數(shù)學(xué)分析課后習(xí)題答案--高教第二版(陳紀(jì)修)--5章

1、第五章 微分中值定理及其應(yīng)用習(xí)題5.1微分中值定理i- k/；(vo)>0, /j(xo)<0,證明.v。是/v)的極小值點(diǎn)。 證 由/；(x0) > 0，知當(dāng)5 >0足夠小時(shí)，0<x-xo <6，則 /u)-/(.xo)>0> 于是 /cv)./(.u>0；同理，山 f：(x.)<ot nj知當(dāng) 5>0足夠小吋，若-j<x-x0<0 ,則徹-<0，于是也有 x-xqf(x)-f(x0)>0o從而命題得證。2. (darboux定理)設(shè)/在(a，6)上可導(dǎo)，e(atb)c如果 /,()-/,(.v2)&l

2、t;0,證明在和么之間至少存在一點(diǎn)i使得/w = 0o 證 顯然* x2,不妨設(shè)<x2。若/vj>0，則y'(x2)<0，仿照習(xí)題1 可證存在 w x4 < x2，使得 /(xj < f(x3)， f(x2) < f(x4)，從而 xpx,都 不是/(x)的域大值點(diǎn)，于是/(x)在【七，七的域大值點(diǎn)毛 (xl9x2)，并i l 成立/w=o。若則/'>0，同樣可證/在h，x2的最 小值點(diǎn)g e(u2)，并xl成立fi,) = o。3. 舉例說明lagrange中值定理的任何一個(gè)條件不滿足時(shí)，定理結(jié) 論就有可能不成立。解-1,1上的符號(hào)_

3、數(shù)雄咐)在門0不連續(xù)，所以lagrange屮值定理 的條件不滿足。ifu？-,亇ll，不存在= 1。-1,1上的絕對(duì)值函數(shù)卜|連續(xù)，但在x = 0不4微，所以lagrange中位定理的條件不滿足。而但v(-l，l)，>0，/(<?) = ±1*0。4.沒函數(shù)/(巧在a，/q上連續(xù)，在(a，b,上可微。利用鋪助_數(shù) .v f(x) 1<pu)= a ja) 1h他1i正明lagrange中伉定理，并說明uk-t)的兒何怠義。證然(a) = (b) = 0 .并口.滿足rolle定現(xiàn)條件。山rolle定理./|:(a,fr)內(nèi)存在一點(diǎn)§，使得1 /w 0= &

4、#171;/1=_aw(/，-a)-/(/0-/(a)=0，b f(h) 1所以lagrange中值定理成立。幾何意義:以(j，/(j)，(a，/(a)，(a,/(fc)頂點(diǎn)的三角形如果頂點(diǎn)逆吋針排列，則m.v)就是三角形而積的兩倍，否則一 m.r)就是三州形而積 的兩倍。5.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在o上連續(xù)，在(o)上可導(dǎo)，證明(a，h)內(nèi)存在一點(diǎn)i使得令 f(x)=/gox(a)f(b)炯 f(b)只(a) g(b)ja)(x-a)-(b- a)/w發(fā)w則廠=f(fc) = 0，由100rolle定理，在(a，fr)內(nèi)存在一點(diǎn)§，使得/ f(b)-(ft - a)6.沒非線性函

5、數(shù)/(.r)在ti.a上連續(xù)，在隊(duì)幻上nj導(dǎo)，則在(a.fr)上至少存在一點(diǎn)n，滿足ir11牛迦i，并說明它的兒何意義。證 由于是非線性函數(shù)，所以在內(nèi)至少存在一點(diǎn)i使得 （6/）不在01，/），（6，/的連線上。假設(shè)（f，/）在（a，/（a），（b，/（b）的連線的上方，則/gt） - /）他-/）他-燦 b垂 a!卜 i利用lagrange屮值定理，存在 e （a, ）,矣e （，b），使得b-a所以 nm| f 如 |，| /uj|）| 仲?gòu)V i。當(dāng)（，/在（a，/（a），0，f（b）的 b-a連線下方時(shí)同理可證。幾何意義:在a，b上連續(xù)、在上可導(dǎo)的非線性函數(shù)，必定在 某點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值

6、大lza,b問割線斜率的絕對(duì)倩。7.求極限 linim2 arctail - aictan » 其中£?*0 為份數(shù)。 卜®ilh+ 1；aaarc tail arc tan y解 由lagrange屮ffi定理 =-，其屮位于 ia _ a1 + s,i + in /i +1與;之間。當(dāng)時(shí)，趨于】，所以8.用lagrange公式證明不成:(1) |smx- siny |x- y|;(2) nyn(x- y)<xn - yn < wl (x - y) (w > 1，x > y > 0); /qk b a t h b-a .(3) -

7、< in < (6 > n > 0);b a a e >i + x (x>o).證(i) |sinx- siny |=|cosy)y |。(2) xt - / =y),其中 x>； > j>0> 由廣1 > 廣 > y"_l > 0 得到nynl (.r - y) < x" - yn < at"'1 (x - y) (n > 1，x > j > 0)。 in = ln/>-ln« = (fe-a),其中0。由于 4<丄<

8、丄，所以 asb ab-a t b b-a-<lu<。b a a= (x-0) >x,x>> 0o9.設(shè)/在a，fc上定義，且對(duì)任何實(shí)數(shù)和x2,滿足證明在【a，fr上忸為常數(shù)。證 首先由口丁知/在【m上連續(xù)。對(duì)任意固定的 x2e(a，b)，i陣 1川巾,_4卜0,故/v2) = 0,再巾 j2 的 任意性，得到fx)(e(a.b)上恒等于0。所以f(x) a.h上怛?yàn)槌?shù)。10. i正明恒等式arc sin x + arccos x = y »xe0j;sarccos.v- arccos(3x - 4.r5) = n，(3)aictaii r + aic

9、sm-:;:， a g1,+«).1十x_證(1)令/(x) = arcsinx+arccosx t 則fu) = 了丄-7 s 0,vx e (01)" vl-v* yl-x*由于/(x)在0,1連續(xù)，所以 /(l)h/(0) = y。 (2 )令 f (x) = 3aiccos.v-arccos(3a-4xj)，注意到 1-4a2 > o.v.ve (-»i 所以由于f(x)在-1,1 連續(xù)，所以fix)三/(o)n。(3)令 f (x) = 2arctanx+ aicsin at » 注意到.v -1 >o,v.v>l»

10、 所以作)士 1離 >1。兩0巾于 /(x)在1，+的)連續(xù)，所以 /(a) h /(i) =2+=o4211.設(shè)函數(shù)/(心在上迮續(xù)，在(a.幻上"f濘。證明：hb)中除至多有限個(gè)點(diǎn)有廣(x)=0之外，都有廣>0,則/在m】上嚴(yán)格 卷調(diào)増加；pj時(shí)舉例說明，其逆命題不成立。證 設(shè)a = x0<xl << vi = 其中 w"，v|是/v)全部的零點(diǎn)。 則/在wi+j (i = oj, ji-1)上嚴(yán)格単調(diào)増加。從|fj, f(x)在以上 嚴(yán)格中.調(diào)増加。山于/(i) =2-" = /(!+), /(.r)在0，1上連續(xù)。因?yàn)楫?dāng)-l-&

11、lt;x<l 時(shí)， nn/i +1 n/w = 22xsm(丄-晰>0,所以/在0,1嚴(yán)格甲調(diào)增加。但/*(-)= 0. jtxh所以/v）在（0,1）上有無(wú)限多個(gè)零點(diǎn)。12.證明不等式：.v< sin x < .v,.v e (0,y)(e(2) 3< ijx, x > 1;(3；(5；x- <lu(l十 x) < x， x > 0.2+j廣 <1， r e【0.1，(尸1): tanx + 2sm a > 3x,x e(6：lan x x >，x exsin x證(1)令/=，e(0.),由于x2r lz、 xcosx

12、- sinx cosx(x-tan x)fx) =；= <0,nj知徹細(xì)嚴(yán)格單麵少，繼sill ) siiix sin x t fi<< inn= 1，從£ x t-»° x1而得到x<sinx<x9 xg(05) o n2(2)令/()= 2-(3-).貝'j/(l) = 0, xfx) = -f=- >0.又>1， yjx x 所以/u）在d，+°°）嚴(yán)格單調(diào)増加，故/w >0，從而3- < .r > 1。(3)令 f(x) = ln(l + x)- (x-)，則lol作)

13、=f=i7i所以/(x)在(0，_)嚴(yán)格單調(diào)増加，山/(0)=0知/(x)>o，v.y>o，從而lii(l + x) >x > 0。j(x) = x-ln(l+x),則gv) = 1-177所以g在(0，+叫嚴(yán)格單調(diào)増加,山g(0) = 0知及(jc)>0，vj>0,從而x >lll(l + x)y x>0 c(4) 令/(x)= laiix+2siii.r-lr，則 vxe【0，;)，/'(.v)= sec x + 2cosx- 3 > 3 sec xcosxcosx -3=0.等號(hào)僅在co成立，所以幾0嚴(yán)格單調(diào)增加，從而/(x)

14、>0,即 tan x 4-2 sin r > 3x .o(5) 令/(x) = v +則/u)= -(l-ay*)在(0，$取負(fù)值，在g.i)取le位，uij/u)/i-：ol嚴(yán)格單調(diào)減少，/1：a 1嚴(yán)格單調(diào)增加，所 以/在x = 到鉍小位了。又/(0)= /(1)= 1,所以/在.r=0.i取到敁人值1，wifu成、>:f <.rp + (l .r)p <1， xe0.1 o(6 )令 f (x) = sm x tau x - x2 » x g ( o,yj。則/(x) = sinx+ sin xsec2 x-2x，/m(x) = cosx+ 丄訓(xùn)

15、1 - 2cos.r cos x顯然/>0,山尸(0) = 0.可知fx) > 0 o再山/(0) = 0,得到/>0,從而13. 證明：在(0.1)上成立 (1 ) (1+ x)lll2(l + x)< x2 ；(2)丄-1<_1-<丄。 in 2 ln(l + x) x 2證(1)令/(,r) = .r-(l+x)ln2(l + x),則f x) =2x-in2(1 + x)- 21n(l + x)，/處生坐>0.re (0.1) c1 + ¥1 + x1 + x由/() = 0，可知尸>0,再由/(0) = 0,得到f> 0

16、，即(1 + x) ln;(l + x) < at，x e (0,1) o<2)令炯十由(1x(l + x)lnz(l + x)-x2_/a ,、/w= xl + x)w(l + .) <0' -ve(0jb即f(x)在(0.1)上嚴(yán)格單調(diào)減少。再由/(i) = -1與 lu2，得到 a1ii(1+x)+2a：njr1<i44, x(0j)o14.對(duì)于毎個(gè)le整數(shù)n («>2),證明方程在(0j)內(nèi)必介唯的實(shí)報(bào)人，并求極限hm。證 k f(x)= + r"_1 + +? + x-l,則當(dāng) re(0,0時(shí), / x) = nx1 + (n

17、- l)x*-2 + + 2.r +1 > 0，所以aw在(0j)嚴(yán)格單調(diào)増加，且當(dāng)n2時(shí)，人(0) = -1,人(1) = "-1>0, 所以jxr)在(0，1)內(nèi)必有唯一的實(shí)根x。站然kj節(jié)調(diào)減少有卜*界，所以必定收斂。設(shè)limx=a，則0 <u <1» j1當(dāng)吋，0<x <x, <1»所 以hm x； = 0。于是有10615.設(shè)函數(shù)/w在0，1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且/(0) = /(1)=0, = 1。證明：(1) 存使得/()=。(2) 對(duì)于任意實(shí)數(shù)人 必存在/?e(u),使得證(1)令f(x) = f(

18、x)-xf則f在|0.1上連續(xù)，且有0.f(l) = -l<0,所以存在使得廠(4>0，即/(4) = o(2)令g(j) = e-4vw-小 則a(0)=g(<) = 0，應(yīng)用 rolle 定理,必存 在”e(0，)，使桫g v?) = f / -1-/w) - /7 = 0，于是成立f、n、-4/w)-=1。16.設(shè)函數(shù)/(j)和份)在a,fc】上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且gv)*0(xe()。分別不j用輔助函數(shù)f、b)- /g(b)- g(a)g(x)_ 扒a)g(.x) fix)mw =x(a) f(a)燦)f(b)證明cauchy中值定理，并說明賊x)和狀.0的幾何意義。證

19、 山于(p(a) =(p(b) = 0 ,應(yīng)用rolle定理，必存在，使行以b)-g于是cauchv中值記理成立。的兒何意義：參數(shù)方程x=t所衣示的曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y = f(o與連接點(diǎn)(g，/)和點(diǎn)嘛/的直線段上點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差。由于i/(a) = t/(b) = 0 ,應(yīng)用rolle定理，必存在fe(a，z>)，使得gw) /w 0g f i = g i)f-仲)-廣g-(t)j=o, 淌/i于足caucliv屮值定現(xiàn)成立。叭x)的幾何意義:其絕對(duì)值等于由(g，/(琳(仲)，/)，(沖)，/ 為頂點(diǎn)的三角形面積的兩倍，如米三頂點(diǎn)按照逆時(shí)針方向排列，則 uaa)的符號(hào)為正，否則為負(fù)。17

20、. 設(shè)a，*>0, /在【a，b上連續(xù)，在(a，ft)上可導(dǎo),證明存在 <e(a,b)，使得2聯(lián))-/=(/，:-aw)。證 令gw = x2.對(duì)f(x),g(x)應(yīng)用cauchy中值定理，可知必存在 <e(a，h)，使得納-八a) mb1 -a12<f從而w(6)-/(a)=(fc2-aw) 18. 設(shè)a，a>0,證明存在e(a,b) f使得aeb 一 bea = (1- )e4 (a-b) o證對(duì)= x應(yīng)用cauehy巾值定理，nl知必存在沖，b)，使得eh ea 作-i)=(1-幻，b a4'整理后即得到aeh - hea = (1-(a - b)

21、o19.設(shè)/u)在fl,b±連續(xù)(afc>0 )，在(a,b)上可導(dǎo)，證明存， 使得=砌-/。fc-a f(a) f(b)證對(duì)么立與丄應(yīng)cauchy中值定理，可知必定存在fe(a，*)，使得 x xf(b) f(a) 'z謝-/go / =-廣(況-側(cè)，b a于是成立”么八況-仰，糧埋后即可得命題成立。20. 設(shè)/“)在【1，+的)上連續(xù)，在(uw上可導(dǎo)，己知函數(shù)e't在(m叫 上有界，證明函數(shù)e'af(x)在(1,+<«)上也冇界。證 首先廠在1,2上連續(xù)，所以有界。j_r>2時(shí)，山cauchy 111值 定埋，i e-/co i

22、< lt 1< i- /q)l m=k-. f w|. m也是有界的，所以e-fx)在(1,+co)上有界。21. 設(shè)/v)在(0, fl上連續(xù)，且存在有限極限llbl yxf'(x),證明/(j)在r->0+(0，<1上一致連續(xù)。證由于乎爭(zhēng)1=平=2辦，小 - v-r2 -u所以只要證明77/10在(0，a上有界就可以了。顯然v7/ (.v)在 m連 續(xù)，且極限"mvi/'w存在而且有限,所以v7/'w在(0，a上有界， w0+22. 設(shè)/戸)在,r=0的某鄰域內(nèi)有。階導(dǎo)數(shù)，且/(0) = / (0)=廠"-”(0)= 0，

23、用 cauchy 中值定理證明a" n證反復(fù)使用cnuchy中值定理，戶"(u-廣4(0) n)<e(0,x),/(v)= /-a。) = fw = fw_rw = m) x" x" - 0”n1- "o '-1 n(n - )2所以存/|:0(0,1)，使fl< = ox ,命題成立。23. 證明不等式:(e糊、，沖>1;(2:甲>e宇，證(1)設(shè)f(x) = x則當(dāng)/，>1時(shí)rw=w，-v,y>oof "(x) = nn -1)，2 > 0, v.v > 0, 所以/在(0，

24、+co)上嚴(yán)格卜凸，因而(2)設(shè)f(x) = e，則f '(x) = fx) = e* >0， xg(-<*>,+co)， 所以/(.0在(-«，+*)上嚴(yán)格下凸，岡而 ea + ey i±l->e 2 -又”。24.(jensen不等式)設(shè)/(.r)為、，h上的連續(xù)卜凸函數(shù)，證明對(duì)j-任意和2，>0 (i = 1,2,，)，= 1» 成立/«!證 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)jl = 2吋，由卜凸函數(shù)定義知jensen不等式成 立?，F(xiàn)假設(shè)當(dāng)k = n-l吋jensen不等式成立，則當(dāng)* =，吋，ui ) i2 a"

25、1+ 人/u。)in-l sall-l4242 #-/u)+a/k)=t 。 1-1所以jensen不等式對(duì)一切n成立。25.利用上題結(jié)論證明：對(duì)于正數(shù)aac成立 q 44> il(abc) <aabbcl證設(shè) /u) = aln.t.貝lj/x，v) = l + hi.r,fx) =丄 >0, vx > 0,所以/在(0,叫上嚴(yán)格下凸，因而，番 1j ««1n-1illablnc 似>>0利用平均值不等式vaac>0,得到 a + h + c. jrr- a + h+c. a + h+c ana + bnh+clnc in ija

26、bc <lu< 3333即 (a+b + c)n>jabc = hi(abc) s ana + bnb+chic=hi(a,bfc,). 命題得證。26. 沒/在(a, + ©5)上可導(dǎo)，并且 lim/'(x) = 0，證明 lini ,(') = 0。，-»柚*-»«» x證 由 lun/，(.v)=0，nj*知成立fx)<c 取定 x0 > x',則3x >x。，v.r > x，成立<，應(yīng)用 lagrange 屮值定理， 則有|/(叫=|/u) + y-/(.u.義一戔

27、| l/cul +1/-幾<0)1.卜-.yo| | x | i xx-.r。.r i i x i ix-x0i i x i卜， 所以 lmlzl=0/jjc立。x27. 設(shè)/'(x)在a，fr連續(xù)，在(a,6)二階可導(dǎo)，證明存在r) e (a,h)»成立f(b)+f(a) 2/(乎=早)'尸，(")。證 g(.r) = /(.v)- /(x-o 山于 g(-) =f(a), g(b) =¥，/|上對(duì)擬)應(yīng)用lagrange中值定現(xiàn)，即得到2t/0)+ /-2/() = g(b)-g( 2= lfw_f (卜 ¥)與)=f (&qu

28、ot;)(110習(xí) 題 5.2 uhospital法則i-對(duì)于=+的或_的估況證明l'hospital法則。證 沒 11出4 = +的，則 vg>0,3j>0,v.ve(a，a+)，zi>g + j。ft"先考慮 bin f(x) = liiu g(x) = 0 的情況，補(bǔ)充定義/(0) = x(0) = 0 r則/，在m連續(xù)，滿足cauchy中值定理?xiàng)l件。當(dāng)坤，a+汐)時(shí) /w /u)- /_ => g, a <£ <x <a 十厶， 豕 w g(x)-g(a)所以/(x) lull= +c0 o，m+ g(x)再考慮 i

29、nn g(x) = oo 的情況，仃:取xoe(d,«4-j)，pf取0<4 <x9-a，使得當(dāng)xg(a+)時(shí)，于足山x尺 2/w.擬)一r, s(x0)1 f (0- /uo). /(ro)_ ri (ro)n 廣go . /(ro)1_百汾)-咖)+i=卜7兩+百可得當(dāng)xe(a，a+a)時(shí)所以十的 o40+ 只(x)lim (久)=-co 的t/j 況即inn-(土)= +co，所以 l'hospital 法則也沖+gv)+ gx)成立。2.求卜'列極限:(1：(3：i"ii:，mo sill x(冗-2汁(2)tail 5xlimxn -

30、atan 3x(5：h>+ ln(tan 2.v)inntan x1hh 吧;1-aiccot .rhm ill(1+ y2) »->o sec x 一 cos xlimhi 111 x(10)sill x(ie(12.xtanx-siir x liinr-h>r4(1$lunxcot 2.v； 賓-m)linix2 e<2;t-o(is(1cliinfarc tan x | j(19：(17：(18；limx口.co)lio解cot xsin a1-cosa 1(3) h川仙 colv川(n - 2,v)-，彳 2(;r - 2x)(-2)-4(-2)8(4

31、) inn "-nn(5) hmlu(tail = lnncot7xsfc；7x 7i-m>*lu(an 2x) +cot 2xsec* 2x- 27 sin 2xcos 2xlini7xcos7.v28cos4xm7sin4xuni-w 2sinl4x 28cosl4x(tail3x t. sin3x cosx vo? lini= inna-»- tailx sinx cosir3則 了 r -s111x1lini=- sin | 十遍 3x 3(7) lunwulunij-*°aiccot x 仲=lini (-1-x2)1= lini v x+l xx

32、(l + x)lil(8) lun t->° sec x-cos xliinf:1-»° sec .rtan.r+ sin.rcos' x(9)也x+1+12(10)m2x(11)【-m in.y(12)%:r- 1-hix=linitl.卜】)li 以hur+u巴0。2x-sin.vcos.v . (an.v :lun rho rlinixlnx+ r-linisin x1-cosa1-cos* x+siir x tan a:2siirx=lini;inn=lllll3.vx°x a-»°3.v(13) linixco

33、t2x = lini-hmcos 2x=hm wo卜>0 sin 2x 卜>0(14)mix2 = lini = «->oyl12(15)fl又* ilun( - x) tail = inn- inn sin = inn«-*<2>， x <-<2所以所以(19)(16)2,7(17)(18)丄nni=kminn ln( arctan a=0.in farctan vlini 一1->°lx=linilini= inn<-x» 2+x 2=innwo+ cot .vhni inf lu |40+ i

34、x)wo+ csc x=11 .140+(-cscx)(cot x)所以=_)(三)=0, _r *in .v40+ iu.ttan x t- (tan x)1x=inn = lini 一+ (lu j)， o+cos: x0)114(20)lunln(xhl) = inn= lim一j-m -x(-1)所以m.r*37 = el -413.說明不能用lhospital法則求卜列極限:x 十 sill x(2) x - an x(3：i-m lil(l + silly.v)解（1）因?yàn)楫?dāng)*->0時(shí).d( . . n . i i a sin 2xsin cos一 =_極限不存在，dx所以l

35、ini2ll不能用hospital法則求極限。 sin a_實(shí)上，hilia smt = 1i】m( a ).h】n(xsin +) = 1 0 = 0，極限存在。 1-sill x1->° sill j(2)因?yàn)楫?dāng)|v + smv>l± 極限不存在，所以imj (x-sinx) 1-cosx<-»*> xsin xsi11x不能用l-hospital法則求極限。h sl11 x車實(shí)上，lini£l£=iim2zr=b極限存在。 x sill x |->'wo slilx醐觸1 所w_lh一al法則求醐。上

36、，)皿¥lu(l + sin 4 x) liiu ln(l + sm 4 x) lu 2（4） 1皿不是&型或1型的待定軋 所以不能用lhospital x0 °oinn x 1->1法則求麵。事實(shí)上，hm叫w-乎中+e2x）-1+ x-m4.沒/w = -v 0,其中g(shù)(0)= 0,礦(0)=0，g”(0) = 10。求尸(0)。解 a0) = u.n = = m4n0) = 5o5. i個(gè)論函數(shù)x<o,在po處的連續(xù)性。解顯然函數(shù)八幻在* = 0處左連續(xù)。下面考慮/（幻在0處的右連續(xù)性。當(dāng)；r>0時(shí)，in f(x) = l|nll±l

37、=丄生一lu j _峰.v，x e x xx* 于是lun in f(x) = im】 叫= imi=-lim -=-丄，2x2(1 + x)2巾對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，um /(x) = 3 = /(0),即/在.r = 0處石連續(xù)。 1->0+所以八.0在0處連續(xù)。6.設(shè)函數(shù)/qr)滿足/(0)=0,且/'(0)存在,證明hmxax, =1。t->0+證 uni lnx/u,=hm f(x) 1ua1= innr->0+x-mh-/w-/(0).(vhir)l= y(0)0=0,x-0l120所以7.設(shè)函數(shù)/(x)在(a,+«)上可導(dǎo)，且 lun/(x) +

38、/r(x)= * ,證明 lim f (x) = k o十廣=“hm /w= u】n 艦=lun，炯+ e丁= v-kwi->4«r->4«它丄習(xí)題5. 3 taylor公式和插值多項(xiàng)式1 由lagrange 111值定理知hl(1+j) = it 0，<】證明：lim(x) = 1/2 o x-»0證由_=父”“)，取極限即得到xln(l+ x)lm_) = |inl+_ = 1|jn v-hi(l+x) hni_r_t-k) r->。 x2 lii(l + x)rln(l + x)1-jj=hminn； = (inn) 1 = x-&g

39、t;° 2x 0 1 i-x> 2(1 + <v)21+x2.設(shè) f(x+h) = /(x) + f x)h + f”(x)h2 + + fln,(x+0h)h"，(0<沒<1)， 2!n*且戶”+l)u)*0,證明：lun = 。 ft->o n + 1證 /(+ h) = /(.v)+ fx)h + -fx)lr + + (x + 0h)hn21n耐于是ohn +0(1)0hindf(x) = a->0二7尸，又)，h+l再由/<"+1)(x) * 0，兩邊消去rux)，即得到hmff /r->03-設(shè)/(x)

40、= v7 .取結(jié)點(diǎn)為1 = 1、1.728、2.744,求/的二次捕值多項(xiàng)式朽w及其余項(xiàng)的表達(dá)式，并計(jì)算朽(2)(v2 =12599210)。解 /(1) = 1,/(1.728) = 1.2,/(2744) = 1.4. |l| lagrange 插值公式(x-l)u-z744)f助 (x-1.728)(x-2.744) , ，(x-l)(x-2744)( (x-l)(x-1.728)(1-1.728)(1-2.744) + 2 (1.728-1)(1.728-2.744)+1 4 (2.744-1)(2.744-1.728) « 0.7876(.r -1.728)(- 2.744

41、)-1 6224(x -1)(j - 2.744) + 0.790l(x -1)(x -1.728) =-0.04465r+03965.v+0.6481。1 aq廠=x 余項(xiàng) a(.r) = (a-ixv-1.728)0- 2.744)。 2781#p;(2)» 1.2626 o4.設(shè)f(x) = 2t,取結(jié)點(diǎn)為.r = -l、0、i，求/(.0的二次插值多項(xiàng)式ma)及其余項(xiàng)的農(nóng)達(dá)式，并計(jì)請(qǐng)與上題的計(jì)算結(jié)果相比較并分 析產(chǎn)生差好的原m。解 /(-1) = 0.5,/(0) = !,/(!)= 2， ill lagrange miff公式 =0 5 (卜 0)(-卜i) 1 (x+l)

42、u-l) + 2 (r+l)(x-0)一 .(-1-0)(-1-1)(0+1)(0-1) (1 + 1)(1-0) =0.25.v(r- l)-(.r-l)(.r+ l)+(x+ l).t0.25?十075:r+l。/-(x) = hi,22p:(|)« 1.2778。與上題相比，本題誤差較大的原因是2不在所取的三點(diǎn)x = -. 0、1 之間,而上題2在所取的三點(diǎn)d 1.728、2.744之間，因而誤差較小。5.沒/u)在？個(gè)測(cè)w點(diǎn)處的函數(shù)伉如卜':/w65584436試求/(28)的近似值。解由lagrange插值公7(-0 pj()，二(%1.7)(x 2.3)(x 3.

43、1)-(¥_ 1.4)(x2.3)(x3.1)(1.4-1.7)(1.4-23)(1.4-3.1)(1.7-1.4)(1.7-2.3)(1.7-3.1)4 禮(x-1.4)(-1.7)(x- 3.1)，.(x-1.4)(.v-1.7)(x- 2.3)+44.+ 3.0-，(23-1.4)(23-1.7)(23-3.1)(3.1-1.4)(3.1 -1.7) (3.1 - 2.3)/(2.8) * p,(2.8)» 36.647。6. 芯a是小w,問如何選取常數(shù)a、b' c，才能使fvaf(x + h) + hf (x) + cf(x-h)與廠近似的階站品? 解 af

44、(xh) + bf(x) + cf(x-h)= 4/(勾+/v)a + i/”(.r)v+/yr(-r) + 4/(x)-ycr)a + /"(.r)a:】+a(y) =(“ + b + c)/(x) + (a - c)f，_ + 1(«+ c)f x)/r + o(lr )，ab+c=0得到方程組a - c = 0，解之得到。=c = l、b = -2 oa + c= 27. 將插值條件取為/i + l個(gè)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值和階導(dǎo)數(shù)值，即 a滿足>”(又,)=八人).1v 1' = 0,1,2，.，"的插值多項(xiàng)式稱為hermite插值多項(xiàng)式，4:微分方程

45、數(shù)值求解等研究 領(lǐng)域中具有艱要作用。它可以取為pn w = s a、w ( () +，“ ) <(文)1 *-0這平.，wwwwl是滿足條件i, k = 0.1.2. -ji#u,) = o, wu)=<v u = o,l，2, ，"的基函數(shù)。試仿照l(shuí)agrange插值多項(xiàng)式的怡況構(gòu)造。解 k然當(dāng)/>*時(shí)，= (x.) = 0.= 0 .設(shè)k = 0j，2，. ,n;likl0j,u)= x_一0 解出 < >0 xk " xi ik同埋可得到習(xí)題5.4函數(shù)的taylor公式及其應(yīng)用i-求卜列函數(shù)/l:x = 0處的taylor公式（展幵到指定

46、的n次）:122 /(x, = vt7* w = 4;(2)/(x) = cos(.r + aj，n = 4;(3； f(x) = v2+ sinx n = 3;(4)/(x) = emn = 4(5 f(x)= tanx, n = 5;f(x)= hi(cos.v)，n = 6;(7： /u) =口，n = 4 l x=0(8)hi 二 叫。.sill x.v= 0(9： /(a)= vl- 2v + x3 - vl- 3.v + <r2 ,/i = 3.解（1）31 3981243_28 2724 81j - 35 4 o(x4)。1、3(-勾+ f 3(x)2 +1、3(-v)5

47、+< n3.1i 2>3?<(_.v)o(x4)(2) /(x) = cos(x+ a) = cosxcosa- sin xsjb a243=(1-+ + f<r4)cosa- (x- + o(x4) sin a 2246=c側(cè)-sma 個(gè)戸，+ 戶？+ 2!3!4!(3) /一2 + aii.r =(u=wl + *(.r-去+o)全u +v(t-+，)-|u-+5)r+ ：74(-7-+5)5 2 2 oo 4 oloo u(4) f(x) = em=1+(卜皆)4(x_t,2 4 士、o =1+(.卜士+>-專)+，+去.(?)= l + x + x2-x4

48、 + o(x4)。 2 8(5) /u)=(an.v = cosx(x-+ 丄-+ t>(xs)(l-+ o(a5)h6120224j5j4>4(x-+ +«(/)(l +(-) + (-f + 0(/)6120224224t ? x5 a z .?、？5.v4'5、612076? 224、x1 x4 x6(6) f(x) = ln(cosx) = ln(l-y+-+ o(x6)at x4(+)(+ 224 7202224.x2224 7202 4243 8卜(7) f(x) = h x*° 1，x=012 l=ll+(i+t+no+4),r，=1_(三

49、+蘭2624 1202624262= 1_(£+r+l+2l2624 120 / 5x ,/ x / , 4、 、4 6 72 ' ' 8 87 16?(9) f(x) = 7l-2.v + .v5 - vl-3.v+x2 =l + (-2x+x5)?-l + (-3.v+x2)f =【1 + (_2x + a:3)- (-2x)' + (-2.r)5 + a(x5)】4】+ |(_k+ x2)-|(-3x+ x2)- + (-3.r)5 + 以？)=(1 - x- -x2) - (1- x- x2 - x1) + ox5)= -x2 + x5 + 0(x5)

50、 o62.求卜*列函數(shù)在指定點(diǎn)處的taylor公式：(e /(.v)= -2.v5 + 3x2 - 2, x。= 1 f(x) = lux, a0 = e；(3： /(x) = inx ； x0 = 1(4) /(x) = sin.v, .r0 = ；(5; /(j)= v7，x。= 2.解(1) /(x) = -2xj + 3r- - 2 = -2f(x-1) + ls +1)+12 - 2=-2(x-1)3 - 6(.r l)2 - 6(.v-1)- 2+x v-1)2 + 6(x-l) + 3-2 = -l-x.v-l)2-2(x-l)5o(2) f(x) in x = lu(x-e)

51、+ = lne+ln(l + ) e=1 +丄(.r-旬一人(義-«02+ +(_1)(.v_>)n + o(x_g)”)oe2e"nen(3) fx) = ux = ln(l+(x-1)=(x-1) - i(x-l)2 + 全(j-1); -. + (x-1)" +。(x 1)”)0(4) f(x)=sinx9 fin,(x0) = sin(.t0 +,- f，d)f=沖+f介-淳“cir i +n tt6 ik-)61 -2斤-6l(v萬(wàn)-)6§12sill(5) f(x) = 4 = 42 6' ' 6'6'

52、211363.通過對(duì)展開八及其余項(xiàng)的分析，說明用in 2=lnx+ 一 + 3.+ (-1廣比用lu 1 =ln(l + .r)| r -效果好得多的兩個(gè)原因。解 利用第一個(gè)展開式計(jì)算吋是用代入，利用第二個(gè)展開式計(jì)算 吋是用*=1代入，顯然第一個(gè)展開式的通項(xiàng)（或余項(xiàng)）趨于岑的速度 快，而第二個(gè)展開式的通項(xiàng)（成余項(xiàng)）趨r零的速度相對(duì)較慢，所以 /i:指定粘度的條件下，利用第-個(gè)展開式計(jì)兌m2的值比利用第二個(gè) 展開式計(jì)算量小，效果好。另外可以通過比較兩者的誤差來(lái)說明兩種方法的優(yōu)劣:2nuv2«+<_-卜辟-(2« + 1)(1-。一，可知利用第個(gè)展開式計(jì)算前h項(xiàng)之和，余項(xiàng)

53、為財(cái)“位和與*之間。3 (2/» + 1)32n-h'(1_!廣(2n + l)22niflj利用第二個(gè)展開式計(jì)算前n項(xiàng)之和，余項(xiàng)為其補(bǔ)于。與，之間，取 j = i, i r.u) l> (n+i)(1+j)"« =(+1)2"+,。職麟欄氤-+姍劃伽2雌1七棚 第二個(gè)展幵八漢差小，粘度島。4. 利用上題的w論結(jié)果，不加計(jì)算，判別川哪個(gè)公式計(jì)兌7：的近似值效果更好，為什么?(1)(2)解 兩個(gè)計(jì)算7：的公式都是利用了aictanx的taylor公式，似第個(gè)公成足川= l代入，而第二個(gè)公=代入。巾于|與&比i小得多，w此第二個(gè)公式的通

54、項(xiàng)（或余項(xiàng)）比第一個(gè)公式的通項(xiàng) （或余項(xiàng)）趨于零的速度快得多，所以用第二個(gè)公式計(jì)算7：的近似值 效果更好。5.利用tavlor公式求近似位（精確到10'4）：（e igll；（2： v； sin31°（4： cos89°（5： v250； u.d12.解（1）其中訓(xùn)=_&-飧于o%之間 由丨=(lnlojk/c'+lml + o"*(liilono''f+l) 得至089x10 ， 滿足桁度嬰求，所以lgllwl+h?to(io 210: + 31034104，p3 1 041390（2）其中=品廣，雄于0與，之問。x-0<）¥«0.27*10-5，滿足