（精心整理）排列組合典型題大全含答案

1、排列組合典型題大全一可重復的排列求冪法：重復排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是在正確判斷哪個底數(shù)，哪個是指數(shù)【例1】 （1）有4名學生報名參加數(shù)學、物理、化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？（2）有4名學生參加爭奪數(shù)學、物理、化學競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？（3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？【解析】：（1）（2） （3）【例2】 把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；將第

2、一名實習生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有種不同方案.【例3】 8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有（ ）A、 B、 C、 D、【解析】：冠軍不能重復，但同一個學生可獲得多項冠軍，把8名學生看作8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可能住進任意一家“店”，每個“客”有8種可能，因此共有種不同的結(jié)果。所以選A1、4封信投到3個信箱當中，有多少種投法？2、4個人爭奪3項冠軍，要求冠軍不能并列，每個人可以奪得多項冠軍也可以空手而還，問最后有多少種情況？3、4個同學參加3項不同的比賽（1）每位同學必須參加一項比賽，有多少

3、種不同的結(jié)果？（2）每項競賽只許一名同學參加，有多少種不同的結(jié)果？4、5名學生報名參加4項比賽，每人限報1項，報名方法的種數(shù)有多少？又他們爭奪這4項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少種？6、（全國II 文）5位同學報名參加兩個課外活動小組,每位同學限報其中的一個小組,則不同的報名方法共(A)10種(B)20種(C) 25種 (D) 32種7、5位同學報名參加并負責兩個課外活動小組，每個興趣小組只能有一個人來負責，負責人可以兼職，則不同的負責方法有多少種？8、4名不同科目的實習教師被分配到3個班級，不同的分法有多少種？思考：4名不同科目的實習教師被分配到3個班

4、級，每班至少一個人的不同的分法有多少種？二相鄰問題捆綁法： 題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列.高考資源網(wǎng) 【例1】五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 【解析】：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當于4人的全排列，種例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再

5、與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 【解析】： 間接法 6位同學站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有， 種高考資源網(wǎng) 其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有288 例2、6名同學排成一排，其中甲，乙兩人必須排在一起的不同排法有（ C ）種。A）720 B）360 C）240 D）120三相離問題插空法 ：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再

6、把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是 【解析】：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種【例2】 書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有 種不同的插法（具體數(shù)字作答）【解析】： 或分類【例3】 高三（一）班學要安=排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是 【解析】：不同排法的種數(shù)為3600【例4】 某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完

7、成后才能進行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是 【解析】：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中，可得有20種不同排法?！纠?】某市春節(jié)晚會原定10個節(jié)目，導演最后決定添加3個與“抗冰救災”有關(guān)的節(jié)目，但是賑災節(jié)目不排在第一個也不排在最后一個，并且已經(jīng)排好的10個節(jié)目的相對順序不變，則該晚會的節(jié)目單的編排總數(shù)為 種.【解析】： 【例6】.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？【解析】：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空

8、隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.【例7】 3個人坐在一排8個椅子上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法的種數(shù)有多少種？【解析】： 解法1、先將3個人（各帶一把椅子）進行全排列有A，*，在四個空中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A種，所以每個人左右兩邊都空位的排法有=24種.解法2：先拿出5個椅子排成一排，在5個椅子中間出現(xiàn)4個空，*再讓3個人每人帶一把椅子去插空，于是有A=24種.【例8】 停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，

9、不同的停車方法有多少種？【解析】：先排好8輛車有A種方法，要求空車位置連在一起，則在每2輛之間及其兩端的9個空檔中任選一個，將空車位置插入有C種方法，所以共有CA種方法. 注：題中*表示元素，表示空.例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端四元素分析法（位置分析法）：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這

10、個或幾個元素；再排其它的元素。【例1】 2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 （ ） 高考資源網(wǎng) A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種【解析】： 方法一： 從后兩項工作出發(fā)，采取位置分析法。 方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A. 【例2】 1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？【解析】： 老師在中間三個位置上選

11、一個有種，4名同學在其余4個位置上有種方法；所以共有種。.【例3】 有七名學生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？【解析】 法一： 法二： 法三：五多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。高考資源網(wǎng) 【例1】（1） 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數(shù)為（A）（B） （C）（D） （3）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？【解析】 ：（1）前后兩排

12、可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.高考資源網(wǎng) （2）答案：C（3）看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究. 練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座

13、規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346 六.環(huán)排問題線排策略例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！ 一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120五定序問題縮倍法（等幾率法）：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.【例1】.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是

14、（ ）高考資源網(wǎng) 【解析】 ：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種【例2】 書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法？高考資源網(wǎng) 【解析】 ：法一： 法二：【例3】將A、B、C、D、E、F這6個字母排成一排，若A、B、C必須按A在前，B居中，C在后的原則（A、B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法？ 【解析】 ：法一： 法二： 例4. 7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則

15、共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎? （插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 六標號排位問題（不配對問題） 把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.【例1】 將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的

16、標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ）A、6種 B、9種 C、11種 D、23種高考資源網(wǎng) 【解析】 ：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選.【例2】 編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是（ ） A 10種 B 20種 C 30種 D 60種 答案：B【例3】：同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有( )

17、 （A）6種（B）9種（C）11種（D）23種 【解析】：設四個人分別為甲、乙、丙、丁，各自寫的賀年卡分別為a、b、c、d。 第一步，甲取其中一張，有3種等同的方式； 第二步，假設甲取b，則乙的取法可分兩類：（1）乙取a，則接下來丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c或d（2種方式），不管哪一種情況，接下來丙、丁的取法也都是唯一的。根據(jù)加法原理和乘法原理，一共有種分配方式。 故選（B）【例4】：五個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，那么不同的站隊方式共有( )高考資源網(wǎng) （A）60種（B）44種（C）36種（D）24種 答案：B 4*2+4*3*3六不同元素的分配問題（先分堆再分配

18、）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？高考資源網(wǎng) （1） 分成1本、2本、3本三組；（2） 分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；（3） 分成每組都是2本的三個組；（4） 分給甲、乙、丙三人，每個人2本；（5） 分給5人每人至少1本?！窘馕觥?：（1） （2） （3） （4） （5）【例2】將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）高考資源網(wǎng) 【解析】：第一步將4名大學生按，2，1，1分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有所以滿足條件得分配的方案

19、有說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.【例3】 5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有 （A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 【解析】：人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有60種，若是1,1,3，高考資源網(wǎng) 則有90種，所以共有150種，選A【例4】 將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為（ ） A70B140C280D840 答案 ：（ A ）【例5】 將5名實習教師分配到高一年級的個班實習，每班至少名，最多名，則不同的分配方案有（ ）（A

20、）種（B）種 （C）種（D）種【解析】：將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個班，共有種不同的分配方案，選B.【例6】 某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有（ ）種 高考資源網(wǎng) A16種 B36種 C42種 D60種【解析】：按條件項目可分配為與的結(jié)構(gòu)， 故選D；【例7】（1）5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）A、480種 B、240種 C、120種 D、96種 答案：.（2）12名同學分

21、別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有多少種？答案：高考資源網(wǎng) 【例8】 有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數(shù)是（ ） A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種【解析】：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有種，選.【例9】.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？高考資源網(wǎng) 【解析】：因為甲乙有限制

22、條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種或者：8*8*A82+1*9*A 82【例10】 四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？【解析】：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種.1、有6本不同的書(1)平均分成三份有多少種不同的分法？(2)平均分配

23、給三個人有多少種不同的分法？(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少種不同的分法？(4)分配給三個人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分法？(5)分成三份，兩分各1本，一份4本，有多少種不同的分法？(6)分配給三個人，兩個人各1本，另外一個人4本，有多少種不同的分法？2、30名同學分成3個小組，每組10人，共有多少種不同的分組方法？3、有15本不同的小說、送給5名學生，每人3本，共有多少種不同的分送方法？4、（三校聯(lián)考）4名不同科目的實習教師被分配到3個班級，每班至少一個人的不同的分法有（ ）A144種B72種C36種D24種5、（重慶理）將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當

24、村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 6、（寧夏 理）某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有種（用數(shù)字作答）7、（ 全國II）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有( )A150種B180種C200種D280種8、（西寧模擬 理）3名乒乓國手參加“希望工程”獻愛心活動，他們準備贊助7名失學兒童，其中把他們分成1人，3人，3人三組后，再分給3名國手，則這樣的方案有_種。9、（包頭模擬 理）將4名曾參加過奧運會的運動員分配到三個城市進行奧運知識宣傳，每個城市至少分配一名運動員，則不同的分配方法有（

25、）36487224 10、（陜西 理）安排3名支教老師去6所學校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有 種.（用數(shù)字作答）11、（貴陽模擬 理）3本不同的書分給6個人，每個人至多2本，則不同的分配方案有 _種。（用數(shù)字做答）七相同元素的分配問題隔板法：【例1】：把20個相同的球全放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不少于其編號數(shù)，則有多少種不同的放法？【解析】：向1，2，3號三個盒子中分別放入0，1，2個球后還余下17個球，然后再把這17個球分成3份，每份至少一球，運用隔板法，共有種。高考資源網(wǎng) 【例2】 10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不

26、同分配方案？【解析】：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.高考資源網(wǎng) 【例3】：將4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球放入4各不同的盒子中的3個中，使得有一個空盒且其他盒子中球的顏色齊全的不同放法有多少種？高考資源網(wǎng) 【解析】： 1、先從4個盒子中選三個放置小球有種方法。2、注意到小球都是相同的，我們可以采用隔板法。為了保證三個盒子中球的顏色齊全，可以在4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球所產(chǎn)生的3個、4個5個空擋中分別插入兩個板

27、。各有、種方法。3、由分步計數(shù)原理可得=720種例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，可把名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為練習題：1 10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？ 2 .求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 八多面手問題（ 分類法-選定標準） 【例1】： 有11名外語翻譯人員，其中5名是

28、英語譯員，4名是日語譯員，另外兩名是英、日語均精通，從中找出8人，使他們可以組成翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，這兩個小組能同時工作，問這樣的8人名單可以開出幾張？ 十排數(shù)問題（注意數(shù)字“0”）高考資源網(wǎng) 【例1】（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）A、210種 B、300種 C、464種 D、600種【解析】 ：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選.（2）從1，2，3，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？【解析】

29、0;：將分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見這四個集合中每一個有25個元素；從中任取兩個數(shù)符合要；從中各取一個數(shù)也符合要求；從中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.例2.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步計數(shù)原理得十一染色問題：涂色問題的常用方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;（2）根據(jù)相對區(qū)域是否同色分類討論;高考資源網(wǎng) （3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題。【例1】 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使