《分類討論思想在中學數(shù)學中的應用》論文

1、安陽師范學院本科學生畢業(yè)論文分類討論思想在中學數(shù)學中的應用作 者 相思雨 院 (系) 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級 2008級 學 號 000000000 指導老師 相思雨 論文成績 日 期 2012年05月14日學生誠信承諾書本人鄭重承諾:所呈交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究成果盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得安陽師范學院或其他教育機構(gòu)的學位或證書所使用過的材料與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意簽名: 日期: 論文使用授權(quán)說明本人完全了解

2、安陽師范學院有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定，即:學校有權(quán)保留送交論文的復印件，允許論文被查閱和借閱；學?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復制手段保存論文簽名: 導師簽名: 日期: 分類討論思想在中學數(shù)學中的應用相思雨（安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 河南 安陽 455002）摘 要：在解數(shù)學問題時，應用分類討論思想，通過正確分類，可以使復雜的問題得到清晰，完整，嚴密的解答分類討論的思想在解決某些數(shù)學問題時，其解決過程包括多種情形，需要根據(jù)所研究的對象存在的差別，按一定標準把原問題分為幾個不同的種類，并對每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結(jié)果和結(jié)論進行匯總，最終使得整個問

3、題在總體上得到解決關(guān)鍵詞：正確分類；應用；分類討論思想；標準1 簡述分類討論思想由于在研究問題過程中出現(xiàn)了不同情況，從而對不同情況進行分類研究的思想，我們稱之為分類討論思想，其實質(zhì)是一種邏輯劃分的思想，是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學策略分類討論思想，是一種重要的數(shù)學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略分類討論思想具有較高的邏輯性及很強的綜合性，有利于提高學生對學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性，縝密性，科學性，所以在數(shù)學解題中占有重要的位置2 分類討論的要求、原則及其意義分類討論的要求：正確應用分類討論思想，是完整解題的基礎應用分類討論思想解決問題，必須保證分類

4、科學，統(tǒng)一，不重復，不遺漏，在此基礎上減少分類，簡化分類討論過程為了分類的正確性，分類討論必需遵循一定的原則進行，在中學階段，我們經(jīng)常用到的有以下四大原則: 同一性原則分類應按照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據(jù)可以通過集合的思想來解釋，如果把研究對象看作全集，是的子集并以此分類，且，則稱這種分類符合同一性原則 互斥性原則分類后的每個子項應當互不相容，即做到各個子項相互排斥，分類后不能有些元素既屬于這個子項，又屬于另一個子項即對于研究對象，是的子集，且作為分類的標準，若，則稱這種分類符合互斥性原則 相稱性原則分類應當相稱，即劃分后子項外延的總和（并集），應當與母項的外延相等

5、 層次性原則 分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項作為母項，再次進行分類，直到滿足需要為止分類討論的意義：在解決數(shù)學問題時，對于因為存在一些不確定因素無法解答或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學問題，我們往往將問題按某個標準劃分為若干類或若干個局部問題來解決，通過正確的分類，能夠克服思維的片面性，可以使復雜的問題得到清晰，完整，嚴密的解答3 分類討論思想在中學數(shù)學中的應用3.1 分類討論思想在集合中的應用 在集合運算中也常常需結(jié)合元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系分類討論，尤其是對一些含參數(shù)的集合問題，常需要進行分類討論求解 例1 設且，求實數(shù)

6、的取值范圍分析 當時的范圍與實數(shù)取值的正負號，與2的大小均有關(guān)系，因此必須對分情況討論，從而得到集合，再根據(jù)，求出的取值范圍解 ， 當時，因為，所以，解得，與矛盾 當時，因為，所以，解得，故 當時，因為，所以，解得，故綜上可得3.2 分類討論思想在函數(shù)中的應用3.2.1 分段函數(shù)中的分類討論例2 已知函數(shù)，作函數(shù)的圖像分析 是分段函數(shù)，沒有統(tǒng)一的表達式，所以按其零點分區(qū)間討論解 當時，； 當時，； 當時， ；即故的函數(shù)圖像為如圖（1）所示:圖（1）3.2.2 函數(shù)中含參數(shù)的分類討論例3 已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，記作，求的函數(shù)表達式解 原式配方得，其對稱軸方程為， 當時，即時，在上遞增，在時，

7、； 當時，即時，在處有最小值，； 當即時，在上單調(diào)遞減，在時，；綜上所述可得3.3 分類討論思想在不等式中的應用3.3.1 涉及運算要求的分類討論我們在解題過程中，往往將式子變形或轉(zhuǎn)化為另外一個式子來進行解題和運算，很多變形和運算是受條件限制的，如解不等式當兩邊同時乘（除）以一個代數(shù)式時，要考慮代數(shù)式的值是否為負；解無理不等式時，去掉根號要考慮兩邊是否都大于等等例4 解不等式分析 解此不等式需要去掉根號，而去掉根號時，需要考慮兩邊是否同為正，才能同時平方而不改變不等號方向，因此根據(jù)運算要求進行分類討論解 原不等式等價于，或；解得，或原不等式解集為3.3.2 含參數(shù)不等式的分類討論例5 解關(guān)于的

8、不等式分析 原不等式是關(guān)于的一元二次不等式，可化為由于與無法確定，此不等式無法解下去，因此對進行討論，討論的著眼點應該在與的大小上解 當時，不等式的解集為； 當時，不等式解集為； 當時，不等式解集為； 當或時，不等式解集為3.4 分類討論思想在排列組合中的應用分類討論思想在排列組合中也常見，尤其是解含有約束條件的排列組合問題時，運用分類討論的方法可以把復雜的問題化為簡單的問題例6 在正方體的個頂點中，條棱的中點，個面的中心及正方體的中心共個點中，共線的三點組的個數(shù)是多少？解 依題意，共線的三點組可以分為三類: 兩端點皆為頂點的共線三點組，共有（個）； 兩端點皆為面的中心的共線三點組，共有（個）

9、； 兩端點皆為各棱中點的共線三點組，共有（個）；所以總共有（個）例7 甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一個人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排共有多少方法？解 本題考查排列組合，按甲參加的日期分類: 甲周一參加，乙和丙在剩下的天中選兩天參加，共有種； 甲周二參加，同理可知有種； 甲周三參加，有種；根據(jù)加法原理可知，總共有種3.5 分類討論思想在數(shù)列中的應用在有些數(shù)列問題中存在不確定的因素，如等比數(shù)列的公比是否為；數(shù)列的項的個數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等，就那樣的數(shù)列問題，我們要進行分類討論例8 已知數(shù)列求它的前項和分析 本題未指明數(shù)列為等

10、比數(shù)列，所以分類討論時還要考慮這一情況解 設， 當時，； 當時，； 當且時，由，得，兩式相減:，綜上所述例9 已知數(shù)列的前和為，滿足關(guān)系式，且，若，求數(shù)列的前項的和解 當時，由，得； 當時，由，得，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，從而， 當，即偶數(shù)時，； 當，即奇數(shù)時，綜上所述3.6 分類討論思想在圓錐曲線中的應用例10 如圖（2）所示，給定點和直線上的動點，的角平分線交于點，求點的軌跡方程，并說什么曲線（ 圖2）分析 由于動點因點在直線上的位置的變動而變化，故設出點的坐標，由題意知點應為的表達式，消去參數(shù)，即得點的軌跡方程本體的關(guān)鍵是如何求點的坐標，方法有多種，如利用角平分線的定義，性質(zhì)可得解

11、 依題意，記，則直線和的方程分別為和設點，則有，由點到直線的距離公式得 點在直線上，故，由得 將代入得 若，則； 若，則，點的坐標為，滿足上式綜上得點的軌跡方程為 此軌跡方程里含有參數(shù)，因參數(shù)的值的不同而導致曲線的形狀不同，從而需要對參數(shù)分情況討論 當時，方程化為 此時，方程表示為拋物線弧段； 當時，軌跡方程為 所以，當時，方程表示橢圓弧段，當時，方程表示雙曲線支的弧段3.7 分類討論思想在立體幾何中的應用點，線，面是組成幾何圖形的三個要素，有些立體幾何題中，這三者的位置關(guān)系是不確定的，因此要對每種情況進行分類討論求解，這樣防止漏解下面一題是涉及點與線的位置關(guān)系不確定的分類討論例11 線段與平

12、面平行，平面的斜線與平面所稱的角分別且，求與平面的距離分析 作，垂足為，則即為所求距離作，垂足為，由已知可證面，同理可證面，面面，由面面平行的性質(zhì)定理可知考慮到在的同側(cè)或異側(cè)，所以分兩種情況討論解 如圖（3），在的同側(cè)時，過點作，垂足為，由已知，設，則可用表示，在中，利用勾股定理列方程，解得 圖(3) 圖(4) 如圖（4），在異側(cè)時，在平面內(nèi)作，交其延長線于，同理可得3.8 分類討論思想在實際問題中的應用近幾年來，考試命題從知識轉(zhuǎn)向能力測試，出現(xiàn)了大量有鮮活背景的實際應用題，這種應用題，往往需要有分類討論的思想才能順利解決其解題思路是：用數(shù)學的語言加以表達和交流，敏捷的接受試題所提供的信息，并

13、和所學的有關(guān)知識相結(jié)合，確定適當?shù)姆诸悩藴剩岩粋€復雜的應用題分解成幾個較簡單的問題，從而使問題獲解例12 有一批貨物，如在本月初出售，可獲利10萬元，然后將本利都存入銀行，每月利率為，如在下月出售，可獲利萬元，但要付萬元貨物保管費，試問這批貨物在本月初出售合算還是下月初出售合算?解 設這批貨物的成本萬元 若這批貨物在本月初出售，將本利存入銀行，到下月初貨主有金額； 若這批貨物在下月初出售，貨主有金額為； ，當成本時，應該本月初出售合算；當成本時，在本月初出售或下月初出售都一樣；當成本時，在下月初出售合算4 如何簡化分類討論分類討論是一種重要的解題策略，但他不是萬能的，不是唯一的，對于分類討論

14、的問題，在熟悉和掌握分類討論的同時，要注意克服盲目討論的思維定勢，要認真審查題目的特點，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能避免分類討論，簡化分類討論過程，從而提高分類討論的效果下面對于避免和簡化分類討論簡單舉個例子： 例13 關(guān)于的方程至少有1個負實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍分析 本題若正面考慮，則必須分為下列3種情況加以討論: 有個負實數(shù)根； 有個正實數(shù)根和個負實數(shù)根； 有個負實數(shù)根和個零根 顯然，這樣解題過程繁瑣冗長，又容易產(chǎn)生錯誤我們可以從命題的反面入手，即先從方程沒有負實數(shù)根時探求實數(shù)的范圍，再求出至少有個負實數(shù)根時的范圍（為的補集） 解 設全集，設方程沒有負實數(shù)根，即只有正實數(shù)根或

15、零根時的范圍為集合由，得所以，即所以集合的補集是故實數(shù)的取值范圍是5 總結(jié)通過探討分類討論思想在中學數(shù)學中集合，函數(shù)，不等式，排列組合等中的應用，我們應用正確的分類討論思想，對不同情況進行分類研究，使問題化整為零，各個擊破，再積零為整，從而使復雜的問題得到清晰，完整，嚴密的解答分類討論的思想方法在解決某些數(shù)學問題時，其解決過程包括多種情形，不可一概而論，難以用統(tǒng)一的形式或同一種方法進行處理，需要根據(jù)所研究的對象存在的差別，按一定標準把原問題分為幾個不同的種類，并對每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結(jié)果和結(jié)論進行匯總，最終使得整個問題在總體上得到解決參考文獻1劉文武.中學數(shù)學中重要的數(shù)學思想

16、分類討論思想M，科學出版社，2003.11.4.2曹軍.數(shù)學開放題及其教學研究M，南京師范大學出版社，2001.3陳光立.最新高中數(shù)學應用開放題大全M，第一版，吉林教育出版社，2004.5.4呂鳳祥.中學數(shù)學解題方法M，哈爾濱工業(yè)大學出版社，2003.5張紹春.名師視點（高中數(shù)學不等式）M，東北師范大學出版社，2007.3.1.6北京天利考試信息網(wǎng).高考真題隨時練-數(shù)學（天利38套），西藏人民出社,2009.7.1.The Application of Categorized Discussion in Secondary School Mathematics Xiang Si-yu (Sch

17、ool of Mathematics and Statistics，Anyang Normal University，Anyang，Henan 455002)Abstract：In the process of solving mathematics problems，through the proper classification，apply the categorized discussion method，can make the complex question get clear，complete and strict answerWhen meet certain mathematics problems，the process of it including a variety of circumstancesWe should according to the difference of the existing research object，put the original problem into a few different kinds on