漫談數(shù)學的兩重性

1、漫談數(shù)學的兩重性摘要：數(shù)學在人類文明的進程中發(fā)揮了巨大的作用，人類對數(shù)學本質(zhì)的認識隨著數(shù)學的發(fā)展也應該是多視角的。通過對數(shù)學多個側(cè)面的考察分析，揭示了數(shù)學在不同方面都折射出兩重性的特點：數(shù)學是演繹的科學，也是歸納的事實；數(shù)學的真理性和數(shù)學基礎(chǔ)中存在著裂縫；數(shù)學是工具，也是文化；數(shù)學是發(fā)現(xiàn)的，也是發(fā)明的；數(shù)學是抽象的，也是直觀的。關(guān)鍵詞：數(shù)學 演繹 歸納 真理 文化 發(fā)現(xiàn) 發(fā)明 抽象 直觀數(shù)學在人類社會的歷史演化中發(fā)揮著巨大的作用，數(shù)學是人類思維智慧的結(jié)晶，是人類文化和文明的思想瑰寶。數(shù)學理論的形成過程，就是人類對科學真理不斷探索和追求的過程。巴爾扎克曾經(jīng)說過，沒有數(shù)學，我們整個文明大廈將坍塌成

2、碎片。數(shù)學作為人類心靈最崇高和獨特的作品，永恒矗立在人類理性發(fā)展的巔峰之上。人類對數(shù)學本質(zhì)的認識隨著數(shù)學的發(fā)展與時俱進。關(guān)于數(shù)學的定義，最為引人注目的有兩個，一個是恩格斯在十九世紀給出的：數(shù)學是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。一個是數(shù)學的當代定義：數(shù)學是關(guān)于模式和秩序的科學。前一個直觀，后一個抽象，人們對此見仁見智。我們認為，這兩個定義的觀點是一種繼承關(guān)系，是數(shù)學發(fā)展歷史積淀的必然結(jié)果。前者反映了數(shù)學的本源，后者是從數(shù)學的抽象過程和抽象結(jié)構(gòu)方面對數(shù)學本質(zhì)特征的闡釋，反映了數(shù)學發(fā)展的當代水平。美國著名數(shù)學家柯朗（CourantR）在數(shù)學是什么中揭示了數(shù)學具有兩重性的特點。他寫道：“數(shù)學作為

3、人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)耐评砗蛯ν昝谰辰绲淖非?。它的基本要素是邏輯和直覺、分析和推理、一般性和特殊性。雖然不同的流派各自強調(diào)數(shù)學不同的側(cè)面，然而，正是這些相互對立的側(cè)面之間相互滲透和相互辨析，才構(gòu)成了數(shù)學科學的生命力、實用性和崇高價值。” 因此，對數(shù)學的兩重性，我們應該有一個深入的了解。一、數(shù)學是演繹的，也是歸納的一般說來，人們認識客觀世界的方式有兩種，一是由認識個別的、特殊的事物，進而認識一般的事物，這種認識方法稱為歸納法。一是由認識一般的事物，過渡到認識特殊、個別的事物，這種認識方法稱為演繹法。認識的深化，是在歸納和演繹的交替過程中實現(xiàn)的。歸納把對許多事物的

4、特殊屬性的認識發(fā)展為對于一類事物的共同屬性的認識。演繹把從歸納得出的一般結(jié)論作為依據(jù)，去研究其它個別事物的特性。因此，歸納是演繹的基礎(chǔ)，而演繹是歸納的深化。美國的數(shù)學教育家波利亞（PólyaG）曾精辟地指出：“數(shù)學有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里德式的嚴謹科學，從這個方面看，數(shù)學是一門系統(tǒng)的演繹科學。另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學，卻像是一門試驗性的歸納科學?！?美國數(shù)學家馮·諾依曼（Von NeumannJ）認為，數(shù)學的本質(zhì)具有兩個側(cè)面，就是數(shù)學理論的抽象性、嚴謹性和形式化與數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中的直觀性、經(jīng)驗性和歸納性。幾何原本是數(shù)學發(fā)展史上的第一座理論豐碑。歐幾里得(Euclidea

5、n)將原有的數(shù)學知識進行梳理提煉，把理論的起點建立在人們的直覺上，找出少數(shù)最直觀的原始概念和公設(shè)、公理，借助人類思維的先進邏輯推理模式，逐條推演出以后的命題，采用演繹法的體系建構(gòu)了平面幾何理論，從而確立了公理化思想，確立了演繹推理的范式。人們對數(shù)學演繹體系的推崇，表達了對科學理論方法的絕對信服。數(shù)學從此步入發(fā)展的坦途。公理體系使得數(shù)學具有鮮明的學科特點，清晰的邏輯起點，明確的概念，正確的判斷。是演繹推理使得數(shù)學內(nèi)容條理清晰，基礎(chǔ)敦實，結(jié)論正確，因而顯示出巨大的力量。演繹可以引導歸納，當演繹推理出現(xiàn)阻礙時，就是向歸納提出問題，促使歸納超越模糊、零散和殘缺。然而，由邏輯演繹構(gòu)筑起的理論體系制約著思

6、維的自由，因為體系里面多是同語反復，只能環(huán)流，不能前進。這就是歐式幾何理論成為長期制約非歐幾何產(chǎn)生的藩籬的重要原因。由此看出，邏輯演繹的主要功能不是發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，而是架構(gòu)基本概念、基本運算和基本命題之間的必然聯(lián)系。邏輯演繹擅長的是檢驗這些聯(lián)系之間的途徑是否有效，卻難以確定通往正確方向的途徑，因為確定通往正確方向的途徑是需要做出選擇的，而這恰恰是歸納法之所長。用公理化思想呈現(xiàn)出的數(shù)學理論，實際上也不是邏輯演繹的一統(tǒng)天下，其中的原始概念就是歸納的結(jié)果。甚至邏輯推理本身也不能說就完全是演繹的，它的發(fā)展路徑是需要選擇的，這只能靠歸納法來完成。如果沒有歸納法的參與，演繹法將寸步難行。另外，數(shù)學中的公理是

7、不能用演繹法證明的，它是基于數(shù)學家的觀念歸納出來的。演繹法所用的形式邏輯也是不能用演繹法證明的，它是基于人類思維經(jīng)驗的積淀和哲學信念的選擇。由此看來，演繹法的過程須臾也離不開歸納，更不要說數(shù)學里的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造了。費爾馬大定理是在1637年由法國數(shù)學家費爾馬(Pierre de Fermat)提出的一個猜想。在猜想提出以后的三百多年里，一批天才的數(shù)學家都在研究它，盡管他們都是演繹推理的大師，也認識到要徹底解決這個難題是需要特殊理論工具的，但是苦于找不到這個工具，或者這個工具當時就沒有誕生，所有嘗試去證明它的努力都付諸東流。英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯(Andrew J. Wiles)自小就立

8、志要證明費爾馬大定理。恰恰是他認識到谷山志村猜想與費爾馬大定理之間的聯(lián)系是突破這個難題的關(guān)鍵，而且選擇了他非常熟悉的有理數(shù)域上的橢圓曲線理論作為工具， 在1994年攻克了這個數(shù)學難題。他說“那是1986年夏末的一個傍晚，我正在一個朋友家中飲茶。談話間他隨意告訴我，肯·里貝特已經(jīng)揭示了谷山-志村猜想與費爾馬大定理之間的聯(lián)系。我感到極大的震動。我記得那個時刻，那個改變我生命歷程的時刻，因為這意味著為了證明費爾馬大定理，我必須做的一切就是證明谷山志村猜想?！庇纱丝梢?，懷爾斯找到實現(xiàn)他童年夢想的道路首先應該取決于歸納法。我們在完成對一個數(shù)學問題的證明和計算之前，往往是通過歸納推理建立猜想，探

9、究證明的途徑和計算的程序，形成較為成熟的思路，而后才用演繹法把它呈現(xiàn)出來。歸納法通過試驗、觀察和聯(lián)想，總能得到有別于邏輯的判斷，因此，歸納法成為人們探索和發(fā)現(xiàn)真理的主要工具。要創(chuàng)造新的數(shù)學領(lǐng)域，就要有新的觀念，開拓新的領(lǐng)域，創(chuàng)立新的方法，提出新的概念。在這些方面，演繹法都是望塵莫及的，試驗、類比、觀察、推廣、概括、檢驗等歸納方法卻起著不可替代的作用。坐標系的建立，集合論的發(fā)現(xiàn)，微積分的確立等幾乎所有數(shù)學里程碑的矗立，無一不是歸納的結(jié)果。如此看來，歸納法是數(shù)學理論的助產(chǎn)士，它不僅不會影響數(shù)學的嚴謹性，而且還增強了人們對數(shù)學嚴謹性的信心，使人們對數(shù)學的無矛盾性深信不疑。歸納是演繹的基礎(chǔ)，演繹是歸納

10、的升華。歸納與演繹是人類認識世界的兩個基本方法，他們相互影響，相互補充，相得益彰。例如，在證明恒等式=，可以將x的三個特殊值代入進行檢驗，如果等號都成立，就能肯定它是恒等式。這是歸納法。那么為什么只用三個特殊值就能證明這個恒等式呢？這就需要用演繹法證明，因為二次方程最多只有兩個根。在這個具體問題上，演繹法支持了歸納法，演繹法證明了歸納法的有效性。中國古代的數(shù)學不可謂不發(fā)達，但是卻只是停留在歸納的層次上，沒有出現(xiàn)像歐幾里德幾何原本那樣嚴密邏輯演繹的著作。歷史告訴我們，沒有邏輯演繹是可以有數(shù)學的，沒有歸納法就一定不會有數(shù)學。但是沒有邏輯演繹不會有成熟的數(shù)學。中國古代的數(shù)學沒有形成理論系統(tǒng)，就是因為

11、中國沒有邏輯演繹的傳統(tǒng)。在數(shù)學發(fā)展的歷史上，應該說歸納法是居于主導地位的，演繹則居于主體地位，它們共同組成了數(shù)學騰飛的雙翼。中學數(shù)學作為數(shù)學的基礎(chǔ)，當然兼具歸納和演繹的特征，我們在數(shù)學教學中既要培養(yǎng)學生演繹思維的縝密，又要培養(yǎng)學生觀察、歸納、類比、聯(lián)想、推廣、猜想、實驗等合情推理的思維習慣，在教證明之前，先教好猜想。在數(shù)學教材中，對知識的呈現(xiàn)形式大多都采用演繹的方式。我們的教師在做教學設(shè)計時，要根據(jù)學生的認知特點，大多情況下，都有必要將數(shù)學知識的呈現(xiàn)形式改造成歸納的方式，以利于激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)新能力。數(shù)學教學的功夫要用在研究歸納法的教學上，當然，這樣做決不能以淡化演繹法的教學做交換。二、

12、數(shù)學的真理性和數(shù)學基礎(chǔ)中的裂縫數(shù)學作為一門邏輯嚴密的科學，雖然都認為它是數(shù)學家心智自由的創(chuàng)造物，但是還沒有任何一位嚴肅的自然科學家提出，數(shù)學的真理性必須經(jīng)過實踐的檢驗后，才能應用于其它科學領(lǐng)域。這不僅僅是因為數(shù)學植根于客觀世界，深刻揭示了客觀世界的必然規(guī)律，極大地推動了科學技術(shù)的進步。還因為數(shù)學理論是建立在邏輯的基礎(chǔ)之上，根據(jù)邏輯規(guī)則進行演繹推理，形成了抽象的形式。邏輯是人類公認的對客觀世界進行思維的正確方法和理論，數(shù)學中所反映的抽象結(jié)構(gòu)、秩序和變化，是客觀世界里最基本的概念和最本質(zhì)的關(guān)系。所以，數(shù)學的本質(zhì)具備了客觀性和真理性。但是，數(shù)學自身并沒有孤芳自賞，數(shù)學從來不忌諱自身的瑕疵。二十世紀初

13、，巍然屹立的數(shù)學大廈的基礎(chǔ)陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了裂縫，最著名的就是羅素（Russell）悖論。于是，數(shù)學家們開始關(guān)注和審視數(shù)學基礎(chǔ)的問題。德國數(shù)學家康托（Cantor）在十九世紀下半葉創(chuàng)立了集合論，初期曾經(jīng)遭到一些數(shù)學家的詰難。但是也有一些數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)和康托集合論出發(fā)，可能建立起數(shù)學理論的大廈。在1900年的國際數(shù)學家大會上，法國數(shù)學家龐加萊(Jules Henri Poincaré)就宣稱：“借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學大廈。今天，我們可以說絕對的邏輯嚴密性已經(jīng)達到了”。 德國數(shù)學家希爾伯特(David Hilbert）一直堅信“人類理性提出的問題，人類的理性一定能夠回答”的

14、理念，他在大會上提出了二十三個數(shù)學問題，其中第二個就是關(guān)于確立數(shù)學體系的協(xié)調(diào)性，即無矛盾性。然而，僅僅過了三年，英國數(shù)學家羅素就在集合論里發(fā)現(xiàn)了漏洞，提出了羅素悖論。所有集合可以分為兩類：第一類的集合以其自身為元素，即P=AAA，第二類的集合不以自身為元素，Q=AAA。顯然PQ=。那么，集合Q作為元素，應該屬于P 呢？還是 屬于Q呢？ 若QP，那么根據(jù)第一類集合的定義，必有QQ，引出矛盾。若QQ，根據(jù)第二類集合的定義，QQ，還是矛盾。羅素悖論被通俗地稱為理發(fā)師悖論。某個城市里有一位理發(fā)師，他為且僅為城市里所有不給自己刮臉的人刮臉。那么，他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給

15、自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉。如果他給自己刮臉呢，他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。羅素悖論所涉及的只是集合論中最基本的概念和關(guān)系，簡潔明了，卻使集合論產(chǎn)生了悖論，這極大地震動了數(shù)學界。這時，希爾伯特經(jīng)過思考，提出了一個元數(shù)學方案，希望能構(gòu)造一個有關(guān)自然數(shù)的有限公理系統(tǒng)，從若干公理出發(fā)，用邏輯演繹的方法，經(jīng)過有限步驟將系統(tǒng)形式化，以克服悖論給數(shù)學帶來的危機，一勞永逸地消除對數(shù)學基礎(chǔ)以及數(shù)學推理方法真理性的懷疑。繼而建立起實數(shù)和分析的協(xié)調(diào)性方案，最后構(gòu)建整個形式主義的數(shù)學體系。這樣就要求，數(shù)學理論系統(tǒng)要滿足獨立性，還要滿足完備性和協(xié)調(diào)性。獨立性是指系統(tǒng)里的公理之間不能互相推出；

16、完備性是指在系統(tǒng)里，一個命題一定是可以證明或者證偽的；協(xié)調(diào)性是指系統(tǒng)里不能存在矛盾。希爾伯特的想法鼓舞了奧地利數(shù)學家哥德爾 (K.Gödel）。哥德爾 1930年獲得博士學位之后，為了取得在大學的授課資格，必須要做一個數(shù)學研究課題，他就選擇了研究希爾伯特的這個問題。他開始完全是沿著希爾伯特制定的方案路線，首先考慮建立自然數(shù)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，然后再建立實數(shù)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性。然而，歷史卻開了一個玩笑，哥德爾得到的結(jié)論完全出乎意外。他在1931年1月發(fā)表了論數(shù)學原理及有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題（I）一文，向世人宣告了兩個令人驚奇的定理，一舉粉碎了希爾伯特的美麗構(gòu)想，證明了自然數(shù)公理系統(tǒng)的

17、協(xié)調(diào)性不能用有限步驟證明。哥德爾第一不完備定理：任何包含了自然數(shù)的數(shù)學形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，就是不完備的。即一個沒有矛盾的數(shù)學系統(tǒng)里面必定存在不可判定真假的命題。數(shù)學真理原來并不總是可以證明的。希爾伯特希望建立完備性數(shù)學系統(tǒng)的愿望落空了。哥德爾第二不完備定理：任何包含了自然數(shù)的數(shù)學形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，其協(xié)調(diào)性在這個系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。即一個數(shù)學系統(tǒng)里的無矛盾性不能用它自身的理論來證明。希爾伯特希望建立協(xié)調(diào)性數(shù)學系統(tǒng)的愿望也落空了。這兩個定理實際上表明，希爾伯特要構(gòu)建的數(shù)學公理系統(tǒng)要么是不完備的，要么是不協(xié)調(diào)的。它明白無誤地向我們昭示了數(shù)學演繹推理方法的局限性。法國數(shù)學家外爾(Herman

18、n Weyl)由此發(fā)出了幽默的感嘆：“上帝是存在的，因為數(shù)學無疑是協(xié)調(diào)的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種協(xié)調(diào)性?！睌?shù)學能夠發(fā)現(xiàn)和正視自身的局限性，這恰恰表明了數(shù)學已經(jīng)發(fā)展到了非常成熟的階段。不過，要說明的是，不能證明自然數(shù)公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，并不是說這個系統(tǒng)就不是協(xié)調(diào)的，在一個更大的系統(tǒng)里就能證明它。事實上，它就被德國數(shù)學家根茨（G.Gentaen）在1936年使用蘊涵著非演繹邏輯的超限歸納法所證明。只是根茨用以證明自然數(shù)公理系統(tǒng)協(xié)調(diào)性的系統(tǒng)，卻又不能在它自身的系統(tǒng)里得到證明。建立一個協(xié)調(diào)性的數(shù)學公理系統(tǒng)，是數(shù)學家們的美好愿望。策梅洛1904年發(fā)表的論文給出了選擇公理（也稱為策梅洛公理），

19、他在1908年建立了第一個集合論公理系統(tǒng)，給出了外延、空集合、并集合、冪集合、分離、無窮與選擇等公理，A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗又作了改進，增加了替換公理，馮·諾伊曼進一步提出了正則公理，后經(jīng)策梅洛的總結(jié)構(gòu)成了著名的集合論公理系統(tǒng)ZF，形成了公理集合論的主要基礎(chǔ)。 1924年，波蘭數(shù)學家巴拿赫和塔斯基運用選擇公理證明了一個分球怪論：將一個三維實心球分成有限部分，然后通過旋轉(zhuǎn)和平移重新組合，可以得到兩個體積和原來相同的球。 如此違反常識的數(shù)學結(jié)論無疑增加了人們對選擇公理的排斥。人們希望用ZF系統(tǒng)里的其它公理證明選擇公理是錯的，從而把選擇公理排除出去。可是，1940年哥德爾卻出人意

20、料地證明，ZF系統(tǒng)里的其它公理和選擇公理并不矛盾，是彼此相容的。承認選擇公理，就會出現(xiàn)分球怪論。而不承認選擇公理，情況會更糟糕，平均每年會出現(xiàn)一個怪定理，例如連續(xù)函數(shù)會變得不連續(xù)，一個空間會有兩個維數(shù)，不可測集變成了可測集等等。一向被譽為完美無缺的數(shù)學大廈竟存在著如此明顯的矛盾。由此不難知道，人類思維之謎僅靠數(shù)學體系自身的邏輯是無法自圓其說的。 恰恰是數(shù)學家們指出，數(shù)學的理論體系并不就是絕對真理。真理是不懼怕批評和質(zhì)疑的，任何拒絕批評和質(zhì)疑的理論都是偽善的。數(shù)學竟然可以在一片鶯歌燕舞的氛圍里，高舉起自我批判的大旗，審視自身的缺陷，一旦發(fā)現(xiàn)了悖論，并不回避，立刻公布。這該是一種何等寬闊的理論胸襟

21、和高貴的理論品質(zhì)啊！由于數(shù)學自己都在質(zhì)疑自己的邏輯基礎(chǔ)，在數(shù)學教學實踐中，我們就完全沒有必要拘泥于數(shù)學教學形態(tài)的邏輯嚴密性，尤其是現(xiàn)在數(shù)學教材的編寫，已經(jīng)淡化了邏輯線索，每個教學模塊之間的邏輯聯(lián)系也是疏散的。在教學設(shè)計中，不要刻意渲染數(shù)學教學形態(tài)的邏輯嚴密性，重點要放在體現(xiàn)數(shù)學思維的教育價值上，關(guān)注情感態(tài)度價值觀方面的教學，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)并不取決于數(shù)學邏輯的嚴密性。數(shù)學教學的真諦是要體現(xiàn)出讓學生經(jīng)歷感受、體驗和思考的過程，通過自己的觀察、實驗、歸納、類比、概括等活動，建立起對數(shù)學的理解力，經(jīng)歷“數(shù)學化”和“再創(chuàng)造”的數(shù)學思維過程，從根本上掌握數(shù)學的計算和證明方法。 三、數(shù)學是工具，也是文化

22、數(shù)學是科學的仆人，是打開科學之門的鑰匙。這是說數(shù)學是一種技術(shù)，是一個工具。數(shù)學經(jīng)過理論的抽象和概括，形成了獨特的思想方法，在對人類生產(chǎn)生活實踐和科學技術(shù)等方面進行定性描述和定量刻畫中，數(shù)學技術(shù)顯示出了巨大的威力，有著最為廣泛的用途。普及數(shù)學知識，利用和發(fā)展數(shù)學技術(shù)，成為當今世界各個科學領(lǐng)域的一個主題。早在1959年5月，數(shù)學大師華羅庚在大哉數(shù)學之為用的文章中就精辟地提到數(shù)學的各種應用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學的重要貢獻。宇宙空間存在許多有趣的問題，天文科學家利用數(shù)學模擬研究太陽和其它恒星的消亡過程。數(shù)學模型已經(jīng)證實，太陽系在相

23、當長的時間內(nèi)是穩(wěn)定的，至少在10億年內(nèi)不會消亡。太陽消亡的結(jié)果，是演化成一顆白矮星。當代最偉大的物理學家霍金(Stephen Hawking)用數(shù)學研究宇宙的黑洞現(xiàn)象，也取得了舉世矚目的成就。海王星是距太陽系最遠的行星之一，它是在數(shù)學計算的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的。1845年，英國數(shù)學家亞當斯經(jīng)過計算，分析了天王星運動軌道沒有按照數(shù)學規(guī)律分布，進而推斷這是由于其它行星的引力而產(chǎn)生的。他把這個結(jié)果通報給了英國皇家天文臺。天文臺卻將其束之高閣。 1846年，法國數(shù)學家勒威耶也計算出了同樣結(jié)果，而且比較精確地計算出了這顆行星的位置。德國天文臺的伽勒博士按照他的計算結(jié)果，很快就找到了這顆新的行星海王星。

24、0;數(shù)學在軍事方面大有用武之地，第一次世界大戰(zhàn)被稱為化學戰(zhàn)（彈藥），第二次世界大戰(zhàn)被稱為物理戰(zhàn)（原子彈），而海灣戰(zhàn)爭被稱為數(shù)學戰(zhàn)。 1990年海灣戰(zhàn)爭中，伊拉克軍隊點燃了科威特的數(shù)百口油井。這早在美軍的預料之中，戰(zhàn)爭之前就讓美國的太平洋-賽拉研究咨詢公司利用數(shù)學方法進行研究。他們?yōu)榇私⒘四M煙霧流體的數(shù)學模型，利用NS方程計算后得出結(jié)論：油氣燃燒的煙霧將導致重大的污染，但是，還不至于對地球的生態(tài)和中東的經(jīng)濟系統(tǒng)造成損失。這就促成了美軍下定了用武力打擊伊拉克的決心。在研制核武器過程中，美國研制MZ導彈的發(fā)射試驗從原來的36次減少為25次，可靠性卻從72提高到93。我國研制原子彈，試驗

25、次數(shù)僅為西方的110，從原子彈到氫彈只用了兩年零八個月，重要原因之一就是有許多優(yōu)秀數(shù)學家參加了工作。諾貝爾獎是不設(shè)數(shù)學獎的，但是，在諾貝爾獎獲得者中有許多是數(shù)學家。發(fā)明X射線計算機層析攝影儀（簡稱CT）是二十世紀醫(yī)學界的奇跡。美國數(shù)學家科馬克（AMCormark）利用數(shù)學中的拉東積分變換解決了計算機斷層掃描的核心理論問題，發(fā)現(xiàn)了人體不同組織對X射線吸收量的數(shù)學公式。英國的希斯菲爾德（CNHounsfield）根據(jù)這個原理制作出了第一臺CT機。他們共同獲得了1979年諾貝爾醫(yī)學和生理學獎。豪普特曼（HHauptman）也是一位美國數(shù)學家，他和卡爾勒（JKarle）在從事X 射線晶體學中的相角問題

26、和矩陣理論的研究中，用統(tǒng)計數(shù)學方法分析晶體的衍射數(shù)據(jù)，經(jīng)過大量的計算，推導出了衍射線相角的關(guān)系式，直接從衍射強度的統(tǒng)計中得到各衍射線相角的信息，建立了利用X 射線衍射測定晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學理論和直接方法，一舉解決了困惑了化學家 四十多年的難題。他們共同獲得了1985年的諾貝爾化學獎?？得撀寰S奇（Leonid Vitaliyevich Kantorovich）是前蘇聯(lián)的著名數(shù)學家，他以線性規(guī)劃理論研究生產(chǎn)中的資源最優(yōu)配置問題。怎樣利用有限的資源取得最大的效益，它可以抽象為一個約束極值問題?？得撀寰S奇發(fā)現(xiàn)可以用Lagrange乘子法來處理，從而提出了一個新的經(jīng)濟學概念。他獲得了1971年諾貝爾經(jīng)濟學獎

27、。納什(John Forbes Nash)是美國普林斯頓大學的數(shù)學家，他在對“非合作博弈均衡分析和博弈論”的研究中，用數(shù)學方法區(qū)分了合作對策和非合作對策，提出了非合作對策的所謂“納什均衡”的概念，極大地改變了整個經(jīng)濟學的面貌。他獲得了1994年諾貝爾經(jīng)濟學獎。1959年美籍法國數(shù)學家德布洛發(fā)表價格理論，對一般經(jīng)濟均衡理論給出了嚴格的公理化表述，使公理化方法成為現(xiàn)代經(jīng)濟學研究的基本方法。一般經(jīng)濟均衡價格的存在問題是經(jīng)濟學界長期關(guān)注但懸而未決的問題。直到1954年，德布洛和另一位美國經(jīng)濟學家阿羅才第一次利用凸集理論、不動點定理等給出了一般經(jīng)濟均衡的嚴格表述和存在性證明。阿羅和德布洛先后獲得1972

28、年和1983年度諾貝爾經(jīng)濟學獎。有些數(shù)學家也有輕視數(shù)學工具性的傾向。哈代（ GHHardy）是英國著名的數(shù)學家，他推崇純粹的數(shù)學，認為數(shù)學是永恒的藝術(shù)，對數(shù)學應用的工具性不屑一顧。他尤其認為數(shù)論和非歐幾何的理論毫無實際用處。但是，哈代生前親眼看到了質(zhì)能方程在原子彈爆炸中的應用，看到了用數(shù)論理論編制的密碼控制著導彈的飛行。1908年，他發(fā)表的一篇論文，就解決了群體遺傳學中的一個實際問題。20世紀初，有些生物學家認為，在一個大的隨機交配的群體中，某種遺傳病在遺傳過程中，會使患者越來越多。哈代利用概率理論，證明了在無突變、無選擇、無遷移、無遺傳漂變的情況下，患者的分布是平穩(wěn)的，不會隨時間的

29、變化而變化。差不多同時，一位德國醫(yī)生溫伯格（W. Weinberg）也得到了同樣的結(jié)論。后來被稱為哈代溫伯格平衡定律。 數(shù)學是科學的皇冠，這是說數(shù)學是一種文化。數(shù)學表現(xiàn)出的技術(shù)層面和應用方面的功能，那只是華麗的表象，數(shù)學理論的深度更多的是體現(xiàn)在文化和人文的維度上。唯有文化才能將數(shù)學與生命緊密聯(lián)系。數(shù)學文化傳達的是一種人文關(guān)懷，數(shù)學文化體現(xiàn)的是一種人類的理性精神，敢于質(zhì)疑批判和善于探索求真。數(shù)學是人類智慧的創(chuàng)造活動，它對人的行為觀念、精神心靈和價值觀念都具有重大的影響，數(shù)學發(fā)生發(fā)展過程中所積淀的數(shù)學思維方式、數(shù)學思想和數(shù)學理性品格，都成為人類文明發(fā)展史上優(yōu)秀的文化遺產(chǎn)。數(shù)學的文化價值豐富多彩，數(shù)

30、學對于客觀事物的研究，是通過構(gòu)建獨立的模式，因而它有重要的思維訓練功能，對于創(chuàng)造性思維的發(fā)展尤具重要意義。歐拉說過，數(shù)學是思維的體操， 數(shù)學是思維的科學，數(shù)學能夠啟迪人的智慧，發(fā)展人的思維。其他學科在培養(yǎng)思維的深度、廣度和系統(tǒng)性等方面都是不能與數(shù)學相提并論的。數(shù)學是理性精神的圣地，數(shù)學思維高揚人類理性精神的旗幟，引領(lǐng)科學歷史發(fā)展的方向。古希臘數(shù)學家開人類理性之先河，學習數(shù)學不再僅僅是現(xiàn)世生活的需要，而更重要的是為了陶冶情操、追求真理和訓練心智。他們從數(shù)學研究中提煉出概括和簡化的自然科學原則，創(chuàng)立了科學思維的方式。柏拉圖堅持讓他的學生們研究幾何學，并不是為了發(fā)掘幾何學的實際應用價值，而是要發(fā)展人

31、們的抽象思維能力，用于對人生和政治問題的哲學思考，從而奠定了西方哲學的理論基礎(chǔ)。畢達哥拉斯研究數(shù)學的理念是世界是數(shù)組成的，亞里士多德直接將數(shù)學應用于研究具體事物的真實性上，從而奠定了物質(zhì)科學的基礎(chǔ)。數(shù)學具有明確的向善價值取向，在學習探究數(shù)學的過程中，數(shù)學醇厚的文化內(nèi)涵可以凈化人的心靈，讓人執(zhí)著追求真理，理性堅韌如山，務實學習知識，謙虛嚴謹似水。質(zhì)疑與反思，創(chuàng)新與開拓，完善著人的高貴氣質(zhì)和品格。阿基米德面對侵略者的屠刀，研究數(shù)學面不改色心不跳。鮑耶面對數(shù)學權(quán)威的嘲笑和不屑，堅持自己創(chuàng)立的非歐幾何理論不動搖。數(shù)學既然兼有工具性和文化性的特征，在教學中我們就要將它們統(tǒng)一起來。如果數(shù)學課堂離開了數(shù)學文

32、化的潤澤，離開了數(shù)學精神的指引，呈現(xiàn)在學生面前的數(shù)學知識一定是沉寂的，毫無生氣的。所以，課堂教學中必須全面體現(xiàn)數(shù)學斑斕的色彩和靈動的韻味，既要注重讓學生進行形式訓練，掌握知識和發(fā)展能力，熟練地模仿和練習，又要在數(shù)學課堂上傳播數(shù)學文化，讓學生去欣賞和領(lǐng)略數(shù)學撼人心魄的雄姿，讓學生喜歡上美麗的數(shù)字、奇異的符號、簡潔的公式和純凈的定理，感受數(shù)學豐富的方法、深邃的思想和智慧的理性光芒。四、數(shù)學是發(fā)現(xiàn)的，也是發(fā)明的所謂發(fā)現(xiàn)是指人們揭示出了客觀事物原來就存在的規(guī)律。所謂發(fā)明是指人們創(chuàng)造出了客觀上原來不存在的事物。在數(shù)學發(fā)展史上，理性得去揭示蘊藏的數(shù)學規(guī)律可以稱之為發(fā)現(xiàn)。獨辟蹊徑地去創(chuàng)造一種數(shù)學模式可以稱之

33、為發(fā)明。我們自然要考慮這樣一個問題，數(shù)學中的概念、命題、公式、計算法則和證明方法以及各種數(shù)學理論體系，是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的? 這個問題并不容易回答的。宇宙上即使沒有出現(xiàn)人類，世界上仍然存在著數(shù)學，勾股定理和費馬大定理仍然成立，只是沒有外顯的表達形式而已。數(shù)學的存在是不以人的意識為轉(zhuǎn)移的，數(shù)學好像只能被發(fā)現(xiàn)。另一方面，如果沒有人類的思維活動，世界上就不會有現(xiàn)在這樣的數(shù)學形態(tài)。尤其是現(xiàn)代數(shù)學的一些前沿學科，并不是建立在對客觀世界的直接概括和抽象上，比如，非歐幾何和群論，都是先提出一些最基本的概念和公理，然后用邏輯演繹的方法推導出理論體系。假如公理增減一條或者更改一條，理論體系就會面目全非。這樣看來，

34、數(shù)學又好像是被發(fā)明的。還有一種現(xiàn)象，原來發(fā)明的數(shù)學形式，最后卻變成了發(fā)現(xiàn)的數(shù)學形式，比如，黎曼幾何原屬于非歐幾何的一個分支，后來被愛因斯坦用于廣義相對論的研究，黎曼幾何立刻就有了對應的客觀模型，原來現(xiàn)代物理規(guī)律里就蘊藏著這個數(shù)學理論。實際上，數(shù)學既可以來自于對客觀世界的概括和抽象，也可以來自于人類思維的心智創(chuàng)造。 從數(shù)學發(fā)展史來看，人們對數(shù)學的認識是與時俱進的。數(shù)學源于分配物品、丈量土地和計算面積、容積等生產(chǎn)生活實踐，這個過程中產(chǎn)生的數(shù)學概念和數(shù)學研究的對象自然被認為是發(fā)現(xiàn)的。實際上，在 19世紀以前，人們普遍認為數(shù)學凸顯的是經(jīng)驗科學的特征，數(shù)學與客觀世界之間的聯(lián)系千絲萬縷。19世紀中葉以后，

35、隨著非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等數(shù)學學科的產(chǎn)生，數(shù)學向抽象、多元和高維發(fā)展，數(shù)學與客觀世界之間的聯(lián)系漸行漸遠，顯露出了演繹科學的特征。尤其是法國布爾巴基學派將其發(fā)揮到了登峰造極的地步。1939年，他們在法國巴黎出版了一套數(shù)學原理，這是一部關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學博大精深的著作。這部著作將數(shù)學看成是關(guān)于結(jié)構(gòu)的科學，數(shù)學的各個分支都是建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)三種母結(jié)構(gòu)之上的，不借助于任何直觀，從集合論出發(fā)，行文邏輯嚴密，為數(shù)學建構(gòu)起了清新的公理化的體系。這時，演繹推理的數(shù)學占據(jù)了數(shù)學研究的制高點，人們對數(shù)學的認識更加深入，它研究的是量的關(guān)系和抽象的結(jié)構(gòu)，是關(guān)于模式的科學。數(shù)學是發(fā)明的觀點露出了端倪，出

36、現(xiàn)在了燈火闌珊處。數(shù)學被認為是人類思維的自由創(chuàng)造物。 這樣看來，數(shù)學的初期被認為是直接反映了客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，是被發(fā)現(xiàn)的。古希臘數(shù)學家阿基米德（Archimedes）認為，數(shù)學關(guān)系的客觀存在與人類能否解釋它們無關(guān)。柏拉圖主義認為，數(shù)學研究的對象都是客觀存在的，數(shù)學家提出的概念不是創(chuàng)造，只是對客觀存在的描述。而現(xiàn)代數(shù)學則被認為是人類純思維的產(chǎn)物，是被發(fā)明的。當代數(shù)學直覺主義學派就特別強調(diào)，數(shù)學結(jié)構(gòu)是人類主觀創(chuàng)造的。他們的領(lǐng)袖克羅內(nèi)克（Kronecker）認為，除了自然數(shù)是上帝創(chuàng)造出來的之外，數(shù)學中的一切都是人類心靈的創(chuàng)造物。其實，數(shù)學作為一個統(tǒng)一體，初期的數(shù)學和當代的數(shù)學只有層次上

37、的不同，作為反映關(guān)系結(jié)構(gòu)的模式是沒有本質(zhì)區(qū)別的。圓周率和對數(shù)肯定是被發(fā)現(xiàn)的，但是，發(fā)現(xiàn)圓周率和對數(shù)的過程不能不說是一個發(fā)明的過程。 實際上，數(shù)學作為人類誕生以來經(jīng)驗的積累，它的不同分支的理論都是從具有實際背景中經(jīng)過抽象而形成的。純心智的產(chǎn)物也具有形式上的客觀性，數(shù)學理論的主要特征是創(chuàng)造性思維的產(chǎn)物，理論體系一旦形成，不僅是形式上的一種客觀存在，在內(nèi)容上的客觀性也是不容否認的。在數(shù)學創(chuàng)立過程中，發(fā)明與發(fā)現(xiàn)是水乳交融，不分彼此的。數(shù)學理論的闡釋和形式化過程，偏重于發(fā)明。揭示數(shù)學理論蘊涵的客觀性及其關(guān)系，則偏重于發(fā)現(xiàn)。微積分是由牛頓（Newton）和萊布尼茲（Leihniz）共同創(chuàng)立的。微積分的基本

38、原理是客觀存在的一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，不會是任何一位數(shù)學家精巧的有意設(shè)計。因此，可以說是他們發(fā)現(xiàn)了微積分。但是牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的方式又是不同的，他們分別從運動學的瞬時速度和曲線的斜率引入了微積分。在創(chuàng)立過程中，他們還引進了不同的運算符號和語言體系，這明顯又帶有發(fā)明的意味。是不是也可以這樣說，數(shù)學的本質(zhì)規(guī)律是人們的一種發(fā)現(xiàn)，數(shù)學的表達方式是人們的一種發(fā)明。 發(fā)現(xiàn)的過程是發(fā)明，發(fā)明的結(jié)果是發(fā)現(xiàn)。 數(shù)學教學是對每個學生個體的教學，要讓每個個體在學習數(shù)學的過程中，有意啟發(fā)他們重復人類創(chuàng)立數(shù)學理論的過程，掌握數(shù)學知識體系的途徑不外乎發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，不要偏廢。讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學，老師只憑灌輸不是好辦法，要讓他們有

39、一個親身體驗發(fā)現(xiàn)的過程。更為重要的是讓學生去發(fā)明數(shù)學，對每個模塊的教學，能否嘗試讓學生去架構(gòu)這個局部的數(shù)學體系，包括研究從何入手，研究怎樣深入，用什么樣的語言表達等等，都可以讓學生去體驗一下。五、數(shù)學是抽象的，也是直觀的數(shù)學源自于客觀世界，當它確定了原始概念和公理，就按照邏輯的法則去推理和演繹。理論體系形成后，它蛻蛹化蝶，不露一絲客觀世界的痕跡，因此，數(shù)學成為運用邏輯演繹方式探究客觀規(guī)律的唯一學科，形式化使得數(shù)學凸顯出抽象性的特點，數(shù)學也因此成為研究一般抽象模式的理論。數(shù)學是研究事物的量和形的科學。事物如果具有相同的量和形，就可以用數(shù)學方法將其抽象成同一個模式去研究。數(shù)學概念正是從眾多事物的共

40、同屬性中抽象出來的，因而數(shù)學必然是抽象的。隨著數(shù)學概念的不斷擴充和產(chǎn)生，還要繼續(xù)對這些數(shù)學對象繼續(xù)進行簡化、整理和概括，進一步地進行抽象。數(shù)學的抽象過程，就是遠離紛繁粗糙的客觀世界和具體經(jīng)驗的過程。抽象往往使人們意想不到數(shù)學的客觀情景，更難讓人去體驗或者感知數(shù)學的理論結(jié)構(gòu)。另一方面，數(shù)學既然源自于客觀世界，最初的基本概念還是比較直觀的。隨著這些概念的進一步抽象，與客觀世界的關(guān)系可能不再清晰，但是，也不可能不顯露出直觀的特質(zhì)。數(shù)學的直觀就是概念和證明過程未經(jīng)充分地概括和邏輯推理就外顯的數(shù)學本質(zhì)。既然數(shù)學直觀必然趨向于抽象，那么數(shù)學抽象中就一定蘊涵著直觀。直觀是抽象的基礎(chǔ)，抽象是直觀的升華。數(shù)學一

41、定是直觀和抽象的統(tǒng)一體。非歐幾何的理論全然是按照幾何原本的邏輯結(jié)構(gòu)建立的，它的抽象性大大超出人們的想象，呈現(xiàn)出的“直觀”又完全是對歐式空間直觀的顛覆，這在當時可以說是一種另類的抽象。為此，非歐幾何的創(chuàng)立者們經(jīng)歷了煉獄般的煎熬。高斯懼怕倘若發(fā)表論文，一世英名將毀于一旦。鮑耶和羅巴切夫斯基的論文發(fā)表后，遭到了數(shù)學界的一致唾棄。然而，1868年，意大利數(shù)學家貝爾特拉米(Beltrami，Eugenio)發(fā)表了論文論非歐幾何學的解釋，在歐式幾何空間建立了非歐幾何的直觀模型，在非歐幾何發(fā)展史上立起了一座豐碑，從直觀的層面令人信服地消除了人們對非歐幾何的理論非難。復數(shù)概念的引入，是因為數(shù)學邏輯上的需求，被引入后的近兩個半世紀中一直給人以虛無縹緲的感