概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)和測試南工大應(yīng)用數(shù)學(xué)系編蘇大版大數(shù)定律和中心極限定理

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)與測試 第五章（南工大應(yīng)用數(shù)學(xué)系 編）（蘇大版） 大數(shù)定律與中心極限定理1. 設(shè)隨機(jī)變量x的方差為2.5。利用契貝雪夫不等式估計(jì)： 的值。解：由契貝雪夫不等式：，又已知，故 。2. 已知某隨機(jī)變量x的方差Dx=1，但數(shù)學(xué)期望Ex=m未知，為估計(jì)m，對x進(jìn)行n次獨(dú)立觀測，得樣本觀察值x1，x2，xn。現(xiàn)用 。解：因又x1，x2，xn相互獨(dú)立，故 ，根據(jù)契貝雪夫不等式，有 ，即，再由 。3. 設(shè)在由n個(gè)任意開關(guān)組成的電路的實(shí)驗(yàn)中，每次試驗(yàn)時(shí)一個(gè)開關(guān)開或關(guān)的概率各為設(shè)m表示在這n次試驗(yàn)中遇到的開電次數(shù)，欲使開 電頻率與開電概率p=0.5的絕對誤差小于=0.01，并且要有99%以

2、上的可靠性來保證它實(shí)現(xiàn)。試用德莫佛-拉普拉斯定理來估計(jì)，試驗(yàn)的次數(shù)n應(yīng)該是多少？解：欲使，即，亦即，則tN(0，1)且有 由，以p=q=1/2代入可得 n=16641。P43T3 4. 用某種步槍進(jìn)行射擊飛機(jī)的試驗(yàn)，每次射擊的命中率為0.5%，問需要多少支步槍同時(shí)射擊，才能使飛機(jī)被擊中2彈的概率不小于99%？解：用n步槍同時(shí)向飛機(jī)射擊，可以看成用一枝步槍進(jìn)行n次射擊的獨(dú)立試驗(yàn)，令x表示n次射擊擊中目標(biāo)的次數(shù)，則x服從參數(shù)為n，p=0.005的貝努利概型，由隸莫弗拉普拉斯定理可得 ，查表得n1791。5. 隨機(jī)變量x表示對概率為p的事件A做n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)，A出的次數(shù)。試分別用契貝雪夫不等式及

3、中心極限定理估計(jì)滿足下式的n： 解：記，由于xB(n，p)，故Ex=np，Eh=p，。(1)根據(jù)契貝雪夫不等式，有 ，為使 ，解得 ；(2) 以表示每次試驗(yàn)時(shí)A出現(xiàn)的次數(shù)，則服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布，且E=p，D=p(1-p)£1/4，而是n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和， 故由中心極限定理知，因此有 ，為使 。P44 T5 6. 某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8。醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。(1)若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？(2)若實(shí)際

4、上此藥品對這種疾病的治愈率為0.7，問接受這一斷言的概率是多少？解：(1)以表示100人中治愈人數(shù)，則 b(100,0.8)所求概率為 ；(2)依題b(100,0.7)則 。7. 一個(gè)養(yǎng)雞場購進(jìn)一萬只良種雞蛋，已知每只雞蛋孵化成雛雞的概率為0.84，每只雛雞育成種雞的概率為0.9，試計(jì)算由這些雞蛋得到種雞不少于7500只的概率。解：定義承機(jī)變量。則是獨(dú)立同分布的，且，。顯然表示10000只雞蛋中能育成種雞的個(gè)數(shù)。此為n=10000，p=0.756的貝努利概型，由隸莫弗拉普拉斯定理可得 。8. 某印刷廠在排版時(shí)，每個(gè)字符被排錯(cuò)的概率為0.0001，試求在300000個(gè)字符中錯(cuò)誤不多于50個(gè)的概率

5、。解：令則是服從參數(shù)n=50000，p=0.0001的貝努利概型，因此由隸莫弗拉普拉斯定理可得 。9. 某班班會為學(xué)校主辦一次周末晚會，共發(fā)出邀請書150張，按以往的經(jīng)驗(yàn)，接到邀請的人中大體上能有80%可到會，試求前來參加晚會的人數(shù)在110到130之間的概率。解：令則服從參數(shù)p=0.8的二項(xiàng)分布。且E=0.8，D=0.16，表示到會的總?cè)藬?shù)，則， 由中心極限定理得 。 P45 T7 10.由題意每次試驗(yàn)對總量不產(chǎn)生影響，設(shè)第i次試驗(yàn)Xi=1(長度小于3m)，Xi=0（長度大于3m） X為長度小于3m的總數(shù) X=（求和號，1到100）Xi E(Xi)=1*0.2+0*0.8=0.2 D(Xi)=

6、E(Xi2)-E(Xi)2=0.2-0.04=0.16 由獨(dú)立同分布中心極限定理：XN(n*u,n*2) (近似于)=N(100*0.2,100*0.16) PX30=1-PX<30=1-(30-20)/(16)1/2=1-(2.5)=0.0062 此題還可看做100重伯努利實(shí)驗(yàn)，XB(100,0.2) E(X)=100*0.2，D(X)=100*0.2*0.8 PX30=(求和號，30到100)二項(xiàng)概率公式 由中心極限定理，X分布近似于N（100*0.2,100*0.2*0.8） PX30=1-PX<30=1-(30-20)/sqrt(16)=1-(2.5)=0.0062 P44

7、 T4 11. 某車間有100臺車床，每臺獨(dú)立工作，開工率為0.7. 開工時(shí)每臺耗電量為1千瓦. 問供 電所至少要供給這個(gè)車間多少電力, 才能以99.7% 的概率保證這個(gè)車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？ 解：（1） 1,正常工作 xi= EXi=0.7 DXi=0.21(=2) 注：本文檔中sqrt（）代表根號 0,不正常工作 =代表約等號 P65<100xi<75=(75-70)/sqrt(0.21*100)-(65-70)/sqrt(0.21*100) =(1.09)-(-1.09)=2(1.09)-1 =0.8621x2-1=0.7242 （2） 設(shè)至少要供給這個(gè)車間 a 千瓦

8、的電力設(shè) X 為開工的車床數(shù)，則 X B(100,0.7) ,由Laplace中心極限定理知，X N (70, 21) (近似) P( 0<=X<=a)=99.7% P( 0<=X<=a)=(a-70)/sqrt（21）)-(0-70)/sqrt（21）)=(a-70)/sqrt（21）) 而（2.75）=99.7% (a-70)/sqrt（21）=2.75 a=82.6021 取a=83kw/h 所以，P45 T6 12.卡車裝運(yùn)水泥，設(shè)每袋水泥的重量X服從N（50,2.52），問最多裝多少袋水泥使總重超過2000kg的概率不大于0.05？ 解：記最多裝水泥n袋。每袋重量為Xi,i=1,2,，n.于是 EXi=u=50 DXi=2=2.52 另記n袋水泥總重量為Y即 Y=，故有n滿足不等式PY>2000<=0.05的最大正整數(shù) 所以，Y服從N(50n,(2.5sqrt(n)2),故有 PY>2000=1-（(2000-50n)/(2.5sqrt(n)）<=0.05