數(shù)學(xué)建模——傳染病模型

1、WORD格式傳染病模型摘要當(dāng)今社會，人們開場意識到通過定量地研究傳染病的傳播規(guī)律， 建立傳染病的傳播模型， 可以為預(yù)測和控制傳染病提供可靠、 足夠的信息。 本文利用微分方程穩(wěn)定性理論對傳統(tǒng)傳染病動力學(xué)建模方式進(jìn)展綜述，且針對甲流， SARS等新生傳染病模型進(jìn)展建模和分析。不同類型的傳染病的傳播過程有其各自不同的特點(diǎn)， 我們不是從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播， 而是從一般的傳播機(jī)理分析建立各種模型， 如簡單模型， SI 模型， SIS 模型， SIR 模型等。本文中，我們應(yīng)用傳染病動力學(xué)模型來描述疾病開展變化的過程和傳播規(guī)律， 運(yùn)用聯(lián)立微分方程組表達(dá)疫情開展過程中各類人的內(nèi)在因果聯(lián)系，并在

2、此根底上建立方程求解算法。然后，通過借助 Matlab 程序擬合出與實(shí)際較為符合的曲線并進(jìn)展了疫情預(yù)測，評估各種控制措施的效果，從而不斷完善文中的模型。本文由簡到難、 全面地評價了該模型的合理性與實(shí)用性， 而后對模型和數(shù)據(jù)也做了較為扼要的分析， 進(jìn)一步改進(jìn)了模型的不妥之處。 同時，在對問題進(jìn)展較為全面評價的根底上又引入更為全面合理的假設(shè)， 運(yùn)用雙線性函數(shù)模型對衛(wèi)生部的措施進(jìn)展了評價并給出建議，做好模型的完善與優(yōu)化工作。關(guān)鍵詞： 傳染病模型 , 簡單模型， SI ， SIS,SIR ，微分方程， Matlab 。專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式一、問題重述有一種傳染病如SARS

3、、甲型 H1N1正在流行，現(xiàn)在希望建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對該傳染病進(jìn)展有效地研究，以期對其傳播蔓延進(jìn)展必要的控制， 減少人民生命財產(chǎn)的損失?？紤]如下的幾個問題， 建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并進(jìn)展一定的比較分析和評價展望。1、不考慮環(huán)境的限制，設(shè)單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是常數(shù)，建立模型求t時刻的感染人數(shù)。2、假設(shè)單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時的增長率為零。建立模型求t 時刻的感染人數(shù)。3、假設(shè)總?cè)丝诳煞譃閭魅静』颊吆鸵赘腥菊?，易感染者因與患病者接觸而得病，而患病者會因治愈而減少且對該傳染病具有很強(qiáng)的免疫功能，建立模型分析t時刻患病者與易感染者的關(guān)系

4、，并對傳染情況如流行趨勢，是否最終消滅進(jìn)行預(yù)測。二、問題分析1、這是一個涉及傳染病傳播情況的實(shí)際問題，其中涉及傳染病感染人數(shù)隨時間的變化情況及一些初始資料，可通過建立相應(yīng)的微分方程模型加以解決。2、問題表述中已給出了各子問題的一些相應(yīng)的假設(shè)。3、在實(shí)際中，感染人數(shù)是離散變量，不具有連續(xù)可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短時間內(nèi)改變的是少數(shù)人口，這種變化與整體人口相比是微小的。因此，為了利用數(shù)學(xué)工具建立微分方程模型，我們還需要一個根本假設(shè)： 感染人數(shù)是時間的連續(xù)可微函數(shù)。專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式三、模型假設(shè)模型二和模型三的假設(shè)條件：假設(shè)一：在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的

5、總?cè)藬?shù) N不變，即不考慮生死， 也不考慮遷移。人群分為易感染者 Susceptible 和已感染者Infective 兩類取兩個詞的第一個字母， 稱之為 SI 模型，以下簡稱*者和病人。 時刻 t 這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作 s(t) 和 i(t) 。假設(shè)二：每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)， 稱為日接觸 率。當(dāng)病人與*者接觸時，使*者受感染變?yōu)椴∪?。假設(shè)三：模型三在假設(shè)一和假設(shè)二的根底上進(jìn)展考慮， 然后設(shè)病人每天治愈的比例為 ，稱為日治愈率。 病人治愈后成為仍可被感染的*者， 顯然 1/ 是這種傳染病的平均傳染期。模型四的假設(shè)條件：假設(shè)四：總?cè)藬?shù) N 不變。人群分為*者、病人和病

6、愈免疫的移出者 Removed三類，稱 SIR 模型。三類人在總數(shù) N中占的比例分別記作 s(t),i(t)和 r(t) 。假設(shè)五：病人的日接觸率為，日治愈率為與 SI 模型一樣，傳染期接觸為= /。專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式四、符號說明t ····························

7、;··· 某一具體時刻x(t) ·····························病人人數(shù)···············&

8、#183;···············每天每個病人有效接觸的人數(shù)N································

9、;總?cè)藬?shù)s(t) ·····························*者總?cè)藬?shù)i(t)··················

10、···········病人總?cè)藬?shù)i 0······························初始時刻病人的比例t m·····

11、3;······················病人的最大值 ··························

12、83;·日治愈率1/···························平均傳染率···················

13、3;·········接觸率r(t)···························移出者s 0···········

14、83;·················初始時刻*者的比例專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式五、模型的建立與求解模型 1在這個最簡單的模型中，設(shè)時刻 t 的病人人數(shù) x(t) 是連續(xù)、可微函數(shù)，并且每天每個病人有效接觸 足以使人致病的接觸 的人數(shù)為常數(shù) ，考察 t 到病人人數(shù)的增加，就有x(tt)x(t )x(t )t再設(shè)t時有x0有個病人，即得微分方 程0d x(1)x , x(0) x0dt方程 1的解為x

15、(t ) x0 e t( 2)結(jié)果說明，隨著t 的增加，病人人數(shù)x(t) 無限增長，這顯然是不符合實(shí)際的。建模失敗的原因在于： 在病人有效接觸的人群中， 有*人也有病人， 而其中只有*人才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。模型 2SI 模型根據(jù)假設(shè)，每個病人每天可使s(t)個*者變?yōu)椴∪?，?為病人數(shù)為，所以每天共Ni (t )有 Ns(t )i(t) 個*者被感染，于是Nsi就是病人數(shù) Ni 的增加率，即N d iNsi(3)d t又因?yàn)閟(t) i (t) 1( 4)專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式再記初始時刻 (t0)病人的比例為 i 0，那么di(

16、5)i(1 i ) ,i( 0) i 0dt方程 5是 Logistic模型。它的解為1(6)111 e ti0d ii (t ) t 和 i的圖形如圖 1和圖 2所示。由式及圖 可知，第一，當(dāng)i時 di到達(dá)最大值 d i，這個時刻為(5),(6)11/ 2d t md ttm1 ln11(7)i 0這時病人增加的最快， 可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時刻。tm與 成反比，因?yàn)槿战佑|率表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平 ，越小衛(wèi)生水平越高。所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平 可以推遲傳染病高潮的 到來。第二，當(dāng) t 時 i 1,即所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪?，這

17、顯然不符合實(shí)際情 況。其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的*者只能變成病人，病人不會再變成*者 。專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式模型 3SIS 模型有些傳染病如傷風(fēng)、 痢疾等愈合后免疫力很低， 可以假定無免疫性， 于是病人被治愈后變成*者，*者還可以被感染再變成病人，所以這個模型成為SIS 模型?？紤]到這一模型的假設(shè)條件，于是有N i(tt) - i(t)Ns(t)i(t)t -Ni(t)8可得微分方程dii(0)i9i (1 - i) - i0dt定義10其中是整個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。得到di- i i - (1 - 1/ )11dt

18、模型 4SIR 模型大多數(shù)傳染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人既非*者易感染者 ，也非病人已感染者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為 R 類。SIR 模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀?，感病者可以被治愈，并會產(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥摺Ｈ藛T流動圖為： S-I-R 。1. 模型構(gòu)成：在假設(shè) 1 中顯然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1 12專業(yè)資料整理WORD格式7專業(yè)資料整理WORD格式對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為NdrNi13dt不妨設(shè)初始時刻的易感染者、染病者、恢復(fù)者的比例分別為s0 s0 0， i 0 i0 0， r0 =0，那

19、么 SIR 根底模型用微分方程組表示如下：diisidtds 14sidtdridts(t) ， i(t) 的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)算來預(yù)估計(jì) s(t) ， i(t) 的一般變化規(guī)律。2. 數(shù)值計(jì)算在方程 3中設(shè)=1，=0.3 ，i 0= 0.02 ，s0=0.98 ，用 MATLAB 軟件編程：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot

20、(x(:,2),x(:,1)專業(yè)資料整理WORD格式8專業(yè)資料整理WORD格式輸出的簡明計(jì)算結(jié)果列入表1。i(t), s(t) 的圖形以下兩個圖形， is 圖形稱為相軌線 , 初值 i(0)=0.02,s(0)=0.98相當(dāng)于圖 2 中的 P0點(diǎn), 隨著 t 的增 ,(s,i)沿軌線自右向左運(yùn)動 . 由表 1、圖 1、圖 2 可以看出 ,i(t)由初值增長至約t=7 時到達(dá)最大值 , 然后減少 ,t ,i 0,s(t)那么單調(diào)減少 ,t ,s 0.0398.并分析i(t),s(t)的一般變化規(guī)律 .表 1 i(t),s(t) 的數(shù)值計(jì)算結(jié)果t012345678i(t)0.02000.03900

21、.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.03981專業(yè)資料整理WORD格式9專業(yè)資料整理WORD格式3. 相軌線分析我們在數(shù)值計(jì)算和圖形觀察的根底上，利用相軌線討論解i t ,s t 的性質(zhì)。

22、D =s，i| s0，i 0 ，s + i115在方程 14中消去 dt并注意到的定義，可得di1i016ds1 i |s s0s所以：專業(yè)資料整理WORD格式di11 dsidissi0s011 dss專業(yè)資料整理WORD格式利用積分特性容易求出方程(5) 的解為：1si (s0 i0 ) sln17s0專業(yè)資料整理WORD格式10專業(yè)資料整理WORD格式在定義域 D 內(nèi),(17) 式表示的曲線即為相軌線 , 如圖 3 所示 . 其中箭頭表示了隨著時間 t 的增加 s(t) 和 i(t) 的變化趨向。圖 3下面根據(jù) 14， 17式和圖 3 分析 s(t),i(t) 和 r(t)的變化情況 (

23、t 時它們的極限值分別記作 s, i和 r).1.不管初始條件 s0,i0如何 , 病人將消失 , 即： t,i02.最 終未 被感 染的 健 康者 的比 例是 , 在 (7) 式 中令 i=0得 到 ,是方s0i0 s1 ln s0s0在 (0,1/) 內(nèi)的根 . 在圖形上 是相軌線與 s 軸在 (0,1/) 內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3. 假設(shè) s0>1/ , 那么開場有di1o ， i(t) 先增加 ,令di1=0，可ds1ds1ss得當(dāng) s=1/ 時,i(t) 到達(dá)最大值：ims0 i011 ln s0 )專業(yè)資料整理WORD格式11專業(yè)資料整理WORD格式然后 s<1/ 時，有di1

24、減小且趨于零 ,s(t)那么單調(diào)減小ds1 o ，所以 i(t)s至 s , 如圖 3 中由 P1(s0， i0 ) 出發(fā)的軌線4. 假設(shè) s01/ , 那么恒有di11 0 ，i(t)單調(diào)減小至零 ,s(t)單調(diào)減小至 s ,dss如圖 3 中由 P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出 , 如果僅當(dāng)病人比例 i(t) 有一段增長的時期才認(rèn)為傳染病在蔓延 , 那么 1/ 是一個閾值 , 當(dāng) s0 >1/ ( 即 >1/s0) 時傳染病就會蔓延 . 而減小傳染期接觸數(shù) , 即提高閾值 1/ 使得 s0 1/ ( 即 1/ s0 ), 傳染病就不會蔓延 ( *者比例的初始值 s0是一定的

25、 , 通?？烧J(rèn)為 s0接近 1) 。并且 , 即使 s0 >1/ , 減小時 ,s 增加 ( 通過作圖分析 ),im降低 , 也控制了蔓延的程度 . 我們注意到在=中, 人們的衛(wèi)生水平越高 , 日接觸率越小 ; 醫(yī)療水平越高 , 日治愈率越大 , 于是越小 , 所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延 .從另一方面看 ,ss 1/是傳染期內(nèi)一個病人傳染的*者的平均數(shù),稱為交換數(shù) , 其含義是一病人被s 個*者交換 . 所以當(dāng)s01/即s01時必有 . 既然交換數(shù)不超過1, 病人比例 i(t)絕不會增加 , 傳染病不會蔓延。5. 群體免疫和預(yù)防：根據(jù)對 SIR 模型的分析 , 當(dāng)

26、s0 1/ 時傳染病不會蔓延 . 所以為制止蔓延 , 除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平 , 使閾值 1/ 變大以外 , 另一個途徑是降低 s0 , 這可以通過比方預(yù)防接種使群體免疫的方法做到。專業(yè)資料整理WORD格式12專業(yè)資料整理WORD格式忽略病人比例的初始值i0有 s1r0 , 于是傳染病不會蔓延的條件s01/0可以表為1r01這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例即免疫比例 就可以制止傳染病的蔓延。這種方法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時印度等國天花傳染病的接觸數(shù) =5，至少要有80%的人承受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報告，即使花費(fèi)大量資金提

27、高r0，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到 1977 年才在全世界鏟除。而有些傳染病的更高，鏟除就更加困難。6. 模型驗(yàn)證 :上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了dr的實(shí)際數(shù)據(jù)，dtKermack等人用這組數(shù)據(jù)對 SIR 模型作了驗(yàn)證。首先，由方程 12，14可以得到dssisisdrdtdt上式兩邊同時乘以dt可1 dsdr，兩邊積分得ss 1rdrsserdsr0 0ln s|srs0 s0s0所以：s(t)s er (t )(8)0再dri(1rs)(1 rs0 e r )(9)dt專業(yè)資料整理WORD格式13專業(yè)資料