弗賴登塔爾關(guān)于“數(shù)學(xué)化”的演講

1、數(shù)學(xué)教育再探-在中國的講學(xué)    荷蘭 弗賴登塔爾1.3 數(shù)學(xué)化1.3.1術(shù)語    在討論了數(shù)學(xué)的前后關(guān)系和內(nèi)外結(jié)構(gòu)之后，我們?cè)倩剡^頭來把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種活動(dòng)，來看看它的一個(gè)主要特征：數(shù)學(xué)化。是誰最先使用這個(gè)術(shù)語，用以描述根據(jù)數(shù)學(xué)家的需要和興趣整理現(xiàn)實(shí)性的這種過程呢？這種術(shù)語通常是先出現(xiàn)在非正式的談話和討論中，而后才出現(xiàn)在文獻(xiàn)著作里，因此沒有人能說出是誰的發(fā)明。不管怎么說，數(shù)學(xué)化是一個(gè)過程，只要現(xiàn)實(shí)世界在一系列因素的影響下進(jìn)行著變化、延拓和深化，這個(gè)過程就在持續(xù)著，這些因素也包括數(shù)學(xué)，而且數(shù)學(xué)反過來被變化著的現(xiàn)實(shí)所吸收。 &#

2、160;  以前用的術(shù)語，諸如公理化、形式化、圖式化等也許是在數(shù)學(xué)化之前提出的，其中公理化也許是在數(shù)學(xué)的行文中出現(xiàn)得最早。公理和公式古已有之，盡管在歲月的長河中，"公理"（或"公設(shè)"）的意義及公式的形式有所改變.過去幾個(gè)世紀(jì)里，人們認(rèn)為歐幾里得的幾何原本不是完美推導(dǎo)的典范，其原意也并非如此，看來今天有人仍這么認(rèn)為。我們現(xiàn)在使用的公理體系這個(gè)術(shù)語，是一種現(xiàn)代思想，把它歸為古希臘人的功勞（雖然他們是先驅(qū)）是一種時(shí)代的錯(cuò)誤。然而，重新組合某一領(lǐng)域的知識(shí)，以至于結(jié)論被當(dāng)作出發(fā)點(diǎn)，以及相反地把已證明的性質(zhì)作為定義來證明原始的定義-這種顛倒的構(gòu)造是一種久遠(yuǎn)

3、的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它和古希臘數(shù)學(xué)一樣古老，或許更古老；盡管只是到了近代，人們才像熱衷于知識(shí)的組織和重組的古希臘人那樣，有意識(shí)地、有條理地、熱切地運(yùn)用它。今天雨后春筍似的公理體系是人們?cè)噲D重新組織數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的結(jié)果。這種技術(shù)就叫公理化。它被現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家深刻地理解和掌握。它早期顯著的例子是群。18世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家們遇到了集合到自身映射的問題，映射通常由一些不變性質(zhì)去限制，從而導(dǎo)致去構(gòu)造這種映射。這樣他們開始熟悉了變換的集合，在構(gòu)造之下自動(dòng)地滿足一些熟知的假設(shè)，這種假設(shè)是后來群所需要的。1854年凱萊（Cayley）用這些假設(shè)統(tǒng)一定義了這種（有限）的對(duì)象，他稱作群。然而，直到1870年這一新概念才被一些領(lǐng)

4、頭創(chuàng)造的數(shù)學(xué)家們完全認(rèn)可。之后又用到無限基的情況。在日常生活和符號(hào)語言中，公式是像公理一樣古老，甚或更古老的一種特殊形式。用日益有效的符號(hào)或符號(hào)法來改進(jìn)語言表達(dá)是一個(gè)長期的過程，它首先涉及到數(shù)學(xué)題材，后來才影響到表述這種題材所用的語言。這種對(duì)語言的整理、修正和轉(zhuǎn)化的過程就叫做形式化。    可以肯定，公理化可能會(huì)像公理一樣在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中流行，他們只是一項(xiàng)活動(dòng)過程中的精彩部分和最后的潤色，在這個(gè)過程中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是形式而不是內(nèi)容。公式和形式化也同樣如此。公理來源于范例或一系列范例，而公理化則意味著總結(jié)熟練的范例。人們?cè)缫蚜?xí)慣于把經(jīng)歷和行為示范性地推廣，從中抽象出定律和規(guī)

5、則.形成與現(xiàn)實(shí)的體系相吻合的圖式。最后一步就是圖式化，它和公理化、形式化相對(duì)應(yīng)，尤其是當(dāng)考慮的是內(nèi)容而不是抽象的形式或語言的時(shí)候。    上面一段解釋，通過與公理化、形式化、圖式化作類比，說明了數(shù)學(xué)化一詞的來源。值得一提的是，在教育中，把它局限于其某一方面的內(nèi)容是屢見不鮮的，所以我才占一定的篇幅來說明它。我自己則堅(jiān)持這個(gè)術(shù)語應(yīng)該包括數(shù)學(xué)家的全部組織活動(dòng)，不管它是用于數(shù)學(xué)的內(nèi)容和表達(dá)，還是用于更通俗的直覺意義上，比如生活經(jīng)驗(yàn)，日常語言的表達(dá)。但是我們別忘了，在擴(kuò)展的現(xiàn)實(shí)性和發(fā)展語言的復(fù)雜性中，"生活"和"日常生活"的個(gè)體的與環(huán)

6、境的依賴性。1.3.2某些方面    建立模型    然而，一談到圖式化就有一種傾向，把"圖式"與形式化數(shù)學(xué)里的解題公式和步驟等問題等同起來。今天，在更廣泛的意義上說，"圖式"一詞似乎被更時(shí)興的"模型"所替代-這是一個(gè)很有價(jià)值的術(shù)語，然而不幸的是，由于人們的濫用和誤用而降低了其含義。我一直反對(duì)這樣做，至少在我看來是這樣的。    數(shù)學(xué)總是被應(yīng)用于自然和社會(huì)，然而長期以來，人們只是過多地考慮它的應(yīng)用，而很少想到應(yīng)用它的方法以及它為什么能用。記數(shù)實(shí)際

7、上是由生活得來的常識(shí)，土地測(cè)量員的工作好像是說他們用的界釘和標(biāo)桿就是幾何上的點(diǎn)和線，還有外幣兌換員，商人及藥劑師好像都在表明比例是自然界和社會(huì)的一個(gè)顯而易見的特征。甚至古巴比倫王國的天文學(xué)家很早就習(xí)慣于用線性內(nèi)插或外插法，來試著數(shù)值化地描述天文現(xiàn)象，也就是用分段線性函數(shù)和鋸齒形函數(shù)的方法，后來的希臘人最終把它們變成測(cè)角函數(shù)。但是測(cè)角函數(shù)不會(huì)從他們仰望的天空里掉下來，其基本理論是天體運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是環(huán)形的。為了解釋這種假設(shè)和一些互相矛盾的現(xiàn)象，產(chǎn)生了一個(gè)我們現(xiàn)在稱之?quot;模型"的東西來描述天體的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)模型包括了圓、本輪（epicycles）和外心的新發(fā)明，不管對(duì)它們進(jìn)行幾何上還是數(shù)

8、值上的處理都需要用到測(cè)角函數(shù)。這個(gè)模型持續(xù)了近兩千年。開普勒（Kepler）沒有給出新模型，而是提出了行星運(yùn)動(dòng)的三大數(shù)學(xué)定律，后來牛頓（Newton）由此得出了萬有引力理論的一系列結(jié)果。牛頓自己不肯設(shè)計(jì)簡單的機(jī)械模型來解釋地球引力。隨著時(shí)間的推移，物理學(xué)家們才勉強(qiáng)地接受地球引力的吸引本身就是一個(gè)模型，它超過了一般意義上的經(jīng)驗(yàn)，是第一個(gè)近代的模型，其意義僅亞于惠更斯（Huygens）的光的波動(dòng)理論，歷史在不斷重復(fù)：根據(jù)19世紀(jì)的力學(xué)常識(shí)，人們提出了關(guān)于光傳播理論的一些彈性的模型，但由于研制惠更斯的波動(dòng)理論的失敗，物理學(xué)家們不得不接受馬克斯韋爾（Maxwell）的光的電磁理論模型。 &#

9、160;  建模是現(xiàn)代的產(chǎn)物，只是到了近代，人們才或多或少有意識(shí)地忽略了所有看起來不重要的干擾，把在模糊的自然界和環(huán)境中應(yīng)用的數(shù)學(xué)濃縮成了精確的數(shù)學(xué)，是它們破壞了理想情況。長期以來，簡單的幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)已足以滿足這種需要。但是什么是理想情況，什么又是不重要的干擾呢？伽利略（GaliIeo）首先給出了一個(gè)例子，說明了它們?cè)谔囟êx下的區(qū)別：即勻速運(yùn)動(dòng)是理想情況，但又受到阻力的干擾，或像牛頓說的更一般意義上的外力干擾。這樣，這種方法就延續(xù)到了今天。即使有了精確的理論，也是經(jīng)過簡化后才使用，以使其更接近于實(shí)際的過程：這樣后者就有可能用更好的逼近或者反饋模型提煉出來。這種了不起的理想化方法的

10、最偉大的例子當(dāng)屬達(dá)朗倍爾（d'Alembert）的繃緊的弦的振動(dòng)問題：通過忽略弦線的曲度，他能把微分方程線性化，而方程一旦線性化以后問題就輕易地解決了。實(shí)際上，通過線性化的手法重建物理上的模型已成了應(yīng)用數(shù)學(xué)的一般手段。    在自然科學(xué)里，最早使用"模型"一詞也許是與眾所周知的太陽系模型相聯(lián)系的，它用一個(gè)機(jī)械裝置，（經(jīng)過粗略簡化以后）給出了在引力作用下行星和月亮運(yùn)動(dòng)的相互作用：由于它只是一個(gè)模型，所以只考慮到運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，而不牽涉天體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題：另外，由于實(shí)際的原因，代表天體的球形的半徑互相不成比例，和軌道大小相比也不成比例。還有人

11、們熟知的盧瑟福波耳（Rutherford-Bohr）原子模型，它把原子及其示意圖描述成一個(gè)小太陽系形狀，在可能的軌道上作一些奇特的限制模型的特征來自于軌道遵守的特定條件，以及關(guān)于從一個(gè)軌道向另一個(gè)軌道躍遷時(shí)的特定假設(shè)，和經(jīng)典物理的原理大不相同。再近一些的模型有原子核分裂模型，其中的質(zhì)子和中子像液體一樣被釋放出來-這種思想是簡單化模型的典型。另外一個(gè)典型是開放的宇宙體系的宇宙生成模型，它起初是對(duì)朝各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的星群的純運(yùn)動(dòng)學(xué)上的解釋。隨著時(shí)間的推移，由于加入動(dòng)力學(xué)和基本粒子物理的許多特點(diǎn)而豐富起來，當(dāng)然它仍被認(rèn)為是宇宙進(jìn)化的粗略的簡化模型。    這些都是理想化的模

12、型，它們有的把數(shù)學(xué)的精確性引入到相對(duì)粗糙的物理現(xiàn)實(shí)中：或者是簡化現(xiàn)實(shí)，而心照不宣地承認(rèn)現(xiàn)實(shí)要比這些稱為模型的東西復(fù)雜得多。奇怪的是，數(shù)學(xué)上最早使用"模型"一詞卻正好相反：用塑料、電線或紙板做的抽象幾何形狀的具體模型。如果我沒弄錯(cuò)的話，弗里克斯·克萊因作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，他收集了大量的幾何模型，同時(shí)也是首先把"模型"一詞用于數(shù)學(xué)中的人。這里是指非歐氏幾何在射影幾何里的映象的問題-這是凱萊的發(fā)明，克萊因闡釋為模型，用來把看起來很抽象的非歐氏幾何映射到射影幾何的框架里，后者看上去要比前者具體些。盡管不像石膏模型那樣顯而易見，這個(gè)模型實(shí)際上要比它的原象易于

13、想象?？巳R因的例子說明了公理體系中現(xiàn)代模型概念的根源：用一個(gè)合適的數(shù)學(xué)對(duì)象來明確形式公理中所暗含的東西.看起來就像用真實(shí)的內(nèi)容來填充公理的形式。舉例來說，一個(gè)特殊的群或一般函數(shù)上的變換群可以作為一般意義上公理化定義的群的模型。還有歐氏空間，尤其是三維空間，可以作為公理化定義的線性空間或度量空間的模型。僅就具體化而言，可以超過純數(shù)學(xué)的范圍，考慮把物質(zhì)的或僅僅是經(jīng)驗(yàn)型的空間作為公理化定義的某種原像的模型。     只是為了保持完整，我才提到了"模型"的這種應(yīng)用，它和我們開始所說的模型正好相反。實(shí)際上，在這里的行文中，我們沒有考慮公理體系的模型，盡管

14、它在基礎(chǔ)研究中被大量使用，而是考慮理想化意義上的模型。用這種方法，我們能夠簡化一些復(fù)雜的條件，它們太復(fù)雜而無法付諸實(shí)際，或者是僅僅能用一些特定的數(shù)學(xué)理論來對(duì)付它們。    因?yàn)槲覀兊闹黝}是建模，并把它作為數(shù)學(xué)化的一個(gè)方面，需要強(qiáng)調(diào)的是，在這里的行文中應(yīng)包括一些真實(shí)的具體模型，像檢驗(yàn)飛機(jī)模型的風(fēng)洞，或流體動(dòng)力學(xué)理論的實(shí)驗(yàn)室模擬。換句話說，是用觀察結(jié)果而不是用數(shù)學(xué)來進(jìn)行評(píng)價(jià)的一些模型，盡管建造它們用到的數(shù)學(xué)知識(shí)也許比得到一些不那么真實(shí)的模型用的更多。我看甚至還應(yīng)該包括對(duì)這樣的真實(shí)模型的計(jì)算機(jī)模擬，它在進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)比模擬活動(dòng)本身更少地依賴于數(shù)學(xué)。另外，我強(qiáng)烈反對(duì)給代數(shù)、微

15、分、積分方程等體系貼上一?quot;模型"標(biāo)簽的做法-數(shù)學(xué)模型-因?yàn)橛腥讼矚g這么叫。根據(jù)我的術(shù)語觀，模型就是不可缺少的一種中介，用它把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)或理論來理想化或簡單化，從而更易于進(jìn)行形式的數(shù)學(xué)處理。因此我不喜歡在行民主文中用數(shù)學(xué)模型一詞，它讓人誤以為數(shù)學(xué)是直接地用于環(huán)境中，或者幾乎如此：實(shí)際上只是當(dāng)數(shù)學(xué)被緊緊地局限于周圍環(huán)境中才會(huì)發(fā)生這種情況。我之所以如此強(qiáng)調(diào)模型的中介作用，因?yàn)槿藗兺庾R(shí)不到它是不可缺少的：很多情況下，數(shù)學(xué)公式像秘訣樣用于復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)，而缺乏一種中介模型來檢驗(yàn)它們的用場。     概率和統(tǒng)計(jì)就是特別突出的例子。在概率論里，盛簽用的容器還

16、有其他的隨機(jī)裝置，就是模型，人們用它把世界一切看起來由偶然因素決定的事情數(shù)學(xué)化，這包括：同種植物間的授粉，某個(gè)種族間的婚姻和死亡，就像是出生和死亡是由擲簽來決定的-當(dāng)然有的合適，有的則不盡然。而概率在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的應(yīng)用也僅僅需要這么一個(gè)模型。然而，就我所知，在相關(guān)性和回歸系數(shù)的常規(guī)的一一或者應(yīng)該說是例行的一一應(yīng)用以及某些社會(huì)的特別是教育的研究中因素分析之間，還不存在模型。這些工具只是從其他科學(xué)里翻版過來的，在那里它們是在使用的時(shí)候有中介模型來驗(yàn)證的。    再回過頭來看看，我意識(shí)到對(duì)模型的談?wù)撘殉^了建模，而且使用了頗為通常意義下的術(shù)語；我猶豫這么久還沒接觸正題的原因

17、.正是擔(dān)心這種情況發(fā)生。當(dāng)然，我本應(yīng)該讓讀者領(lǐng)略一系列合理化的模型，像諧振器、電力網(wǎng)、變換陣、傳播過程、游戲、引導(dǎo)裝置、人口動(dòng)力學(xué)、排隊(duì)論等等。其中有些例子有很大的變化范圍，如果希望他們能很好地利用的話，當(dāng)然值得讓學(xué)生們了解：另一方面，我把建模定義成理想化和簡單化一一不管我的定義多么地不精確，它還是切中了要害：把握某種（靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的）情境的要點(diǎn)，在豐富的相關(guān)情境中（我前面闡述過的）關(guān)注它們：并且隨著事物的進(jìn)展，會(huì)有更加豐富一些的內(nèi)容。那么，這就是我繼續(xù)考查數(shù)學(xué)化的其他方面的出發(fā)點(diǎn)。    尋找本質(zhì)    即在行文中找出哪些能表示成如下

18、形式   ·在一種情境之內(nèi)和交叉的情形   ·在一個(gè)問題之內(nèi)和交叉的問題   ·在一個(gè)過程之內(nèi)和交叉的過程   ·在一個(gè)組織之內(nèi)和交叉的組織   ·在一個(gè)圖式之內(nèi)和交叉的圖式   ·在一個(gè)算法之內(nèi)和交叉的算法.   ·在一個(gè)結(jié)構(gòu)之內(nèi)和交叉的結(jié)構(gòu)   ·在一個(gè)公式之內(nèi)和交叉的公式   ·在一個(gè)符號(hào)體系之內(nèi)和交叉的符號(hào)體系 

19、;  ·在一個(gè)公理體系之內(nèi)和交叉的公理體系   為什么有這么多種"和交叉的"呢？因?yàn)檎页鲆话愕奶卣?、相似、類比，同?gòu)才能夠行   ·概括   成為一種下意識(shí)的習(xí)慣或是多多少少有意識(shí)的行為。從一個(gè)簡單的   ·范例   不經(jīng)意的經(jīng)驗(yàn)，并且只靠一些范例（盡管不是很多）來強(qiáng)化就能得出一般性，人們往往是不相信的?，F(xiàn)在，   ·概括范例.    是對(duì)   ·

20、舉例說明一般概念的顛倒。假如過分地說，這正是我稱為"違反教學(xué)法的顛倒"的一個(gè)例子，后文中還會(huì)牽涉到。然而，    ·示范性地探討未確定的一般性    是一種有價(jià)值的    ·啟發(fā)式活動(dòng)    這和流行的啟發(fā)式教學(xué)有所不同，后者被認(rèn)為是一種預(yù)先設(shè)置好的工具。    當(dāng)強(qiáng)調(diào)單一的范例的作用時(shí)，我突然想到一些新鮮的思維對(duì)象和運(yùn)算，而對(duì)象和運(yùn)算通過日常練習(xí)能夠程序化，并最終導(dǎo)致成為   

21、; ·合理化和捷徑    這就會(huì)導(dǎo)致    ·不斷發(fā)展的    組織化    圖示化    結(jié)構(gòu)化    尤其考慮到一些拙劣的語言和符號(hào)，就會(huì)產(chǎn)生   ·不斷進(jìn)步的    形式化    算法化    符號(hào)化    數(shù)學(xué)化一個(gè)十分重要的方面就是

22、0;   ·反思自己的活動(dòng)    從而促使   ·改變看問題的角度    并伴隨著局部結(jié)果的    ·顛倒    和整體的   ·公理化    說重一些，這也是違反教學(xué)法的顛倒的一個(gè)例子。     1.3.3例子    1.在數(shù)軸上找出16和72的中間值！   

23、; 據(jù)我觀察，孩子們把兩個(gè)點(diǎn)均勻地相向移動(dòng)：開始一個(gè)一個(gè)單位地移，后來步子大一些，最多的每次移10個(gè)單位；（得出的）捷徑是把它們的差平均分，再把其中一半加到較小的數(shù)上，開一般術(shù)語來描述就是表達(dá)式a （ba），通過代數(shù)運(yùn)算有更一般的表達(dá)式 （ab）。    在我說明把兩個(gè)數(shù)朝反向移動(dòng)仍保持中間值不變以后，孩子們最后把較小的數(shù)變成0，同時(shí)把較大的數(shù)變成ab，這樣也能證明求中間值的一般表達(dá)式。    如果不僅僅局限于只是找到求兩個(gè)數(shù)的中間值的方法，還可以通過不斷改進(jìn)的圖式化來逐步發(fā)展。為了找到這種圖式的一般性，一個(gè)范例看來就足夠了，即使擴(kuò)大

24、到整數(shù)域上也是如此?？鋸埖卣f，"我把兩個(gè)已知數(shù)加起來，然后被2除"這種一般的結(jié)果，可以通過用代數(shù)語言"兩個(gè)已知數(shù)的和的一半"來進(jìn)一步公式化，這樣就能促使代數(shù)語言的產(chǎn)生和運(yùn)用。    另一種概括的系列就是對(duì)多于兩個(gè)的數(shù)提出同樣的問題，從而建立平均數(shù)這樣一個(gè)思維對(duì)象和求平均數(shù)的圖式。只有在得出"給定的數(shù)的和被所給的數(shù)的個(gè)數(shù)來?quot;這個(gè)形式的概括或者它的代數(shù)表達(dá)式之后，人們才能滿意。另一方面，一旦內(nèi)容確定以后，人們應(yīng)該找出哪些情形下所設(shè)想的加法用起來自然，或?qū)@種情形來說含義比較含蓄。比如：加的不是（單純的）年齡、

25、尺寸、價(jià)格等，而是食物的日常消費(fèi)，工作時(shí)間，某人一周或一月總和求每筆單位資金的消費(fèi)，或者由時(shí)速求出每秒的速度。    如果僅僅作為圖式化和形式化的代表，再仔細(xì)研究平均數(shù)的概念就沒有必要了。而下面我要再提出一個(gè)"中間值"概念的概括，即平面圖形或立體圖形的"中心"，數(shù)學(xué)化的很多方面需要回答下文中要提出的問題。    2.如果一個(gè)水龍頭1小時(shí)能把水池灌滿，另一個(gè)需要2小時(shí)才能把這個(gè)水池灌滿，那么這兩個(gè)水籠頭同時(shí)灌需要多長時(shí)間能自灌滿水池？這種古老的問題（還有其他像兩個(gè)工人一起勞動(dòng)、兩個(gè)人起吃一定數(shù)量的

26、食物等等）如果不跟數(shù)學(xué)化的廣泛背景結(jié)合起來，并且用傳統(tǒng)的圖式來解決的話，這問題看起來就很可笑。我提出問題后，孩子們把滿的水池分成兩部分，假想每個(gè)水龍頭負(fù)責(zé)其中的一部分：三分之二的部分由"大"的水龍頭承擔(dān)，另外的三分之一由"小"的水龍頭承擔(dān)，于是兩部分都能在2/3小時(shí)內(nèi)灌滿。即使給一些更大的數(shù)，孩子們?nèi)詧?jiān)持按這種形象化的比例來推算，并舉例論證：比如，認(rèn)為用幾個(gè)慢的水龍頭來取代一個(gè)快的。這顯然背離了傳統(tǒng)認(rèn)可的簡化為1小時(shí)的圖式，即：如果兩個(gè)水龍頭能分別用a小時(shí)和b小時(shí)把水池灌滿，那么1小時(shí)內(nèi)，第一個(gè)水龍頭灌池子的1/a，第二個(gè)灌去1/b，于是它們?cè)?小時(shí)內(nèi)一

27、共灌1/a+1/b，整個(gè)水池在 = 小時(shí)內(nèi)灌滿。而按照孩子們的推理，對(duì)應(yīng)地把整個(gè)水池按b：的比率分開，兩個(gè)水龍頭分別灌，那么第一個(gè)水龍頭應(yīng)該灌整個(gè)池子的b/（ab），它就是按原來的a小時(shí)灌滿時(shí)，所應(yīng)乘的因子。    然而奇怪的是，當(dāng)用兩個(gè)人以不同的速度相向而行的問題采取代這類問題的時(shí)候，對(duì)這類問題很熟悉的成年人，往往不注意它與其他問題的同構(gòu)性，而去用線性的路程時(shí)間簡圖來求解問題。這看起來好像是在兩個(gè)人之間分配距離，只是為了得到幾何策略而不是求數(shù)量關(guān)系，就像水龍頭灌水、工作、食物等一樣。像"速度"這樣的思維對(duì)象，有兩種截然相反的基本的圖式化和形式

28、化的辦法：每段時(shí)間所走的路程和每段路程所花費(fèi)的時(shí)間；后者在比較運(yùn)動(dòng)成績的時(shí)候經(jīng)常用到。這種雙向圖式化的另一個(gè)例子是耗油問題：為了知道用一箱油能否走完某段距離，司機(jī)要算出來一箱油能走多遠(yuǎn)。    這種雙向圖式化牽涉到各種現(xiàn)象，并且它的因素之間有著重要聯(lián)系。如果能夠意識(shí)到這些，水池和水龍頭之類的問題就不會(huì)再讓人看起來覺得可笑。調(diào)和的相加和求平均（即變成倒數(shù)之后）實(shí)際上是一個(gè)重要的圖式，要得到它，當(dāng)然需要詳細(xì)的圖式化去引導(dǎo)。    3.在學(xué)校里教學(xué)能被9整除的數(shù)的特征，很難說是數(shù)學(xué)知識(shí).只不過是在驗(yàn)證它的正確有效性罷了。以算盤為模型的定位系

29、統(tǒng)，可以成為一種圖式化：如果用算盤上的算珠代表所給出的數(shù)，那么把一個(gè)算珠移到另一個(gè)檔上，數(shù)的改變量就是9的倍數(shù)；因此，如果所有的算珠都移到個(gè)位上，就得出這個(gè)數(shù)和它的所有位上的數(shù)之和被9除同余。這種推理可以推廣到其他定位系統(tǒng)。    4.對(duì)圖示化而言，百分?jǐn)?shù)這個(gè)工具由于用途廣泛而不宜在此進(jìn)行詳細(xì)論述，我們僅給出一個(gè)特征，來說明它的極度重要性，它涉及到一種重新組織的轉(zhuǎn)換：增加或減少p，即達(dá)到原來的（1 ）倍或（1 ）倍。    5.鐘表的兩個(gè)指針什么時(shí)候重合？用無窮級(jí)數(shù)、簡單的代數(shù)學(xué)、線性草圖都能解決這個(gè)問題，而一旦得出結(jié)果，就有一條捷徑

30、得出恰當(dāng)?shù)膱D式：時(shí)針每轉(zhuǎn)一圈，分針轉(zhuǎn)了12圈，于是在12小時(shí)內(nèi)追上時(shí)針11次，并且保持相同的時(shí)間間隔。這是一個(gè)用途很廣泛的圖式，應(yīng)用到其他問題里能解釋一些天文現(xiàn)象。    6.生日宴會(huì)上有十個(gè)小孩，男孩比女孩多兩個(gè)。    一個(gè)盛著牛奶的桶共重10千克，牛奶比桶重2千克。院子里有雞和兔子：13個(gè)腦袋，36條腿。孩子們最初想用嘗試錯(cuò)誤法來解答這些問題，但是遇到大數(shù)目時(shí)效率就顯得很低；而后就開始利用更顯而易見的形形式式的圖式來解決有關(guān)的問題。比如用"假設(shè)"來進(jìn)行推理：假設(shè)每個(gè)女孩找一個(gè)男孩假設(shè)每個(gè)兔子是一只雞的話這樣不

31、斷地進(jìn)行概括，就產(chǎn)生了代數(shù)。    7.如果你還不熟悉的話，就停下來想想下面的問題：在一群人中任意5個(gè)人里總有兩個(gè)人的歲數(shù)相同，請(qǐng)證明在他們的17個(gè)人中總有5個(gè)人的歲數(shù)相同，你或許會(huì)想出很多圖式來解決這個(gè)問題，但最終的結(jié)果會(huì)使你改變看問題的觀點(diǎn)：實(shí)際上17個(gè)人中間至多有4個(gè)年齡層次。    8.一堆火柴100根，兩個(gè)游戲者輪流每次拿掉110根，能拿走最后一根火柴的人為勝。這里只要知道秘訣就能取勝，這幾乎人人都知道?，F(xiàn)在來玩另外一種游戲：一堆火柴，輪流每次從中拿走2的方冪（2 ）根，也是能拿走最后一根的人取勝。如果只有1根或2根火柴，那

32、么最先拿的人獲勝；如果是3根的話，他就輸；如果有4根則能勝，5根也是如此；先拿走2根，剩下3根另外一個(gè)人怎么拿都輸。如果有6根，不管他拿1根，2根還是4根，他都把有利形勢(shì)讓給了對(duì)方，自己則只好輸?shù)簟?根和8根的情況，分別拿走1根或2根則都能贏（剩6根）。但9根又是一個(gè)不利的情況。繼續(xù)分析，就能猜到：對(duì)輪到拿的人來說，如果火柴根數(shù)是3的倍數(shù)，則處于失敗境地，其他情況則不會(huì)輸。你能證明嗎？結(jié)果表明要考慮模3的算術(shù)。2的方冪模3余2或1。因此那些2的高次冪都沒什么關(guān)系，而是最后歸結(jié)成取1根還是2根的問題-這是古老游戲的一種細(xì)微的變形。    另外一種變形：只允許拿走素?cái)?shù)

33、根（還包括l）。    我們來列出輪到拿的人所處的有利位置和不利位置的情況。    顯然，    1、2、3、5、6、7、9、10、11、是有利的，    4、8、12是不利的。    實(shí)際上，以12為例，不管你從中拿哪個(gè)素?cái)?shù)，你都把有利位置讓給了對(duì)方；而把上一行的數(shù)分別減去1、2或3，都能把對(duì)方送到下面一行。這表明要考慮模4的算術(shù)，在這里只需用3來代替10，就退化成古老的游戲。還有一種變形：每次可拿1根或4根，那么  

34、60; 1、3、4、6、8、9、11、是處于有利位置；    2、5、7、10、12、是處于不利位置。    被5除，余1、3、4則有利，余0、2則不利。    實(shí)際上，如果輪到拿的人處于第一種狀況，他就能采取任何拿走4根或者1根的行動(dòng)，這樣就能保持有利的狀況。    這里給出的游戲相互之間表現(xiàn)出了相似的特征。它們的相似性背后又有什么更深的屬性呢？它們能作為更一般的游戲的范例嗎？如果這樣的話，怎樣更一般的闡述呢？    在我們做過的游戲里，與其說

35、是示范性地開始，倒不如說展開問題的一般方法是：先找出最后的結(jié)果，再來證明它-即違反教學(xué)法的顛倒。我們給出的是開放的結(jié)果，而不是最后的結(jié)論。    9.一系列圓盤，編號(hào)為1、2、3，盤的一面是黑色，另一面是白色。開始所有的黑面都朝上，先把編號(hào)為偶數(shù)的盤翻過來，然后把編號(hào)能被3整除的圓盤翻過來，接著把編號(hào)能被4整除的圓盤翻過來，等等。最后哪些圓盤的黑色一面仍朝上？人們總是先做實(shí)驗(yàn)，然后找素?cái)?shù)因子及一些有類似特征的，只是在最后才找到捷徑：對(duì)于數(shù)n的任意非平凡因子k，都有相應(yīng)的因子 ，只是當(dāng)n是一個(gè)平方數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)才保持一致。從這一點(diǎn)出發(fā)，才能得到簡潔的論述。 

36、0;   10.下面的例子說明，圖式化得來的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軐?dǎo)致重復(fù)計(jì)數(shù)等思想的產(chǎn)生：立方體的八個(gè)頂點(diǎn)處有三條邊相交，似乎說明應(yīng)該得到8×3條邊，而實(shí)際上只有12條邊。    11.通過骰子上的五個(gè)點(diǎn)（圖2）畫一條折線，每個(gè)點(diǎn)經(jīng)過且只經(jīng)過一次，能得到多少不同的圖形？首先，必須對(duì)"不同的圖形"的概念圖式化，可以用全等的方法來區(qū)別。其次，計(jì)數(shù)的過程必須通過適當(dāng)?shù)姆诸悂順?gòu)造，舉例說，考慮五個(gè)點(diǎn)的中間一個(gè)：把它作為起點(diǎn)，作為（折線的）第一站、（折線的）第二站，再對(duì)四個(gè)角上的點(diǎn)繼續(xù)以同樣方式處理。   

37、12.除了前面的問題外，數(shù)學(xué)化另外一個(gè)重要的方面可以用例子來說明，?quot;棋盤上的谷粒"這一著名問題：為了估算2 ，用10 代替2 ，這就是數(shù)值圖式化的一個(gè)例子。    13.至此，我忽略了數(shù)學(xué)化的語言特點(diǎn)。為了有所選擇，我參考了87，第4章，p.15。選擇即意味著放棄，我不愿這樣做，只好如此了。    14.我也沒充分注意到觀點(diǎn)的改變。像87，第4章，p16的例子所顯示的那樣，這是一個(gè)十分豐富的課題，這個(gè)課題需要更加系統(tǒng)地去處理，我還不敢妄為。對(duì)此我可以補(bǔ)充很多，但我不愿。    15.一

38、個(gè)木桶，上蓋封住，有4個(gè)洞，呈正方形（圖3）。    在洞的正下方有四個(gè)圓盤，一面黑色，一面白色，而顏色是看不見的。游戲者允許選擇打開1個(gè)或2個(gè)洞，把相應(yīng)的圓盤翻過來。操作一次之后，繞著桶的豎軸隨意地旋轉(zhuǎn)木桶，使游戲者找不到他剛選擇的孔洞，如此隨意重復(fù)下去，一旦四個(gè)圓盤的上面的顏色已經(jīng)一致，則響鈴示意游戲結(jié)束。找一個(gè)方案，保證最后能讓所有圓盤顯示相同的顏色！    這個(gè)例子蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)化特征。為了讓愿意自己獨(dú)立解決這個(gè)問題的讀者不至于失望，我把答案歸到附錄里。     1.3.4 數(shù)學(xué)化-橫向的和縱向

39、的    1978年，特萊弗斯（Treffers）在他的論文里把橫向和縱向數(shù)學(xué)化區(qū)別開來-不是嚴(yán)格的，而是帶有適當(dāng)?shù)谋Ａ簦簷M向數(shù)學(xué)化，能使一個(gè)問題的領(lǐng)域變得易于進(jìn)行數(shù)學(xué)上的處理（這里指狹義的、形式的數(shù)學(xué)），而相對(duì)的縱向數(shù)學(xué)化卻或多或少影響到復(fù)雜的數(shù)學(xué)處理過程。長期以來，我不愿接受這種劃分。我關(guān)注的是兩種活動(dòng)在理論上的等價(jià)性，以及由此決定的實(shí)用中的同等地位；我怕這種區(qū)分破壞了它們之間的這種關(guān)系。根據(jù)特萊弗斯的術(shù)語觀，那些熱衷于教育的數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)化限制在它的縱向因素；而致力于數(shù)學(xué)教學(xué)的教育家卻把數(shù)學(xué)化限制在它的橫向因素，而多少次他們的做法并沒使我感到喪氣！最終我接受了

40、這種分的思想，甚至到了極力推崇的地步；我還給它們的形成加上了某些細(xì)微的差異，但我認(rèn)為，在某種意義上還是尊重了特萊弗斯的初衷。我接受這種劃分，還因?yàn)樗鼘?duì)數(shù)學(xué)教育的影響，尤其是在規(guī)定教育方式的時(shí)候。在我討論數(shù)學(xué)教育的理論框架時(shí)（見3.1.2）還會(huì)詳細(xì)地解釋。    我們給這種劃分的特征作如下規(guī)定：橫向數(shù)學(xué)化把生活世界引向符號(hào)世界。在生活世界里，人們生活、活動(dòng)，同時(shí)也受苦受難；在符號(hào)世界里，符號(hào)生成、重塑和被使用，而且是機(jī)械地、全面地、互相呼應(yīng)地；這就是縱向數(shù)學(xué)化。在生活世界里，經(jīng)歷的就是現(xiàn)實(shí)（其意義前邊講過），而符號(hào)世界則是關(guān)于它的抽象化。當(dāng)然，這兩種世界的界限十分模

41、糊，可以互為擴(kuò)張和縮小-同時(shí)以另一個(gè)為代價(jià)。有些東西在某一事例中屬于生活世界，而在另一件事中屬于符號(hào)世界（路線圖、地圖、幾何圖形、帳單、目錄單、要填的表格，等等）。自然數(shù)屬于生活世界，而抽象的加法需要符號(hào)圖式。抽象的加法可以被結(jié)合到生活世界，而加法的可交換性的認(rèn)識(shí)（由此而產(chǎn)生的乘法）還需要經(jīng)過處理的模型以及在符號(hào)世界里所理解的等價(jià)意義。對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)專家來說，數(shù)學(xué)對(duì)象可能是他生活的一部分，而對(duì)于初學(xué)者來說卻完全不同。橫向和縱向數(shù)學(xué)化的區(qū)別依賴于特定的情境，牽涉到人和他周圍的環(huán)境。除了這些一般性，不同層次的例子則是解釋它們之間區(qū)別的最好辦法。    1.3.5 例子&#

42、160;   1.數(shù)數(shù) 為了數(shù)數(shù)，一個(gè)沒有結(jié)構(gòu)的事物或事件的集合必須進(jìn)行結(jié)構(gòu)化-手工的、視覺上的、聽覺上的或在大腦里-而對(duì)大體上結(jié)構(gòu)化了的集合必須揭示或強(qiáng)化其已有的結(jié)構(gòu)。這就需要橫向數(shù)學(xué)化。而另一方面，如何在這個(gè)（新創(chuàng)造的或揭示的）結(jié)構(gòu)中運(yùn)用數(shù)數(shù)的次序則是縱向數(shù)學(xué)化，它依據(jù)結(jié)構(gòu)本身，可以采馭不同復(fù)雜程度的方法：例如可以用乘法來給一個(gè)能用矩形結(jié)構(gòu)表示的（即能排成幾行幾列的）集合數(shù)數(shù)。    2.多些或少些 同時(shí)構(gòu)造兩個(gè)給定的集合也許是橫向數(shù)學(xué)化，而找出誰是誰的子集則是縱向的?；蛘邠Q一種情況，給兩個(gè)集合數(shù)數(shù)是橫向數(shù)學(xué)化，而說出數(shù)數(shù)的順序，聽聽哪個(gè)數(shù)

43、在前邊，就是縱向的。     3.相加 一個(gè)問題需要把5個(gè)和3個(gè)想象中的石頭彈子加起來，它可以用"手指的圖式"來進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化，而數(shù)手指的辦法則是縱向的。換一種說法即是，用53的算術(shù)和來表示前一個(gè)問題是橫向數(shù)學(xué)化，而解答結(jié)果則可以通過縱向地一個(gè)一個(gè)數(shù)、或用44來代替，或用記憶等辦法來得到。    4.相加 如果直到10的自然數(shù)都屬于生活世界，那么用（102）（52）=105的辦法求解85就是縱向數(shù)學(xué)化，而礁霰患郵慕峁乖蚴峭ü嵯蚧竦玫摹?br> 5.交換律 如果2和9是可見的或在大腦中結(jié)合成線性結(jié)構(gòu)的

44、集合，并且它們的結(jié)合可以被倒過來讀的話，那么用92代替29可以歸到橫向數(shù)學(xué)化里。交換律一旦被普遍使用，就能被縱向說明了。    6.加法 當(dāng)在如下情形中使用加法時(shí)，它就是屬于縱向數(shù)學(xué)化的一個(gè)符號(hào)：當(dāng)A到B及B到C之間的距離己被步測(cè)之后，則從A經(jīng)B到C的距離就不用再重新步量，而只需把前面兩個(gè)數(shù)值相加即可。    7.乘法 8的5倍可以用5行8列的矩形圖式來橫向數(shù)學(xué)化，而縱向數(shù)學(xué)化則可能得到如下的序列8、16、24、32、40。    8.乘法 人們最終認(rèn)識(shí)到對(duì)相同被加數(shù)的加法，并把它獨(dú)自作為一種運(yùn)算-這種過

45、程以橫向數(shù)學(xué)化開始，并以縱向數(shù)學(xué)化結(jié)束。    9.除法 當(dāng)需要把一些物品分給一群人的時(shí)候（例如圍成一桌打牌時(shí)的發(fā)牌），可以把這些物品一個(gè)一個(gè)地發(fā)下去，也可以每回分給每個(gè)人等量的物品，直到分完為止；這是分配問題的橫向數(shù)學(xué)化。縱向數(shù)學(xué)化則在于尋找愈來愈大的份額（直到剛好合適），從而來縮短分發(fā)的過程。這些過程是逐步圖式化的一個(gè)顯著的例子（在這個(gè)例子中是逐步的算法化，最終導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的長除算法）。    10.組合學(xué) 如果A、B之間有3條路相連，B、C之間有4條路，那么從A經(jīng)B到C共有多少種不同的走法？橫向數(shù)學(xué)化在于找出問題的結(jié)構(gòu)，這可以從某種

46、巧妙的計(jì)算開始，而最終用乘積的手段來完成縱向數(shù)學(xué)化。依具體情況的不同，這種"道路的圖式"在其他情形中的應(yīng)用既可能是橫向的也可能是縱向的數(shù)學(xué)化。把3和4同用字母代替則是縱向的數(shù)學(xué)化。    11.比率 對(duì)一些從幾何上或代數(shù)上看起來具有某種相似性的一類問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化，會(huì)出現(xiàn)橫向與縱向的思路交替發(fā)生的情況，開始時(shí)會(huì)這樣敘述：在這里大小加倍的東西，在另一邊也必然加倍。    12.比 把足球比分2：1和3：2等價(jià)起來是不對(duì)的，把它們和4：3、5：4等繼續(xù)比較下去就能看出來，這是縱向數(shù)學(xué)化搗的鬼。為了找出一個(gè)公正的比較辦法，

47、要用到橫向引入，并從縱向得到幾何的圖式或比例表。    13.直線性 比率可以通過上面得到圖式和線性函數(shù)的直線圖象進(jìn)一步縱向數(shù)學(xué)化，日常生活的很多情形都能如此，它們通過橫向數(shù)學(xué)化與比率聯(lián)系起來。揭示固定的比率和平直度之間的關(guān)系是縱向數(shù)學(xué)化的一大功績，這也正是比率值和圖象的陡峭程度之間的關(guān)系。對(duì)商業(yè)事務(wù)中牽涉到的一個(gè)固定的或成比例的比率進(jìn)行的橫向數(shù)學(xué)化，總是伴隨著縱向數(shù)學(xué)化發(fā)生，它把商業(yè)事務(wù)的特點(diǎn)和圖像的特點(diǎn)聯(lián)系起來。    14.垛積數(shù) 用于幾何（形狀）給出的垛積數(shù)，它們的大小和關(guān)系就屬于橫向數(shù)學(xué)化問題。例如（圖4），前n個(gè)奇數(shù)的和等

48、于n的平方，又如（圖5）：第n1個(gè)三角形數(shù)和第n個(gè)三角形數(shù)的和等于n的平方。長期以來，這都是橫向的經(jīng)驗(yàn)，而且一旦把這種敘述和關(guān)系表達(dá)成公式進(jìn)行處理，縱向數(shù)學(xué)化就占了主導(dǎo)。證明這種關(guān)系的歸納步驟具有縱向的特征，即使在很長的時(shí)間內(nèi)它將像橫向的那樣起作用。在證明中所用的完全歸納法語言也表現(xiàn)出縱向的數(shù)學(xué)化。    15.帕斯卡三角 這種情形和上一個(gè)例子類似：一旦給出了帕斯卡三角，它的元素間的大量關(guān)系是橫向數(shù)學(xué)化獲得的。二項(xiàng)式系數(shù)的一般的代數(shù)表達(dá)式需要縱向數(shù)學(xué)化；眾所周知，很多組合問題都和帕斯卡三角有關(guān)。荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾是國際上知名的數(shù)學(xué)教育方面的權(quán)威學(xué)者。

49、在他擔(dān)任國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(1CMl)主席期間，召開了第一屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME1)，并創(chuàng)辦了Educational Studies in Mathematics雜志，現(xiàn)任ICMI主席(巴黎十一大學(xué)校長)加亨(Kahane)教授曾評(píng)價(jià)說“對(duì)于數(shù)學(xué)教育，本世紀(jì)的上半葉Felix Klein做出了不朽的功績；本世紀(jì)的下半葉Hans Freudenthal做出了巨大的貢獻(xiàn)?！?    作為一位數(shù)學(xué)家，弗賴登塔爾30年代就享有盛譽(yù)，從50年代起就逐漸轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)教育的研究，形成了他自己的獨(dú)到的觀點(diǎn)。他的數(shù)學(xué)教育理論與思想，完全是從數(shù)學(xué)教育的實(shí)際出發(fā)，用數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教師的

50、眼光審視一切，可以說已經(jīng)擺脫了“教育學(xué)”，(或“心理學(xué)”)加數(shù)學(xué)例子這種“傳統(tǒng)的”數(shù)學(xué)教育研究模式，抽象概括成他獨(dú)有的系統(tǒng)見解，這也許是他最重要的貢獻(xiàn)，也正是我們特別需要借鑒之處。 第一節(jié)  關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)特性的論述     數(shù)學(xué)教育的研究不能離開它的對(duì)象數(shù)學(xué)的特有規(guī)律，進(jìn)入20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)發(fā)展的突飛猛進(jìn)，迫使當(dāng)代社會(huì)的數(shù)學(xué)教育必須充分考慮到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。為此，弗賴登塔爾從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史出發(fā)，深入研究了數(shù)學(xué)的悠久傳統(tǒng)，以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成的背景，提出了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是否應(yīng)該以現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的誕生和約當(dāng)(Jordan)的置換群的產(chǎn)生作為標(biāo)志；或者是另一種看

51、法，那是以著名的布爾巴基(Bourbaki)理論的出現(xiàn)，作為一個(gè)新時(shí)期的開端。基于這一分析，弗賴登塔爾認(rèn)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特性，可以歸結(jié)為以下幾個(gè)方面：     1數(shù)學(xué)表示的再創(chuàng)造與形式化活動(dòng)。如果認(rèn)真分析一下近幾十年來數(shù)學(xué)的變化，就會(huì)發(fā)現(xiàn)變的主要是它的外表形式，而不是它的內(nèi)容實(shí)質(zhì)。這是一個(gè)自然演變的過程，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，逐斬滲透與發(fā)展了各種新知識(shí)與新詞匯，最終匯成一個(gè)新潮流形式化，這是組織現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要方法之一，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的標(biāo)志之一。事實(shí)上，這個(gè)形式化過程還在繼續(xù)不斷地演變著，新的形式在不斷地創(chuàng)造著，形式化的進(jìn)程也許剛開始，它將以更自覺的方式繼續(xù)活動(dòng)。 

52、0;   微積分的發(fā)展是一個(gè)例子，當(dāng)牛頓、萊布尼茲開始引入微分、積分以及無窮小的時(shí)候，這都是一些具有某種直觀背景的模糊觀念。根據(jù)某些實(shí)際需要，對(duì)它們進(jìn)行各種描述，以及各種運(yùn)算；經(jīng)過了一段很長的歷史，才逐漸形成了極限的概念，才有了形式的定義，于是微積分才有嚴(yán)密、精確而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的邏輯演繹體系，這是對(duì)長期的非形式化運(yùn)算過程進(jìn)行形式化改造的結(jié)果。     再如表示一個(gè)函數(shù)的符號(hào)，為什么應(yīng)該記作f，而不宜寫作f(x)、這個(gè)道理很難敘述清楚，尤其是在只涉及幾個(gè)具體函數(shù)的有限范圍內(nèi)，人們很不容易理解它的必要性，可是當(dāng)你進(jìn)入泛函分析

53、的領(lǐng)域，要涉及函數(shù)的集合以及它們生成的空間，甚至進(jìn)一步討論空間之間的映射等等時(shí)，這種表達(dá)形式的精確化，隨著討論對(duì)象的日益抽象，涉及面的日益廣泛，而愈來愈顯出它的迫切性，這時(shí)才能體會(huì)表示形式的變化是不可避免的。     形式化要求以語言為工具，按邏輯的規(guī)律，有意識(shí)地精確地表達(dá)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)含義，不容許混淆，也不容許矛盾。換句話說，數(shù)學(xué)需要有自己特定的語言，嚴(yán)密、精確、完整而且相容。隨著數(shù)學(xué)抽象程度的提高，語言表達(dá)的嚴(yán)密性日益增強(qiáng)，甚至像計(jì)算機(jī)語言似的向著符號(hào)邏輯的趨勢(shì)發(fā)展。但這種數(shù)學(xué)語言的發(fā)展顯然也不是絕對(duì)的，需要有個(gè)過程，這也就反映了數(shù)學(xué)有各種不同程度的形式化，在特定

54、環(huán)境下，可以為特定的目的，構(gòu)造不同的形式化語言。     根據(jù)弗賴登塔爾的分析，我們認(rèn)為現(xiàn)代社會(huì)的數(shù)學(xué)教育，當(dāng)然不可能要求一下子飛躍到20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的最前沿，以形式化的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，充塞于各種課程、教材之中。因?yàn)榻逃厝挥幸欢ǖ臏笮?，兒童、少年的生理、心理發(fā)展規(guī)律，也必須要求以直觀的具體的內(nèi)容作為抽象的形式的背景與基礎(chǔ)，可是最終應(yīng)該達(dá)到的目的是，使學(xué)生理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)這一以特定的數(shù)學(xué)語言表達(dá)的形式體系。當(dāng)然這里有各種不同的要求，因而也要掌握不同層次的形式化，并且運(yùn)用著不同水平的數(shù)學(xué)語言。于是如何根據(jù)學(xué)生的情況，培養(yǎng)他們從現(xiàn)實(shí)背景中，概括出各種數(shù)學(xué)的觀念與運(yùn)算，熟練

55、地使用各種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言，有意識(shí)地占領(lǐng)并逐步建造起他們頭腦中的不同形式體系，這一形式化活動(dòng)的過程，就必須貫穿在數(shù)學(xué)教育的始終。     2數(shù)學(xué)概念的建設(shè)方法，從典型的通過外延描述的抽象化，進(jìn)而轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)公理系統(tǒng)的抽象化，承認(rèn)隱含形式的定義，從而在現(xiàn)代科學(xué)方法論的道路上，邁開了決定性的一步。要是把康脫(Cantor)的集合論的創(chuàng)造，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開端，你就會(huì)看到建設(shè)概念的典范是通過“外延”來描述一個(gè)概念，即描述具有概念所反映的特性的對(duì)象全體，由此來了解并掌握這個(gè)概念；隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展，人們感到通過“外延”的描述，從而形成概念的印象這個(gè)方法，在不少情況下難以達(dá)到預(yù)定的

56、目的；在更多的內(nèi)容中，人們借助于具有這些特性的所有對(duì)象，從各種特殊情況中，描述它們的共性，闡述它們所必須滿足的共有關(guān)系，解釋它們所受的相關(guān)的約束、限制條件等等，從而抽象出一個(gè)更廣泛、更一般的概念，這就是用公設(shè)或者是公理方法建立的概念；它的實(shí)質(zhì)就是以隱含的方式描述了所要研究的對(duì)象，它并未明確指出概念的“外延”，但卻已經(jīng)規(guī)定了它必須滿足的條件，這就是以隱含的形式作了定義，跳出了亞里土多德的形式邏輯的理論，從而使現(xiàn)代數(shù)學(xué)跨上了更高水平的形式體系，就如以布爾巴基為代表的學(xué)說，認(rèn)為整個(gè)數(shù)學(xué)也只是對(duì)“結(jié)構(gòu)”的研究。     從整數(shù)的有序?qū)斫⒂欣頂?shù)，當(dāng)然需要附上一個(gè)等價(jià)關(guān)系

57、：那就是的充分而又必要條件是adbc(這里a、b、c、d均為整數(shù)，bd0)，于是有理數(shù)就作為是有序整數(shù)對(duì)的等價(jià)類，這是典型的通過外延的描述來建立有理數(shù)的概念?？墒窃谌旱母拍钚纬芍?，卻采取了另外的形式，通常是規(guī)定在某個(gè)集合中，定義了一個(gè)運(yùn)算，使之符合結(jié)合律，并且存在單位元和逆元，于是這個(gè)集合就成為群。這樣的定義可以適用于數(shù)域，例如整數(shù)集是個(gè)加法群，非零有理數(shù)集是個(gè)乘法群；同時(shí)，也可以適用于其他的如置換群與變換群，這就是因?yàn)樵谌焊拍畹某橄蠡^程中，并未明確規(guī)定具有有關(guān)特性的對(duì)象，而只是隱含地闡述了它們所應(yīng)該具有的條件。這在希爾伯脫的幾何公理系建立過程中，已經(jīng)充分體現(xiàn)了這種方式，點(diǎn)、直線、平面究競是

58、什么，雖然去掉了像歐幾里德所作的“點(diǎn)是沒有部分的”這類模糊的描述，但也并未給出任何清晰的闡述，卻只是隱含地描述了點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系與性質(zhì)，而正是這些關(guān)系與性質(zhì)，在演繹推理過程中起了實(shí)質(zhì)性的作用。日常生活中，我們也會(huì)有這種體會(huì)，就像下棋，人們并不在乎棋子的大小、顏色、甚至質(zhì)地與形狀，注重的恰恰只是棋子所必須服從的活動(dòng)規(guī)則。     弗賴登塔爾之所以強(qiáng)調(diào)這一特性，正在于他抓住了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展在方法論上所起的突變。數(shù)學(xué)教育本身是個(gè)過程，它不僅是傳授知識(shí)，更重要的是在教學(xué)過程中，讓學(xué)生自己親身實(shí)踐，而抓住其發(fā)展規(guī)律，學(xué)會(huì)抽象化、形式化的方法。就我國的數(shù)學(xué)教育而言，近

59、年來已開始注意一些現(xiàn)代“結(jié)構(gòu)”、“公理化”思想方法的滲透，但如何抓住其精萃，真正的“滲透”，并且又不至太脫離了具體的現(xiàn)實(shí)世界，超越了當(dāng)前教育的實(shí)踐基礎(chǔ)；要使我們的數(shù)學(xué)教育腳踏實(shí)地地趕上世界潮流，而不僅是囫圇棗地咽下一些新名詞，何況這些數(shù)學(xué)“公理”、數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)”，畢竟還需要人們所賴以生存的現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界作為基礎(chǔ)，如果忘記了這個(gè)背景，再高深、再嚴(yán)密的抽象概念，也難以讓人們掌握與領(lǐng)會(huì)。     3傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間界限的月趨消失，一貫奉為嚴(yán)密性的典范的幾何，表面上看來似乎已經(jīng)喪失了昔日的地位，實(shí)質(zhì)上正是幾何直觀在各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間起著聯(lián)絡(luò)的作用；正如康德(Kant)所說：沒

60、有概念的直觀是無用的，沒有直觀的概念是盲目的。當(dāng)年歐幾里德的幾何原本曾被奉若神明，可是今天，在布爾巴基學(xué)派的結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)中，幾何卻占據(jù)了很少的篇幅，學(xué)校數(shù)學(xué)教育中，幾何的地位也已岌岌可危，可實(shí)際情況又是怎么樣呢?     現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化形式就是來源于希爾伯脫的幾何公理系，幾何的術(shù)語如“空間”、“維”、“鄰域”、“映射”、等幾乎滲入了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域復(fù)函數(shù)理論的發(fā)展，基礎(chǔ)在于復(fù)數(shù)表示為平面的點(diǎn)；代數(shù)方程xn1的意義之闡明，與復(fù)數(shù)平面中正n邊形的作法密切相關(guān)；集合論的研究更充分顯現(xiàn)出幾何直觀的數(shù)軸、點(diǎn)集、映射、等，如何作為一種重要的組織方法；測(cè)度論是在幾何面積概念的基

61、礎(chǔ)上形成的，而拓?fù)渲凶钣辛Φ拇鷶?shù)方法恰是開始于最基本的形狀多面體的直觀研究。     大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的概念和問題，都有著一定的幾何背景，有關(guān)問題的解決，也常常依賴于頭腦中能否出現(xiàn)清晰的n維空間甚至無限維空間的直觀形象，或是找到適當(dāng)?shù)膸缀谓忉?，幾何形象常常?dǎo)致問題解答的途徑。且看愛因斯坦的一段精辟論述：“數(shù)學(xué)定理一涉及現(xiàn)實(shí)，它就不是必然的，而數(shù)學(xué)定理如果必然，它就不涉及現(xiàn)實(shí)，公理化的進(jìn)展就反映在邏輯形式與現(xiàn)實(shí)直觀內(nèi)容的截然分開，”而幾何恰恰是在其間起著啟示、聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用，在界限日趨消失的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的問題、概念與方法的廣闊沙漠中，幾何直觀卻常常可以提示

62、我們，拯救我們，并告訴我們什么是重要的、有趣的和可以理解的。     從現(xiàn)代數(shù)學(xué)反映出的這一特性，給我們提出了兩個(gè)方面的問題。多少年來數(shù)學(xué)課程的設(shè)置常在“分久必合，合久必分”的一對(duì)“分”“合”矛盾之間周旋，算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角、微積分、這一系列的學(xué)科，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展史中各個(gè)不同階段；不同側(cè)面的情況，它們自有其各自的特點(diǎn)與規(guī)律；再結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律與認(rèn)知過程，更需根據(jù)教學(xué)的規(guī)律來作出課程的設(shè)計(jì)，在不同時(shí)期側(cè)重于不同方面是完全應(yīng)該的；但總的目標(biāo)是顯然的，即使分也不能一分到底，完全分家，總還應(yīng)該將數(shù)學(xué)視作為一個(gè)整體；當(dāng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)這個(gè)工具以解決問題時(shí)，就必須善于綜

63、合地應(yīng)用代數(shù)、幾何、三角、等各種方法，應(yīng)該使之互相滲透，互相結(jié)合，從中找出最佳的組合，而不是互相割裂，生搬硬套。     另一個(gè)問題則是對(duì)于幾何教育在數(shù)學(xué)教育中的地位、作用問題，這同樣是多年來爭論不休，各不相讓的問題，叫了多少年的“歐幾里德滾出去”的口號(hào)，可是仍有不少人認(rèn)為，任何數(shù)學(xué)問題。最終還是需要建立在幾何的基礎(chǔ)上，這個(gè)話從現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的特性分析，似乎也有它一定的道理。當(dāng)然幾何究竟應(yīng)該處于怎樣一個(gè)恰當(dāng)?shù)牡匚?，它在?shù)學(xué)體系的教學(xué)中，可以起什么樣的作用，到底怎樣才能使幾何直觀或是公理化思想，在人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，生根開花，充分發(fā)揮它的效用，這自然也是研究數(shù)學(xué)教育

64、所必須面對(duì)的重要問題。     4相對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中對(duì)算法數(shù)學(xué)的強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該認(rèn)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)更重視概念數(shù)學(xué)，或者說是思辨數(shù)學(xué)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)中開始了現(xiàn)代化進(jìn)程的主要標(biāo)志集合論、抽象代數(shù)和分析、拓?fù)涞榷际歉拍睿急娴膰姲l(fā)，它沖破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的僵化外殼，但是每個(gè)概念的革新，都包含著自身的算法萌芽，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的道路。算法數(shù)學(xué)與思辯數(shù)學(xué)之間是一個(gè)相對(duì)的、辯證的關(guān)系，這并不等同于新與舊，高與低；概念數(shù)學(xué)果然體現(xiàn)了機(jī)械操作運(yùn)算的突破，提高了理論的深度；而算法數(shù)學(xué)則意味著鞏固，因?yàn)樗峁┝思夹g(shù)方法，可以探索更進(jìn)一步的概念深度，同時(shí)也為了有個(gè)廣闊的平臺(tái)為基礎(chǔ)，可以跳導(dǎo)更高。  

65、60;  一個(gè)典型的例子，相同數(shù)量的一杯白酒與一杯紅酒，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒內(nèi)，試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反?通常的解法是：假設(shè)兩酒杯容量均為a，一匙的容量為b,則第一次動(dòng)作后，白酒杯中所含白酒量為a-b，第二次動(dòng)作后，不少人會(huì)在計(jì)算過程中擱淺、碰壁。在解此題時(shí)，很少人會(huì)作這樣的推理：兩個(gè)杯子最終還是含有相同數(shù)量的酒，如果想象每個(gè)杯子中白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒就是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補(bǔ)，這樣就可以馬上得出結(jié)論：白酒杯中所含紅酒的量與紅酒杯中所含白酒的量應(yīng)該是一樣多。這里

66、的前一種解法是算法的，而后一種解法就是思辨的。     在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，算法曾經(jīng)發(fā)揮了極大的威力。韋達(dá)(Vieta)的代數(shù)，笛卡爾的解析幾何，萊布尼茲的微積分，都是這方面的出色成果，近年來的同調(diào)論以及同態(tài)圖解法也是驚人的例子，算法數(shù)學(xué)確實(shí)有其迷人之處，通過算法的操作往往可以增加人們的自信與能力。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，當(dāng)然也反映了沉迷于算法之中，會(huì)使人們的思想受到束縛與桎梏，必須跳出這個(gè)圈子，才能在數(shù)學(xué)的視野范圍上有所拓廣、有所深入，墨守成規(guī)地機(jī)械操作，必須隨之以概念的革新，思維的組織，形成新的結(jié)構(gòu)與新的體系。集合論的誕生，公理系統(tǒng)的建立，布爾巴基學(xué)派的出現(xiàn)，又證明了這一點(diǎn)。     如何根據(jù)算法的數(shù)學(xué)與思辨的數(shù)學(xué)這一辯證關(guān)系，來組織我們的數(shù)學(xué)教育，也是經(jīng)常使人感到困惑的問題之一。其實(shí)這個(gè)問題，就是知識(shí)與技能的關(guān)系，是強(qiáng)調(diào)概念，強(qiáng)調(diào)理解，還是著重運(yùn)算，著重操作?有人