2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義

1、2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義第一講概率論的基本概念一、隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)1. 隨機(jī)試驗(yàn)：具有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為 E ,(1) 試驗(yàn)可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；(2) 每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，但試驗(yàn)之前可確知試驗(yàn)的所有可能結(jié)果； (3)每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).2. 樣本空間: 隨機(jī)試驗(yàn) E 的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間，記為W ；試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，即W 中的元素，稱為樣本點(diǎn)，記為w .3. 隨機(jī)：試驗(yàn) E 的樣本空間W 的子集 E 稱為隨機(jī). 常用 A, B, C 等大，簡(jiǎn)稱寫字母表示；在一次實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)

2、出現(xiàn)時(shí)，稱這一發(fā)生.4. 樣本空間W 包含了所有的樣本點(diǎn)，它又是自身的子集，在每次實(shí)驗(yàn)中它總是發(fā)生的，W稱為必然；空集f 不包含任何樣本點(diǎn)，它也為樣本空間的子集，它在每次實(shí)驗(yàn)中都不發(fā)生， f 稱為不可能.二、的關(guān)系與運(yùn)算1. 包含關(guān)系與相等：A 發(fā)生必導(dǎo)致 B 發(fā)生，記為 A Ì B 或 B É A ；A = B Û A Ì B 且B Ì A .：A 與 B 至少有一個(gè)發(fā)生，記為 A U B 或 A + B .2. 和¥： A1 , A2 ," An 的和；稱U Ak 為可列個(gè)k =1n類似地，稱U Ak 為 n 個(gè)k =1

3、A1 , A2 ,"的和.：A 與 B 同時(shí)發(fā)生，記為 A I B 或 AB .3. 積¥： A1 , A2 ," An 的積；稱I Ak 為可列個(gè)k =1n類似地，稱I Ak 為 n 個(gè)k =1A1 , A2 ,"的積.：A 發(fā)生而 B 不發(fā)生，記為 A - B 稱為 A 與 B 的差4. 差；1購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義5. 互不相容性：若 AB = f ，稱A 與 B 是互不相容的，或互斥的.6. 逆：若 A I B = f 且 A U B = W ，稱 A 與 B 互為逆；將 A 的對(duì)立，或?qū)α⒂洖椋?A .： A =W - A ，

4、A- B = AB .注： A 和 B 互斥指的是 A, B 不能同時(shí)發(fā)生，即 AB = f . A 和 B 互逆指的是 A, B 不能同時(shí)發(fā)生，但 A, B 中必有一個(gè)發(fā)生，即 A I B = f 且 A U B = W .因此A 和 B 互逆Þ A 和 B 互斥；反之不成立.A 和 B 互逆 Û A 和 B 互逆；A 和 B 互斥 ÞA 和 B 互斥；7.的運(yùn)算法則：(1) 交換律： A U B = B U A ， AB = BA ；(2) 結(jié)合律： AU(BUC) =(AUB)UC ， ( AB)C = A(BC ) ；(3) 分配律： ( A U B)C

5、= AC U BC ， ( AB) U C = ( A U C)(B U C) ；(4) 對(duì)偶(De Morgan)律：A U B = AB ，AB = A U B ，可推廣UAk= IAk ,kIAkk= UAk .kk8. 常用的運(yùn)算的結(jié)論：(1) AB Ì A Ì ( A U B) ， A I A = A ， A U A = A ；(2) A - B = AB = A - AB ；(3) A = ( A - B) + AB = AB + AB ；(4) A U B = A + AB = B + BA = AB + AB + AB ；(5) A U B U C = A

6、+ AB + A U BC .三、頻率與概率1. 頻率：A 在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn) n 次，則比值 nA 稱為A 在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中出An現(xiàn)的頻率，記為 f ( A) ，即 f ( A) = nA .nnn2. 統(tǒng)計(jì)概率：當(dāng) n ® ¥ 時(shí)，頻率 f ( A) = nA ® P( A) .即：當(dāng) n 很大時(shí)，P( A) = P » f ( A)nnn稱為A 的統(tǒng)計(jì)概率.2購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義3. 概率的公理化定義設(shè)實(shí)驗(yàn) E 的樣本空間為W ，對(duì) E 的任意一個(gè)P(i) 滿足下列條件：(1)非負(fù)性：對(duì)于任意A ，有 P( A)

7、79; 0 ；(2)規(guī)范性： P(W) = 1；(3)可列可加性：對(duì)于任意兩兩互不相容的的A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為 P( A) ，如果函數(shù)列： A1, A2 ," An ", 有¥¥P(U Ai ) = å P( Ai ) ；i=1i=1稱 P( A) 為A 的概率.4. 概率的性質(zhì)(1) 不可能概率等于零： P(f ) 0.(2) 有限可加性：設(shè) A1 , A2 ,", An 是 n 個(gè)兩兩互不相容的，即 Ai Aj = f ，( i ¹ j )，其中i, j = 1, 2,"n ，則有 P( A1 U A2 U&

8、quot;U An ) P( A1 ) P( A2 ) +"+ P( An ) .(3) 單調(diào)不減性：若B É A ，則 P(B) ³ P( A) .(4)求逆公式： P( A) = 1- P( A) ，且 P( A) £ 1 .(5)加法公式：對(duì)任意兩A、B ，有 P(AUB) = P(A)+P(B) -P( AB) ；此性質(zhì)可推廣到任意 n 個(gè)A1 , A2 ,", An 的情形.(6)減法公式：P( A - B) = P( A) - P( AB) ，特別地，當(dāng) B Ì A 時(shí)，P( A - B) = P( A) - P(B).5

9、. 古典概率：若試驗(yàn)的基本數(shù)為有限個(gè)，且每個(gè)古典概型(等可能概型)，A 發(fā)生的概率為：發(fā)生的可能性相等，則試驗(yàn)對(duì)應(yīng)P(A) = A中所含樣本點(diǎn)數(shù) k .nW中樣本點(diǎn)總數(shù)6. 幾何概率：若實(shí)驗(yàn) E 的樣本空間W 為幾何空間中的一個(gè)有界區(qū)域，且W 中每個(gè)樣本點(diǎn)，件 A ÌW 的概率定義為：即基本出現(xiàn)的可能性相同，則稱實(shí)驗(yàn) E 為幾何概率. 此) A的度量(長(zhǎng)度、面積或體積) .P( AgW的度量(長(zhǎng)度、面積或體積)3購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義四、條件概率與乘法公式1. 條件概率：設(shè) A、B 是W 中的兩個(gè)，且 P( A) > 0 ，則 P(B | A) = P( AB)

10、 稱為AP( A)發(fā)生的條件下B 發(fā)生的條件概率2. 乘法公式：設(shè) A、B ÌW ，則 P(AB) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A| B) 稱為A、B 的概率乘法公式.3. 全概率公式：設(shè) A1 , A2 ,", An 是W 的一個(gè)劃分，且 P( Ai ) > 0 ，(i = 1,2,", n) ，則對(duì)任何概率不為零的B ，有 P(B)å P( Ai )P(B | Ai ) ，稱為全概率公式.i=1n(Bayes)公式：設(shè) A1 , A2 ,", An 是W 的一個(gè)劃分，且 P( Ai ) > 0 (i =1,2,

11、",n)，則4.P( Aj )P(B | Aj )對(duì)任何概率不為零的B ，有 P( A | B) =( j =1,",n) ，稱為，jnå P( Ai )P(B | Ai )i=1斯公式.5. 條件概率與積概率P( AB) 是在樣本空間W 內(nèi)，AB 的概率，而 P( A | B) 是在試驗(yàn) E 增加了新條件 B 發(fā)生后的縮減的樣本空間WB 中計(jì)算A 的概率.雖然 A 、 B 都發(fā)生，但兩者是不同的，一般說(shuō)來(lái)，當(dāng) A 、 B 同時(shí)發(fā)生時(shí)，常用 P( AB) ，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系時(shí)，用P( A | B) .五、的性：對(duì)于A、B ，若 P(AB) = P(A

12、)P(B)，則稱A 與 B 相互1. 兩的.2. 若 A 和 B 相互，則 A 與 B ， A 與 B ， A 與 B 分別相互：.3. 兩的(1) P(AB) = P(A)P(B)(2) P(B | A) = P(B) ， ( P( A) > 0)(3) P(B | A) = P(B | A) ， (0 < P( A) < 1)(4) P(B | A) + P(B | A) = 1 ， (0 < P( A) < 1)4購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義W 、不可能f 與任何相互.顯然，必然的兩兩：設(shè) A1 , A2 ,", An 是 n 個(gè)，對(duì)于任

13、意1 £ i <" j £ n ，有4. n 個(gè)P( Ai Aj ) = P( Ai )P( Aj ) ，稱n 個(gè)A1 , A2 ,", An 兩兩的相互：設(shè) A1 , A2 ,", An 是 n 個(gè)，如果對(duì)任意的 k (1 < k £ n) ，任意5. n 個(gè)的1 £ i1 < i2 <" < ik £ n ，具有等式 P( Ai Ai " Ai ) = P( Ai )P( Ai )" P( Ai ) ，稱 n 個(gè)1 2k12kA1 , A2 ,&quo

14、t;, An 相互第二講隨量及其分布一、隨量設(shè)W 是隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，如果對(duì)于試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果w Î W ，都有唯一的實(shí)數(shù)X (w) 與之對(duì)應(yīng)，則稱 X (w) 為定義在W 上的隨母 X、Y、Z 等表示.量，簡(jiǎn)記為 X .隨量通常用大寫字二、離散型隨量及其分布律1. 如果隨量 X 只能取有限個(gè)或可列個(gè)值，則稱 X 為離散型隨量.如果 X 的一切可能值為 x1 , x2 ,"，并且 X 取 xi 的概率為 pi ，則稱 PX = xi = pi ，(i = 1, 2, 3,") 為離散型隨量 X 的概率函數(shù)(概率分布或分布律).列成表格形式如下，也稱為分：其中

15、 pi ³ 0, å pi = 1 .i2. 設(shè) X 的分布律為 PX = xi = pi ， (i = 1, 2,3,") ，則 X 的分布函數(shù)為：F (x) = P( X £ x) = å P( X = xi ) ， -¥< x < +¥ .xi £ x顯然，若已知 X 的分布函數(shù) F (x) ，則易求得 X 的分布律為 PX = xi= F(xi )-F(xi -0) ，i = 1, 2, 3,".3. 常見(jiàn)的離散型隨量的分布：5購(gòu)課Xx1x2x3Pp1p2p32015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)

16、輔導(dǎo)講義(1) 0 -1 分布 X B(0-1) ，其分布律為PX = k = pk (1- p)1-k , k = 0,1, 0 < p < 1 .(2)二項(xiàng)分布 X B(n, p) ，其分布律為PX = k = Ck pk (1- p)n-k , k = 0,1,", n, 0 < p < 1 .n(3)泊松(Poisson)分布 X P(l)，其分布律為l ke-l, k = 0,1,",l > 0 .PX = k =k !(4)超幾何分布 X H(n, M, N)，其分布律為n-kN -M , k = l, l +1,", m

17、in(n, M ) ，其中l(wèi) = max(0, n - (N - M ) .nNCk Cn-k若 lim MN ®¥ N MN -Mk k» C p (1- p)n-k，則對(duì)于一切 n ³ 1, k = 0,1,", n ，有= p.nnCN= k = p(1- p)k-1, k = 0,1,", 0 < p < 1 .(5)幾何分布 X G(p)，概率函數(shù) PX4. 泊松定理：設(shè)l > 0 是一， n 是任意正整數(shù)，設(shè)lim npn = l ，則對(duì)于任意的非負(fù)整n®¥lk e-ln-k數(shù)k ，有

18、lim C p (1 - p )kk=.nnnk!n®¥lke-ln-k當(dāng)n 很大且 p 很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松分布近似代替，即C p (1- p)»k k，其中nk!l = np .三、連續(xù)型隨量及其分布律1. 設(shè) X 為隨量，x 為任意實(shí)數(shù)，函數(shù) F (x) = P的分布函數(shù).< +¥) 稱為隨量 X2. 分布函數(shù)的性質(zhì)：(1) 0 £ F (x) £ 1(-¥ < x < +¥) ；(2)如果 x1 < x2 ，則 F (x1 ) £ F (x2 ) ；(3) F (x)

19、 為右連續(xù)，即 F(x + 0) = F(x)；(4) lim F (x) = 0 ， lim F (x) = 1 ；x®-¥x®+¥6購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義x2 = PX £ x2 - PX £ x1 = F (x2 ) - F (x1 ) .(5)3. 如果對(duì)于隨量 X 的分布函數(shù) F (x) ，存在非負(fù)函數(shù) f (x) ，使對(duì)于任一實(shí)數(shù) x ，有xòF (x) =f (t)dt ，則稱 X 為連續(xù)型隨量，函數(shù) f (x) 稱為 X 的概率密度函數(shù).-¥4. 概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：(1) f

20、 (x) ³ 0 ；(2) ò-¥ f (t)dt = 1；+¥x2òx2 =x2 =x =f (t)dt ；(3)2x1(4) PX = a = 0 ；(5)如果 f (x) 在 x 處連續(xù)，則 F ¢(x) = f (x) .5. 常見(jiàn)的連續(xù)型隨量的分布：(1)均勻分布 X U(a,b)，其概率密度為ì1, a £ x £ bf (x) = ïb - aí，ïî0,其它x < aì0,ï x - a相應(yīng)的分布函數(shù)為 F (x) = &#

21、237; b - a , a £ x £ b ；ïïî1,x > b(2)指數(shù)分布 X E(l) ，其概率密度為ìle-lx , x ³ 0f (x) = í，î0,其它ì1- e-lx , x ³ 0相應(yīng)的分布函數(shù)為 F (x) = í；x < 0î0,(3)正態(tài)分布 X N(m,s 2 )，其概率密度為-( x-m )2f (x) = 1e2s 2, -¥ < X < +¥ ，2ps7購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)

22、講義-( x-m )21x相應(yīng)的分布函數(shù)為 F (x) = ò e2s 2t d；2p-¥注：當(dāng) m = 0,s = 1時(shí)，即 X N(0,1) 時(shí)，稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.用j (x) 和F(x) 分別表- x2- t 211x示 X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)，即j(x) = e, F(x) = ò e 2 dt . 具有性質(zhì)：22p2p-¥F(-x) = 1 - F(x) . X N (m,s 2 ) 的分布函數(shù) F (x) 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)F(x) 有關(guān)系：æ x - m öF (x) =F ç÷ .s

23、èø四、隨量的函數(shù)的分布1. 離散型隨量函數(shù)的分布設(shè) X 為離散型隨量，其分為：則Y = g(X)仍為離散型隨量，其分為：yi 有相同值時(shí)，要合并為一項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的概率相加.2. 連續(xù)型隨量函數(shù)的分布量，概率密度為 f X (x) ，則Y = g(X)的概率密度有兩種方法可求.設(shè) X 為連續(xù)型隨(1)定理法：若 y = g(x) 在 X 的取值區(qū)間內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù) g ¢(x) ，且 g (x) 單調(diào)時(shí)，Y = g(X )( y) = ìï f X h( y )h¢( y) ,a < y < b .量，其概率密度為 fí

24、0,是連續(xù)型隨Yïî其它其中(a , b ) 為 y = g(x) 的值域， h( y) 是 g (x) 的反函數(shù).(2)分布函數(shù)法：先求Y = g(X ) 的分布函數(shù)FY ( y) = PY £X =y g (P)= y £ò xxd( ) x ，然f 后求 fY ( y) = FY ( y)¢ .g ( x£ y )8購(gòu)課Yy1 = g(x1 )y2 = g(x2 )y3 = g(x3 ) yn = g(xn ) Pp1p2p3pnXx1x2x3xnPp1p2p3pn2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義第三講隨量及其分布一

25、、二維隨量1. 設(shè) X ，Y 為定義在同一個(gè)樣本空間W 上的隨的向量( X ,Y ) 為二量，則稱由它們維隨量.2. 設(shè)( X ,Y ) 為二維隨量，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 、 y ，稱二元函數(shù)F (x, y) = PX £ x I Y £ y 為( X ,Y ) 的F (x, y) = PX £ x,Y £ y .分布函數(shù)，常記為3.分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)： F (x, y) 是變量 x 或 y 的非減函數(shù)； 0 £ F (x, y) £ 1且 F (-¥, y) = 0,F (x, -¥) = 0,F (-

26、5;, -¥) = 0,F (+¥, +¥) = 1； F (x, y) 關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù)；對(duì)任意點(diǎn)(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ，若 x1 < x2 , y1 < y2 ，則F (x2 , y2 ) - F (x2 , y1 ) - F (x1 , y2 ) + F (x1 , y1 ) ³ 0 .前式表示隨機(jī)點(diǎn)( X ,Y ) 落在區(qū)域2 , y1 < Y £ y2 .2 , y1 < Y £ y2 內(nèi)的概率為： P4. 二維離散型隨量及其分布律如果二維隨量( X ,Y

27、) 所有可能取值是有限對(duì)或可列對(duì)，則稱( X ,Y ) 為二維離散型隨量.量,它的所有可能取值為 (xi , y j ) ， i, j = 1, 2," 將設(shè) ( X ,Y ) 為二維離散型隨PX = xi ,Y = yj = pij (i, j = 1, 2,") 或下表稱為( X ,Y ) 的分布律.9購(gòu)課YXy1y2y jx1 x2xip11p12p1 jp21p22p2 jpi1pi 2pij2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義¥ ¥(2) åå pij分布律具有下列性質(zhì)：(1) pij ³ 0 ；= 1 .i=1 j

28、 =15. 二維連續(xù)型隨量及其概率密度函數(shù)如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù) f (x, y) ,使得二維隨x, y 有量( X ,Y ) 的分布函數(shù) F (x, y) 對(duì)任意實(shí)數(shù)xyò òF (x, y) =f (x, y)dxdy ，則稱( X ,Y ) 是二維連續(xù)型隨量，稱 f (x, y) 為( X ,Y ) 的-¥ -¥密度函數(shù)(或概率密度函數(shù)).密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：6.(1)對(duì)一切實(shí)數(shù) x, y ，有 f (x, y) ³ 0 ；+¥ +¥(2) ò-¥ ò-¥f (x, y)dxdy

29、 = 1 ；(3)設(shè) D 是平面上的區(qū)域，點(diǎn)( X ,Y ) 落在區(qū)域 D 上的概率 P( X ,Y ) Î D = òò f (x, y)dxdy ；D¶2F (x, y) =(4)如果 f (x, y) 在(x, y) 處連續(xù)，則f (x, y) .¶x¶y7. 兩個(gè)常見(jiàn)的二維分布(1)二維均勻分布若( X ,Y )的密度函數(shù)為ì1,(x, y) Î Df (x, y) = ï S (D)í.ïî0, 其他其中 D 為一平面有界區(qū)域， S (D) 為 D 的面積，則稱(

30、X ,Y ) 服從二維均勻分布，常記為(X,Y) U(D).(2)二維正態(tài)分布若( X ,Y )的密度函數(shù)為é(x-m1) 2 2r(x-m1)( y-m 2 ) ( y-m 2 ) 2 ù1êúúû-+12(1-r 2)êës 2s1s 2s 2f (x, y) =e12，2ps s1- r 21 210購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義其中 m1,m2 ÎR,s1 > 0,s2 > 0, r <1 ， 則稱 ( X,Y ) 服從 二維均勻 分布，常 記為 m ,m ,s ,s ,

31、 r22(X,Y) N().1 212二、邊緣分布1. 設(shè)( X ,Y ) 為二維隨量，則FX ( x) = PX £ x = PX £ x,Y < +¥ = F ( x, +¥) ，F(xiàn)Y ( y) = PY £ y = PX < +¥,Y £ y = F (+¥, y)分別稱為( X ,Y ) 關(guān)于 X 和關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù).2. 當(dāng)( X ,Y ) 為離散型隨量，則¥¥pi = P( X = xi ) = å P( X = xi ,Y = y j ) = å

32、; pij ， (i = 1, 2,") ,j =1j =1¥¥p j = P(Y = y j ) = å P( X = xi ,Y = y j ) = å pij ， ( j = 1, 2,")i=1i=1分別稱為( X ,Y ) 關(guān)于 X 和關(guān)于Y 的邊緣分布律.3. 當(dāng)( X ,Y ) 為連續(xù)型隨量，則()()x+¥y+¥òòòòF (x) =f (x, y)dy dx ， F (x) =f (x, y)dx dyXY-¥ -¥-¥ -&#

33、165;分別稱為( X ,Y ) 關(guān)于 X 和關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù)；+¥+¥而 fX (x) = ò-¥ f (x, y)dy, fY (y) = ò-¥ f (x, y)dx 分別稱為( X ,Y ) 關(guān)于 X 和關(guān)于Y 的邊緣密度函數(shù).三、條件分布1. 離散型隨量的條件分布設(shè)( X ,Y ) 為二維離散型隨量，其分布律和邊緣分布律分別為PX = xi ,Y = y j = pij ， PX = xi = pi ， PY = y j = p j ， (i, j = 1, 2,")對(duì)于固定的 j ，若 PY = y j =

34、 p j > 0 ，稱p = PX = x | Y = y = PX = xi ,Y = yj = pij ,i =1,2,"i| j ijPY = y pjj為在Y = y j 條件下隨量 X 的條件分布律.11購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義類似地，對(duì)于固定的i ，若 PX = x = p > 0 ，稱 p= PY = y | X = x = pij , j = 1, 2,".jij|i jipi為在 X = x j 條件下隨量Y 的條件分布律.2. 連續(xù)型隨量的條件分布設(shè) ( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨 f (x, y), f X (x), fY

35、( y) .量， 其密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)分別為：(x | y) = f (x, y) ，-¥< x < +¥ ， 為在條件Y = y對(duì)于給定的 x ，若 f ( y) > 0 時(shí)，稱 fYX |Y f ( y)Y下 X 的條件概率密度函數(shù).f (x, y)類似地， fY |X ( y | x) =稱為在條件 X = x 下Y 的條件概率密度函數(shù).f (x)X四、相互的隨量1. 設(shè) F (x, y) 及 FX (x)、FY ( y) 分別是( X ,Y ) 的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).如果對(duì)任何實(shí)數(shù) x, y 有 F (x, y) = FX (x) 

36、5; FY ( y) 則稱隨量 X 與Y 相互.2. 設(shè)( X ,Y ) 為二維離散型隨量， X 與Y 相互的充要條件是= pi ´ p j (i, j = 1, 2,") .pij3. 設(shè)( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨f (x, y) = f X (x) fY ( y) .量， X 與Y 相互的充要條件是對(duì)任何實(shí)數(shù) x, y ，有五、二維隨量的函數(shù)的分布量( X ,Y ) 的概率分布(如1. 已知二維隨分布函數(shù)、密度、或分布律)，隨機(jī)變量 Z 是 X ,Y 的函數(shù)，即Z =j(X,Y)，則 Z 的分布函數(shù)為 FZ (z) = P(Z £ z) = P(j(x,

37、 y) £ z) ，-¥ < z < +¥ .2. Z = X + Y 的分布量，概率密度函數(shù)為 f (x, y) ，則 Z = X + Y 的概率密度函數(shù)為：若( X ,Y ) 為連續(xù)型隨+¥+¥fZ (z) = ò-¥ f (x, z - x)dx = ò-¥ f (z - y, y)dy .+¥+¥時(shí)，有卷積公式 fZ (z) = ò-¥ f X (x) fY (z - x)dx = ò-¥ f X (z - y) fY ( y

38、)dy .當(dāng) X 和Y12購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義X3. Z =的分布YX量，概率密度函數(shù)為 f (x, y) ，則 Z =的概率密度函數(shù)為：Y若( X ,Y ) 為連續(xù)型隨+¥fZ (z) = ò-¥yf ( yz, y)dy .+¥時(shí)，有 fZ (z) = ò-¥當(dāng) X 和Yyf X ( yz), fY ( y)dy .4. Z = XY 的分布若( X ,Y ) 為連續(xù)型隨量，概率密度函數(shù)為 f (x, y) ，則 Z = XY 的概率密度函數(shù)為：+¥fZ (z) = ò-¥+

39、5;時(shí)，有 fZ (z) = ò-¥當(dāng) X 和Y5. M = maxX ,Y及 N = minX ,Y 的分布，其分布函數(shù)分別為 FX (x) ， FY ( y) ，則 Z1 = maxX ,Y ，設(shè) X 和 Y 相互 Z2 = minX ,Y的分布函數(shù)分別為：FZ (z) = P(Z £ z) = P(max( X ,Y ) £ z) = P( X £ z,Y £ z) = F (z)F (z)11XYFZ (z) = P(Z £ z) = P(min( X ,Y ) £ z) = 1- P(min( X ,Y

40、) ³ z)22= 1- P( X > z,Y > z) = 1- (1- FX (z)(1- FY (z)第四講隨量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望¥1. 設(shè)離散型隨量 X 的分布律為 PX = xk = pk , k = 1,2,"，如果級(jí)數(shù)å xk pk 絕對(duì)k =1收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨量 X 的數(shù)學(xué)期望.13購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義+¥ò-¥2. 設(shè)連續(xù)型隨量 X 的密度函數(shù)為 f (x) ，如果廣義xf (x)x d絕對(duì)收斂，則稱此+¥值 E(d ) = ò-¥xf數(shù)

41、學(xué)期望.3. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：(1) 設(shè)C 是，則 E(C) = C ；(2) 設(shè)C 是，則 E(CX ) = CE( X ) ；(3)若 X 1、X 2 是隨量，則 E( X 1 + X 2 ) = E( X 1 ) + E( X 2 ) ；對(duì)任意 n 個(gè)隨E(量n ，有n ) = E( X 1 ) + E( X 2 ) + "+ E( X n ) ；(4)若 X 1、X 2 相互，則 E( X 1 X 2 ) = E( X 1 )E( X 2 ) ；對(duì)任意 n 個(gè)相互的隨量n ，有n ) = E( X 1 )E( X 2 )" E( X n ) .E(5)E( X X

42、2) £ E2 ( X )E2 ( X )1 2124. 隨設(shè)Y 是隨量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望量 X 的函數(shù)： Y= g( X )量 X 的分布律為 PX = xk = pk , k = 1,2,"，(1)設(shè)離散型隨¥¥若å g(xk ) pk 絕對(duì)收斂，則： E(Y ) = Eg(x )= å g(xk ) pk .k =1k =1量 X 的密度函數(shù)為 f (x) ，(2)設(shè)連續(xù)型隨+¥+¥若ò-¥g(x) f (x)dx 絕對(duì)收斂，則 E(Y ) = Eg(x )= ò-¥ g(

43、x) f (x)dx .二、方差1. 設(shè) X 是一個(gè)隨量，則 D(X )(= ) r Xa =VE X - E X稱) 為 X 的方差. D( X ) = s ( X ) 稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.常用方差計(jì)算公式(2D( X ) = E( X 2 ) - E( X )2 .2. 方差的性質(zhì)：(1)設(shè)C 是，則 D(C) = 0 ；14購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義(2)設(shè)C 是，則 D(CX ) = C 2D( X ) ， D( X + C) = D( X ) ；(3)若 X 1、X 2 相互，則 D( X 1 + X 2 ) = D( X 1 ) + D( X 2 ) ；對(duì)任意

44、n 個(gè)相互的隨量n ，有D(C X + C X +"+ CX ) = C 2D( X ) + C 2D( X ) +"+ C 2D( X ) ；1 122nn1122nn(4) D( X ) = 0 的充要條件是：存在C ，使 PX = C = 1(C = E( X ) .3. 契比雪夫不等式：設(shè)隨量 X 具有數(shù)學(xué)期望 E( X ) = m ，方差 D( X ) = s 2 ，則對(duì)于任s 2意正數(shù)e ，有 P X - m³ e £成立.e2三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1. E X - E( X )Y - E(Y ) 稱為隨量 X 與Y 的協(xié)方差，記為cov( X

45、 ,Y ) ，即cov(X ,Y ) = E X - E( X )Y - E(Y ).計(jì)算公式： cov(X ,Y ) = E( XY ) - E( X )E(Y ) .cov(X ,Y )2. 對(duì)于隨量 X 與Y ，如果 D( X ) ¹ 0 ，D(Y ) ¹ 0 ，稱 r XY = 為隨量 XDXDY與Y 的相關(guān)系數(shù).當(dāng) r XY = 0 時(shí)，稱 X 與Y 不相關(guān).3. 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：(1) Cov( X ,Y ) = D( X ) ;(2) Cov( X ,Y ) = Cov(Y , X ) ;(3) Cov( X1 + X 2 ,Y ) = Cov( X1

46、,Y ) + Cov( X 2 ,Y ) ;(4) Cov(aX + c, bY + d ) = abCov( X ,Y ) ， a, b, c, d 是；r XYr XY£ 1 ；= 1 Û 存在(5)a, b ，且 a ¹ 0 ，使 PY = aX + b=1，即 X 與Y 以概率 1 線性相(6)關(guān)；4. 若 X ,Y，則 r XY = 0 ，即 X ,Y 不相關(guān). 反之，不一定成立.四、矩1. 設(shè) X 是隨量，若 E( X k ), k = 1, 2,"存在，稱它為 X 的 k 階原點(diǎn)矩.2. 設(shè) X 是隨量，若 E X - E( X )k ,

47、k = 1, 2,"存在，稱它為 X 的k 階中心矩.15購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義3. 設(shè) X 和Y 是隨量，若 E( X kY l ), k, l = 1, 2,"存在，稱它為 X 和Y 的 k + l 階混合原點(diǎn)矩；4. 設(shè) X 和Y 是隨量，若 E X - E( X )k Y - E(Y )l , k, l = 1, 2," 存在，稱它為 X 和Y的 k + l 階混合中心矩.注：數(shù)學(xué)期望為一階原點(diǎn)矩，方差為中心矩，協(xié)方差為1+1 階混合中心距.五、幾種常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布(1) (0 -1) 分布 X B(0 -1)(2) 二項(xiàng)分布

48、X B(n, p)(3) Poisson 分布 X p (l)數(shù)學(xué)期望E( X ) = p E( X ) = npE( X ) = l方差(1- p)D( X ) = np(1- p)D( X ) = lp21pnM NE( X ) =(4)幾何分布 X G( p)E( X ) =(5)超幾何分布 X H (n, M , N )D(X ) = nM (N - M )(N - n)N 2(N -1)a + b(b - a)2E( X ) =D( X ) =(6)均勻分布 X U (a, b)2121l1l 2(7)指數(shù)分布 X E(l)E( X ) =D( X ) =(8)正態(tài)分布 X N (m

49、,s 2 )E( X ) = mD( X ) = s 2第五講大數(shù)定律及中心極限定理A. 重要內(nèi)容與結(jié)論一、大數(shù)定律n ,"是相互1. 弱大數(shù)定理:設(shè)，服從同一分布的隨量，且具有數(shù)學(xué)期望 E( Xi ) = m (i = 1,2,") ，則對(duì)任意e > 0 ，有16購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義ì 1ünå Xi - m < e ý = 1 .lim P íî nn®¥þA 發(fā)生的次數(shù)， p 是i=1大數(shù)定理:設(shè)nA 是 n 次重復(fù)A 在每次試2.試驗(yàn)中驗(yàn)中發(fā)生的概

50、率，則對(duì)于任意給定的e > 0 ，有ì< e ü = 1ìünn> e= 0 .- p- plim PA或 lim PAíýíýnnn®¥îþn®¥îþ大數(shù)定理給出了當(dāng) n 很大時(shí)， A 發(fā)生的頻率 nA 依概率收斂于 A 的概率.A二、中心極限定律n ,"是1.同分布中心極限定理:設(shè)同分布的隨量序列，具有數(shù)學(xué)n期望和方差， E( X ) = m ， D( X ) = s 2 ³ 0(k = 1,

51、2,") .則，隨量之和å X 的標(biāo)準(zhǔn)kkkk =1化變量nnnå Xk - E(å Xk )å Xk - nm= k =1k =1= k =1YnnsnD(å Xk )k =1的分布函數(shù) Fn (x) 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 滿足1xòlim F (x) = lim PY £ x =e-t2 /2 dt = F(x) .nn2p-¥n®¥n®¥n ,"相互，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差：2. 李定理:設(shè)隨量nnå kE( X ) = m , D( X ) =

52、 s 2 ³ 0(k = 1, 2,") ，記B =s . 若存在正數(shù)d ，使得當(dāng)22kkkkk =1nn ® ¥ 時(shí)，有 1 ån2+d ® 0 , 則隨量變量之和å X 的標(biāo)準(zhǔn)化變量E X - mB2+dkkkk =1k =1nnnnnå Xk - E(å Xk )å Xk - å mk= k =1k =1= k =1k =1ZnBnD(å X )nkk =117購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義的分布函數(shù) Fn (x) 對(duì)于任意的 x ，滿足1lim F (x) =

53、 lim PZ £ x =xò2e-t /2dt .nn2pn®¥n®¥-¥nn當(dāng)n 很大時(shí), Zn % N(0,1) .因此當(dāng)n 很大時(shí)， åXk = BnZn +åmk 近似地服從正態(tài)分布k=1k=1nN (å m , B2 ) .knk =1量hn (n = 1,2,") 服從參數(shù)為 n, p(0 < p < 1) 的二項(xiàng)分3.佛拉斯定理:設(shè)隨布，則對(duì)于任意的 x ，有l(wèi)im P ïì£ xüï = 1 e-t2 /2

54、dt = F(x) .hn - npxòíý2pnp(1- p)-¥n®¥ïîïþ三、重要公式與結(jié)論n ,"相互，它們具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E( Xk ) = m1. 設(shè)隨量,D( Xk ) = s ³ 0(k = 1, 2,") ，則2å Xk - nmn(1) k =1近似服從 N (0,1) ；nsn(2) å X 近似服從 N (nm, ns 2 ) ；kk =1æs 2 ö1nnå kX 近似服從 N

55、m,÷ ；(3)çnèøk =1(4)近似計(jì)算公式：æönåX - nmç a - nmb - nm ÷knP(a £ å Xk £ b) = P ç÷£ k =1£çnsnsns ÷k =1ç÷èø» F æ b - nm ö - F æ a - nm öç÷ç÷nsnsè&#

56、248;èø2. 設(shè) Xn % B(n, p)(n = 1, 2,")(0 < p < 1) ,則18購(gòu)課2015數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義X - np(1)n近似服從 N (0,1) ；npq(2) Xn 近似服從 N (np, npq) ；(3) 近似計(jì)算公式：P(a £ X £ b) = P æ a - np £Xn - np £ b - np öçnpq ÷nnpqnpqèøæ b - np öæ a - np &#

57、246;» F çnpq ÷ - F çnpq，其中 q = 1- p÷èøèøn ,"同分布服從 B(1, p)分布,則3. 設(shè)nå Xk - np(1) k =1近似服從 N (0,1) ；npqn(2) å Xk 近似服從 N (np, npq) ；k =1n1npqå kX近似服從 N ( p,) ；n(3)k =1(4)近似計(jì)算公式：æönåX - npç a - npb - np ÷knP(a £ å Xk £ b) = Pç÷ £ k =1£npqçnpq ÷npqk =1ç÷è