第二學(xué)期第八次課

1、第二學(xué)期第八次課設(shè)A是n維酉空間V內(nèi)的線性變換,如果V內(nèi)的線性變換A滿足,V,有(A,)=(,A)則稱A是A的共軛變換. A為A的共軛變換當(dāng)且僅當(dāng)它們在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣互為共軛轉(zhuǎn)置. 共軛變換的五條性質(zhì): 1)E=E 2)(A)= A 3)(kA)=A 4)(A+B)=A+B 5)(AB)=BA如果A = A,則稱A是一個厄米特變換.設(shè)A是n階復(fù)矩陣,如果=A,則稱A是一個厄米特矩陣.n個復(fù)變量的二次齊次函數(shù) ()稱為一個厄米特二次型.（對稱變換、實(shí)對稱矩陣、實(shí)二次型的推廣）。（酉變換和厄米特變換都是下面的正規(guī)變換的特殊情形.）如果AA= A A,則稱A為一個正規(guī)變換.（將酉變換的性質(zhì)推廣，

2、有一般的結(jié)果：）命題 酉空間V上的線性變換A的不變子空間M的正交補(bǔ)是共軛變換A的不變子空間.證明 M, ,有 (,A)=(A,)=0這表明A.命題 酉空間上的正規(guī)變換A的屬于特征值的特征向量的是共軛變換A的屬于特征值的特征向量.證明 按假設(shè),有A=則 (A-,A-)=(A-E), A-) =(,(A-E)(A-E) =(,(A-E)(A-E) =(,0)=0從而A=.命題 酉空間上的正規(guī)變換的屬于不同特征值的特征向量互相正交.證明 設(shè)A=,A=則 (,)=(A,)=(,A)=(,)=(,)必有(,)=0.定理 維酉空間上的正規(guī)變換在某組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是對角陣.證明 對維數(shù)n做數(shù)學(xué)歸納法.推

3、論 維酉空間上的酉變換在某組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是對角陣.命題 厄米特變換的特征值都是實(shí)數(shù).證明 若A=,則 =A=A=是實(shí)數(shù).推論 維酉空間上的厄米特變換在某組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對角陣.定理 厄米特二次型在適當(dāng)?shù)挠献償?shù)替換下可以化為標(biāo)準(zhǔn)形其中都是實(shí)數(shù).證明 f的矩陣A是一個厄米特矩陣,于是存在酉矩陣U,使 為實(shí)對角矩陣.令X=UY,即可.（推廣歐氏空間上的度量的概念，用以統(tǒng)一處理洛侖茲變換和辛變換）數(shù)域上的維線性空間的任一滿秩雙線性函數(shù)都可以定義上的度量（以及一組基的度量矩陣）；在此度量下同樣可定義一個線性變換的共軛變換和正交變換:設(shè)A是V上線性變換,如果存在線性變換A,使 f(A,)=f(,A) ,V則稱A是A的(關(guān)于f的)共軛變換. 如果線性變換A滿足 f(A,A)=f(,) ,V則稱A為(關(guān)于f的)正交變換.在給定的基（度量矩陣為）下一個線性變換A（矩陣為）的共軛變換的矩陣，（這是因?yàn)閒(A,)=f(,A),從而）如果A是正交變換，A的共軛