無(wú)窮小量階的比較

1、二、無(wú)窮小量階的比較5 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量 由于 等同于 因0lim ( )0,xxf xA0lim( )xxf xA 分析”相同的所以有人把 “數(shù)學(xué)分析” 也稱(chēng)為 “無(wú)窮小此函數(shù)極限的性質(zhì)與無(wú)窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是四、漸近線(xiàn)三、無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量一、無(wú)窮小量定義定義1內(nèi)內(nèi)有有定定義義，的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè))(00 xUxf , 0lim0 xfxx若若.0時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量為為則稱(chēng)則稱(chēng)xxf為為類(lèi)似地可以分別定義類(lèi)似地可以分別定義f.時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量和和有有界界量量.0時(shí)時(shí)的的有有界界量量xx ，的的某某個(gè)個(gè)空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有界界點(diǎn)點(diǎn)在在若若0 xf 則稱(chēng)則稱(chēng)

2、f 為為,00 xxxxxxx,顯然，無(wú)窮小量是有界量顯然，無(wú)窮小量是有界量. .而有界量不一定是無(wú)窮而有界量不一定是無(wú)窮時(shí)的無(wú)窮小量；時(shí)的無(wú)窮小量；為為11 xx例如例如:對(duì)于無(wú)窮小量與有界量，有如下關(guān)系：對(duì)于無(wú)窮小量與有界量，有如下關(guān)系：；時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量為為 112xxsin;xxx 為時(shí)的無(wú)窮小量為時(shí)的無(wú)窮小量sin.xx 為時(shí)的有界量為時(shí)的有界量小量小量. .1. 兩個(gè)兩個(gè)(類(lèi)型相同的類(lèi)型相同的)無(wú)窮小量的和，差，積仍是無(wú)窮小量的和，差，積仍是2. 無(wú)窮小量與有界量的乘積仍為無(wú)窮小量無(wú)窮小量與有界量的乘積仍為無(wú)窮小量.性質(zhì)性質(zhì)1 1可由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)直接得到可由極限的四則

3、運(yùn)算性質(zhì)直接得到. 所以所以因?yàn)橐驗(yàn)榈牡?0lim, 00 xfxx 使得當(dāng)使得當(dāng)存在存在,0 無(wú)窮小量無(wú)窮小量.下面對(duì)性質(zhì)加以證明下面對(duì)性質(zhì)加以證明.00|, |( )|,1xxf xM 時(shí)從而時(shí)從而00lim( )0,| ( )|,().xxf xg xM xUx 設(shè)對(duì)于任意設(shè)對(duì)于任意0( ) ( ).f x g xxx這這就就證證明明了了是是時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量例如例如:時(shí)時(shí)為為時(shí)的無(wú)窮小量，時(shí)的無(wú)窮小量，為為01sin0 xxxx.01sin時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量為為的有界量，那么的有界量，那么xxx.01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx應(yīng)當(dāng)注意應(yīng)當(dāng)注意,

4、, 下面運(yùn)算的寫(xiě)法是錯(cuò)誤的：下面運(yùn)算的寫(xiě)法是錯(cuò)誤的：|( ) ( )|.f x g x xxy1sin 從幾何上看，曲線(xiàn)從幾何上看，曲線(xiàn)在在 近旁發(fā)生無(wú)近旁發(fā)生無(wú)0 x限密集的振動(dòng)，其振幅被兩條直線(xiàn)限密集的振動(dòng)，其振幅被兩條直線(xiàn)xy 所限制所限制. .y-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1xxy xxy1sin xy 二、無(wú)窮小量階的比較兩個(gè)相同類(lèi)型的無(wú)窮小量，它們的和，差，積仍?xún)蓚€(gè)相同類(lèi)型的無(wú)窮小量，它們的和，差，積仍 xgxfxxxgxfxx是關(guān)于是關(guān)于時(shí)時(shí)則稱(chēng)則稱(chēng)，若若00lim. 10 .,0均是無(wú)窮小量均是無(wú)窮小量時(shí)，時(shí)，設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)xgxfxx 出如下定義

5、出如下定義.兩個(gè)無(wú)窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給兩個(gè)無(wú)窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給這與它們各自趨于零的速度有關(guān)這與它們各自趨于零的速度有關(guān).為了便于考察為了便于考察是無(wú)窮小量，但是它們的商一般來(lái)說(shuō)是不確定的是無(wú)窮小量，但是它們的商一般來(lái)說(shuō)是不確定的.的的高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小量量，記記作作. )()()(0 xxxgoxf .)()1()(0 xxoxf .)0, 0()(1 kxxoxkk;)0()1(sin xox例如：例如：;)0()(cos1 xxox0( )f xxx當(dāng)為時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)， 我們記當(dāng)為時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)， 我們記2. 若存在正數(shù)若存在正數(shù) K 和和 L，使得在，

6、使得在 x0 的某一空心鄰域的某一空心鄰域)(0 xU內(nèi)，有內(nèi)，有,)()(MxgxfL 根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性，特別當(dāng)根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性，特別當(dāng)0)()(lim0 cxgxfxx時(shí)，這兩個(gè)無(wú)窮小量一定是同階的時(shí)，這兩個(gè)無(wú)窮小量一定是同階的.例如例如: ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxcos1 與與2x是同階無(wú)窮小量是同階無(wú)窮小量;則稱(chēng)則稱(chēng) 與與 是是0 xx 時(shí)的同階無(wú)窮小量時(shí)的同階無(wú)窮小量.)(xf)(xg3. 若兩個(gè)無(wú)窮小量在若兩個(gè)無(wú)窮小量在)(0 xU內(nèi)滿(mǎn)足內(nèi)滿(mǎn)足:,)()(Lxgxf 則記則記).() )()(0 xxxgOxf 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，x 與與 xx1sin2是同階無(wú)窮小量是同階無(wú)窮小量

7、.,)(0時(shí)的有界量時(shí)時(shí)的有界量時(shí)為為xxxf我們記我們記.)()1()(0 xxOxf 應(yīng)當(dāng)注意，若應(yīng)當(dāng)注意，若)(,)(xgxf為為0 xx 時(shí)的同階無(wú)時(shí)的同階無(wú)窮小量，當(dāng)然有窮小量，當(dāng)然有. )() )()(0 xxxgOxf 反之不一定成立反之不一定成立, 例如例如. )0()(1sin xxOxx但是這兩個(gè)無(wú)窮小量不是同階的但是這兩個(gè)無(wú)窮小量不是同階的.注意：注意：這里的這里的) )()() )()(xgOxfxgoxf 與與)(0 xx 和通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的和通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的右邊，本質(zhì)上只是表示一類(lèi)函數(shù)例如右邊，本質(zhì)上只是表示一類(lèi)函數(shù)例如) )(xgo

8、表示表示 的所有高階無(wú)窮小量的集合的所有高階無(wú)窮小量的集合)(xg)(0 xx . )( )()( 0 xxxgxf; )0(sin , 1sinlim0 xxxxxx所以所以因?yàn)橐驗(yàn)? )0(arctan , 1arctanlim 0 xxxxxx所以所以因?yàn)橐驗(yàn)閯t稱(chēng)則稱(chēng)若若 , 1)()(lim . 40 xgxfxx時(shí)的時(shí)的為為與與0 )( )( xxxgxf等價(jià)無(wú)窮小量，記作等價(jià)無(wú)窮小量，記作也就是說(shuō)，這里的也就是說(shuō)，這里的 “=” 類(lèi)似于類(lèi)似于.”“ .0)(21cos12 xxx同樣還有同樣還有根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)：根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)：),(

9、)()( ),( )()( 00 xxxhxgxxxgxf若若.1)()(lim)()(lim)()(lim 000 xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無(wú)窮小量階的比較前面討論了無(wú)窮小量階的比較, 值得注意的是值得注意的是, 并并.)( )()( 0 xxxhxf那么那么這是因?yàn)檫@是因?yàn)椴皇侨魏蝺蓚€(gè)無(wú)窮小量都可作階的比較不是任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可作階的比較. 例如例如xxsin與與21x均為均為x時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量, 卻不能卻不能按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較. 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?(sin1sin2 xxxxxx是一個(gè)無(wú)界量，并且是一個(gè)無(wú)界量，并且

10、(2 )sin(2 )0 .nn下面介紹一個(gè)非常有用的定理：下面介紹一個(gè)非常有用的定理：定理定理3.12 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f, g, h 在在)(0 xU內(nèi)有定義內(nèi)有定義, 且且. )()()(0 xxxgxf;)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxfxxxx 則則若若.)()(lim,)()(lim)2(00AxgxhAxfxhxxxx 則則若若.)()()()(lim)()(lim00Axhxfxfxgxhxgxxxx 證證,1)()(lim,)()(lim)1(00 xgxfAxhxfxxxx因?yàn)橐驗(yàn)樗运远ɡ矶ɡ?3.12 告訴我們，在求極限時(shí)，乘積中的因子告訴我們

11、，在求極限時(shí)，乘積中的因子例例1.2sinarctanlim0 xxx計(jì)算計(jì)算.212lim2sinarctanlim00 xxxxxx解解),0(22sin,arctanxxxxx因?yàn)橐驗(yàn)樗运?2) 可以類(lèi)似地證明可以類(lèi)似地證明.可用等價(jià)無(wú)窮小量代替，這是一種很有用的方法可用等價(jià)無(wú)窮小量代替，這是一種很有用的方法.例例2.sinsintanlim30 xxxx 計(jì)算計(jì)算解解3030sintanlimsinsintanlimxxxxxxxx 30)1cos1(sinlimxxxx xxxxxcos)cos1(sinlim30 3202limxxxx .21 有定義有定義, 若對(duì)于任給若對(duì)于

12、任給定義定義2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在在)(0 xU|( )|,f xG.)(lim0 xfxx)();(00 xUxUx G 0, 存在存在 0，使得當(dāng)，使得當(dāng)則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù) f (x) 當(dāng)當(dāng) x x0 時(shí)為無(wú)窮大量時(shí)為無(wú)窮大量, 記作記作時(shí)時(shí), ,有有三、無(wú)窮大量|( )|( )( ),f xGf xGf xG 若若定定義義中中的的改改為為或或記作記作00lim( )lim( ).xxxxf xf x 或或請(qǐng)讀者自行寫(xiě)出它們的定義請(qǐng)讀者自行寫(xiě)出它們的定義.;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx.)(lim,)(lim,

13、)(lim xfxfxfxxx0( )f xxx相相應(yīng)應(yīng)地地稱(chēng)稱(chēng)為為時(shí)時(shí)的的正正無(wú)窮大量和負(fù)無(wú)無(wú)窮大量和負(fù)無(wú)類(lèi)似地可以定義如下的無(wú)窮大量類(lèi)似地可以定義如下的無(wú)窮大量: :窮大量窮大量. .例例3.1lim20 xx證明證明證證,|0,1,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)取取 xGG,12Gx .1lim20 xx所以所以例例4 當(dāng)當(dāng) a 1 時(shí)，求證時(shí)，求證.lim xxa這就證明了這就證明了.lim xxaxalog函數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格遞增性，的嚴(yán)格遞增性，,Gax 當(dāng)當(dāng) x M 時(shí)，時(shí)，證證 G 0 ( 不妨設(shè)不妨設(shè) G 1 ), ,log GMa 令令由對(duì)數(shù)由對(duì)數(shù) ,0Gaann .lim nna即即例例6 6設(shè)設(shè)

14、 遞增，無(wú)上界遞增，無(wú)上界. 證明證明.lim nnana證證 因?yàn)橐驗(yàn)?無(wú)上界，所以任給無(wú)上界，所以任給 G 0，存在，存在na,0n.0Gan 又因又因 遞增，遞增，使使na故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有0nn 例例50lim ln.xx 證證明明證證0,0,0,Gx對(duì)對(duì)要要找找到到使使得得ln.xG -lne0.Gx 由由于于單單調(diào)調(diào)增增, ,只只要要令令即即可可從無(wú)窮大量的定義與例從無(wú)窮大量的定義與例3、例、例4和例和例5可以看出：可以看出：無(wú)窮大量不是很大的一個(gè)數(shù)，而是具有非正常的無(wú)窮大量不是很大的一個(gè)數(shù)，而是具有非正常的極限極限 . 很明顯，若很明顯，若,)(lim0 xfxx那么那么 f

15、 (x) 在在 x0 的任何一個(gè)鄰域內(nèi)無(wú)界的任何一個(gè)鄰域內(nèi)無(wú)界. 但值得注意的是但值得注意的是: 若若 f (x)例如：例如：xxxfsin)( 在在 的任何鄰域內(nèi)無(wú)界，但的任何鄰域內(nèi)無(wú)界，但卻不是卻不是 x 時(shí)的無(wú)窮大量時(shí)的無(wú)窮大量. 事實(shí)上事實(shí)上, 對(duì)對(duì)無(wú)界量無(wú)界量) , 并不能保證并不能保證 f (x) 是是 x x0 的無(wú)窮大量的無(wú)窮大量.在在 x0 的任何鄰域內(nèi)無(wú)界的任何鄰域內(nèi)無(wú)界 (稱(chēng)稱(chēng) f (x) 是是 x x0 時(shí)的時(shí)的,2,1,2,22 nnynxnn 因而因而 f (x)不是不是 x 時(shí)的無(wú)窮大量時(shí)的無(wú)窮大量.有有.0)(,)( nnyfxf兩個(gè)無(wú)窮大量也可以定義階的比較兩

16、個(gè)無(wú)窮大量也可以定義階的比較. 設(shè)設(shè).)(lim)(lim00 xgxfxxxx的的高高階階是是關(guān)關(guān)于于則則稱(chēng)稱(chēng)若若)()(,0)()(lim. 10 xfxgxgxfxx 無(wú)窮大量無(wú)窮大量.使使和正數(shù)和正數(shù)若存在正數(shù)若存在正數(shù),. 2 KL,),(0時(shí)時(shí) xUx ,)()(KxgxfL 則稱(chēng)則稱(chēng) f (x) 與與 g (x) 是當(dāng)是當(dāng) x x0 時(shí)的一個(gè)同階無(wú)窮時(shí)的一個(gè)同階無(wú)窮大量大量.是是與與則稱(chēng)則稱(chēng)若若)()(,1)()(lim. 30 xgxfxgxfxx 當(dāng)當(dāng) x x0 時(shí)時(shí)的等價(jià)無(wú)窮大量，的等價(jià)無(wú)窮大量，記為記為., )()(0 xxxgxf下述定理反映了無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)

17、系下述定理反映了無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系,直觀(guān)地說(shuō)：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系直觀(guān)地說(shuō)：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系.定理定理3.13(1) 若若 f 為為 xx0 時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量, 且不等于零且不等于零, 則則為為f1.0時(shí)的無(wú)窮大量時(shí)的無(wú)窮大量xx 證證這里僅證明定理的這里僅證明定理的 (1) . 對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù)G , 因?yàn)橐驗(yàn)橛杏袝r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),|00 xx,)(1,1| )(|GxfGxf 即即這就證明了這就證明了.)(1lim0 xfxx時(shí)時(shí)為為則則時(shí)的無(wú)窮大量時(shí)的無(wú)窮大量為為若若001,)2(xxgxxg的無(wú)窮小量的無(wú)窮小量.f 為為 x x0 時(shí)的無(wú)窮小量

18、，時(shí)的無(wú)窮小量，所以存在所以存在,0 使得使得.)()(lim0 xgxfxx.2| )(|bxf 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)(lim0 xgxx所以對(duì)于任意正數(shù)所以對(duì)于任意正數(shù)G，存在，存在,|0,0202時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.|2| )(|Gbxg 證證由極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性,0)(lim0 bxfxx因?yàn)橐驗(yàn)榇嬖诖嬖谟杏袝r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),|010 xx,01 例例7,)(lim,0)(lim00 xgbxfxxxx設(shè)設(shè)求證求證有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)令令,|0,min021 xx,|22| )()(|GGbbxgxf .)()(lim0 xgxfxx注注 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0,1)(,)( xxxgxxf

19、.1)()(lim0 xgxfx這就說(shuō)明了當(dāng)這就說(shuō)明了當(dāng) b = 0 時(shí)結(jié)論不一定成立時(shí)結(jié)論不一定成立.即即例例8存在存在證明證明時(shí)的無(wú)界量時(shí)的無(wú)界量為為設(shè)設(shè):.)(0 xxxf使得使得,00 xxxxnn 都存在都存在,0 使得使得時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),|0,0 xxx.| )(|Gxf ,1|0,1,101111時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì) xxxG ;1| )(|1 xf.)(lim nnxf證證，為無(wú)界量為無(wú)界量時(shí)時(shí)因?yàn)橐驗(yàn)?(0 xfxx 所以所以,0 G;2| )(|2 xf;| )(|nxfn .)(lim nxxf,21|0,21,202222時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì) xxxG ,1|0,1,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)nxxxn

20、nGnnnn .由此得到一列由此得到一列 ，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足 且且,00 xxxxnn nx注注 例例8的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取法法, 對(duì)提高解題能力是有益處的對(duì)提高解題能力是有益處的.符合要求的點(diǎn)列的一種方法符合要求的點(diǎn)列的一種方法. 熟練地掌握這種方熟練地掌握這種方四、漸近線(xiàn)作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用，我們來(lái)討論曲線(xiàn)的漸作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用，我們來(lái)討論曲線(xiàn)的漸在中學(xué)里我們已經(jīng)知道雙曲線(xiàn)的在中學(xué)里我們已經(jīng)知道雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為, 12222byax它的漸近線(xiàn)方程為它的漸近線(xiàn)方程為.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近線(xiàn)問(wèn)題

21、近線(xiàn)問(wèn)題.下面給出漸近線(xiàn)的一般定義下面給出漸近線(xiàn)的一般定義.定義定義4 設(shè)設(shè) L 是一條直線(xiàn)是一條直線(xiàn), 若曲線(xiàn)若曲線(xiàn) C 上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn) P 沿沿曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí), 點(diǎn)點(diǎn) P 與與 L 的距離趨于零，則的距離趨于零，則稱(chēng)直線(xiàn)稱(chēng)直線(xiàn) L 為曲線(xiàn)為曲線(xiàn) C 的一條漸近線(xiàn)的一條漸近線(xiàn). （如圖）（如圖）bkxy PNML L)(xfy C CxyO.1)(|cos|2kbkxxfPMPN 由漸近線(xiàn)的定義，由漸近線(xiàn)的定義，或或時(shí)時(shí) (x xx,01)(lim2 kbkxxfx即即時(shí)）時(shí)）,0,PN首先首先, 我們來(lái)看如何求曲線(xiàn)我們來(lái)看如何求曲線(xiàn) 的斜漸近線(xiàn)的斜漸近線(xiàn).)(xfy 如圖所示如圖所示, 設(shè)斜漸近線(xiàn)設(shè)斜漸近線(xiàn) L 的方程為的方程為.bkxy 曲曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn) 至直線(xiàn)至直線(xiàn) L 的距離為的距離為),(yxP從而從而. )(limkxxfbx 又又xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim xbx所以，所以，.)(limxxfkx 這樣就確定了斜漸近線(xiàn)的兩個(gè)參數(shù)：這樣就確定了斜漸近線(xiàn)的兩個(gè)參數(shù)：,)(limxxfkx . )(limkxxfbx 這是沿這是沿 x 軸正向的漸近線(xiàn)的方程軸正向的漸