第三章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

1、第三章第三章 經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元回歸型：多元回歸 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 多元線性回歸模型的預(yù)測(cè)多元線性回歸模型的預(yù)測(cè) 回歸模型的其他形式回歸模型的其他形式 回歸模型的參數(shù)約束回歸模型的參數(shù)約束3.1 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 一、多元線性回歸模型一、多元線性回歸模型 二、多元線性回歸模型的基本假定二、多元線性回歸模型的基本假定 一、多元線性回歸模型一、多元線性回歸模型 多元線性回歸模型多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有

2、多個(gè)。 一般表現(xiàn)形式一般表現(xiàn)形式：ikikiiiXXXY 22110i=1,2,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)回歸參數(shù)（regression coefficient）。 習(xí)慣上習(xí)慣上：把常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)看成為一虛變量虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測(cè)值始終取1。這樣： 模型中解釋變量的數(shù)目為（模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1+1） ikikiiiXXXY 22110也被稱為也被稱為總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)的的隨機(jī)表達(dá)形式隨機(jī)表達(dá)形式。它。它 的的非隨機(jī)表達(dá)式非隨機(jī)表達(dá)式為為:kikiikiiiiXXXXXXYE 2211021),|( 方程表示：方程表示：各變量各變量X X值固定時(shí)值固定時(shí)

3、Y Y的平均響應(yīng)的平均響應(yīng)。 j也被稱為也被稱為偏回歸系數(shù)偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，量保持不變的情況下，Xj每變化每變化1個(gè)單位時(shí)，個(gè)單位時(shí)，Y的均值的均值E(Y)的變化的變化; 或者說或者說j給出了給出了Xj的單位變化對(duì)的單位變化對(duì)Y均值的均值的“直直接接”或或“凈凈”（不含其他變量）影響。（不含其他變量）影響。總體回歸模型總體回歸模型n個(gè)隨機(jī)方程的個(gè)隨機(jī)方程的矩陣表達(dá)式矩陣表達(dá)式為為 XY其中其中)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kk121nn樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)：用來估計(jì)總體回歸函數(shù)：用來估計(jì)

4、總體回歸函數(shù)kikiiiiXXXY22110其其隨機(jī)表示式隨機(jī)表示式: : ikikiiiieXXXY22110 ei稱為稱為殘差殘差或或剩余項(xiàng)剩余項(xiàng)(residuals)，可看成是總，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)體回歸函數(shù)中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) i的近似替代。的近似替代。 樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)的的矩陣表達(dá)矩陣表達(dá): : XY或或eXY其中：其中：k10neee21e二、多元線性回歸模型的基本假定二、多元線性回歸模型的基本假定 假設(shè)1，解釋變量是非隨機(jī)的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。 假設(shè)2，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性0)(iE22)()(iiEVar0)(),(

5、jijiECovnjiji, 2 , 1, 假設(shè)3，解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān) 0),(ijiXCov假設(shè)4，隨機(jī)項(xiàng)滿足正態(tài)分布 ), 0(2Nikj,2 , 1 上述假設(shè)的上述假設(shè)的矩陣符號(hào)表示矩陣符號(hào)表示 式：式： 假設(shè)1，n(k+1)矩陣X是非隨機(jī)的，且X的秩=k+1，即X滿秩。 假設(shè)2， 0)()()(11nnEEEEnnEE11)( 21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假設(shè)3，E(X )=0，即 0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE假設(shè)4，向量 有一多維正態(tài)分布，即 ),(2I0N 同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下

6、兩個(gè)重要假設(shè)：同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個(gè)重要假設(shè)： 假設(shè)5，樣本容量趨于無窮時(shí)，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n時(shí)， jjjijiQXXnxn22)(11或Qxxn1 其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的nk階矩陣 knnkxxxx1111x假設(shè)6，回歸模型的設(shè)定是正確的。 3.2 多元線性回歸模型的估計(jì)多元線性回歸模型的估計(jì) 估計(jì)方法：OLS、ML或者M(jìn)M一、普通最小二乘估計(jì)一、普通最小二乘估計(jì) * *二、最大或然估計(jì)二、最大或然估計(jì) * *三、矩估計(jì)三、矩估計(jì) 四、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)四、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) 五、樣本容量問題五、樣本容量問題 六、估計(jì)實(shí)

7、例六、估計(jì)實(shí)例 一、普通最小二乘估計(jì)一、普通最小二乘估計(jì)對(duì)于隨機(jī)抽取的n組觀測(cè)值kjniXYjii, 2 , 1 , 0, 2 , 1),(如果樣本函數(shù)樣本函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，則有： KikiiiiXXXY22110i=1,2n根據(jù)最小二乘原理最小二乘原理，參數(shù)估計(jì)值應(yīng)該是下列方程組的解 0000210QQQQk其中2112)(niiiniiYYeQ2122110)(nikikiiiXXXY于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計(jì)值的正規(guī)方程組正規(guī)方程組： kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)()()()(22110222211

8、0112211022110 解該（k+1）個(gè)方程組成的線性代數(shù)方程組，即可得到(k+1)個(gè)待估參數(shù)的估計(jì)值, , ,jjk 012 。正規(guī)方程組正規(guī)方程組的矩陣形式矩陣形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111即YXX)X(由于XX滿秩，故有 YXXX1)(將上述過程用矩陣表示矩陣表示如下： 即求解方程組：0)()(XYXY0)(XXXYYXYY0XXYX得到： YXXX1)(XXYX于是：例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入家庭收入-消費(fèi)支出消費(fèi)支出例中， 5365000021500215001011

9、1111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX可求得 0735. 10003. 00003. 07226. 0)(1EXX于是 7770. 0172.10339648400156740735. 10003. 00003. 07226. 021E正規(guī)方程組正規(guī)方程組 的另一種寫法對(duì)于正規(guī)方程組正規(guī)方程組 XXYXXXeXXX于是 0eX或 0ie0iijieX(*)或（*）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組正規(guī)方程組的另一種寫法 (*)(*)樣本回歸函數(shù)的離差形式樣本回歸函數(shù)的離差形式ikikiiiexxxy2211i=

10、1,2n其矩陣形式矩陣形式為 exy其中 ：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xk21在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計(jì)結(jié)果為 Yxxx1)(kkXXY110隨機(jī)誤差項(xiàng)隨機(jī)誤差項(xiàng) 的方差的方差 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì) 可以證明，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無偏估計(jì)量為 1122knkneiee * *二、最大或然估計(jì)二、最大或然估計(jì) 對(duì)于多元線性回歸模型ikikiiiXXXY 22110易知),(2XiNYi Y的隨機(jī)抽取的n組樣本觀測(cè)值的聯(lián)合概率)()(21)(212122222211022)2(1)2(1),(),(XYXYeeYYYPLnXXXYnnnkikiiin即

11、為變量Y的或然函數(shù)或然函數(shù) 對(duì)數(shù)或然函數(shù)為)()(21)2()( 2*XYXYnLnLLnL對(duì)對(duì)數(shù)或然函數(shù)求極大值，也就是對(duì) )()(XYXY求極小值。 因此，參數(shù)的最大或然估計(jì)最大或然估計(jì)為為YXXX1)(結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)相同結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)相同* *三、矩估計(jì)三、矩估計(jì)（Moment Method, MM） OLS估計(jì)是通過得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)估計(jì)值的正正規(guī)方程組規(guī)方程組YXX)X(并對(duì)它進(jìn)行求解而完成的。 該該正規(guī)方程組正規(guī)方程組 可以從另外一種思路來導(dǎo): XYXXXYXXX(YX)求期望 :0XYX)(E0XYX)(E稱為原總體回歸方程的一組矩條件矩條件，表明了原總

12、體回歸方程所具有的內(nèi)在特征。 0)1X(YXn由此得到正規(guī)方程組正規(guī)方程組 YXXX解此正規(guī)方程組即得參數(shù)的MM估計(jì)量。 易知MM估計(jì)量與與OLS、ML估計(jì)量等價(jià)。矩方法矩方法是是工具變量方法工具變量方法(Instrumental Variables,IV)和和廣義矩估計(jì)方法廣義矩估計(jì)方法(Generalized Moment Method, GMM)的基礎(chǔ)的基礎(chǔ) 在在矩方法矩方法中關(guān)鍵是利用了中關(guān)鍵是利用了 E(X )=0 如果某個(gè)解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)相關(guān)，只要能找到1個(gè)工具變量，仍然可以構(gòu)成一組矩條件。這就是IV。 如果存在k+1個(gè)變量與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)，可以構(gòu)成一組包含k+1方程的矩條件。這就是

13、GMM。 四、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)四、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) 在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù) 的普通最小二乘估計(jì)、最大或然估計(jì)最大或然估計(jì)及矩估計(jì)矩估計(jì)仍具有： 線性性線性性、無偏性無偏性、有效性有效性。 同時(shí)，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計(jì)量具有： 漸近無偏性、漸近有效性、一致性漸近無偏性、漸近有效性、一致性。 1、線性性、線性性 CYYXXX1)(其中,C=(XX)-1 X 為一僅與固定的X有關(guān)的行向量 2、無偏性、無偏性 XXXXXXXYXXX11)()()()()()(1EEEE這里利用了假設(shè): E(X )=0 3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性） 其中利用了 YXXX1)(XXXXX

14、XX11)()()(和I2)(E 五、樣本容量問題五、樣本容量問題 所謂“最小樣本容量最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計(jì)量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。 最小樣本容量最小樣本容量 樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項(xiàng)）的數(shù)目（包括常數(shù)項(xiàng)）,即 n k+1因?yàn)椋瑹o多重共線性要求：秩(X)=k+1 2 2、滿足基本要求的樣本容量、滿足基本要求的樣本容量 從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的角度從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的角度： n30 時(shí)，Z檢驗(yàn)才能應(yīng)用； n-k8時(shí), t分布較為穩(wěn)定 一般經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為一般經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為: 當(dāng)n30或者至少n3(k+

15、1)時(shí)，才能說滿足模型估計(jì)的基本要求。 模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明得到理論上的證明 六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)實(shí)例六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)實(shí)例 例例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中國(guó)居中國(guó)居民人均消費(fèi)民人均消費(fèi)一元線性模型。這里我們?cè)倏紤]建立多元線性模型。解釋變量：解釋變量：人均GDP：GDPP 前期消費(fèi)：CONSP(-1)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間：19792000年Eviews軟件估計(jì)結(jié)果 LS / Dependent Variable is CONS Sample(adjusted): 1979 2000 Included o

16、bservations: 22 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 120.7000 36.51036 3.305912 0.0037 GDPP 0.221327 0.060969 3.630145 0.0018 CONSP(-1) 0.451507 0.170308 2.651125 0.0158 R-squared 0.995403 Mean dependent var 928.4946 Adjusted R-squared 0.994920 S.D. dependent

17、 var 372.6424 S.E. of regression 26.56078 Akaike info criterion 6.684995 Sum squared resid 13404.02 Schwarz criterion 6.833774 Log likelihood -101.7516 F-statistic 2057.271 Durbin-Watson stat 1.278500 Prob(F-statistic) 0.000000 3.3 多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 二、方程的顯著性檢驗(yàn)二、方程的顯著性檢驗(yàn)(F(F

18、檢驗(yàn)檢驗(yàn)) ) 三、變量的顯著性檢驗(yàn)（三、變量的顯著性檢驗(yàn)（t t檢驗(yàn)）檢驗(yàn)） 四、參數(shù)的置信區(qū)間四、參數(shù)的置信區(qū)間 一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)則2222)()(2)()()()(YYYYYYYYYYYYYYTSSiiiiiiiiii 總離差平方和的分解總離差平方和的分解由于 )()(YYeYYYYiiiiikiikiiieYXeXee110=0所以有： ESSRSSYYYYTSSiii22)()(注意：注意：一個(gè)有趣的現(xiàn)象一個(gè)有趣的現(xiàn)象 222222YYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiii 可決系數(shù)可決系數(shù)TS

19、SRSSTSSESSR12該統(tǒng)計(jì)量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。 問題：?jiǎn)栴}： 在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個(gè)解釋變量， R2往往增大（Why?) 這就給人一個(gè)錯(cuò)覺一個(gè)錯(cuò)覺：要使得模型擬合得好，只要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可要增加解釋變量即可。 但是，現(xiàn)實(shí)情況往往是，由增加解釋變量個(gè)數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關(guān)，R2需調(diào)整需調(diào)整。 調(diào)整的可決系數(shù)調(diào)整的可決系數(shù)（adjusted coefficient of determination） 在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，

20、以剔和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個(gè)數(shù)對(duì)擬合優(yōu)度的影響除變量個(gè)數(shù)對(duì)擬合優(yōu)度的影響:) 1/() 1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。11)1 (122knnRR *2、赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則、赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則 為了比較所含解釋變量個(gè)數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標(biāo)準(zhǔn)還有: 赤池信息準(zhǔn)則赤池信息準(zhǔn)則（Akaike information criterion, AIC）nknAIC) 1(2lnee施瓦茨準(zhǔn)則施瓦茨準(zhǔn)則（Schwarz criterion，SC） nnknAClnlnee 這兩準(zhǔn)則均要求

21、這兩準(zhǔn)則均要求僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少AICAIC值或值或ACAC值時(shí)才在原模型中增加該解釋變量值時(shí)才在原模型中增加該解釋變量。 Eviews的估計(jì)結(jié)果顯示： 中國(guó)居民消費(fèi)一元例中：AIC=7.09 AC=7.19中國(guó)居民消費(fèi)二元例中：AIC=6.68 AC=6.83從這點(diǎn)看，可以說前期人均居民消費(fèi)CONSP(-1)應(yīng)包括在模型中。 二、方程的顯著性檢驗(yàn)二、方程的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn)檢驗(yàn)) 方程的顯著性檢驗(yàn)，旨在對(duì)模型中被解釋變方程的顯著性檢驗(yàn)，旨在對(duì)模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上在總體上是否顯著是否顯著成立作出推斷。成

22、立作出推斷。 1、方程顯著性的、方程顯著性的F檢驗(yàn)檢驗(yàn) 即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的參數(shù)j是否顯著不為0。 可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)： H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全為0 F F檢驗(yàn)的思想檢驗(yàn)的思想來自于總離差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS由于回歸平方和2iyESS是解釋變量X的聯(lián)合體對(duì)被解釋變量 Y 的線性作用的結(jié)果，考慮比值 22/iieyRSSESS 如果這個(gè)比值較大，則X的聯(lián)合體對(duì)Y的解釋程度高，可認(rèn)為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。 因此因此, ,可通過該比值的大小對(duì)總體線性關(guān)系進(jìn)行推可

23、通過該比值的大小對(duì)總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷斷。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的知識(shí)，在原假設(shè)H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量 ) 1/(/knRSSkESSF服從自由度為(k , n-k-1)的F分布 給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量F的數(shù)值，通過 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，以判定原方程總體上總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。 對(duì)于中國(guó)居民人均消費(fèi)支出的例子： 一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3給定顯著性水平 =0.05，查分布表，得到臨界值： 一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52顯然有

24、 F F(k,n-k-1) 即二個(gè)模型的線性關(guān)系在95%的水平下顯著成立。 2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢驗(yàn)關(guān)系的討論驗(yàn)關(guān)系的討論 由) 1/() 1/(12nTSSknRSSR) 1/(/knRSSkESSF可推出：kFknnR1112與或) 1/()1 (/22knRkRF在在中國(guó)居民人均收入中國(guó)居民人均收入-消費(fèi)消費(fèi)一元模型一元模型中，中，在在中國(guó)居民人均收入中國(guó)居民人均收入-消費(fèi)消費(fèi)二元模型二元模型中中， 三、變量的顯著性檢驗(yàn)（三、變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）檢驗(yàn)） 方程的總體線性總體線性關(guān)系顯著 每個(gè)解釋變量每個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量的影響都是顯著的 因

25、此，必須對(duì)每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗(yàn)是由對(duì)變量的這一檢驗(yàn)是由對(duì)變量的 t t 檢驗(yàn)完成的。檢驗(yàn)完成的。 1、t統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 由于12)()(XXCov 以cii表示矩陣(XX)-1 主對(duì)角線上的第i個(gè)元素，于是參數(shù)估計(jì)量的方差為： iiicVar2)( 其中2為隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，用它的估計(jì)量代替: 1122knkneiee),(2iiiicN因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量 ) 1(1kntkncStiiiiiiiee 2、t檢驗(yàn)檢驗(yàn) 設(shè)計(jì)原假設(shè)與備擇假設(shè)： H1：i0 給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量t

26、的數(shù)值，通過 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，從而判定對(duì)應(yīng)的解釋變判定對(duì)應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。量是否應(yīng)包括在模型中。 H0：i=0 （i=1,2k） 注意：注意：一元線性回歸中，一元線性回歸中，t t檢驗(yàn)與檢驗(yàn)與F F檢驗(yàn)一致檢驗(yàn)一致 一方面一方面，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)都是對(duì)相同的原假設(shè)H0： 1=0=0 進(jìn)行檢驗(yàn); 另一方面另一方面，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量之間有如下關(guān)系： 222212221222122212212)2()2()2()2(txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii在中國(guó)居民人均收入中國(guó)居民人均收入-消費(fèi)支出消費(fèi)支出二元模

27、型二元模型例中，由應(yīng)用軟件計(jì)算出參數(shù)的t值：651. 2630. 3306. 3210ttt 給定顯著性水平=0.05，查得相應(yīng)臨界值： t0.025(19) =2.093?？梢?，計(jì)算的所有計(jì)算的所有t值都大于該臨界值值都大于該臨界值，所以拒絕原假設(shè)。即:包括常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)的包括常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)的3個(gè)解釋變量都在個(gè)解釋變量都在95%的水的水平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗(yàn)。平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗(yàn)。 四、參數(shù)的置信區(qū)間四、參數(shù)的置信區(qū)間 參數(shù)的參數(shù)的置信區(qū)間置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所估在一次抽樣中所估計(jì)的參數(shù)值離參數(shù)的真實(shí)值有多計(jì)的參數(shù)值離參數(shù)的真實(shí)值有多“近近”。 在變量的顯著性檢驗(yàn)中已

28、經(jīng)知道：在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：) 1(1kntkncStiiiiiiiee容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信區(qū)間是 (,)iitstsii22其中，t/2為顯著性水平為 、自由度為n-k-1的臨界值。 在中國(guó)居民人均收入中國(guó)居民人均收入-消費(fèi)支出消費(fèi)支出二元模型二元模型例中,給定=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093計(jì)算得參數(shù)的置信區(qū)間： 0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080)170. 04515. 0061. 02213. 051.3670.120210210sss

29、 從回歸計(jì)算中已得到：如何才能縮小置信區(qū)間？如何才能縮小置信區(qū)間？ 增大樣本容量增大樣本容量n n，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯?，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯?，n n越越大，大，t t分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減??；量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減??；提高模型的擬合優(yōu)度提高模型的擬合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。平方和應(yīng)越小。提高樣本觀測(cè)值的分散度提高樣本觀測(cè)值的分散度, ,一般情況下，樣本觀一般情況下，

30、樣本觀測(cè)值越分散測(cè)值越分散，(XX)-1的分母的的分母的|XX|的值越大，致的值越大，致使區(qū)間縮小。使區(qū)間縮小。3.4 多元線性回歸模型的預(yù)測(cè)多元線性回歸模型的預(yù)測(cè) 一、一、E(Y0)的置信區(qū)間的置信區(qū)間 二、二、Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間對(duì)于模型 XY給 定 樣 本 以 外 的 解 釋 變 量 的 觀 測(cè) 值X0=(1,X10,X20,Xk0)，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值：X00Y 它可以是總體均值E(Y0)或個(gè)值Y0的預(yù)測(cè)。 但嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。 為了進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)，還需求出預(yù)測(cè)值的置信為了進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)，還需求出預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間，包括區(qū)間，包括E(Y0)

31、和和Y0的的置信區(qū)間置信區(qū)間。 一、一、E(Y0)的置信區(qū)間的置信區(qū)間易知 )()()()(00YEEEYEXXX000)()()(20()X(XXX0000EEYVar0102000)()()(XXXXX)(XX)(X00EEYVar容易證明 ),(020XX)X(XX100NY) 1(knt)E(YY00010XX)X(X于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信區(qū)間置信區(qū)間： 010000100)()()(22XXXXXXXXtYYEtY其中，t/2為(1-)的置信水平下的臨界值臨界值。 二、二、Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間 如果已經(jīng)知道實(shí)際的預(yù)測(cè)值Y0，那么預(yù)測(cè)誤差為：000YYe容易

32、證明 0)()()()(100000000XXXXXXXEEEeE)(1 ()()()(01022100200XXXXXXXXEeEeVare0服從正態(tài)分布，即 )(1 (, 0(01020XXXXNe)(1 (010220XXXXe構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量 ) 1(000kntYYte可得給定(1-)的置信水平下Y0的置信區(qū)間置信區(qū)間： 010000100)(1)(122XXXXXXXXtYYtY 中國(guó)居民人均收入中國(guó)居民人均收入- -消費(fèi)支出消費(fèi)支出二元模型二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元， 于是人均居民消費(fèi)的預(yù)測(cè)值人均居民消費(fèi)的預(yù)測(cè)值為 2001=120.7+0.22134033.

33、1+0.45151690.8=1776.8（元） 實(shí)測(cè)值實(shí)測(cè)值（90年價(jià)）=1782.2元，相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：-0.31% 預(yù)測(cè)的置信區(qū)間預(yù)測(cè)的置信區(qū)間 ：00004. 000001. 000828. 000001. 000001. 000285. 000828. 000285. 088952. 1)(1XX3938. 0010XX)X(X于是E(E(2001）的95%的置信區(qū)間為: 3938.05.705093.28.1776或 （1741.8，1811.7）3938. 15 .705093. 28 .1776或 （1711.1, 1842.4） 同樣，易得2001的95%的置信區(qū)間為3.

34、5 回歸模型的其他函數(shù)形式回歸模型的其他函數(shù)形式 一、模型的類型與變換一、模型的類型與變換 二、非線性回歸實(shí)例二、非線性回歸實(shí)例 在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。 如著名的恩格爾曲線恩格爾曲線(Engle curves)表現(xiàn)為冪冪函數(shù)曲線函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的菲利普斯曲線菲利普斯曲線（Pillips cuves）表現(xiàn)為雙曲線雙曲線形式等。 但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運(yùn)用線性回歸的方法進(jìn)行計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的處理。 一、模型的類型與變換一、模型的類型與變換 1、倒數(shù)模型、多項(xiàng)式模型與變量的直

35、接置換法、倒數(shù)模型、多項(xiàng)式模型與變量的直接置換法 例如，例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線拉弗曲線：拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率設(shè)X1 = r，X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 ck。 如果出現(xiàn)n2F(n2, n1-k-1) ，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為預(yù)測(cè)期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。 例例3.6.2 中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求的鄒氏檢驗(yàn)。 1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)19811994：)ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQRSS1=0.003240 19952001：01l

36、n71. 0ln06. 3ln55. 078.13lnPPXQ (9.96) (7.14) (-5.13) (1.81) 19812001: 01ln39. 1ln14. 0ln21. 100. 5lnPPXQ (14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17) 34.10)821/()000058. 0003240. 0(4/)0000580. 0003240. 0(013789. 0F 給定=5%，查表得臨界值F0.05(4, 13)=3.18 判斷：判斷：F值值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求在明中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品

37、人均消費(fèi)需求在1994年前后發(fā)年前后發(fā)生了顯著變化。生了顯著變化。 2、鄒氏預(yù)測(cè)鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)65. 4) 1314/(003240. 07/ )003240. 0013789. 0(F給定=5%，查表得臨界值F0.05(7, 10)=3.18判斷判斷： F值值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè) *四、非線性約束四、非線性約束 也可對(duì)模型參數(shù)施加非線性約束非線性約束,如對(duì)模型kkXXXY22110施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型受約束回歸模型: *211101kkXXXY 該 模 型 必 需 采 用 非 線 性 最 小 二 乘 法非 線 性 最 小 二 乘 法

38、（nonlinear least squares）進(jìn)行估計(jì)。 非線性約束檢驗(yàn)非線性約束檢驗(yàn)是建立在最大似然原理最大似然原理基礎(chǔ)上的,有最大似然比檢驗(yàn)最大似然比檢驗(yàn)、沃爾德檢驗(yàn)沃爾德檢驗(yàn)與拉拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)格朗日乘數(shù)檢驗(yàn). .1、最大似然比檢驗(yàn)、最大似然比檢驗(yàn) (likelihood ratio test, LR) 估計(jì)估計(jì): :無約束回歸模型與受約束回歸模型， 方法方法: :最大似然法， 檢驗(yàn)檢驗(yàn): :兩個(gè)似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。 記L( ,2)為一似然函數(shù):無約束回歸無約束回歸 : Max:),(2L受約束回歸受約束回歸 : Max:),(2L或求極值：)(),(2gL g( ):以各約束條件為元素的列向量, ：以相應(yīng)拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量 約束：g( )=0 受約束受約束的函數(shù)值不會(huì)超過的函數(shù)值不會(huì)超過無約