高一數(shù)學(xué)筆記

1、第一章集合1一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素（element），一些元素組成的總體叫集合（set），也簡稱集。2元素與集合的關(guān)系；（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于（belong to）A，記作aA（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（not belong to）A，記作aA（或a A）（舉例）3常用數(shù)集及其記法非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q4任何一個集合是它本身的子集 5真子集的概念：若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset）。記作：A B（或B A）6空集的概念 不含有任何元素的集合稱為空集（em

2、pty set），記作：規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集7集合基本運算的一些結(jié)論：ABA，ABB，AA=A，A=,AB=BAAAB，BAB，AA=A，A=A,AB=BA（CUA）A=U，（CUA）A= 若AB=A，則AB，反之也成立若AB=B，則AB，反之也成立若x（AB），則xA且xB若x（AB），則xA，或xB： ，且，則第二章函數(shù)§1.2.2函數(shù)的表示法1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function）記作：

3、y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域（range）2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域3 一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射（mapping）記作“f：AB”說明：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截不同的其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹鲅a充：復(fù)合函數(shù)如果y=f(u)(uM),u=g(x)

4、(xA),則 y=fg(x)=F(x)(xA) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。1.3.1函數(shù)的單調(diào)性1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasing function）思考：仿照增函數(shù)的定義說出減函數(shù)的定義（學(xué)生活動）注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時，總有f(x1)<f(x2) 2函數(shù)的單調(diào)性定義如果函數(shù)y=f(x)在某個

5、區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：3判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）； 下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性） §1.3.2函數(shù)的奇偶性1偶函數(shù)（even function）（偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱）；一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函

6、數(shù)仿照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義2奇函數(shù)（odd function）（奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱）一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)注意：作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) =0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1來判定;

7、(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 . §1.3.1函數(shù)的最大（?。┲担ㄒ唬┖瘮?shù)最大（?。┲刀x1最大值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（Maximum Value）思考：仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定義（學(xué)生活動）注意： 函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M

8、）2利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒?利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲等绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； §指數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中>1，且*當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù)此時，的次方根用符號表

9、示式子叫做根式（radical），這里叫做根指數(shù)（radical exponent），叫做被開方數(shù)（radicand）當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±（>0）由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作思考：（課本P58探究問題）=一定成立嗎？（學(xué)生活動）結(jié)論：當(dāng)是奇數(shù)時，當(dāng)是偶數(shù)時，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義規(guī)定：有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）·；（2）；（3）§指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（一）指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponent

10、ial function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R2 你能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？圖象特征函數(shù)性質(zhì)向x、y軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域為R圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域為R+函數(shù)圖象都過定點（0，1）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1圖象上升趨勢是越來越陡圖象上升趨勢是越來越緩函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快；函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；課題

11、：§對數(shù)1對數(shù)的概念一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)（Logarithm），記作： 底數(shù)， 真數(shù)， 對數(shù)式說明： 注意底數(shù)的限制，且；對數(shù)的性質(zhì)（1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)； （2）1的對數(shù)是零：；（3）底數(shù)的對數(shù)是1：；（4）對數(shù)恒等式：；（5）：§2.2.2對數(shù)函數(shù)（一）（一）對數(shù)函數(shù)的概念1定義：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)（logarithmic function）其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意： 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別如：， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù) 對數(shù) 指數(shù) 對數(shù)（二）對數(shù)的運算性質(zhì)如果，且，那么： ·； ； 注意：換底公式（，且；，且；）利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）；（2）函數(shù)對底數(shù)的限制：，且 類比指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究，研究