中小學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽

1、；.莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿

2、袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿

3、裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆

4、羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈

5、羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿

6、羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆

7、肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇

8、肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈

9、螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆

10、螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆

11、螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇

12、袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅

13、袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅

14、襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆

15、羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄

16、罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞 中小學(xué)數(shù)學(xué)建模資 料 匯 全國數(shù)學(xué)建模工作委員會2010年11月6日編 前 言數(shù)學(xué)建模是一個世界性的研究課題，它起源于上世紀(jì)七十年代末的英國劍橋大學(xué)。 1983 年開始在美國每兩周年舉行一次數(shù)學(xué)建模與用模國際會議，與會國家逐步發(fā)展到了歐美、日本、澳大利亞、中國等近百個國家和地區(qū)。1985年美國率先舉辦全美大學(xué)生數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽，使大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽活動逐漸成為世界大學(xué)生活動的一大潮流。我國的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽活動起步于1992年，雖然起步較晚，但近年來已成燎原之勢。 縱觀世界數(shù)學(xué)建?；?/p>

17、動，各國均側(cè)重于大學(xué)，中小學(xué)系統(tǒng)開展的還屬鳳毛麟角。盡管我國的九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)非常重視數(shù)學(xué)的建模問題在前沿的第一頁就3次提到了建模問題，3次提到了數(shù)學(xué)的用模（工具性）問題，但由于種種原因，中小學(xué)數(shù)學(xué)建模問題仍然沒有得到應(yīng)有的重視，在中小學(xué)界進行數(shù)學(xué)建模教育的更是少之又少。不會建模的就不會科研，不會用模的就不會生活。為了更好地推廣數(shù)學(xué)建模思想、提高中小學(xué)教師的數(shù)學(xué)建模意識、發(fā)展中小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，本刊從本期開始將陸續(xù)刊發(fā)一些有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)建模的文章，以供大家參考，也歡迎廣大讀者踴躍參與。 注：本匯編均采自山東教育雜志2010年10 12期刊發(fā)文章，全國各省市在關(guān)雜志將陸續(xù)刊發(fā)數(shù)學(xué)建模文

18、章，望各界人士積極投稿。 目 錄 關(guān)于數(shù)學(xué)建模的幾個問題 秦荃田 劉景軍（1）淺談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建張緒昌（7）立足生活情境 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型談?wù)麛?shù)四則混合運算的教學(xué)“李 紅（10）小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的思考 馬世廣 （15）“交換律”建模設(shè)計 王希 （17）立體圖形的體積研究 邵瀛婧 （22）在小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)中如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 賈海娟 （26）小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式及其應(yīng)用 牛玉興 （29）淺談長方形正方形周長計算公式的建模 劉淑芹（31）在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想 劉永文 （34）對數(shù)學(xué)建模的幾點認(rèn)識郭淑英 （37）常見的中學(xué)數(shù)學(xué)建模問題分析 周文博 （39）影響初中數(shù)學(xué)建模

19、教學(xué)的原因分析 馬紅梅 （42） 關(guān)于數(shù)學(xué)建模的幾個問題秦荃田 劉景軍一、 問題的提出數(shù)學(xué)是在人們對現(xiàn)實生活與生產(chǎn)實際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的，要解決生活及生產(chǎn)實際中的問題就必需建立數(shù)學(xué)模型。如：數(shù)的擴大，產(chǎn)生了二進制、五進制、十進制、是二進制、六十進制等進位制模型；土地測量的需要，產(chǎn)生了各種幾何圖形的模型等。從此意義上講，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)學(xué)科一樣有古老歷史，且是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的重要支柱。今天，數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域滲透，過去很少應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域現(xiàn)在正迅速走向定量化、數(shù)量化、和數(shù)字化，數(shù)學(xué)在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著十分關(guān)鍵的作用。因此，數(shù)學(xué)建模被時代賦予更為重要的意義。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的第一頁就

20、3次強調(diào)了數(shù)學(xué)的“建模與用模”問題：1. 第一段最后一行：“有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，題，直接為 社會服務(wù)?！?. 第二段倒數(shù)第三行：“強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問 題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程?！?. 第一頁倒數(shù)第三行：“數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。”新課標(biāo)的第一頁也是3次強調(diào)了數(shù)學(xué)的工具性：1.第一段倒數(shù)第一行：“進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值?！?.第一段倒數(shù)第二行：“數(shù)學(xué)作為一種普通使用的技術(shù)?！?.第一頁倒數(shù)第一行：“數(shù)學(xué)為其他學(xué)科提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)。”值得注意的是，數(shù)學(xué)的工具性正是體

21、現(xiàn)在數(shù)學(xué)的用模上。新課程強調(diào)過程與活動，但這里的過程與活動均是建模與用模的活動，新課標(biāo)著重強調(diào)的是數(shù)學(xué)建模的過程和用模的活動。上述幾點充分說明一點，新課標(biāo)最重視的是數(shù)學(xué)的建模與用模問題，其他一切，生活化也好、實際問題解決也好、過程與方法也好、活動與思考也好，等等的一切都是為數(shù)學(xué)的建模與用模服務(wù)的。既然如此，新課程改革開始近十年了，我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育界為什么對此很少涉及而只強調(diào)過程、活動、合作學(xué)習(xí)和方法多樣化呢？原因固然是多方面的，但數(shù)學(xué)的建模與用模問題畢竟揭露了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，與現(xiàn)代科技的發(fā)展息息相關(guān)，也是世界數(shù)學(xué)教育發(fā)展的主流，因此，重視數(shù)學(xué)建模與用模教育的研究是我國中小學(xué)數(shù)學(xué)甚至大學(xué)數(shù)學(xué)教育

22、不可忽視的一個重大問題。二、數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵1.什么是模型模型是一種科技生產(chǎn)的手段，是隨著產(chǎn)品的批量生產(chǎn)而產(chǎn)生的，它代表了科技的發(fā)展。自古以來，人們制造瓷器、陶器、銅器、金器、銀器、等等，都要首先制作各種“模子”?，F(xiàn)代的工廠制造工業(yè)零部件，也需要事先制作“模子”。這種模子，就是模型。說文解字上寫道：“模，法也。”中國古代的人們，以材料的不同而區(qū)分不同的“模”?！耙阅驹荒?，以金曰镕，以土曰型，以竹曰范，皆法也?！奔词钦f“模”“镕”“型”“范”都是用不同的實物材料做的“模子”。模型盡管可以變化，如，方形的可以變化，發(fā)展為長方形的、橢圓形的、菱形的、組合圖形的等，同一形狀的可以變?yōu)楹竦?、薄的等，但一種

23、形狀的模子一旦固定下來，就是有其專有用途的，是為制造某一類物品服務(wù)的，是實物的，是剛性的，是不可改變的，是可以用一定的數(shù)學(xué)公式或定義描述的。2.什么是模式 模式是模型概念的一種推廣。辭源上寫道：“模”的意義有三：模型、規(guī)范；模范、楷式；模仿、效法。“模型”這一組合詞的本義，即是一種用實物做模的方法。但是，在這里，這個詞的意義已經(jīng)有所拓展已有模范、模仿的意義。再到后來，“模型”一詞，從原來狹義地指實物模型，已發(fā)展為包括非實物的形式模型。最先普遍拓展使用的是“數(shù)學(xué)模型”。把一類實際問題抽象為用數(shù)學(xué)符號表示的數(shù)學(xué)問題，即稱為數(shù)學(xué)模型。再后來就發(fā)展、變化為在非實物的形式模型中，除了“數(shù)學(xué)模型”之外，還

24、有用文字語言描述的”模型”，通常，人們又不用“模型”而用“模式”。例如，“文化模式”、“教育模式”、“經(jīng)濟模式”、“社會模式”等等。模式是文字?jǐn)⑹龅?，是描述性的，是不精確與不科學(xué)的，只能描述性狀而不能揭示其本質(zhì)。3.什么是數(shù)學(xué)模型通俗地講，數(shù)學(xué)模型就是為了解決現(xiàn)實生活與生產(chǎn)勞動實際、科技發(fā)展與社會發(fā)展等一系列問題而建立的一系列數(shù)學(xué)概念、公式、定義、定理、法則、體系等等。它可以有變式，如，ab+ac=d,可以寫成a（b+c）=d，可以根據(jù)情景的變化，添加條件，如ab+ac=d，變?yōu)閍b+ac+e=kd，但他們都是為了解決某類問題服務(wù)的，一旦確定，就不可更改。4.什么是模型論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，還有在更

25、為狹義的范圍內(nèi)的“模型”，即是在數(shù)理羅技研究領(lǐng)域中的“模型論”。模型論，是研究形式語言與其揭示（模型）之間關(guān)系的理論，一個形式語言L的解釋U稱為此語言的一個模型貨結(jié)構(gòu)。這是一種從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的研究，是對數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)解釋。5什么是數(shù)學(xué)建?！皵?shù)學(xué)建模不是做題，而是干活?！敝袊萍即髮W(xué)李尚志教授的這句名言一針見血地指出了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)特點。準(zhǔn)確地說，數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言來描述現(xiàn)實現(xiàn)象的過程。這里的現(xiàn)實現(xiàn)象既包括自然現(xiàn)象（如行星運動），也包括社會現(xiàn)象(如商業(yè)運作)，而描述也不僅僅包括在外形、內(nèi)在機制的描述，還包括預(yù)測、實驗和解釋實際現(xiàn)象等內(nèi)容。也就是，實際問題數(shù)學(xué)化。它是一個過程，是一個經(jīng)歷觀察、思

26、考、歸類、抽象與總結(jié)的過程，也是一個信息捕捉、篩選、整理的過程，更是一個思想與方法的產(chǎn)生與選擇過程。它重視、強調(diào)了探究的過程。在這一過程中，許多細(xì)想、方法、技能、與技巧都相對伴生。值得注意的是，數(shù)學(xué)建模過程，尤其是現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模過程，一般不是一個人完成的，而是群體智慧的結(jié)晶，它強調(diào)了合作性。比如，現(xiàn)在的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模一般都是三人一組完成的。同時，在建模過程中需要嘗試各種方法，需要建模策略的多樣探試、比較、綜合與最優(yōu)化。6什么是數(shù)學(xué)用模簡單地說就是用數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，而不在于應(yīng)用了多少數(shù)學(xué)知識于方法。它最核心的部分就是圍繞一類問題建立一個數(shù)學(xué)模型來模擬實際問題，然后通過研究這個數(shù)學(xué)模型來解決

27、這個實際問題。這里的數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言描述的實際事物和現(xiàn)象，是實際事物的數(shù)學(xué)簡化。因為人們普遍相信大自然是嚴(yán)格地演化著，所以為了使描述更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性與可重復(fù)性，人們就用數(shù)學(xué)模型來模擬實際現(xiàn)象。建模與用模是一個數(shù)學(xué)過程，即是生活問題數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)問題生活化的問題。值得注意的是，用模時可以不必了解建模的過程或建模的意義。就想農(nóng)民用拖拉機耕地一樣，他可以不必會制造拖拉機，也不必知道制造拖拉機的原理，會使用、使用好就可以了。也就是說，建模是數(shù)學(xué)家或科學(xué)家們的事，大多數(shù)實際工作者會用、用好數(shù)學(xué)建模就不錯了。7問題解決與數(shù)學(xué)建模問題解決提起與上世紀(jì)五十年代的美國，流行于七十年代的美國、西歐和

28、日本等國家和地區(qū)。我國則引進于八十年代末，流行于就是年代中期。問題解決包含了亮部分，一是問題，二十解決?！皢栴}是數(shù)學(xué)的心臟?！睈垡蛩固乖?jīng)說過“提出問題比解決問題更重要?！?作為問題解決的核心問題，有著各種各樣的分類方法，但大體上可以分成兩類：（1）為了學(xué)習(xí)、探索數(shù)學(xué)知識、復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)內(nèi)容而主要由教師或教材編寫者構(gòu)作的數(shù)學(xué)問題，如教科書、復(fù)習(xí)參考書中的練習(xí)題和復(fù)習(xí)題等。（2）出現(xiàn)于非數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但需要數(shù)學(xué)工具來解決的問題。如來自日常生活中的經(jīng)濟、理化生醫(yī)等學(xué)科中的應(yīng)用數(shù)學(xué)問題。（1）類中的問題，往往是以完成數(shù)學(xué)抽象和加工的“成品”問題。其指向性單一、條件狹窄、開放性較差；（2）類中的問題，往往還

29、是“原坯”形的問題，怎樣將他抽象、轉(zhuǎn)化成一個相應(yīng)數(shù)學(xué)問題，這本身還是一個問題。當(dāng)然，兩類問題是可能有“交集”他們彼此的邊界也是模糊的，如可列方程（組）求解的文字應(yīng)用題的一部分就在這個“交集”中。在問題解決的過程中，上述兩類問題的解決思路上是較膚淺的、方法是較單一的。需要說明的是（2）中的問題已有數(shù)學(xué)模型的雛型，但在中小學(xué)教科書中，這類問題涉及的還不多。數(shù)學(xué)建模問題的條件更開放、更凌亂、目的性、指向性和策略性更多樣。模型的猜想性、可塑性、驗證性更強，學(xué)生的探索性、合作性更強，用模的多樣性更強，它的作用對象更側(cè)重于非數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題。較之問題解決，數(shù)學(xué)建模更突出地表現(xiàn)了原始問題的分析、假設(shè)、抽象的

30、數(shù)學(xué)加工過程，數(shù)學(xué)工具、方法和模型的選擇、分析過程，模型的求解、驗證、在分析、修改假設(shè)、在求解的迭代過程，它更完整地表現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的關(guān)系。它給學(xué)生再現(xiàn)了一種“微型的科研過程”。例如：“我們班內(nèi)最美的同學(xué)是誰？”這個問題。要解決這個問題，首先要找到它的條件：這就是“我們班內(nèi)”，而“最美的同學(xué)”必須有標(biāo)準(zhǔn)。我們知道，人體美學(xué)受到種族、社會、個人等方面的影響，牽扯到體型與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一。只有整體和諧、比例協(xié)調(diào)，才能稱得上是一種完整的美。人體的美主要由兩類：對稱美和比例美。而比例美中最重要的是黃金分割美。從猿到人的進化過程中，骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大，軀體外形由于接近黃金矩形而變

31、化最小。人體結(jié)構(gòu)中有許多比例關(guān)系接近0.618，從而使人體美哉幾十萬年的歷史沉淀中固定下來。人類最熟悉自己，勢必將人體美作為最高的審美標(biāo)準(zhǔn)，由物及人，由人及物，推而廣之，凡是與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美。于是，黃金分割律作為一種重要的形式美法則，成為世代相傳的審美經(jīng)典規(guī)律，至今不衰！今年來，在研究黃金分割律與人體關(guān)系時，人們發(fā)現(xiàn)了人體結(jié)構(gòu)中有14個“黃金點”，12個“黃金矩形”和兩個“黃金指數(shù)”（兩物件間的比例關(guān)系為0.618），這就是“最美的同學(xué)”的標(biāo)準(zhǔn)。有了這個條件和標(biāo)準(zhǔn)，我們就可以將人體結(jié)構(gòu)中的“黃金分割點”與自身相對照，通過實際測量每個同學(xué)身上的具體數(shù)據(jù)，用數(shù)據(jù)說話，來解決“最美

32、的同學(xué)”的問題，從而建立本版中最美同學(xué)的數(shù)學(xué)模型。這一過程是動態(tài)的、開放的，它對學(xué)生的各種能力都提出了很高的要求。三、數(shù)學(xué)建模的思維過程因為數(shù)學(xué)建模主要是培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)實生活與生產(chǎn)實際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息進而建立數(shù)學(xué)理論的能力，所以，數(shù)學(xué)建模本身是一個尋找、分析、建模、計算與驗證、修訂、應(yīng)用、總結(jié)的完整過程。當(dāng)我們拿到一些數(shù)學(xué)建模信息時，首先就是要查找所需的數(shù)據(jù)，盡量多地把查找數(shù)據(jù)的工作完成。其次是問題的分類分析：題中所給的條件是非常多或非常少的，要根據(jù)建模的要求對這些條件和信息進行加工、分析、并進行歸類比較。第三根據(jù)分析對數(shù)學(xué)模型提出初步假設(shè)，同一道題目可以有多個不同的模型假設(shè)，當(dāng)應(yīng)以盡量準(zhǔn)確的模型

33、實際為標(biāo)準(zhǔn)。第四是提出模型假設(shè)后，要通過計算或計算機編程等對模型假設(shè)進行驗證。第五是驗證之后對模型假設(shè)進行修改、定型。第六步是應(yīng)用模型進行解決問題。最后，進行概括總結(jié)，寫出研究報告，內(nèi)容包括模型的改進、模型帶來的啟發(fā)與待解決的問題等等。上述數(shù)學(xué)建模過程的思維流程大致如下：尋找相關(guān)信息提煉有用信息分類比較提出模型假設(shè)計算驗證調(diào)整定型用模解決問題研究報告四、數(shù)學(xué)建模的一般研究領(lǐng)域 一般說來，數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和高科技研究領(lǐng)域中的作用無處不在，縱觀數(shù)學(xué)建模的研究，它在如下領(lǐng)域正在熱火超調(diào)地開展著；1. 在信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域的軟件生產(chǎn)過程中；2. 經(jīng)濟問題解決過程中；3. 氣象預(yù)報中的預(yù)報模型與

34、模式；4. 數(shù)學(xué)建模在各類評價體系中的作用；5. 數(shù)學(xué)建模在國民素質(zhì)教育中的作用；6. 數(shù)學(xué)建模對數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要啟示；7. 社會科學(xué)的數(shù)學(xué)化，起核心是建立社會科學(xué)中相關(guān)學(xué)科的數(shù)學(xué)模型；8. 航空航天及物理、地理、天文學(xué)的研究中；9. 醫(yī)藥衛(wèi)生、生物、化學(xué)、農(nóng)林領(lǐng)域的研究；10. 其他相關(guān)行業(yè)中。五、數(shù)學(xué)建模的歷史發(fā)展及現(xiàn)狀數(shù)學(xué)建模研究的發(fā)端是在1978年前后，英國工業(yè)協(xié)會為了生產(chǎn)的需要要求劍橋大學(xué)開設(shè)一個大學(xué)數(shù)學(xué)建模班，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。1982年美國開始關(guān)注大學(xué)生數(shù)學(xué)建模問題，并于1985年在美國組織首屆全美大學(xué)生數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽，之后，每兩年舉辦一次，并逐步發(fā)展為世界大學(xué)數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽

35、。1989年再幾位從事數(shù)學(xué)建模教育的教師的組織和推動下，我國幾所大學(xué)的學(xué)生開始參加美國的競賽，而且積極性越來越高，近幾年參賽校數(shù)、隊數(shù)迅速增加加。1992年由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會組織舉辦了我國10個城市的大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽，74所院校的314隊參加。教育部領(lǐng)導(dǎo)及時發(fā)現(xiàn)并扶植、培育了這一新生事物，決定從1994年起由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，每年一屆。十幾年來這項競賽的規(guī)模以平均每年增長25%以上的速度發(fā)展。2009年全國有33個省、市、自治區(qū)（包括香港和澳門特區(qū)）1137所院校、15046個隊（其中甲組12276隊、乙組2770隊）4萬5千多名來自各

36、個專業(yè)的大學(xué)生參加競賽，是歷年來參加人數(shù)和參賽地區(qū)最多的，其中西藏和澳門是首次參賽。令人遺憾的是，盡管我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽開展的如火如荼，盡管數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)早就對數(shù)學(xué)建模問題提出了強烈要求，但在中小學(xué)階段進行數(shù)學(xué)建模研究的還屬鳳毛麟角，這是一個值得關(guān)注的問題。六、開展中小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究的幾點建議1重讀課標(biāo)，引起思想重視正如前文所提，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在前言部分的第一頁的3次提到了數(shù)學(xué)的建模問題，3次提到了數(shù)學(xué)的工具性，即用模問題，在不足1000字的問題中6次提到了數(shù)學(xué)的建模與用模問題，且在課標(biāo)的第一頁。課程標(biāo)準(zhǔn)吧數(shù)學(xué)建模用模問題提到了什么高度還不是顯而易見了嗎？課程標(biāo)準(zhǔn)的新理念新在什么地方還不是

37、一清二楚了嗎？為什么多年來我們的數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)研究員們一直在過程與方法、一直在數(shù)學(xué)與思考、一直在算法多樣化上下功夫，而獨獨不提數(shù)學(xué)建模呢？這是一種舍本逐末的行為，是對新課改、對學(xué)生不負(fù)責(zé)任的行為，現(xiàn)在是回歸課程標(biāo)準(zhǔn)的時候了。我們必須靜下心來，仔細(xì)研讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，從思想上引起對數(shù)學(xué)建模的重視。2重視建模教學(xué)，確立建模的初步原則在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，重視數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究的同時，要逐步確立數(shù)學(xué)建模的初步原則。 在小學(xué)數(shù)學(xué)建模的過程中，要切記小學(xué)數(shù)學(xué)姓“小”，不姓“中”，更不姓“大”。要從小學(xué)生的年齡特征和心理特點入手，從“小”字上做文章。要讓小學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)建模的意義，逐步了解數(shù)學(xué)建模的過程；初步

38、了解數(shù)學(xué)建模的思想，逐步知道數(shù)學(xué)建模的方法。會從簡單的現(xiàn)實生活和生產(chǎn)例中初步抽象出數(shù)學(xué)模型，并會用數(shù)學(xué)模型解決一些簡單的實際問 題。初中階段則可以在此基礎(chǔ)上做進一步的提高。3. 細(xì)研課本，找出建模的立足點中小學(xué)階段，尤其是小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模應(yīng)盡量從平常的數(shù)學(xué)課堂開始，并以課堂教學(xué)為主陣地進行。其實，各種數(shù)學(xué)課本中都有大量的數(shù)學(xué)模型素材可供我們選擇。如，數(shù)1的認(rèn)識。這是一個最簡單的數(shù)學(xué)模型，但也是一個最復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型。1個1的物體可以抽象出數(shù)1，一群一群、一對一對、一排一排的物體也可以抽象出數(shù)1，這些1都一樣嗎？學(xué)生們一知半解，大多數(shù)老師也是一知半解。要真正建立好這一模型，那可是不容易的。同樣，

39、3呢？5呢？=號呢？再如，長度單位怎么建立？平方單位、立方單位呢？將課本上的這些知識點尋找出來，仔細(xì)研究，你就會發(fā)現(xiàn)，他不僅會幫助你搞好數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，而且會是你的課堂教學(xué)多姿多彩。4. 在課堂以外抓建模數(shù)學(xué)建模是開放式的，是需要時間的。因此，它既可以與課堂教學(xué)相結(jié)合，讓學(xué)生在課外搜集建模資料，如上同級課前可以讓學(xué)生到商店或在家里搜集物品種類和數(shù)量，準(zhǔn)備課堂教學(xué)用，也可以成立數(shù)學(xué)建模興趣小組，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。5.用數(shù)學(xué)的眼光看世界從中小學(xué)數(shù)學(xué)的角度說，數(shù)學(xué)建模就是生活問題數(shù)學(xué)化的過程，而數(shù)學(xué)的用模就是數(shù)學(xué)問題生活化的問題，二者相輔相成。這是課程標(biāo)準(zhǔn)著力強調(diào)的一點，也是廣大老師在教學(xué)中著

40、力實踐的一點，知識老師們還沒有把它上升到建模的意識上而已?！叭f物皆數(shù)”，是“生活中處處有數(shù)學(xué)”。要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識與能力，就需要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，讓學(xué)生時時處處在大自然中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)、體味數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，這是我們廣大數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)盡的義務(wù)。中小學(xué)數(shù)學(xué)建模的研究工作還剛剛起步，要研究的問題千頭萬緒。限于能力，也限于篇幅， 淺談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建濟南市市中區(qū)教研室 張緒昌 數(shù)學(xué)模型，從小學(xué)課堂教學(xué)這一狹義的角度講，就是指解決問題時所用到的一種數(shù)學(xué)框架，是對實際問題進行分析、簡化、抽象后所得出的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，一般是用數(shù)學(xué)語言、符號、數(shù)量關(guān)系式或圖形等描述。它具有一般性

41、、精確性、直觀性、簡潔性等特點。然而在新課程實施過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，一線教師的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建意識還比較薄弱，不少教師以為構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)家的事，只要教材、教參上沒有明確要求，教學(xué)也就不再涉及。誠然，數(shù)學(xué)模型的建立往往受教師自身模型構(gòu)建意識與能力、教材 例如,“植樹問題”有三種情況：兩端都不栽（棵樹 = 間隔 +1）；只中端（棵樹 = 間隔數(shù)）；兩端都不栽（棵樹 =間隔數(shù)-1）。在第一遍試教中，教師把教學(xué)重點放在三種情況的分類上，一節(jié)課下來，學(xué)生在球總棵樹時，往往還是弄不清應(yīng)該是加1、還是減1或者不加不減。仔細(xì)分析一下原因，歸根結(jié)底是學(xué)生不明白植樹問題的本質(zhì) 一 一對應(yīng)。說到底，也就是學(xué)生沒能很

42、好地掌握一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。教師進行了第二次改進，把教學(xué)重點放在了一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的建立上，收到了良好的效果。教師在出示題目：一條公路長20米，計劃在公路的一旁栽樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共可以栽幾棵？學(xué)生嘗試獨立解決，出線了三種方法：20÷5=4（棵）；20÷5+1=5（棵）;20÷5+2=6（棵）。在全班交流算式意義的過程中學(xué)生通過畫圖，理解到：20米是路的總長，5米市每兩棵樹的距離，20÷5求的事4段路，要求兩端都栽，所以還得加上開頭的一棵。就在全班同學(xué)普遍認(rèn)同這一解釋時，教師提出了本節(jié)課理解的難點，即段數(shù)與棵樹的關(guān)系：4表示段數(shù)，1表示

43、左邊的那棵樹。4段 路加上1棵樹等于什么？段數(shù)加上棵樹求出來怎么是棵樹呢？按說應(yīng)該棵樹加上棵樹才等于棵樹?。侩y道段數(shù)和棵樹之間還有一定的關(guān)系嗎？通過大家的討論，學(xué)生根據(jù)線段圖找到了一一對應(yīng)的模型：途中一段路對應(yīng)著一棵樹，一共有這樣的4段路，4短路就對應(yīng)著4棵樹，所以20÷5求出的事段數(shù)，根據(jù)一一對應(yīng)，也可以理解成是4棵樹。1就是指的頭上這棵樹。緊接著教師讓其他同學(xué)用手勢比劃段數(shù)與棵樹的對應(yīng)關(guān)系，從而非常扎實地構(gòu)建出棵樹和段數(shù)一一對應(yīng)的模型，有效地突破了教學(xué)難點。在接下來研究只種一端和兩端都不種的情況時，教師也是僅僅讓學(xué)生記住了一一對應(yīng)的模型，減輕了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，教學(xué)效果較好。這一學(xué)

44、習(xí)過程可以概括為“自主嘗試初步建立模型質(zhì)疑問難一構(gòu)建完整模型”。 二、在規(guī)律的總結(jié)過程中構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，深刻理解算式的意義乘法分配律是四年級下冊的內(nèi)容，教材的呈現(xiàn)方式如右圖。多數(shù)教師在教學(xué)時往往從計算入手，即出示機組類似（4+2）×25和4×25+2×25的例子，讓學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)兩個獅子相等的關(guān)系，從而總結(jié)出乘法分配律。課堂上老師雖然費了九牛二虎之力，但教學(xué)效果卻不如意，尤其是遇到變式練習(xí)，許多學(xué)生還是稀里糊涂。原因在哪里？筆者以為主要還是學(xué)生對于分配律的理“看”得不清楚，通過計算總結(jié)結(jié)論過于抽象。因此，不妨創(chuàng)造一個更加直觀的圖示，從而幫助學(xué)生理解算式的意義

45、?？梢园牙?改成如下形式：444444LLüý 共25組 222222LLþ讓學(xué)生思考：一共是多少？有幾種算法？橫著看：4×25+2×25表示25個4加上25個2。豎著看：（4+2）×25表示25個4加2的和。兩種算法得數(shù)相同，可以用等號連接：4×25+2×25=（4+2）×25，教師可以再強化一組。隨后教師給出算式，讓學(xué)生想象圖式，進一步理解算式的意義。這樣幾個回合下來，學(xué)生對于乘法分配律的模型建立就非常深刻了。乘法交換了、乘法結(jié)合律都可以創(chuàng)造類似的圖式，從而較為容易的突破了對算式意義的理解。三、在計算

46、過程中構(gòu)建直觀的數(shù)學(xué)模型，從而較好地突破對算理的理解 計算教學(xué)的基本目的是使學(xué)生掌握算法，理解算理，而對于一部分同學(xué)來講，理解算理總是較為困難。比如，人教版五年級上冊“小數(shù)處以整數(shù)”一課，不少學(xué)生不能理解為什么商的小樹點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。因此教師一恰當(dāng)?shù)剡x擇面積模型，通過學(xué)生的操作來理解這道理。比如計算4.32÷3。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用下圖表示4.32。如果把4.32平均分為3份，應(yīng)該先分大正方形。每人分得1個正方形，還剩下1個，以1作單位沒法再分了，所以把1評價分成10份，和3個0.1和起來就是13個0.1，平均分成4份，每份有4個0.1。再把剩下的1個0.1評價分成10份，和

47、2個0.01合起來評價分成3分，每份是0.04。通過直觀的錯做很容易的理解了商的小數(shù)點和被除數(shù)的小數(shù)點對齊的道理。四、在猜想與驗證的過程中構(gòu)建基本的數(shù)學(xué)表達式，從而實現(xiàn)知識的有效構(gòu) 建猜想是依據(jù)已有的知識或活動經(jīng)驗對研究的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題進行觀察、實驗、比較、歸納等一系列的思維活動，并做出符合一定規(guī)律或事實的推測性想象，進而通過驗證或操作完善或修正自己的猜想，從而提出新的理論假設(shè)。猜想是一種帶有一定直覺性的比較高級的思維方式，而在不斷地猜想與驗證過程中，數(shù)學(xué)模型也在不斷地構(gòu)建與調(diào)整。比如，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的大小比較時：教師先出示一組帶有規(guī)律性的題組，比較小，學(xué)生先進行猜想，然后驗證發(fā)現(xiàn)：123456

48、、的大23456713456&lt;&lt;&lt;&lt;。學(xué)生自然得出：當(dāng)分?jǐn)?shù)的分母比24567分子大1時，分母大的分?jǐn)?shù)大，用字母關(guān)系式表示為：ace<<（b-a=d-c=f-ebdf=1）；緊接著教師可以引導(dǎo)學(xué)生進一步提出新的猜想：如果當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子分母相差2、3LL如：,123456剛才的規(guī)律還是否適用？學(xué)生繼續(xù)進行猜想、驗證，從而發(fā)現(xiàn)其中的345678帶有規(guī)律性的表達式：ace<<LL（當(dāng)b-a=d-c=f-eLL）。這個學(xué)習(xí)過程可以概括為：bdf“實踐操作構(gòu)建模型提出新猜想動手驗證建立模型”，這個過程是學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、不斷創(chuàng)新的過

49、程。五、在知識的梳理與歸納中構(gòu)建基本的關(guān)系式，從而打通知識間的聯(lián)系著名教育家皮亞杰認(rèn)為：“對知識的理解是學(xué)習(xí)者自己主動地建構(gòu)知識的意義的過程。”因此教師要有意識的引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識經(jīng)?；仡櫯c整理，使零散的知識在學(xué)生大腦中主動地進行選擇、加工，這樣學(xué)生原來的知識經(jīng)驗系統(tǒng)又會因新信息的進入發(fā)生調(diào)整和改變，也就是我們通常所說的知識重組或重構(gòu)。如何實現(xiàn)這一點，構(gòu)建基本的關(guān)系式模型是一種重要的途徑。比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了平面圖形的面積公式后，為了減輕學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，增強學(xué)生的演繹推理能力，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：能否只用一個公式把下面所以圖形的面積公式統(tǒng)一起來？ 學(xué)生通過觀察，得出梯形的面積公式（S（梯形）=（

50、a+b）×h÷2）可以解釋其他圖形的面積，然后進一步簡化：中位線×高。再如：學(xué)生學(xué)習(xí)完有關(guān)長方體、正方體、圓柱、棱柱的體積后可引導(dǎo)學(xué)生再次構(gòu)建這些例題圖形基本的體積公式，得出：直棱柱的體積=中位面×高?？傊?，有效的數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過程，就是將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題的過程。在建立數(shù)學(xué)模型、形成新的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的過程中，學(xué)生能更深刻地體會到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，同時教師自身要具備數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建意識和能力，才能指導(dǎo)和要求學(xué)生通過主動思維，自主建構(gòu)有效的數(shù)學(xué)模型，從而使課堂更能彰顯數(shù)學(xué)的學(xué)科魅力。 立足生活情境 構(gòu)建數(shù)

51、學(xué)模型-談?wù)麛?shù)四則混合運算的教學(xué)濟南市姚家小學(xué) 李 紅“能結(jié)合現(xiàn)實素材理解運算順序”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念。為此，實驗教科書一改原教材的編排體系，而從數(shù)學(xué)源于生活的角度，結(jié)合符合學(xué)生生活實際的現(xiàn)實素材逐步引入混合運算.這樣編排的好處是:1.貼近學(xué)生,使抽象的問題變得生動,有趣;2.便于學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實問題初步理解混合運算的意義,體會運算順序;3.混合運算與解決兩三步計算的實際問題緊密結(jié)合,有助于提高學(xué)生思維水平和解題能力.然而,新教材這種編排也有弊端,如綜合算式的提前出現(xiàn)造成了教師教學(xué)的困惑,脫式計算的格式要求形成了教學(xué)的空擋,而教材、教參對此只字未提，使教師教學(xué)感到無從著手，自行其是?；旌线\算

52、的運算順序作為一個數(shù)學(xué)模型來說并沒有在教材中得到很好的體現(xiàn)。為了幫助學(xué)生加深對混合運算順序的理解，應(yīng)該在規(guī)范運算步驟的基礎(chǔ)上促進學(xué)生計算能力的提高。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程”。而引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該從學(xué)生所熟悉的符合其年齡特征的生活情景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、分析、比較等思維活動，進而逐步轉(zhuǎn)化成自己的認(rèn)識，從而用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號概括出來。正如張奠宙教授所說：“數(shù)學(xué)模型就是那些用數(shù)學(xué)語言來模擬現(xiàn)實的模型?！币蚨?shù)學(xué)模型的過程本身就是一種研究型學(xué)習(xí)方式。下面是我們教學(xué)混合運算的幾點做法：一

53、、教材分析實驗教科書是結(jié)合現(xiàn)實素材逐步引入混合運算的。大體可分為3個階段：一是初步滲透模型簡短，二是形成模型階段，三是運算定律的建構(gòu)與應(yīng)用。第一階段又分為3個層次：一（上）“6-10的認(rèn)識和加減法”中安排的“連加”、“連減”和“加減混合”便是混合運算的起始內(nèi)容。這個階段主要是口算，應(yīng)該結(jié)合具體情景，讓學(xué)生感悟到先算什么，再算什么，起重點是第一步口算得數(shù)要“暗記”，使學(xué)生明白只有求得第一步計算的得數(shù)才能進行第二步計算。第二個層次是二（上）100以內(nèi)的加法和減法（二）中的“連加，連減和加減混合”。 承接上一層次的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)有了初步的按順序計算的意識，只不過由口算變成了筆算，“暗記”的第一步得數(shù)

54、需要用豎式表示出來。為了幫助學(xué)生更深刻認(rèn)識連加連減和加減混合運算順序，教材依然通過生活情景呈現(xiàn)問題及運算順序，其后結(jié)合表內(nèi)乘法引入的乘加、乘減，僅從呈現(xiàn)順序上就能看出先算乘法后算加減法，并不是教學(xué)兩級運算的順序。第三個層次是二（下）的含有小括號的加減混合運算。為了幫助學(xué)生體會小括號的作用，教材通過一道用兩種方法解答的實際問題說明用綜合算式列式時，應(yīng)該使用小括號，“計算時先算小括號里面的”可以從分析題目的數(shù)量關(guān)系中建立認(rèn)識。從以上分析可以看出，教材的編排確實體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，學(xué)生比較容易的將生活情境轉(zhuǎn)化為自己的認(rèn)識。但需要說明的一點是，在這個階段已經(jīng)出現(xiàn)了列綜合算式解決實際問題，這就給教師教學(xué)

55、造成了些許困惑。怎樣教學(xué)列綜合算式：教不教脫式計算的格式和步驟？幸虧，59頁的例4道出了脫式步驟及解法，真是“千呼萬喚始出來?！被旌线\算教學(xué)的第二個階段在四（下）。教材通過四個例題的問題解決，幫助學(xué)生建立整數(shù)四則混合運算的運算順序這一數(shù)學(xué)模型。由于學(xué)生在一、二年紀(jì)已具備了很多感性認(rèn)識， 且能夠初步掌握含有加減兩步計算及含有小括號的混合運算式題的計算步驟，只不過還沒有把這些認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，即還未形成運算法則這一數(shù)學(xué)模型，因此這部分教材主要是引導(dǎo)學(xué)生借助于已有的知識經(jīng)驗，在解決問題的過程中，歸納概括出混合運算順序，形成數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)模型進行計算。整數(shù)四則混合運算的第三個階段是研究五大運算

56、定律并進行簡便運算。五大運算定律也是數(shù)學(xué)模型，它是運算體系中最有普遍意義的規(guī)律，是運算的基本性質(zhì)。同時隨著數(shù)的范圍的進一步擴展，這五個運算定律也會進一步應(yīng)用到后續(xù)知識的學(xué)習(xí)中。鑒于學(xué)生在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸到了一些實際例子，因此這一階段的任務(wù)主要是引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實的問題情境中抽象概括出運算定律（建模），并進行簡便運算（用模）。二、創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，初步滲透“模型”意識如前所述，學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)混合運算主要是學(xué)習(xí)從左到右依次計算的連加、連減和加減混合的運算順序，初步了解小括號的作用。前者滲透的的教學(xué)模型就是一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，按照從左到右的順序進行計算。后者所滲透的數(shù)學(xué)模型

57、就是在有小括號的算式里，要先算小括號里面的。為了幫助學(xué)生更好的理解和掌握這些內(nèi)容，教材提供了豐富的生活情境，旨在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)生的知識儲備，利用現(xiàn)實的素材建立認(rèn)識。教學(xué)中應(yīng)切實把握好教材的這一編排特點，讓學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實素材進行分析、思考，從而架起生活情境與運算順序之間的橋梁，也就是說在低年級要注意滲透“模型”意識，為四年級的建構(gòu)四則混合運算順序的數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備。例如，一（上）的連加、連減和加減混合屬于口算內(nèi)容，但其又是兩步式題，分兩步進行口算才能算出結(jié)果，特別是第二步計算要用到第一步計算算出的得數(shù)，而學(xué)生則由于思維的定勢，往往容易忘掉第一步的得數(shù)或由于看不見第一步的得數(shù)而造成第二

58、步計算的困難。為此，教材呈現(xiàn)了現(xiàn)實素材，用生動的動態(tài)情境反映出計算時應(yīng)該先算什么，初步滲透了同級運算從左到右的順序。此外，教材在算式中用“線”標(biāo)明先算什么，并注上第一步計算算出的得數(shù)，從而幫助學(xué)生克服前面所提到的計算障礙。為了使學(xué)生更好的掌握運算順序，教學(xué)“連加”時可用動態(tài)的圖畫呈現(xiàn)p72的“連加”題目，使學(xué)生通過觀察，直觀看到5只小雞、2只小雞和1只小雞的呈現(xiàn)順序，列出算式后進而理解連加算式的意義，初步體會到先算什么再算什么，接著用課件顯示第一步計算的得數(shù)“7”，使學(xué)生進一步認(rèn)識到第二步計算是用7來加1。再讓學(xué)生試著說一下5+2+1的計算過程后再出幾幅類似的動態(tài)畫面鞏固這一認(rèn)識，并引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合這幾道題說一說連加計算應(yīng)該怎么辦?！斑B減”的教學(xué)過程基本和連加相同，只不過學(xué)生有了連加的基礎(chǔ)，教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生進行知識遷移，即在呈現(xiàn)動態(tài)畫面并列出算式后，讓學(xué)生自己說一說，先算什么再算什么，重點放在第二步計算為什么用6減2上。“加減混合”呈現(xiàn)了不2幅情景，與連加、連減相比，不同點是含有加減兩種運算，相同點是依然從左到右計算，但正因為這是兩種運算，動態(tài)情境的出現(xiàn)就更有必要，一方面能克服先加后減的潛在錯誤意識，另一方面可與連加、連減結(jié)合起來，達到結(jié)合動態(tài)情景構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的。為此，可在練習(xí)中用課件展示不同的加減混合的現(xiàn)實素材，讓學(xué)生