制作應(yīng)用數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計課程組-ppt課件

1、課件制造：運用數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計課程組概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計2.2-2.32.2-2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、離散型隨機(jī)變量的概念一、離散型隨機(jī)變量的概念二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布三、常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類 通常分為兩類：通常分為兩類：隨隨機(jī)機(jī)變變量量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量延續(xù)型隨機(jī)變量延續(xù)型隨機(jī)變量一切取值可以逐個一切取值可以逐個一一列舉一一列舉全部能夠取值不僅全部能夠取值不僅無窮多，而且還不無窮多，而且還不能一一列舉，而是能一一列舉，而是充溢一個區(qū)間充溢一個區(qū)間

2、.定義定義: 假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量 X 的能夠取值是有限多個或無的能夠取值是有限多個或無窮窮 可列多個，那么稱可列多個，那么稱 X 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.描畫離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布描畫離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即或分布律，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性質(zhì)概率分布的性質(zhì)一、離散型隨機(jī)變量的概念一、離散型隨機(jī)變量的概念q , 2 , 1, 0kpk非負(fù)性非負(fù)性q 11kkp規(guī)范性規(guī)范性F( x) F( x) 是分段階梯函數(shù)，在是分段階梯函數(shù)，在 X X 的能夠取值的能夠取值 xk xk 處處發(fā)生延續(xù)，延續(xù)點為第一類騰躍延續(xù)

3、點發(fā)生延續(xù)，延續(xù)點為第一類騰躍延續(xù)點. .二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù))()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(OOO)(xXP216131120 x61211)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖概率函數(shù)圖概率函數(shù)圖留意右延續(xù)留意右延續(xù)留意留意: :離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求: : (1) (1)確定隨機(jī)變量的一切能夠取值確定隨機(jī)變量的一切能夠取值; ; (2) (2)設(shè)法如利用古典概率計算取每個值的概率設(shè)法如利用古典概率計算取每個值的概率. . (3) (3)

4、列出隨機(jī)變量的概率分布表或?qū)懗龈怕屎瘮?shù)列出隨機(jī)變量的概率分布表或?qū)懗龈怕屎瘮?shù). .例例2.2.12.2.1 從從1 11010這這1010個數(shù)字中隨機(jī)取出個數(shù)字中隨機(jī)取出5 5個數(shù)字，令個數(shù)字，令X X：取出的：取出的5 5個數(shù)字中的最大值試求個數(shù)字中的最大值試求X X的分布律的分布律 kXP 詳細(xì)寫出，即可得詳細(xì)寫出，即可得 X X 的分布律：的分布律：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解：解：X X 的能夠取值為的能夠取值為.1065， k5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010 并且并且510C41 kC=求分

5、布率一定要闡求分布率一定要闡明明 k k 的取值范圍！的取值范圍！例例2.2.2 2.2.2 袋內(nèi)有袋內(nèi)有5 5個黑球個黑球3 3個白球個白球, ,每次抽取一個不放每次抽取一個不放回回, ,直到獲得黑球為止。記直到獲得黑球為止。記X X為取到白球的數(shù)目為取到白球的數(shù)目,Y,Y為抽為抽取次數(shù)，求取次數(shù)，求X X、Y Y的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3 3次的概率。次的概率。 解解: (1)X: (1)X的能夠取值為的能夠取值為0,1,2,3, 0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3P(X=1)=(35)/(85)/(87)=15/56,7)

6、=15/56,類似有類似有P(X=2)=(3P(X=2)=(32 25)/(8 5)/(8 7 7 6)=5/56, 6)=5/56, P(X=3)=1/56, P(X=3)=1/56,所以所以,X,X的概率分布為的概率分布為X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的能夠取值為1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 類似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布為：(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=

7、6/56(1) 0 (1) 0 1 1 分布分布X = xk 1 0X = xk 1 0Pk p 1-pPk p 1-p0 p 10 p 11 , 0,)1 ()(1kppkXPkk 注注: :其分布律可寫成其分布律可寫成三、常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布三、常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布 凡是隨機(jī)實驗只需兩個能夠的結(jié)果，凡是隨機(jī)實驗只需兩個能夠的結(jié)果，運用場所運用場所常用常用0 0 1 1分布描畫，如產(chǎn)品能否格、人口性別統(tǒng)分布描畫，如產(chǎn)品能否格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)能否正常、電力耗費能否超負(fù)荷等等計、系統(tǒng)能否正常、電力耗費能否超負(fù)荷等等. .(2) (2) 離散型均勻分布離散型均勻分布 X1x

8、2xnxkpn1n1n1如在如在“擲骰子的實驗中，用擲骰子的實驗中，用 表示事件出現(xiàn)表示事件出現(xiàn) 點，點， 那么隨機(jī)變量那么隨機(jī)變量 是均勻分布是均勻分布 iX iXX14kp6123566161616161(3) (3) 二項分布二項分布),(pnB背景：背景：n n 重重Bernoulli Bernoulli 實驗中，每次實驗感興實驗中，每次實驗感興趣的事件趣的事件A A 在在 n n 次實驗中發(fā)生的次數(shù)次實驗中發(fā)生的次數(shù) X X是一離散型隨機(jī)變量是一離散型隨機(jī)變量假設(shè)假設(shè)P ( A ) = p , P ( A ) = p , 那么那么nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1

9、()()(稱稱 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n, p n, p 的二項分布的二項分布( (也叫也叫BernolliBernolli分布分布).).記作記作),(pnBX0 0 1 1 分布是分布是 n = 1 n = 1 的二項分布的二項分布. .二項分布的圖形 例例3.1.1 3.1.1 一大批產(chǎn)品的次品率為一大批產(chǎn)品的次品率為0.10.1，現(xiàn)從中取，現(xiàn)從中取 出出1515件試求以下事件的概率：件試求以下事件的概率： B = B = 取出的取出的1515件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有2 2件次品件次品 C = C = 取出的取出的1515件產(chǎn)品中至少有件產(chǎn)品中至少有2 2件次品件次品 ,取取出出一

10、一件件產(chǎn)產(chǎn)品品為為次次品品 A . 1 . 0 AP則則 由于從一大批產(chǎn)品中取由于從一大批產(chǎn)品中取1515件產(chǎn)品，故可近似件產(chǎn)品，故可近似 看作是一看作是一1515重重BernoulliBernoulli實驗實驗解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 . 01 . 01 CC例例3.1.2 3.1.2 一個完全不懂英語的人去參與英語考試一個完全不懂英語的人去參與英語考試. .假設(shè)此考試有假設(shè)此考試有5 5個選擇題，每題有個選擇題，每題有n n重選擇，其中只重選擇，其中只有一個答案正確有一個答案正確. .試求：他通

11、暢能答對試求：他通暢能答對3 3題以上而及題以上而及格的概率格的概率. . 解:由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個答案 對于他來說都是一樣的，而且他能否正確回答各題 也是相互獨立的.這樣，他答題的過程就是一個 Bernoulli實驗 .)5 , 1 , 0(,)1()( kppknkmPpknkk:,4,1此此人人及及格格的的概概率率是是時時于于是是當(dāng)當(dāng)其其中中 nnp10. 041554341454341355423543 ppp)/1 , 5(nBm這這個個隨隨機(jī)機(jī)變變量量他他答答對對題題數(shù)數(shù)(4) Poisson (4) Poisson 分布分布)(或或)(P或或假設(shè)假設(shè), 2 ,

12、1 , 0,!)(kkekXPk其中其中0是常數(shù)，那么稱是常數(shù)，那么稱 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的Poisson Poisson 分布，記作分布，記作)()(P在一定時間間隔內(nèi)：在一定時間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點個數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)； 大賣場的顧客數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；運用場所運用場所: :總機(jī)接到的次數(shù)；總機(jī)接到的次數(shù)；一個容器中的細(xì)菌數(shù)；一個容器中的細(xì)菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)；一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)；某一地域發(fā)生的交通事故的次數(shù)某一地域發(fā)生的交通事故的次數(shù);市級醫(yī)院急診病人數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；等等等等.例例3.1.3 3

13、.1.3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的PoissonPoisson分布，分布，且知且知 21 XPXP解：隨機(jī)變量解：隨機(jī)變量 X X 的分布律為的分布律為 試試求求4 XP ，210! kekkXPk 由知由知 21 XPXP假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量X 的分布律為的分布律為 ., 2 , 1! kkckXPk 為為常常數(shù)數(shù)其其中中0 試確定未知常數(shù)試確定未知常數(shù)c .例例3.1.4, 1!11 kkkkkckc 由分布率的性質(zhì)有由分布率的性質(zhì)有解：解： 1!kkk 而而1 e.11 ec所所以以1!0 kkk (5) (5) 幾何分布幾何分布 設(shè)用機(jī)槍射擊一次擊落飛機(jī)

14、的概率為設(shè)用機(jī)槍射擊一次擊落飛機(jī)的概率為 , ,無限次地射擊，無限次地射擊，那么初次擊落飛機(jī)時所需射擊的次數(shù)那么初次擊落飛機(jī)時所需射擊的次數(shù) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的幾的幾何分布，記何分布，記 . .即即 pXp)(pGX,)1 ()(1ppkXPk, 2 , 1k 容易驗證，假設(shè)在前容易驗證，假設(shè)在前 m m 次射擊中未擊落飛機(jī)，那么次射擊中未擊落飛機(jī)，那么, ,在在 此條件下，為了等到擊落時辰所需求等待時間也服此條件下，為了等到擊落時辰所需求等待時間也服 從同一幾何分布，該分布與從同一幾何分布，該分布與 m m 無關(guān)，這就是所謂的無關(guān)，這就是所謂的 無記憶性無記憶性. . (6) (6)

15、超幾何分布超幾何分布 設(shè)有產(chǎn)品設(shè)有產(chǎn)品 件，其中正品件，其中正品 件，次品件，次品 件件 ，從中隨機(jī)地不放回抽取，從中隨機(jī)地不放回抽取 件，件， ，記，記X X為抽到的為抽到的的正品件數(shù)，求的正品件數(shù)，求X X 的分布律的分布律. .此時抽到此時抽到 件正品的概率為件正品的概率為 sNMNMsnNn k k=0 k=0，1 1， ， nsknMkNkXP)(n稱稱X X 服從超幾何分布服從超幾何分布. .記記 ),(nNMHX可以證明超幾何分布的極限分布就是二項分布，因此可以證明超幾何分布的極限分布就是二項分布，因此在實踐運用中，當(dāng)在實踐運用中，當(dāng) 都很大時，超幾何分布都很大時，超幾何分布可用

16、下面式子近似可用下面式子近似 NMs, nsknMkNkXP)(,)()(knksMsNkn (7) (7) 負(fù)二項分布負(fù)二項分布PascalPascal分布分布) () (自學(xué)自學(xué)) ) (8) (8) 截塔截塔ZipfZipf分布分布 ( (自學(xué)自學(xué)) ) 課堂練習(xí)課堂練習(xí)1. 將一枚均勻骰子拋擲將一枚均勻骰子拋擲3次，令次，令X 表示表示3次次中中出現(xiàn)出現(xiàn)“4點的次數(shù)點的次數(shù)求求X的概率函數(shù)的概率函數(shù)3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkk提示：提示：. . 設(shè)生男孩的概率為設(shè)生男孩的概率為p,p,生女孩的概率為生女孩的概率為q=1-pq=1-p，令，令X X表示隨機(jī)抽查出生的表示隨機(jī)抽查出生的4 4個嬰兒中個嬰兒中“男孩的個數(shù)男孩的個數(shù). .求求X X的概率分布的概率分布. .4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率函數(shù)是：的概率函數(shù)是：男男 女女解解:X :X 表示隨機(jī)抽