則變大，變大，乘積乘積保持不變保持不變，變大則變大則變小。變小。共軸系統(tǒng)共軸系統(tǒng)共軸系統(tǒng)若若外外則則常矢量常矢量輪、轉(zhuǎn)臺與

12、人系統(tǒng)輪、轉(zhuǎn)臺與人系統(tǒng)輪輪人臺人臺初態(tài)初態(tài)全靜全靜初初人沿某一轉(zhuǎn)人沿某一轉(zhuǎn)向撥動輪子向撥動輪子輪輪末態(tài)末態(tài)人臺人臺輪輪輪輪末末人臺人臺人臺人臺初初得得人臺人臺人臺人臺輪輪輪輪導(dǎo)致人臺導(dǎo)致人臺反向轉(zhuǎn)動反向轉(zhuǎn)動動畫直升機直升飛機防止機身旋動的措施直升飛機防止機身旋動的措施用兩個對用兩個對轉(zhuǎn)的頂漿轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干（支奴干 CH47)用用 尾尾 漿漿（美洲豹（美洲豹 SA300）（ 海豚海豚 ）例A A、B B兩輪共軸兩輪共軸A A 以以 w wA A 作慣性轉(zhuǎn)動作慣性轉(zhuǎn)動兩輪嚙合后兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動的角速度一起作慣性轉(zhuǎn)動的角速度w wABAB 以以A A、B B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動力矩

13、后，系為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。初態(tài)角動量初態(tài)角動量末態(tài)角動量末態(tài)角動量得得例以子彈和棒為系統(tǒng)以子彈和棒為系統(tǒng)擊入階段擊入階段子彈擊入木棒瞬間子彈擊入木棒瞬間，系統(tǒng)在系統(tǒng)在鉛直位置，受合鉛直位置，受合外力矩為零外力矩為零，角動量守恒。，角動量守恒。該瞬間之始該瞬間之始該瞬間之末該瞬間之末彈彈棒棒彈彈棒棒彈嵌于彈嵌于棒棒子彈子彈擺擺最最大大轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角木棒木棒上擺階段上擺階段子彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，子彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，非保守內(nèi)力的功為零，由系統(tǒng)動能定理非保守內(nèi)力的功為零，由系統(tǒng)動能定理外力（重外力（重力）的功力）的功

14、外外上擺末動能上擺末動能上擺初動能上擺初動能其中其中聯(lián)立解得聯(lián)立解得例聯(lián)立解得聯(lián)立解得0.5771.861其中其中 球、棒相碰球、棒相碰瞬間瞬間在鉛垂位置，在鉛垂位置，系統(tǒng)受合外系統(tǒng)受合外力矩為零力矩為零，角動量守恒。，角動量守恒。剛要碰時系統(tǒng)角動量剛要碰時系統(tǒng)角動量剛碰過后系統(tǒng)角動量剛碰過后系統(tǒng)角動量球球棒棒球球棒棒彈碰階段彈碰階段彈碰過程能量守恒彈碰過程能量守恒 滿足什么條件時，小球（視滿足什么條件時，小球（視為質(zhì)點）擺至鉛垂位置與棒彈碰而為質(zhì)點）擺至鉛垂位置與棒彈碰而小球恰好靜止。直棒起擺角速度小球恰好靜止。直棒起擺角速度勻質(zhì)直棒與單擺勻質(zhì)直棒與單擺小球的質(zhì)量相等小球的質(zhì)量相等兩者共面共

15、轉(zhuǎn)軸兩者共面共轉(zhuǎn)軸水水平平靜靜止止釋釋放放靜靜懸懸彈碰彈碰忽略摩擦忽略摩擦對擺球、直棒系統(tǒng)對擺球、直棒系統(tǒng)小球下擺階段小球下擺階段從水平擺到彈碰即將開始，從水平擺到彈碰即將開始，由動能定理得由動能定理得第三節(jié)5 . 3law of rotation of rigidbody with a fixed axis剛體轉(zhuǎn)動定律引言質(zhì)質(zhì) 點點的運動定律的運動定律或或剛體平動剛體平動F = m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合加速度合加速度有力矩作用時剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動規(guī)律？有力矩作用時剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動規(guī)律？轉(zhuǎn)動定律由由得得或或即即應(yīng)用 勻直細(xì)勻直細(xì)桿一端為桿一端為軸水平靜軸水平靜止釋放，止釋放，

16、求求例aRm1m2m輪軸無摩擦輪軸無摩擦輕繩不伸長輕繩不伸長輪繩不打滑輪繩不打滑aG1G2a aa a轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動平動平動線線- -角角復(fù)合運動復(fù)合運動m1+ m2+ 聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得m1m2a=gm21g = m1 ( g + a ) = m2 ( g a )m1 gm2 g例Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力恒力F滑輪角加速度滑輪角加速度 a a細(xì)繩線加速度細(xì)繩線加速度 a（A）純轉(zhuǎn)動純轉(zhuǎn)動（B） 復(fù)合運動復(fù)合運動例m= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mRm1m2m物體從靜止開始運動時，滑輪的物體從靜止開始運動時，滑輪的 轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動方程m1m2m

17、復(fù)合運動，復(fù)合運動，和和分別應(yīng)用牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律分別應(yīng)用牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律m1 g FT1 = m1aFT2 m2 g = m2a( FT1 FT2 ) R = Ia a及及 a = Ra aI = mR221得得a a =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量常量(m1-m2)g(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故故由由R(m1+ m2+ m 2)2 (rad)tG1G2a aaa例短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)q qq q兩勻兩勻直細(xì)桿直細(xì)桿地面地面兩者瞬時角加速度之比兩者瞬時角加速度之比213q q1q q1321根據(jù)第

18、四節(jié)5 . 4work and energy of rotating rigidbody力矩的功亦稱力矩的元功亦稱力矩的元功力力的元功的元功做的總功做的總功其瞬時功率其瞬時功率轉(zhuǎn)動動能I得得該質(zhì)元的動能該質(zhì)元的動能剛體中任一質(zhì)元剛體中任一質(zhì)元 的速率的速率對所有質(zhì)元的動能求和對所有質(zhì)元的動能求和轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 I力矩的功算例撥動圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小撥動圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小粗粗 糙糙 水水 平平 面面轉(zhuǎn)軸平放一圓盤平放一圓盤圓盤受總摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩 轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功總摩擦力矩總摩擦力矩 Mr 是是各微環(huán)帶摩擦元力矩各微環(huán)帶摩擦元力矩 d dMMr r 的積分的積分環(huán)帶面積環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩環(huán)帶受摩擦力矩得得剛體的動能定理回憶質(zhì)點的動能定理回憶質(zhì)點的動能定理剛體轉(zhuǎn)動的動能定理剛體轉(zhuǎn)動的動能定理