第2章質(zhì)點運動學(xué)

1、第二章第二章 質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點質(zhì)點具有一定質(zhì)量，不計其形狀與大小的物具有一定質(zhì)量，不計其形狀與大小的物體體, 是理想模型是理想模型.可以將物體簡化為質(zhì)點的兩種情況：可以將物體簡化為質(zhì)點的兩種情況： 物體不變形物體不變形, ,只作平動只作平動. . 物體本身線度和它活動范圍相比小得很多物體本身線度和它活動范圍相比小得很多. . 質(zhì)點質(zhì)點(Mass point)位置矢量位置矢量：由參考點引向質(zhì)點位置的由參考點引向質(zhì)點位置的有向有向線段線段. .如圖：如圖：.表示表示用用rpo1. 位置矢量位置矢量 (Position vector)r1 描述質(zhì)點運動的幾個物理量描述質(zhì)點運動的幾個物理量OP

2、r建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系 O xyz ，令令原點與參考點重合原點與參考點重合，則：，則：k j i rzyxzxy i zi yi xx,y,z 是質(zhì)點的位置坐標(biāo)是質(zhì)點的位置坐標(biāo).,軸軸正正方方向向上上的的單單位位矢矢量量分分別別為為zyxkji位置矢量的大小為：位置矢量的大小為：222zyxrr OPrzxy i zi yi xk j i rzyx位矢方向位矢方向: :rz cosrx cosry cos1coscoscos222 2. 運動方程運動方程 (Equation of motion)ktzjtyitxr)()()( 即：即：運動方程運動方程質(zhì)點的位置隨時間變化的函數(shù)方程質(zhì)點

3、的位置隨時間變化的函數(shù)方程 )(trr 標(biāo)量式標(biāo)量式 x = x(t) y = y(t) z = z(t)如如軌跡方程軌跡方程：質(zhì)點在運動過程中描出的軌跡對應(yīng)曲線方程質(zhì)點在運動過程中描出的軌跡對應(yīng)曲線方程. 0 6sin2 6cos2 ztytx如如：在運動方程中消去在運動方程中消去 t 就是軌跡方程，就是軌跡方程，0 422 zyxf(x，y，z) =0 3. 軌跡方程軌跡方程(Trajectory equation)f(x，y) =0 f(x) =0 4. 位移位移 (Displacement)位移位移：由質(zhì)點初位置指向末位置的由質(zhì)點初位置指向末位置的矢量矢量. .位置矢量的增量（改變量）

4、位置矢量的增量（改變量）)()(trttrr 在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)分解式：在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)分解式：kzj yi xr yxP)(ttr QOr ( )r ti yi x222)()()(zyxr 位移僅與質(zhì)點的始末位位移僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而置有關(guān)，而與其具體路與其具體路徑無關(guān)徑無關(guān)，方向由，方向由初始位初始位置指向末位置置指向末位置。r kzj yi xr （1）位移）位移是矢量，當(dāng)運動方程已知，則可由上述公式求是矢量，當(dāng)運動方程已知，則可由上述公式求出位移。出位移。121212)()()()()()(zztzttzzyytyttyyxxtxttxx 222)()()(zyxr )(),

5、(),(tzz tyy txx kzj yi xr rzryrx cos cos cos or ttr r tr的改變量的模的改變量的模是是而而，的改變量（一切實數(shù)）的改變量（一切實數(shù)）是是rtrttrrrtrttrrrr )()()()(,)2( （3） 常用單位為米常用單位為米 (m)，有時為厘米、千米等，有時為厘米、千米等rzyx ,路程路程 質(zhì)點經(jīng)過的路徑的總幾何長度質(zhì)點經(jīng)過的路徑的總幾何長度. 單位：單位：m如圖：如圖：5. 路程（路程（Distance）位移與路程不同，前者是矢量，位移與路程不同，前者是矢量，后者是標(biāo)量后者是標(biāo)量. . 321SSS 問題問題 二者何時相同？二者何時

6、相同？同同r Qr PprQrO2s1s3syxP)(ttr QOr ( )r t例題例題一質(zhì)點在一質(zhì)點在xOy平面內(nèi)依照平面內(nèi)依照 x = t 的規(guī)律沿曲的規(guī)律沿曲線線y = x2 運動運動,求質(zhì)點從第求質(zhì)點從第2 秒末到第秒末到第 4 秒末的位秒末的位移移(式中式中 t 的單位為的單位為s；x，y的單位為的單位為cm).解解 )()(trttrrji122 (cm)jyyixx)()()()(2424)()()()(jtyitxjttyittxjtyttyitxttx)()()()(ji)()(222424cm 2 .12cm )12(222 r與水平軸夾角與水平軸夾角6 .80arcta

7、n xy 問題問題 位移與參考系的選擇有關(guān)嗎？位移與參考系的選擇有關(guān)嗎？由于由于 是描述質(zhì)點在是描述質(zhì)點在 時間內(nèi)的位置矢量（空間位時間內(nèi)的位置矢量（空間位置）變化情況，一般來說，置）變化情況，一般來說， 是時間的函數(shù)，我們常是時間的函數(shù)，我們常引進一個描述其變化引進一個描述其變化快慢程度快慢程度問題的物理量問題的物理量- 速度。速度。rrt trv /OPQ)(tr)(ttr r 平均速度平均速度(Average velocity)6. 速度速度(m/s) (Velocity)若在若在 到到 這段時間內(nèi)，質(zhì)點的位移為這段時間內(nèi)，質(zhì)點的位移為 ，則，則比值比值 稱為質(zhì)點在稱為質(zhì)點在 時刻以后時

8、刻以后 時間內(nèi)的平均時間內(nèi)的平均速度，用速度，用 表示表示r tr /vtt ttt trv /大大 小：?。?_ v 是是矢矢量量方方 向：向：相相同同方方向向與與r 平均速度僅僅提供一段時間內(nèi)位置總變動的方向平均速度僅僅提供一段時間內(nèi)位置總變動的方向和平均快慢，卻和平均快慢，卻不能精細地刻劃出質(zhì)點在這段時不能精細地刻劃出質(zhì)點在這段時間內(nèi)發(fā)生的運動方向的改變和時快時慢的詳細情間內(nèi)發(fā)生的運動方向的改變和時快時慢的詳細情況況，顯然，顯然， 取得越短，平均速度就越能反取得越短，平均速度就越能反映出映出 t 時刻的真實運動情況。時刻的真實運動情況。t 瞬時速度瞬時速度(簡稱速度簡稱速度) (Inst

9、antaneous velocity )定義定義1：平均速度的極限值，稱為質(zhì)點在平均速度的極限值，稱為質(zhì)點在 時刻的時刻的(瞬時瞬時) 速度速度 tvvt0lim trt 0lim定義定義2：質(zhì)點的瞬時速度等于位置矢量對時間的變化率質(zhì)點的瞬時速度等于位置矢量對時間的變化率 或一階導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)trvdd trvvdd 大大 小：?。篜 1r Qvrd4r 3r 2r OQ /Q /Q /方向方向： ，沿著軌道上質(zhì)點沿著軌道上質(zhì)點在在t時刻所在點的切線，并指向質(zhì)點前進的方向時刻所在點的切線，并指向質(zhì)點前進的方向。 的的方方向向相相同同是是矢矢量量，與與rdvtrvdd 在直角坐標(biāo)系中的分解式在直

10、角坐標(biāo)系中的分解式vvzv cosvvxv cosvvyv cos222zyxvvvvv|kvjvivktzjtyitxtrvzyxdddddddd為路程為路程StSv 0 平均速率平均速率m/s (Mean speed) 若質(zhì)點在若質(zhì)點在 時間內(nèi)所走過的路程為時間內(nèi)所走過的路程為 ，則比值，則比值 稱為質(zhì)點在稱為質(zhì)點在 時間內(nèi)的平均速率，用時間內(nèi)的平均速率，用 表示表示StvtStQr P)(tr)(ttr OSvv Sr tSv trv ,tsv ,是是標(biāo)標(biāo)量量v大?。捍笮。?平均速率平均速率平均速度的大小不等于平均速度的大小不等于 瞬時速率瞬時速率(簡稱速率簡稱速率) m/s （Inst

11、antaneous speed ） ddlim0tstsvt （1）平均速率的極限值平均速率的極限值，稱之為質(zhì)點在稱之為質(zhì)點在 時刻的時刻的 ( (瞬時瞬時) )速率。（標(biāo)量）速率。（標(biāo)量）ttrvvdd ddddtstr dsrd 求解方法同瞬時求解方法同瞬時速度的求法速度的求法 （2） 時刻瞬時速度的大小時刻瞬時速度的大小 ，稱為質(zhì)點在，稱為質(zhì)點在 時刻的時刻的 (瞬時瞬時)速率。（標(biāo)量）速率。（標(biāo)量）tt求：（求：（1）0-1s內(nèi)質(zhì)點運動的位移內(nèi)質(zhì)點運動的位移. （2） 0-1s內(nèi)質(zhì)點運動的平均速度內(nèi)質(zhì)點運動的平均速度. （3） t = 0,1s時質(zhì)點的速度矢量時質(zhì)點的速度矢量.ktj

12、tir251510 例例1某質(zhì)點的運動學(xué)方程為某質(zhì)點的運動學(xué)方程為(單位單位m,s)幾種速度能精細地刻劃出質(zhì)點在這段時間內(nèi)發(fā)生的運動幾種速度能精細地刻劃出質(zhì)點在這段時間內(nèi)發(fā)生的運動方向的改變和時快時慢的詳細情況。但質(zhì)點速度方向的改變和時快時慢的詳細情況。但質(zhì)點速度大小和大小和方向方向時刻在發(fā)生變化，如何來描述這種變化程度呢？時刻在發(fā)生變化，如何來描述這種變化程度呢？7 加速度（加速度（m/s2）(Acceleration) 平均加速度平均加速度(Average acceleration)在在 時間內(nèi)，速度增量為時間內(nèi)，速度增量為 。則比值則比值 稱為質(zhì)點在稱為質(zhì)點在 時間內(nèi)的平均加速度，時間內(nèi)

13、的平均加速度，用用 表示。表示。t t )()(tvttvv tv a)(ttv)(tv)(ttv v ttvttvtva)()( 幾點說明幾點說明: :說到平均加速度，一定要明確是哪一段時間的平說到平均加速度，一定要明確是哪一段時間的平均加速度均加速度.計計算算。方方向向不不同同，一一般般要要通通過過與與一一般般vv )(ttv)(tv)(ttv v ttvttvtva)()( 平均加速度的同速度計算方法。平均加速度的同速度計算方法。平均加速度的極限值平均加速度的極限值，稱為質(zhì)點在，稱為質(zhì)點在t時刻的時刻的瞬時加速度瞬時加速度，簡稱簡稱加速度加速度 （矢量）（矢量） 瞬時加速度（加速度）瞬時

14、加速度（加速度）( (Instantaneous acceleration)220dddddddddtrtrttvtvat)(lim方向：方向： 一般通過計算一般通過計算出來，如果軌跡清楚，大致方向可知道出來，如果軌跡清楚，大致方向可知道 方方向向不不同同。與與一一般般是是矢矢量量vaa,直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中kajaiaktvjtvitvktzjtyitxtra zyxtyxdddddddddddddd22222222222zyxaaaaa|aaxa cos aaya cosaaza cos 解解tvadd ktr10dd22 a =10 m/s2方向沿方向沿 z 軸軸. 求質(zhì)點的加速度矢

15、量求質(zhì)點的加速度矢量.ktj tir251510 例例1某質(zhì)點的運動學(xué)方程為某質(zhì)點的運動學(xué)方程為(單位單位m,s)例例一質(zhì)點一質(zhì)點m的位置與時間的關(guān)系為的位置與時間的關(guān)系為（x、y和和t的單位分別為米和秒）求（的單位分別為米和秒）求（1）質(zhì)點在前兩）質(zhì)點在前兩秒內(nèi)所通過的位移；（秒內(nèi)所通過的位移；（2）第）第2秒末的速度和加速度。秒末的速度和加速度。 tty ttx3,822 例例 一質(zhì)點在一質(zhì)點在xy平面內(nèi)運動，其運動方程為平面內(nèi)運動，其運動方程為試求：該質(zhì)點的運動軌跡、速度、加速度。試求：該質(zhì)點的運動軌跡、速度、加速度。 tbytax coscostty ttx3,822 求（求（1）質(zhì)點

16、在前兩秒內(nèi)所通過的位移；）質(zhì)點在前兩秒內(nèi)所通過的位移；解：（解：（1） 0|8)0(02tttx)(12|8)2(22mttxt0|3)0(02ttty)(2|3)2(22mttyt)(12)0()2(mxxx)(2)0()2(myyyjir212 （單位：（單位：m） 大小、方向大小、方向 須指明須指明tty ttx3,822 求（求（2）第）第2秒末的速度和加速度。秒末的速度和加速度。解解: (2)82 tdtdxVx32 tdtdyVysmVx/4822)2(smVy/1322)2(jiV14 2/2smdtdVaxx2/2smdtdVayy2/2)2(smax2/2)2(smayjia

17、22 （單位: m/s） （單位m/s2） 大小、方向大小、方向 須指明須指明2 質(zhì)點的直線運動質(zhì)點的直線運動（一）（一）從運動方程到位移、速度、加速度從運動方程到位移、速度、加速度以質(zhì)點運動直線為坐標(biāo)軸，則質(zhì)點運動學(xué)方程為以質(zhì)點運動直線為坐標(biāo)軸，則質(zhì)點運動學(xué)方程為OxPQx(t) x(t + t )itxtrr)()( 運動學(xué)方程運動學(xué)方程 x = x ( t ) 標(biāo)量式標(biāo)量式 btax 2ctbtax txx e0 位移位移OxPQx(t) x(t + t )位移表達式：位移表達式： )()(txttxx位移方向位移方向 ：軸軸的的負負方方向向。時時，位位移移方方向向沿沿軸軸的的正正方方向

18、向；時時，位位移移方方向向沿沿x0 x0 xx位移的數(shù)學(xué)含義位移的數(shù)學(xué)含義:位置坐標(biāo)的增量位置坐標(biāo)的增量(改變量改變量)位移大?。何灰拼笮。?)()(txttxx速度表達式：速度表達式： txvvxdd 瞬時速度的數(shù)學(xué)含義：瞬時速度的數(shù)學(xué)含義：（1）x-t曲線某點切線的斜率等于相應(yīng)時刻的速度曲線某點切線的斜率等于相應(yīng)時刻的速度. （2）位置坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。位置坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。tOx P 速度速度速度大小即速率速度大小即速率 txvdd 瞬時速度方向瞬時速度方向 ：軸軸的的負負方方向向。時時，速速度度方方向向沿沿軸軸的的正正方方向向；時時，速速度度方方向向沿沿x0 x0 xxvv加速

19、度表達式加速度表達式 22ddddtxtvaaxx加速度的數(shù)學(xué)含義：加速度的數(shù)學(xué)含義：（1）v-t曲線某點切線的斜率等于相應(yīng)時刻的加速度曲線某點切線的斜率等于相應(yīng)時刻的加速度. （2）位置坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。位置坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。tOvPQ加速度方向加速度方向 ：軸軸的的負負方方向向。時時，加加速速度度方方向向沿沿軸軸的的正正方方向向；時時，加加速速度度方方向向沿沿x0 x0 xxaa 加速度加速度加速度大小加速度大小 ：22ddddtxtvaax 。軸軸負負方方向向做做減減速速運運動動質(zhì)質(zhì)點點沿沿，若若；軸軸正正方方向向做做減減速速運運動動質(zhì)質(zhì)點點沿沿，若若軸軸的的做做減減速速運運動動

20、。時時，質(zhì)質(zhì)點點沿沿。軸軸負負方方向向做做加加速速運運動動質(zhì)質(zhì)點點沿沿，若若；軸軸正正方方向向做做加加速速運運動動質(zhì)質(zhì)點點沿沿，若若軸軸做做加加速速運運動動。時時，質(zhì)質(zhì)點點沿沿 v vav v vavxxxxxxxxx0 x0 x0 x0 x0 x0（二）從速度到運動學(xué)方程、位移、（二）從速度到運動學(xué)方程、位移、加速度加速度已知已知 vx (t), 求求 x = x(t) 和和 x ttvxxd)(d txtvxdd)( 初始條件初始條件 t = t0 x = x0 ttvxxd)(d ttxtxxttvdx00d)()( ttxttvxtx0d)()(0 ttxttvxtx0d)()(0 t

21、txttvx0d)(給定質(zhì)點初始位置，便可根據(jù)質(zhì)點的速度唯一地確定質(zhì)給定質(zhì)點初始位置，便可根據(jù)質(zhì)點的速度唯一地確定質(zhì)點的運動學(xué)方程以及任意時間段質(zhì)點通過的位移點的運動學(xué)方程以及任意時間段質(zhì)點通過的位移 2121d)(ttxttttvxt0t ttxttvxxx0)d(0 xOt位移的幾何意義：位移的幾何意義： 21)d(ttxttvxt1t2 ttvtaxxdd)()(（三）（三） 從加速度到速度、運動學(xué)方程、位移從加速度到速度、運動學(xué)方程、位移已知已知 ax 求求 vx(t) 和和 x(t) 初始條件初始條件 t = t0 v=v0 x = x0ttatvxxd)()(d ttvtaxxd)

22、(d)( ttatvxxd)()(d ttxtvvxttatdvx00d)()()( ttxxttavtv0d)()(0 ttxxttavtv0d)()(0由位置初始條件由位置初始條件 t = t0 x = x0 求運動學(xué)方程求運動學(xué)方程 ttxttvxtx0d)()(0 txxttatv0d)()(v0=0t0=0ttxttvxtx0d0)()(位移位移若若ax 是常量是常量a(勻變速直線運動勻變速直線運動)，得，得 tavtvx 0)(20021)(attvxtx 兩式中消去兩式中消去 t )(202022xxavv ttxxttavtv0d)()(0 ttxttvxtx0d)()(0勻速

23、和勻變速直線運動特點勻速和勻變速直線運動特點例例1 將真空長直管沿豎直方向放置將真空長直管沿豎直方向放置.自其中自其中O點向上點向上拋小球，在小球運動過程中經(jīng)過比拋小球，在小球運動過程中經(jīng)過比O點高點高h處?，F(xiàn)測處?，F(xiàn)測得小球離開得小球離開h處至又回到處至又回到h處所用時間為處所用時間為T1，從拋出，從拋出點又落至原處所用的時間為點又落至原處所用的時間為T2. 試決定重力加速度試決定重力加速度g.（1）已知運動方程求其他物理量已知運動方程求其他物理量直線運動舉例直線運動舉例（很重要）（很重要）解解tOy1T2Th建坐標(biāo)系如圖建坐標(biāo)系如圖, 121020 gttvy 3210020 gttv 由

24、（由（3）可得）可得21228TThg 221020 gttvh 由（由（2）可得）可得 Tgghvtt42212012 5 Tgvtt20122 由（由（4）（）（5）可得）可得例例2 設(shè)某云室中作直線運動的帶電粒子的運動方程設(shè)某云室中作直線運動的帶電粒子的運動方程為為 并在帶電離子進入云室時開始計并在帶電離子進入云室時開始計時，試描述該離子的運動情況時，試描述該離子的運動情況.tCCx e21解解tCCx e21tCtxv edd2vCtvat edd22離子的初始狀態(tài)為離子的初始狀態(tài)為 210CCx 20Cv 220 Ca 離子的最終狀態(tài)為：離子的最終狀態(tài)為： 1Cx 0 v0 a20C

25、xx 例例題題3 一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿 x 軸作直線運動，其位置與時間的關(guān)軸作直線運動，其位置與時間的關(guān)系為系為 x = 10 + 8 t 4 t2 (單位單位m,s), 求：求：（1）質(zhì)點在第一秒、第二秒內(nèi)的平均速度）質(zhì)點在第一秒、第二秒內(nèi)的平均速度.（2）質(zhì)點在）質(zhì)點在t = 0、1、2s末時的速度和加速度末時的速度和加速度.解解)(10040810) 0(2mx 24810ttx )(14141810) 1 (2mx )(10242810) 2(2mx )( 41014) 10(mx )( 41410)21 (mx ttxvx88 dd smdd/8 tvaxx（1）sm 4)10()10(

26、 txv sm 4)21()21( txv軸正方向軸正方向方向沿方向沿 x 軸負方向軸負方向方向沿方向沿 x )/(8088)0(smv 0188) 1 ( v )/(8288)2(smv . 軸軸正正方方向向方方向向沿沿 x.軸軸負負方方向向方方向向沿沿 x ttxvx88 dd smdd/8 tvaxx（2）質(zhì)點在）質(zhì)點在t = 1、2s末時的速度和加速度末時的速度和加速度. smdd/8)0( tvax smdd/8) 1 ( tvax smdd/8)2( tvax.軸軸負負方方向向方方向向沿沿 x 例例1 一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x軸作直線運動，其軸作直線運動，其v-t 曲線如圖所曲線如圖所示

27、，如示，如t = 0時，質(zhì)點位于坐標(biāo)原點，求：時，質(zhì)點位于坐標(biāo)原點，求：t=4s 時，時，質(zhì)點在質(zhì)點在x軸上的位置。軸上的位置。實際上可以用求面積的方法實際上可以用求面積的方法. .m 5 . 2 2m1)5 . 15 . 0(2m2) 15 . 2( x 解解 v/(ms-1)t/s-1 2123410（2）已知速度求其他物理量已知速度求其他物理量例例1 一質(zhì)點由靜止開始作直線運動，初始加速度為一質(zhì)點由靜止開始作直線運動，初始加速度為a0，以后加速度以后加速度均勻均勻增加，每經(jīng)過時間增加，每經(jīng)過時間后增到后增到2a0，求經(jīng)過時，求經(jīng)過時間間 t s后質(zhì)點的速度和運動的距離后質(zhì)點的速度和運動的

28、距離.（靜止時開始計時，質(zhì)（靜止時開始計時，質(zhì)點所在位置為坐標(biāo)原點）點所在位置為坐標(biāo)原點）taaa00 解解 據(jù)題意知，加速度和時間的關(guān)系為據(jù)題意知，加速度和時間的關(guān)系為 ttttaatav000)(dd0txvdd tavtvadd dd 2002tata tvxdd ttatatvtxtddt0)2(0)(0200 302062tata （3）已知加速度求其他物理量已知加速度求其他物理量例例2跳水運動員自跳水運動員自10m跳臺自由下落，入水后地球?qū)μ_自由下落，入水后地球?qū)λ奈退母×ψ饔孟嗟窒?，僅受水的阻礙而減他的吸引和水的浮力作用相抵消，僅受水的阻礙而減速，自水面向下取速，自水面

29、向下取Oy軸，其加速度為軸，其加速度為 ， vy 為速度，為速度，k=0.4m-1. 求：求：（1）入水后運動員速度與時間的之間的關(guān)系）入水后運動員速度與時間的之間的關(guān)系.（2）運動員速度減為入水速度的）運動員速度減為入水速度的1/10 時，運動員入水時，運動員入水 深度深度.2yykva 2ddyykvtv tkvvyydd2 解解(1)設(shè)運動員為質(zhì)點，至水面之速度為設(shè)運動員為質(zhì)點，至水面之速度為v0 0根據(jù)已知條件有根據(jù)已知條件有 ktvvy 011 100 tkvvvy tvvtkvvy02dd0可見運動員可見運動員速度隨時間減小速度隨時間減小且當(dāng)且當(dāng) t 時，速度變?yōu)榱銜r，速度變?yōu)榱?

30、sm14sm108 . 9220 ghvk=0.4m-1 114/14 . 0 tvy2yykva 2=ddyykvtvyvvtyyvtvyyyydd=dddd=dd)(yvvyy=(2)2yykva yykvyv=ddykvvyyd=dkyyCve=C為積分常數(shù)為積分常數(shù).引入初始條件引入初始條件時時0 y得得kyyevv 00vvy 設(shè)設(shè)10/0vvy ，將，將1m4 . 0 k代入此式，得代入此式，得m 76. 5 y1. 拋體運動的特點拋體運動的特點tvadd tavdd tttvvtgtav00)(0dddxy0vO（x,y） 3 拋體運動拋體運動 t gvtv 0)(拋體運動是勻變

31、速運動拋體運動是勻變速運動jviv j gtvi v j gtj vi vtvyx )sin(cos)sincos()(0000在平面直角坐標(biāo)系中，無空氣阻力在平面直角坐標(biāo)系中，無空氣阻力,拋體運動拋體運動可看成可看成x方向方向的勻速直線運動的勻速直線運動與與y方向的勻變速直線運動的疊加。方向的勻變速直線運動的疊加。gtvv vv yx sincos00當(dāng)物體同時參與兩個或多個運動時，其當(dāng)物體同時參與兩個或多個運動時，其總的運動是各個運動的合成總的運動是各個運動的合成,我們稱之為我們稱之為運動疊加原理運動疊加原理 xy0vO（x,y） 220121t gr tvr 212000021)()(r

32、rt gtvtt gvtvtrtt d(t)d0v 10tv20tvtv0)(1tr)(tr)(2tr2121t g221gt2221gtyx拋體運動又可看成沿初速度拋體運動又可看成沿初速度方向的勻速直線運動和豎直方向的勻速直線運動和豎直向下的自由落體運動合成向下的自由落體運動合成2. 拋體運動的運動方程拋體運動的運動方程 xy0vO（x,y） tvx cos02021singttvy j yi xj gtt vi t vt j gtvi vttvtrtt )21sin(cos)sin(cos)(2000000d)d(軌道方程軌道方程2220cos2xvgtgxy 射高射高gvy2/)sin(

33、20max 射程射程gvx/2sin20max j gtvi v tv)sin(cos)(00 )(ddtvttr )(ttvtr)d(d )(例題例題如圖，大炮向小山上的目標(biāo)開火，如圖，大炮向小山上的目標(biāo)開火，山坡與地平線的夾角為山坡與地平線的夾角為 ，試求發(fā)射角試求發(fā)射角為多大時炮彈沿山坡射得最遠？為多大時炮彈沿山坡射得最遠？建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示. .設(shè)炮彈落于坡上距設(shè)炮彈落于坡上距O為為s 位位置處，有置處，有,cossx sinsy 0vyOs0 x聯(lián)立以上四個方程可得聯(lián)立以上四個方程可得s炮彈的運動方程為炮彈的運動方程為2000021)sin()cos(gttvy t

34、vx 20020cos)sin(cos2cosgvxs 解解, 00 dds令令240 則則220maxcos)sin1 (gvs 4 自然坐標(biāo)自然坐標(biāo)切向和法向加速度切向和法向加速度（1）僅質(zhì)點軌跡）僅質(zhì)點軌跡y=y(x)已知，無法研究質(zhì)點的運動。已知，無法研究質(zhì)點的運動。（2）質(zhì)點的）質(zhì)點的軌跡方程軌跡方程y=y(x)已知，且關(guān)于時間已知，且關(guān)于時間t參數(shù)方程參數(shù)方程清楚，清楚，或者質(zhì)點的運動方程或者質(zhì)點的運動方程x(t)、y(t)均為已知，在平面直均為已知，在平面直角坐標(biāo)系中研究質(zhì)點運動是非常方便的。角坐標(biāo)系中研究質(zhì)點運動是非常方便的。（3）質(zhì)點的軌跡）質(zhì)點的軌跡y=y(x)已知，且已知

35、，且s=s(t)已知，在直角坐標(biāo)已知，在直角坐標(biāo)系中很難描述質(zhì)點的運動，為了解決這個問題，我們通常系中很難描述質(zhì)點的運動，為了解決這個問題，我們通常采用采用自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系來研究質(zhì)點的運動。來研究質(zhì)點的運動。 rO 0 s0 sO1 自然坐標(biāo)（平面）自然坐標(biāo)（平面） 選擇軌跡上一點選擇軌跡上一點 為為“原點原點”，并用由原點并用由原點 至質(zhì)點位置的弧至質(zhì)點位置的弧長長s作為質(zhì)點的位置坐標(biāo)，坐作為質(zhì)點的位置坐標(biāo)，坐標(biāo)增加的方向人為規(guī)定。若質(zhì)標(biāo)增加的方向人為規(guī)定。若質(zhì)點在一平面內(nèi)運動，弧長點在一平面內(nèi)運動，弧長s叫叫作作平面自然坐標(biāo)。（平面自然坐標(biāo)。（s有正負有正負之分，一般規(guī)定之分，一般規(guī)定

36、質(zhì)點前進的方質(zhì)點前進的方向為自然坐標(biāo)增加的方向向為自然坐標(biāo)增加的方向）O O )(tss 在平面自然坐標(biāo)中，質(zhì)點在平面自然坐標(biāo)中，質(zhì)點的運動方程可寫成的運動方程可寫成為了便于在自然坐標(biāo)系中為了便于在自然坐標(biāo)系中對矢量進行分解，引進兩對矢量進行分解，引進兩個相互正交的單位矢量個相互正交的單位矢量Atene切向單位矢量切向單位矢量法向單位矢量法向單位矢量nete2 曲線運動的曲線運動的速度和加速度矢量表示速度和加速度矢量表示ttetsevvddt速度矢量速度矢量加速度矢量加速度矢量 rO 0 s0 sOAtenetevetvtvattttdd+dd=dd=以圓周運動為例討論上式中后面一項的物理意義

37、以圓周運動為例討論上式中后面一項的物理意義加速度的切向分量，也可能是切向分量之一加速度的切向分量，也可能是切向分量之一物理意義是什么？物理意義是什么？設(shè)逆時針方向為設(shè)逆時針方向為s的正方向，質(zhì)點運動方向也是沿逆時針的正方向，質(zhì)點運動方向也是沿逆時針nte ed=dntnnnteRvetsRetRRette=dd1=dd=dd=dd如圖，質(zhì)點在如圖，質(zhì)點在dt 時間內(nèi)經(jīng)歷弧長時間內(nèi)經(jīng)歷弧長ds，對應(yīng)于角位移，對應(yīng)于角位移d ，切線的方向改變，切線的方向改變d 角度。角度。作出作出dt始末時刻的切向單位矢，由始末時刻的切向單位矢，由矢量三角形法則可求出極限情況矢量三角形法則可求出極限情況下切向單位

38、矢的增量下切向單位矢的增量ted即即 與與P點的切向正交。因此點的切向正交。因此tevetvattttdd+dd=tePtted+od dsneQtePtedd tted+nttteRvetva2+dd=oneteP即圓周運動的加速度可分解為兩即圓周運動的加速度可分解為兩個正交分量：個正交分量：nttteRvetva2 ddnntteaeaa Rva tvatntt2 ddntaaa at 稱切向加速度，其大小表示質(zhì)點速率變化的快慢；稱切向加速度，其大小表示質(zhì)點速率變化的快慢；an稱法向加速度，其大小反映質(zhì)點速度方向變化的快慢；稱法向加速度，其大小反映質(zhì)點速度方向變化的快慢；a稱總的加速度，其

39、大小反映質(zhì)點速度變化的快慢稱總的加速度，其大小反映質(zhì)點速度變化的快慢。tnaa tananata 上述加速度表達式對任何平面曲線運動都適用，但式上述加速度表達式對任何平面曲線運動都適用，但式中半徑中半徑R 要用曲率半徑要用曲率半徑 代替。代替。nttteRvetva2+dd=22222222221dd tsRtsRvtvaaattntddddtsvtdd ntttevetva2 dd 注意：注意： （1）在自然坐標(biāo)系中，盡管加速度的表達式可表示為）在自然坐標(biāo)系中，盡管加速度的表達式可表示為 但下列關(guān)于加速度的表示式依然成立但下列關(guān)于加速度的表示式依然成立ntttevetva2 ddnttteR

40、vetvtvtra22 dddddd2ntttevetvtvtra22 dddddd2這為求曲線的這為求曲線的曲率半徑提供曲率半徑提供了一種方法了一種方法 （2）求解曲線運動加速度時，若弧長關(guān)于時間的函數(shù)）求解曲線運動加速度時，若弧長關(guān)于時間的函數(shù)已知，則采取自然坐標(biāo)求解，若質(zhì)點空間直角坐標(biāo)關(guān)已知，則采取自然坐標(biāo)求解，若質(zhì)點空間直角坐標(biāo)關(guān)于時間的函數(shù)已知，則采取直角坐標(biāo)求解。于時間的函數(shù)已知，則采取直角坐標(biāo)求解。例題例題1 汽車在半徑為汽車在半徑為200m的圓弧形公路上剎車，剎車的圓弧形公路上剎車，剎車開始階段的運動學(xué)方程為開始階段的運動學(xué)方程為 (單位：單位：m，s).ttvatt2 . 1

41、 dd32 . 020tts 26 . 020ttsvt dd解解 求汽車在求汽車在t=1s時的加速度時的加速度.nntteaeaa RtRvatn222)6 . 020( 將將R=200m及及t1s代入代入)2 . 112 . 12s(m ta2sm88. 1200)16 . 020(22 na)23. 2)88. 1 ()2 . 1(22222s(m ntaaa57. 1tan tnaa 5 .122為加速度與為加速度與 的夾角的夾角. te例題例題2低速迫擊炮彈以發(fā)射角低速迫擊炮彈以發(fā)射角45發(fā)射發(fā)射, 其初速率其初速率v0=90m/s.在與發(fā)射點同一水平面上落地在與發(fā)射點同一水平面上落

42、地.不計空氣阻力不計空氣阻力,求炮彈在最高點和落地點其運動軌跡的曲率半徑求炮彈在最高點和落地點其運動軌跡的曲率半徑.解解將炮彈視為質(zhì)點將炮彈視為質(zhì)點,不計空氣阻力不計空氣阻力. 在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系O-xy中中,炮彈運動的速度與加速度為炮彈運動的速度與加速度為(1)在最高點在最高點jgtvivv)sin(cos 00j gga gan cos0vvvxt m.m.)()cos(n gvav34138922902202 nntteaea tanaxyovga 0vvt mm.n1169228990222202 gvavttevv0 tanaxyoga v(2)在落地點在落地點 nntteae

43、aj ga 013545 coscosntaagaatn 135135coscos22gaatn 質(zhì)點運動方向為自然坐標(biāo)增加的方向質(zhì)點運動方向為自然坐標(biāo)增加的方向例題例題3 由樓窗口以水平初速度由樓窗口以水平初速度v0射出一發(fā)子彈，取槍口射出一發(fā)子彈，取槍口為原點，沿為原點，沿v0為為x軸，豎直向下為軸，豎直向下為y軸，并取發(fā)射時軸，并取發(fā)射時t = 0.試求：試求：(1)子彈在任一時刻子彈在任一時刻t 的位置坐標(biāo)及軌道方程；的位置坐標(biāo)及軌道方程；(2)子彈在子彈在t 時刻的速度，切向加速度和法向加速度時刻的速度，切向加速度和法向加速度；(3)子彈在子彈在t 時刻時刻的位置所對應(yīng)的曲率半徑。的

44、位置所對應(yīng)的曲率半徑。tvx0 解解20221vgxy 221gty (1)yxO0v),(yx(2)gtvvvyx 0222022tgvvvvyx dd22202tgvtgtvat 2220022tgvgvagatn 0vgtarctanyxO0v natag(3)02322202220022202gvtgvtgvgvtgvavn)(/ 1 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 如圖，極點如圖，極點O，極軸極軸Ox.P(r, ) ererOx幅角幅角 ，規(guī)定自極軸逆時轉(zhuǎn)，規(guī)定自極軸逆時轉(zhuǎn) 為正，反之為負為正，反之為負.r表示位矢的大小表示位矢的大小(極點與參考點重合極點與參考點重合) 、 不是常矢量不是常矢量r

45、e e徑向單位矢量徑向單位矢量 re橫向單位矢量橫向單位矢量 e5 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系徑向速度與橫向速度徑向速度與橫向速度 質(zhì)點的極坐標(biāo)質(zhì)點的極坐標(biāo)(r, ).為了便于在自然坐標(biāo)系中對矢量進行分解，引進兩個為了便于在自然坐標(biāo)系中對矢量進行分解，引進兩個相互正交的單位矢量相互正交的單位矢量)( )( ttrr 運動學(xué)方程運動學(xué)方程)(rr 軌道方程軌道方程)( )(tyytxx 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系0 ),(y xfrerr 位置矢量位置矢量jtyitxr)()( P(r, ) ererOxOPrxy ixi y 位移在極坐標(biāo)系中的表示位移在極坐標(biāo)系中的表示 rerr 21

46、rrr 橫向位移橫向位移 徑向位移徑向位移 位移：位移：2 位移位移速度速度加速度在極坐標(biāo)系中的表示加速度在極坐標(biāo)系中的表示 很小時很小時terr 1rerr2 re eO )(ttr B)(trA x re eC2r 1r r OA=OC ererrrrr 21etretrrdddd evevrr etretrtrvtrtt000 limlimlim 速度在極坐標(biāo)系中的表示速度在極坐標(biāo)系中的表示 vvr rrerv erv 徑向速度徑向速度 橫向速度橫向速度 re eO )(tr)(ttr CAB2r 1r r x re eererrrrr 21ererr rvr rv 速度徑向分量速度徑向

47、分量速度橫向分量速度橫向分量 加速度在極坐標(biāo)系中的表示加速度在極坐標(biāo)系中的表示 erervr err e rerervarr )()( )()(e rererr erarr re eO )(tr)(ttr CAB2r 1r r x re ee erdd e er re e-dd re e- err errar )()-(22 加速度中各項的物理意義是什么？加速度中各項的物理意義是什么？（自己分析或者查閱文獻獲得）（自己分析或者查閱文獻獲得）ttdd6 伽利略時空變換伽利略時空變換 1 伽利略坐標(biāo)變換伽利略坐標(biāo)變換設(shè)設(shè)O為基本參考系（為基本參考系（相對于地面不動相對于地面不動）參考點）參考點,O

48、為為運動參考系參考點運動參考系參考點 O x z yOxyz設(shè)設(shè) 相對相對O以速度以速度 沿某方向沿某方向作勻速直線運動作勻速直線運動 vO 重重合合與與 OOtt ;0質(zhì)點在空間運動質(zhì)點在空間運動, 某時刻位于某時刻位于P點點 pOrrr t vt vrO Orrr Orrr Orrr Orrr Orrr Orrr t vt vrO ttzzyytvxxx ttzzyytvxxx OO OO tttvzztvyytvxxzyx 設(shè)設(shè) 相對相對O以速度以速度 沿沿x軸方向作勻速直線運動軸方向作勻速直線運動 vO Orrr Orrr Orrr t vt vrO 相對相對O以速度以速度 沿沿x軸正

49、方向作勻速直線運動，軸正方向作勻速直線運動，vx=vvO 相對相對O以速度以速度 沿沿x軸負方向作勻速直線運動，軸負方向作勻速直線運動，vx= vvO 2 伽利略速度變換伽利略速度變換絕對運動：絕對運動：物體相對物體相對基本基本參考系的運動參考系的運動. 相對運動：相對運動：物體相對物體相對動動參考系的運動參考系的運動. trvOdd 牽牽連連牽連速度牽連速度 trvdd 絕絕對對trv dd相相對對絕對速度絕對速度 相對速度相對速度 牽連牽連相對相對絕對絕對vvv 牽連運動：牽連運動： 相對相對O的運動的運動. O dtrdt drddtrddtrddtrdOO OOOOvvv對對物對物對物對物對 Orrr Orrr Orrr O x z yOxyzpOrrr 例