高中數(shù)學(xué)考前歸納總結(jié)求軌跡方程的常用方法

1、求軌跡方程的常用方法一、求軌跡方程的一般方法：1,待定系數(shù)法：如果動點P的運動規(guī)律符合我們的某種曲線如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,那么可先設(shè)出軌跡方程,再根據(jù)條件,待定方程中的常數(shù),即可得到軌跡方程,也有人將此方法稱為定義法.2,直譯法：如果動點P的運動規(guī)律是否符合我們熟知的某些曲線的定義難以判斷,但點P滿足的等量關(guān)系易于建立,那么可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關(guān)系,再用點P的坐標(biāo)x,y表示該等量關(guān)系式,即可得到軌跡方程.3 .參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效,那么可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t,以此量作為參變數(shù),分別建立P點坐標(biāo)x,y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x=ft,y=g

2、t,進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程Fx,y=0.4 .代入法相關(guān)點法：如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發(fā)的,而該點的運動規(guī)律,該點坐標(biāo)滿足某曲線方程,那么可以設(shè)出Px,y,用x,y表示出相關(guān)點P'的坐標(biāo),然后把P'的坐標(biāo)代入曲線方程,即可得到動點P的軌跡方程.5 .幾何法：假設(shè)所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)如線段的垂直平分線,角平分線的性質(zhì)等,可以用幾何法,列出幾何式,再代入點的坐標(biāo)較簡單.6:交軌法：在求動點軌跡時,有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題,這類問題通常通過解方程組得出交點含參數(shù)的坐標(biāo),再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程假設(shè)能直接消去兩方程的參數(shù),也可直接

3、消去參數(shù)得到軌跡方程,該法經(jīng)常與參數(shù)法并用.二、求軌跡方程的考前須知：1 .求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運動變化中,發(fā)現(xiàn)動點P的運動規(guī)律,即P點滿足的等量關(guān)系,因此要學(xué)會動中求靜,變中求不變.2 .軌跡方程既可用普通方程Fx,y0表示,又可用參數(shù)方程xftt為參數(shù)ygt方程.來表示,假設(shè)要判斷軌跡方程表示何種曲線,那么往往需將參數(shù)方程化為普通3.求出軌跡方程后,應(yīng)注意檢驗其是否符合題意,既要檢驗是否增解,即以該方的某些點未能用程的某些解為坐標(biāo)的點不在軌跡上,又要檢驗是否丟解.即軌跡上所求的方程表示),出現(xiàn)增解那么要舍去,出現(xiàn)丟解,那么需補充.檢驗方法：研究運動中的特殊情形或極端情形.4.求軌

4、跡方程還有整體法等其他方法.在此不一一綴述.三、典例分析1,用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個根本問題之一,求符合某種條件的動點軌跡方程,其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,通過坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系,在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時,要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用,只要動點滿足已知曲線定義時,通過待定系數(shù)法就可以直接得出方程.例1:ABC的頂點A,B的坐標(biāo)分別為(-4,0),(4,0),C為動點,且滿足一一一5.sinBsinAsinC,求點C的軌跡.45.5【解析】由sinBsinA-sinC,可知ba-c10,即|AC|BC|10,滿足橢4422圓的定義.

5、令橢圓方程為J21,那么a'5,c'4b'3,22ab22那么軌跡方程為土21(x5),圖形為橢圓(不含左,右頂點).259【點評】熟悉一些根本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵.(1) 圓：到定點的距離等于定長(2) 橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)(大于兩定點的距離)(3) 雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)(小于兩定點的距離)(4) 到定點與定直線距離相等.【變式1:1:圓尸=有的圓心為M,圓住一4尸4了,.的圓心為M,一動圓與這兩個圓外切,求動圓圓心P的軌跡方程.解：設(shè)動圓的半徑為R,由兩圓外切的條件可得：|P%l=R+5,|P叫l(wèi)=R+l.,-.|PM1P

6、5HPMJ-b|PM1|-|PMa|=40動圓圓心P的軌跡是以M、M2為焦點的雙曲線的右支,c=4,a=2,b2=12.故所求軌跡方程為4122:一動圓與圓O:x2y21外切,而與圓C：x22y6x80內(nèi)切,那么動圓的圓心M的軌跡是：A:拋物線B:圓C:橢圓D:雙曲線一支【解答】令動圓半徑為R,皿士|MO|R那么有|MC|R1c,那么|MO|-|MC|=2,1滿足雙曲線定義.應(yīng)選Do2.用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系.例2：一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,求AB中點P的軌跡方程？解設(shè)M點的坐標(biāo)為x,y由平幾的中線定理：在直角三角形一1一1八AO升

7、,OM=AB-2aa,2222-222xya,xyaM點的軌跡是以O(shè)為圓心,a為半徑的圓周.1【點評】此題中找到了OM=1AB這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在.一般直譯法有以下幾2種情況:1代入題設(shè)中的等量關(guān)系：假設(shè)動點的規(guī)律由題設(shè)中的等量關(guān)系明顯給出,那么采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡.2列出符合題設(shè)條件的等式：有時題中無坐標(biāo)系,需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系,再根據(jù)題設(shè)條件列出等式,得出其軌跡方程.3運用有關(guān)公式：有時要運用符合題設(shè)的有關(guān)公式,使其公式中含有動點坐標(biāo),并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程.4借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯,這時可借助平面幾何中的有關(guān)定理

8、、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等,從而分析出其數(shù)量的關(guān)系,這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法|pai一【變式2】：動點P(x,y)到兩定點A(3,0)和B(3,0)的距離的比等于2(即2),|PB|求動點P的軌跡方程？解答.|PA=J(x3)2_y7/PB|J(x3)2父|PA|(x3)2y22222代入12得2(x3)2y24(x3)24y2|PB|.(x3)2y2化簡彳導(dǎo)(x-5)2+y2=16,軌跡是以(5,0)為圓心,4為半徑的圓.3.用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置適宜的參數(shù),求出參數(shù)方程,最后消參,化為普通方程.注意參數(shù)的取值范圍.例3.過

9、點P(2,4)作兩條互相垂直的直線li,12,假設(shè)li交x軸于A點,l2交y軸于B點,求線段AB的中點M的軌跡方程.【解析】分析1:從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn),點M的運動是由直線li引發(fā)的,可設(shè)出li的斜率k作為參數(shù),建立動點M坐標(biāo)(x,y)滿足的參數(shù)方程.解法1:設(shè)M(x,y),設(shè)直線li的方程為y-4=k(x-2),(kw0)1_由lil2,那么直線l2的萬程為y4(x2)k4l1與x軸交點A的坐標(biāo)為(24,0),kl2與y軸交點B的坐標(biāo)為(0,42),k.M為AB的中點,2k(k為參數(shù))消去k,得x+2y5=0.另外,當(dāng)k=0時,AB中點為M(1,2),滿足上述軌跡方程；當(dāng)k不存在時,AB中點

10、為M(1,2),也滿足上述軌跡方程.綜上所述,M的軌跡方程為x+2y5=0.分析2：解法1中在利用k1k2=-1時,需注意匕、k2是否存在,故而分情形討論,能否避開討論呢？只需利用PAB為直角三角形的幾何特性：1 .|MP|21ABi解法2:設(shè)M(x,y),連結(jié)MP那么A(2x,0),B(0,2y),ll2,PAB為直角三角形1.由直角二角形的性質(zhì),|MP|31ABi22-122.(x2)2(y4)22；,(2x)2(2y)2化簡,得x+2y-5=0,此即M的軌跡方程.分析3:設(shè)M(x,y),由li_Ll2,聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：kik2=1,即可列出軌跡方程,關(guān)鍵是如何用M點坐標(biāo)表示A

11、、B兩點坐標(biāo).事實上,由M為AB的中點,易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.A(2x,0),B(0,2y).解法3:設(shè)M(x,y),M為AB中點,又l1,l2過點P(2,4),且l/l2PAXPB,從而kPAkPB=1,而kpA4022x'42y22x2注意到lix軸時,1,化簡,得x2y50l2±y軸,此時A(2,0),B(0,4)中點M(1,2),經(jīng)檢驗,它也滿足方程x+2y-5=0綜上可知,點M的軌跡方程為x+2y-5=0o用了【點評】解法1用了參數(shù)法,消參時應(yīng)注意取值范圍.解法2,3為直譯法,運1,kPAkPB=-1,|MP|-|AB|這些等量關(guān)系.用參數(shù)法求解時,一般參數(shù)可

12、選用具有某種物理或幾何意義的量,如時間,速度,距離,角度,有向線段的數(shù)量,直線的斜率,點的橫,縱坐標(biāo)等.也可以沒有具體的意義,選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標(biāo)取值范圍的影響【變式3】過圓O:x2+y2=4外一點A(4,0),作圓的割線,求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡.解法一：“幾何法設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),由于點M是弦BC的中點,所以O(shè)MLBC,所以|OM|2+|MA|2=|OA|2,即(x2+y2)+(x-4)2+y2=16化簡得：(x2)2+y2=4由方程與方程x2+y2=4得兩圓的交點的橫坐標(biāo)為1,所以點M的軌跡方程為(x2)2+y2=4(0<x<1)o所

13、以M的軌跡是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓在圓O內(nèi)的局部.解法二：“參數(shù)法設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),B(x1,y0,C(x2,y2)直線AB的方程為y=k(x-4),由直線與圓的方程得(1+k2)x28k2x+16k24=0(*),由點M為BC的中點,所以x=xx24k)(1),21k又OMLBC,所以k=Y(2)由方程(1)(2)消去k得(x2)2+y2=4,又由方程(*)的>0得k2<1,所以x<1.3所以點M的軌跡方程為(x-2)所以M的軌跡是以(2,0)4,用代入法等其它方法求軌跡方程x2例4.點B是橢圓-2a2與1上的動點,A(2a,0)為定點,求線段AB的中點M

14、的b2軌跡方程.分析：題中涉及了三個點A、B、M,其中A為定點,而B、M為動點,且點B的運動是有規(guī)律的,顯然M的運動是由B的運動而引發(fā)的,可見MB為相關(guān)點,故采用相關(guān)點法求動點M的軌跡方程.【解析】設(shè)動點那么由M為線段M的坐標(biāo)為(x,y),而設(shè)B點坐標(biāo)為(xo,yo)AB中點,可得x02a2V.02x02x2aV.2y即點B坐標(biāo)可表為(2x-2a,2y)x2點B(x°,y°)在橢圓-ya21上b22x0-2-a21b2(2x從而有2a)22a叱1b2,整理,得動點M的軌跡方程為4Ja22a)4y1b22+y2=4(0<x<1)為圓心,2為半徑的圓在圓O內(nèi)的局部.

15、x4x1=,y1代入方程(7)22QR【點評】代入法的關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標(biāo)間的等量關(guān)系【變式4】如下圖,R4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點,A、B是圓上兩動點,且滿足ZAPE=90,求矩形APBQ勺頂點Q的軌跡方程【解析】：設(shè)AB的中點為R,坐標(biāo)為(x,y),那么在RtABP中,|AR=|PR又由于R是弦AB的中點,依垂徑定理在RtOAF,|AR2=|A.2|OR2=36(x2+y2)又|AR=|P簾(x4)2y2所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上,而當(dāng)R在此圓上運動時,Q點即在所求的軌跡上運動設(shè)Qx,y),R(x1,y1)

16、,由于R是PQ的中點,所以yo,222x+y-4x-10=0,得(_y)24x4_10=022整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程四、常見錯誤：【例題5】ABC中,B,C坐標(biāo)分別為(-3,0),(3,0),且三角形周長為16,求點A的軌跡方程.22【常見錯誤】由題意可知,|AB|+|AC|=10,滿足橢圓的定義.令橢圓方程為:41,那么ab22由定義可知a5,c3,那么b4,得軌跡方程為匕1516【錯因剖析】ABC為三角形,故A,B,C不能三點共線.【正確解答】ABC為三角形,故A,B,C不能三點共線.軌跡方程里應(yīng)除去點(5,0).(5,0),22即軌跡方程為二匕1(x5)2516因此

17、,提示：1：在求軌跡方程中易出錯的是對軌跡純粹性及完備性的忽略,在求出曲線方程的方程之后,應(yīng)仔細(xì)檢查有無“不法分子摻雜其中,將其剔要將其“捉拿歸案.除；另一方面,又要注意有無“漏網(wǎng)之魚仍逍遙法外,2:求軌跡時方法選擇尤為重要,首先應(yīng)注意定義法,幾何法,直接法等方法的選擇.3:求出軌跡后,一般畫出所求軌跡,這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的局部.針對性練習(xí)：55、一一22一1:兩點M(1,),N(4,一)給出以下曲線方程：4x2y10；xy3；4422y21y21,在曲線上存在點P滿足|MP|NP|的所有曲線方程是(22ABCD2x3【答案】：D【解答】：要使得曲線上存在點P滿足|MP|

18、NP|,即要使得曲線與MN的中垂線y有交點.把直線方程分別與四個曲線方程聯(lián)立求解,只有無解,那么選D2.兩條直線xmy10與mxy10的交點的軌跡方程是:【解答】：直接消去參數(shù)m即得(交軌法)：x2y2xy03:圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦0A,那么弦的中點M的軌跡方程是【解答】：令M點的坐標(biāo)為(x,y),那么A的坐標(biāo)為(2x,2y),代入圓的方程里面L1O得：(x1)22y2：(x0)4隨意變化時,那么拋物線yx22m1xm21的頂點的軌跡方程為把所求軌跡上的動點坐標(biāo)x,y分別用已有的參數(shù)m來表示,然后消去參數(shù)m便可得到動點的軌跡方程.【解答】：拋物線方程可化為它的頂點

19、坐標(biāo)為消去參數(shù)m得:故所求動點的軌跡方程為4x4y305:點M到點F(4,0)的距離比它到直線50的距離小1,那么點M的軌跡方程為【分析】：點M到點F(4,0)的距離比它到直線50的距離小1,意味著點M到點F(4,0)的距離與它到直線x40的距離相等.由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出點M的軌跡方程.【解答】：依題意,點M到點F軌跡是以F(4,0)為焦點、x由兩點間距離公式得:x2y21PO1PA2(4,0)的距離與它到直線x4的距離相等.那么點M的4為準(zhǔn)線的拋物線.故所求軌跡方程為y216x.6：求與兩定點OO1,0、A3,0距離的比為1：2的點的軌跡方程為八,POl1一、一一,一八【分析】：設(shè)動點為巳由題意-,那么依照點P在運動中所遵循的條件,可列出等量關(guān)|PA|2系式.【解答】：設(shè)Px,y是所求軌跡上一點,依題意得化簡彳導(dǎo):x2y22x3027拋物線y4x的通徑過焦點且垂直于對稱軸的弦與拋物線交于A、B兩點,動點C在拋物線上,求ABC重心P的軌跡方程.【分析】：拋物線y4x的焦點為F1,0.設(shè)ABC重心P的坐標(biāo)為x,y,點C的坐標(biāo)為x1,y1.其中x11【解答】：因點Px,y是重心,那么由分點坐標(biāo)公式得：x另一2,y也33即x13x2,y13y由點Cx1,y1在拋物線y24x上,得：y124x1242將xi3x2,yi3y代入并化簡,得：yx(x1)338 .雙曲線中央在原點且一