2020年高考數(shù)學(xué)(文)沖刺之突破專題03突破立體幾何解答題的瓶頸(含解析)

1、突破立體幾何解答題的瓶頸 把握考點(diǎn) 明確方向時(shí)間20192018201720162015I卷線囿平行的判 定；點(diǎn)到平面距 離線面垂直的判 定；三棱錐的體 積卸卸垂直的判 定；四棱錐的側(cè) 面積卸卸垂直的判定； 四面體的體積面面垂直的判定；三 棱錐的側(cè)面積n卷線面垂直的判 定；四棱錐的體 積線面垂直的判 定；點(diǎn)到平面距 離線囿平行的判 定；四棱錐的體 積線面垂直的判定； 五棱錐的體積線囿平行的性質(zhì)；四 棱錐的體積出卷卸卸垂直的判 定；四邊形的面 積卸卸垂直的判 定；線面平行的 判定卸卸垂直的判 定；四面體的體 積線面平行的判定； 四面體的體積導(dǎo)圖助思快速切入思維流程建模平行模型 垂直接型 翻折底型

2、-I三雄錐體枳頂點(diǎn)也換委面體體積分別轉(zhuǎn)換-知識(shí)整合易錯(cuò)題示知識(shí)整合1 .柱、錐、臺(tái)、球體的表面積和體積側(cè)面展開圖表向積體積直棱柱長(zhǎng)方形S=2S底+S側(cè)V= S 底 h圓柱長(zhǎng)方形S= 2-2+2lV= 2 l俅源翱網(wǎng)ZXXK由若7個(gè)三角形構(gòu)成S= S底+ S側(cè)V= qS底 h3圓錐扇形S= 2+ lV= 2 h3棱臺(tái)由若小個(gè)梯形構(gòu)成S= S上底+ S下底+ S側(cè)V= 3(S+ VsST + S，)h圓臺(tái)扇環(huán)S=42+ 兀 K+r )l + 2V=兀 r2+rr + r 2)h 3球S= 4 一 AB,平面AB LADBP=DQ=AB=AC=3(2)一 AD = BC=3j2/ACM = 90。”

3、面 ABC QE - 1 Vq-abp 的值.ACD 平囿 ACD，平囿 ABC.2I DA一l 作 QEACBP=DQ = 22 QE,平標(biāo)準(zhǔn)答案閱卷現(xiàn)場(chǎng)的體積.證明：由已知可得，/ BAC=90, BA，AC.又BAXAD,所以AB,平面ACD垂直模型.又AB?平面ABC,所以平面ACDL平面ABC.第問第(2)問(2)由已知可得，DC = CM=AB=3, DA = 32.又 BP = DQ = 2DA,所以 BP=272. 3作QELAC,垂足為E,則QE觸1DC. 3由已知及(1)可得DC,平面ABC,所以QEL平面 ABC, -QE = 1.因此，三棱錐Q-ABP的體積為Vq-ab

4、p= X QEXSaABP= X 1X 1X3X22sin 45 3321.第(1)問踩點(diǎn)得分說明證得ABL平面ACD得2分.寫出AB?平面ABC得1分，此步?jīng)]有扣1分，寫出結(jié)論平面 ABC,平面ACD得2分.第(2)問踩點(diǎn)得分說明寫出AD = 3/2或BC=3/2得1分.計(jì)算出BP = 2+ ? = v3,在AACG 中，AC= v5, CG=2, AG= vi3,可得 cos/ ACG= 4+5-13 一 2X2/512=,即有 sin/ACG=, ，5，5則平行四邊形 ACGD的面積為2x v5 x-2= = 4，52. (2019?新課標(biāo)I )如圖，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1

5、的底面是菱形，AA1 = 4, AB= 2, Z BAD = 60 ,E, M, N分別是BC, BB1, AID的中點(diǎn).(1)證明：MN/平面 CiDE;(2)求點(diǎn)C到平面CiDE的距離.【解析】解法一：證明：(1)連結(jié)BiC, ME, , M, E分別是BB1, BC的中點(diǎn),1 ME / B1C,又 N 為 A1D 的中點(diǎn)，ND= 2A1D,由題設(shè)知 A1B1/DC,B1C/A1D, . ME /ND,四邊形MNDE是平行四邊形，MN / ED,又 MN?平面 CDE,二. MN/平面 C1DE .解：(2)過C作C1E的垂線，垂足為H,由已知可得 DEBC, DEXC1C, DEL平面

6、C1CE,故 DEXCH ,.CHL平面C1DE,故CH的長(zhǎng)即為C到時(shí)平面 C1DE的距離,由已知可得CE=1, CC1 = 4, .C1E= V17,故 CH =4V1717 ，點(diǎn)C到平面C1DE的距離為4 V1717D月1B3. （2019?新課標(biāo)H）如圖，長(zhǎng)方體 ABCD -AlBlClDl的底面 ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱 AA1上,BEXEC1.（1）證明：BE,平面 EBiCi；(2)若AE = A1E, AB=3,求四棱錐E-BB1C1C的體積.【解析】（1）證明：由長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1,可知B1C1,平面 ABB1A1, BE?平面 ABB1A1,B1C1 B

7、E,BE EC1, B1C1AEC1 = C1,BE，平面 EB1C1;(2)由(1)知/ BEB1 = 90 ,由題設(shè)可知 RtAABERtAA1B1E, ./AEB = / A1EB1 = 45 , AE = AB=3, AA1 = 2AE=6, .在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 中，AA1/平面 BB1C1C, ECAA1, AB,平面 BB1C1C, .E到平面BB1C1C的距離d = AB = 3,1 四棱錐 EBB1C1C 的體積 V= 1x3X6X3=18.34. (2018?新課標(biāo) n)如圖，在三棱錐 P-ABC 中，AB= BC=2v2, PA= PB = PC= AC

8、= 4, O 為 AC 的中點(diǎn).(1)證明：PO,平面ABC;(2)若點(diǎn)M在BC上，且 MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.【解析】(1)證明：AB=BC=2v2, AC=4,，AB2+BC2=AC2,即 ABC 是直角三角形,又。為AC的中點(diǎn)，OA=OB=OC,.FA=PB=PC,POAA POBA POC, . / POA= / POB = / POC = 90 , POXAC, POXOB, OBA AC=0, . POL平面 ABC；(2)解：由(1)得 POL平面 ABC, PO=，?2 ?覺=23,在.COM 中，OM=，？?+ ? - 2?9?45235? 1 x?a COM

9、= - X -234X ? ?反.3設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d.由 Vp OMC = VC POM? X ?么?=31;X ?么？? ? 3解得4 v5 d=4/，點(diǎn)C到平面POM的距離為5. (2018?新課標(biāo)出)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧？?在平面垂直,M是?異于C, D的點(diǎn).(1)證明：平面AMD，平面(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)【解析】(1)證明：矩形ABCD所在平面與半圓弦？?？在平面垂直，所以ADL半圓弦?在平面，CM?半圓弦？?在平面, CMXAD,M 是？?？異于 C, D 的點(diǎn).CM DM , DMAAD=D, . CM,平面 AMD, CM?平面 CMB , 平面

10、 AMD，平面 BMC;(2)解：存在P是AM的中點(diǎn)，理由：連接BD交AC于O,取AM的中點(diǎn)P,連接 OP,可得 MC/ OP, MC?平面BDP , OP?平面BDP ,所以MC /平面PBD.6. (2018?新課標(biāo)I )如圖，在平行四邊形(2) Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且 BP = DQ=2DA,求三棱錐3ABCM 中，AB = AC=3, / ACM = 90 ,以 AC 為折痕將4 ACM折起，使點(diǎn) M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且 ABXDA.(1)證明：平面 ACDL平面ABC;Q -ABP的體積.【解析】(1)證明：二.在平行四邊形 ABCM中，Z ACM = 90 , A

11、BXAC,又 ABLDA.且 ADA AC= A,ABW ADC, AB?面 ABC, 平面 ACD,平面 ABC;(2) ,.AB=AC=3, Z ACM = 90 ,，AD = AM=3 v2 ,2 _BP= DQ= -DA = 2 v2,3由(1)得 DC，AB,又 DCCA, DC,面 ABC,三棱錐 Q-ABP 的體積 V= 1? 1?33=與 x k ? ? ? 與?= ：rXXX3X3XX3 = 1. 33333237.（2019?北京）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PA，平面 ABCD,底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（I ）求證：BD，平面PAC;（II）若/ ABC=

12、60 ,求證：平面 PABL平面 PAE;（出）棱PB上是否存在點(diǎn) F,使得CF /平面PAE?說明理由.【解析】（I）二四棱錐 P - ABCD中，PAL平面ABCD,底面ABCD為菱形, BDXPA, BDXAC, FAP AC = A, . .BD，平面 PAC.(n)二,在四棱錐 P - ABCD中，PAL平面ABCD,底面ABCD為菱形,E 為 CD 的中點(diǎn)，/ ABC =60 ,AB AE, PAX AE, PAA AB = A, . .AE，平面 PAB, .AE?平面 PAE,.平面 PABL平面 PAE.解：(出)棱PB上是存在中點(diǎn)F,使得CF/平面PAE.理由如下：取AB中

13、點(diǎn)G,連結(jié)GF, CG,在四棱錐 P-ABCD中，PAL平面ABCD,底面 ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn),CG /AE, FG / PA, . CGnFG=G, AE A PA= A,平面 CFG /平面 PAE, CF?平面 CFG , CF / 平面 PAE .8. （2019?江蘇）如圖，在直三棱柱 ABC-AlBlCl中，D, E分別為BC, AC的中點(diǎn)，AB=BC.求證：（1） AiBi/平面 DECi;（2） BEXCiE.【解析】證明：（1）二.在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，D, E分別為BC, AC的中點(diǎn), .DE/AB, AB/AiBi, . DE/AiBi,. DE

14、?平面 DECi, AiBi?平面 DECi,AiBi/平面 DECi.解：（2）二.在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，E是AC的中點(diǎn)，AB=BC.- BE AAi, BEX AC,又 AAin AC = A, . BE,平面 ACCiAi,. . CiE?平面 ACCiAi,BEXCiE.模擬演練提升素養(yǎng)1.【垂直與平行】(2020?江蘇模擬)將正方體 ABCD - AlBlClDl沿三角形AlBCl所在平面削去一角可得到 如圖所示的幾何體.(1)連結(jié)BD, BDi,證明：平面 BDD1,平面 AlBCl;(2)已知P, Q, R分別是正方形 ABCD、CDDiCi、ADD1A1的中心(即

15、對(duì)角線交點(diǎn))，證明：平面 PQR /平面 A1BC1.甲乙【解析】證明：（1）連接AC,二.正方體 ABCD - A1B1C1D1,AA1 / CC1, A, A1, C, C1 共面,.正方體 ABCD-A1B1C1D1,DD1,平面 A1C1D1,A1C1 在平面 A1C1D1 內(nèi)， DD11A1C1,.正方體 ABCD-A1B1C1D1, 四邊形ABCD為正方形，AC BD,.正方體 ABCD - A1B1C1D1, .AAU平面 ABCD, BD在平面A1C1D1內(nèi)，AA1 1 BD, ACA AA= A且都在平面 AA1C1C捏， BDL平面 AA1C1C,i A1C1 在平面 AA

16、1C1C 內(nèi)，.BDXA1C1,BDnDD1 = D，且都在平面 BDD1內(nèi)，AlCl,平面 BDD1, i A1C1在平面 A1BC1內(nèi)， 平面 BDD1,平面 AiBCi；(2)連接 AiD, BD, ClD, .P, Q, R分別是正方形 ABCD, CDD1C1, ADD1A1的中心, .P, Q, R 分別是 BD, CiD, AID 的中點(diǎn)，PQ / BCi, BCi在平面AiBCi內(nèi)，PQ不在平面 AiBCi內(nèi)，PQ /平面 AiBCi,同理可得PR/平面AiBCi,又PQ A PR= P且都在平面 PQR內(nèi)，2.【體積問題】(2020?莆田一模)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是

17、菱形，AB = AC=2, PA= 2v3, PB=PD.(i)證明：平面 PAC，平面ABCD;(2)若PAX AC, M為PC的中點(diǎn)，求三棱錐 B- CDM的體積.【解析】(i)證明：設(shè)BD交AC于點(diǎn)O,連接PO,在菱形ABCD中，ACXBD,又 PB=PD,。是 BD 的中點(diǎn)，POXBD,1 . ACnPO=O, AC?平面 PAC, PO?平面 PAC,2 .BD,平面 PAC,又BD?平面ABCD,故平面 PAS平面 ABCD ;(2)解：連接 OM, M為PC的中點(diǎn)，且。為AC的中點(diǎn)，OM / PA,由(1)知，BDXPA,又 PAXAC,則 BDXOM , OMXAC,又 ACA

18、BD = O, . OM，平面 ABCD ,11丁丁又？?=? 2?= 2 x2v3 X1 = v3,_11-x v3 Xv3 =3OM= 2?= v3, 1 ?-?= ?-?= ?z ?=3三棱錐B-CDM的體積為1 .在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BB1的中點(diǎn).AEC1的距離.3.【距離問題】(2020?平頂山一模)如圖, (1)求證：截面AEC也側(cè)面AC1； (2)若 AA1 = A1B1= 1,求 B1 到平面【解析】(1)證明：設(shè)O, Oi分別為AC, A1C1的中點(diǎn)，AC1與A1C相交于F.ABC-A1B1C1是正三棱柱，側(cè)面 A1C，底面ABC. O是正三角形 ABC邊A

19、C的中點(diǎn)，OBXAC.OB，側(cè)面 AC1. OO1/BB1, OO1=BB1, E, F 是中點(diǎn)，EBOF是平行四邊形.EF / OB, EFL側(cè)面 AC1.又EF?平面AEC1, 截面 AECd側(cè)面AC1;,一、 4_ _/ C1c Fi T-o(2)解：= AA1 = A1B1= 1, . ? ?= V12+(2)2=三，？?= Vi2 + 12 = v2,1 v3-7v6.AEC1 的面積為 一 X X -y2 =.2 24又 A到平面B1BCC1的距離為 B1EC1的面積為一 X X 1 =-.2224設(shè)B1到平面AEC1的距離為d,: ?-? = ?)-?1?,1v61v3 1V2-

20、 x ?x - = - x x ?= . 亞即，B1到平面AEC1的距離為-44.【折疊問題】(2020?深圳一模)如圖，四邊形 ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2BC=4, E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，將 ADF沿AF折到 ADF的位置，將 BCE沿CE折到 BCE的位置，使得平面 ADF，底面AECF,平面 BCE，底面 AECF,連接 BD.(1)求證：BD/平面 AECF;(2)求三棱錐B- ADF的體積./1【解析】(1)證明：作 D MXAF于M,作B NXEC于點(diǎn)N,AD，=D F=2, B C=B E=2, /AD F=/CB E=90 ,M, N 為 AF, CE 的中點(diǎn)，且？ ？

21、?？ =?v2,平面 AD FL底面 AECF,平面 AD FA 底面 AECF = AF ,D MAF, D M?平面F,. D M，底面 AECF,同理：B N,底面 AECF ,，D M/B N,，四邊形D B NM是平行四邊形，B D / MN,.B D ?平面 AECF, MN?平面 AECF, . B D /平面 AECF .(2)解：設(shè)點(diǎn)B到平面AD F的距離為h,連結(jié)NF,D M / B N, D M?平面 AD F, B N?平面 AD F,B N/平面 AD F,B到平面AD F的距離與點(diǎn)N到平面AD F的距離相等，. N 為 CE 中點(diǎn)，EF=2, NFXCE, AF /

22、 CE, NFXAF,平面 AD FL底面 AECF = AF, NF?底面 AECF, NFL平面 AD F,點(diǎn)N到平面 AD F的距離為 NF= v2,點(diǎn)B到平面AD F的距離h= V2,AD F= ；?么? ?= 1X2 X 炎=2-2 3331 Sa AD F= 2X2X2 = 2,三棱錐 B-ADF的體積 Vb，5.1與函數(shù)交匯】(2020?呂梁一模)如圖正方形 ABCD紙片的邊長(zhǎng)為5v2,中心為O,正方形EFGH的中心也是 O, AEH, BEF, CFG, DGH分別是以EH, EF, FG , GH為底邊的等腰三角形，沿虛 線剪開后，分別以 EH, EF, FG, GH為折痕折

23、起 AEH , BEF , CFG, DGH ,使得A、B、C、D 重合于點(diǎn)S,得到四棱錐 S- EFGH,設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x.(1)用x表示四棱錐 S-EFGH的體積V (x);(2)當(dāng)V (x)最大時(shí)，求四棱錐 S- EFGH的表面積.【解析】(1)連接OA交EH為M ,則?= 5 , ?= 2；所以四棱錐 S- EFGH 的高為？ = (5 - ?2 - (?2 = v25 - 5?(0 ?箕 5)所以？(?= 1?v25- 5? 3(2)解法一：？?(?= 1?3V25 - 5?= 1v7 25?- 5?. 33設(shè) f (x) = 25x45x5 (0vx5),貝U f (x)

24、 = 100x3- 25x4,由 f (x) = 0 得，x= 4.所以當(dāng)x= 4時(shí)，f (x)由最大值，也即 V (x)有最大值.?此時(shí)四棱錐 S- EFGH的表面積為？+ 2?(5- ?) = 10?= 40解法二：?(?= 1?v25- 5?= 5v?。- 4?盧富，(4?+20-4?)5 =咚5 3665，3當(dāng)且僅當(dāng)x= 4時(shí)，體積取最大值，此時(shí)四棱錐S- EFGH的表面積為？ + 2?(5- ? = 10?= 40 .6.【內(nèi)接問題】(2020?江蘇一模)如圖，在圓錐 SO中，底面半徑 R為3,母線長(zhǎng)l為5.用一個(gè)平行于底O為頂點(diǎn)挖去面的平面去截圓錐，截面圓的圓心為。1,半徑為r,現(xiàn)

25、要以截面圓為底面，圓錐底面圓心一個(gè)倒立的小圓錐，記小圓錐的體積為V.(1)將V表示成r的函數(shù)；(2)求小圓錐的體積 V的最大值.【解析】(1)在 ASAO 中，？?=，？?？ ?=，52 - 32 = 4,由 SNOic/dA SAO 可知，史=?所以？?= 4 ? ? ?3所以？?= 4- 4?所以？?(?= 3?4 - 3?)= 9?(3?- ?), 0?箕3.(2)由(1)得？?(?= 4?(3?2?- ?), 00,所以V (r)在(0, 2)上單調(diào)遞增；當(dāng) r C (2, 3)時(shí)，V (r) 0,所以V (r)在(2, 3)上單調(diào)遞減.所以當(dāng)r=2時(shí)，V (r)取得最大值？?(2)= 理9 ，一八 16?答：小圓錐的體積 V的最大值為 97.2BC =【折疊問題】(2020?淮南一模)如圖在梯形 ABCD中，AD/BC, AD DC , E為AD的中點(diǎn)AD2CD = 4,以BE為折痕把 ABE折起，使點(diǎn) A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PBXBC.(I )求證：PEL平面BCDE ;(II)設(shè)F, F分別為PD, PB的中點(diǎn)，求三棱錐 G-BCF的體積.【解析】(I )證明：由題意可知BCDE為正方形,BC BE,且 BEXAE,即 BEXPE,又 PELBC,且 PBA BE= B, . BCL平面 PBE,. PE?平面 PBE, BCXPE,