積分的對稱性

1、積分的對稱性積分的對稱性定積分的對稱性定積分的對稱性二重積分的對稱性二重積分的對稱性 利用對稱性來簡化重積分的計(jì)算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡化定積分的計(jì)算是一樣的，不過重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，不可誤用 DdxdyyxfI),(若D關(guān)于 x 軸對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1 (yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若D關(guān)于 y 軸對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1 (yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(yxfyxf 1),(2DdxdyyxfI 0,),( )

2、,(1 xDyxyxD若D關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1(yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD 奇函數(shù)關(guān)于對稱域的積分等于0，偶函數(shù)關(guān)于對稱域的積分等于對稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì)、簡單地說就是三重積分的對稱性使用對稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性 一一般般地地，當(dāng)當(dāng)積積分分區(qū)區(qū)域域 關(guān)關(guān)于于xoy平平面面對對稱稱，且且被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的奇奇函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分

3、為為零零，若若被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的偶偶函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為 在在xoy平平面面上上方方的的半半個(gè)個(gè)閉閉區(qū)區(qū)域域的的三三重重積積分分的的兩兩倍倍. dvzyxfI),(對對 若若關(guān)于 xoy 面對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)) ,(),()1(zyxfzyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(zyxfzyxf 1),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(1 zzyxzyx 若若關(guān)于 xoz 面對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()1(zyxfzyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(zyxfzyxf 2),(2 dvzyxfI )0,( | ),(2 yzyxzyx 若若關(guān)于

4、yoz 面對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()1(zyxfzyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(zyxfzyxf 3),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(3 xzyxzyx 若 L 關(guān)于 y 軸對稱 Ldsyxf),(對對 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),() 1 (時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) LLdsyxfdsyxfyxfyxf1),(2),(),(),()2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對弧長的曲線積分的對稱性對弧長的曲線積分的對稱性其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段 0,),( | ),(1 xLyxyxL若L關(guān)于 x 軸對稱 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) LLdsyxf

5、dsyxfyxfyxf2),(2),(),(),()2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)其中L2 是L 的關(guān)于x 軸對稱的部分弧段 0,),( | ),(2 yLyxyxL若 L 關(guān)于 原點(diǎn) 對稱 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) LLdsyxfdsyxfyxfyxf3),(2),(),(),()2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)其中 L3 是 L 的對稱的部分弧段 00,),( | ),(3 yxLyxyxL與重積分的對稱性十分類似對面積的曲面積分有類似與三重積分的對稱性對面積的曲面積分有類似與三重積分的對稱性 設(shè)設(shè)對稱于對稱于xoy （或（或yoz ，或，或 zox ）坐標(biāo)面）坐標(biāo)面若若 f（x , y , z ) 關(guān)于關(guān)于z（或（或 x ，或，或 y ）是奇函數(shù)）是奇函數(shù) 0),(dSzyxf則則若若 f（x , y , z ) 關(guān)于關(guān)于z（或（或 x ，或，或 y ）是偶函