[高考數(shù)學知識點]對稱問題分類探析

1、 高考數(shù)學知識點 對稱問題分類探析對稱問題是高中數(shù)學的重要內容之一，在高考數(shù)學試題中常出現(xiàn)一些構思新穎解法靈活的對稱問題，為使對稱問題的知識系統(tǒng)化，本文特作以下歸納。一、點關于已知點或已知直線對稱點問題1、設點P(x, y)關于點(a, b)對稱點為P(x, y),x=2a-x由中點坐標公式可得：y=2b-y2、點P(x, y)關于直線L: Ax+By+C=O 的對稱點為x=x-(Ax+By+C)P(x, y)則y=y-(AX+BY+C)事實上：:PPLPP的中點在直線L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程組可得結論。(-)=-1(B0)特別地，點P(x, y)關于1 、 x 軸和

2、 y 軸的對稱點分別為(x， -y) 和 (-x， y)2、直線x=a和y=a的對標點分別為(2a-x , y)和(x, 2a-y)3、直線y=x和y=-x的對稱點分別為(y, x)和(-y , -x)例 1 光線從 A(3， 4)發(fā)出后經過直線x-2y=0 反射，再經過y 軸反射，反射光線經過點B(1 ， 5)，求射入y 軸后的反射線所在的直線方程。解：如圖，由公式可求得A 關于直線x-2y=0 的對稱點A（5 ， 0）， B 關于 y 軸對稱點B 為 （-1 ， 5），直線 AB 的方程為5x+6y-25=0、C（0,）、直線BC的方程為：5x-6y+25=0二、曲線關于已知點或已知直線的

3、對稱曲線問題求已知曲線F（x， y）=0 關于已知點或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線F（x, y）=O上任意一點（x, y）關于已知點或已知直線的對稱點的坐標替換方程F（x， y）=0 中相應的作稱即得，由此我們得出以下結論。1、曲線F（x, y）=0關于點（a, b）的對稱曲線的方程是F（2a-x , 2b-y）=02、曲線F（x， y）=0 關于直線Ax+By+C=0 對稱的曲線方程是F（x-（Ax+By+C） ， y-（Ax+By+C）=0特別地，曲線F（x， y）=0 關于（1）x 軸和 y 軸對稱的曲線方程分別是F（x， -y） 和 F（-x， y）=0（2）關于直線x=a 和

4、 y=a 對稱的曲線方程分別是F（2a-x， y）=0和F（x， 2a-y）=0（3）關于直線y=x 和 y=-x 對稱的曲線方程分別是F（y， x）=0 和F（-y， -x）=0除此以外還有以下兩個結論：對函數(shù)y=f（x） 的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y 軸右邊的圖象，并作關于y 軸的對稱圖象得到y(tǒng)=f(|x|) 的圖象 ;保留 x 軸上方圖象，將x 軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f(x)| 的圖象。例 2(全國高考試題)設曲線 C 的方程是y=x3-x 。將 C 沿 x 軸 y軸正向分別平行移動t, s單位長度后得曲線C1:1) 寫出曲線C1 的方程2)證明曲線C與C1關于點A(,)對

5、稱。(1)解知 C1 的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s(2)證明在曲線C上任取一點B(a, b),設B1(a1, b1)是B關于A 的對稱點，由a=t-a1 ， b=s-b1 ，代入 C 的方程得：s-b1=(t-a1)3-(t-a1)b1=(a1-t)3-(a1-t)+sB1(a1 , b1)滿足C1的方程B1在曲線C1上，反之易證在曲線 C1上的點關于點A的對稱點在曲線C 上、曲線C和C1關于a對稱我們用前面的結論來證：點P(x, y)關于A的對稱點為P1(t-x,s-y) ，為了求得C 關于A 的對稱曲線我們將其坐標代入C 的方程，得： s-y=(t-x)3-(t-x)y=(x-

6、t)3-(x-t)+s此即為C1的方程，C關于A的對稱曲線即為C1。三、曲線本身的對稱問題曲線 F(x， y)=0 為 (中心或軸)對稱曲線的充要條件是曲線F(x，y)=0上任意一點P(x, y)(關于對稱中心或對稱軸)的對稱點的坐標替換曲線方程中相應的坐標后方程不變。例如拋物線y2=-8x上任一點p(x , y)與x軸即y=0的對稱點 p(x，-y),其坐標也滿足方程y2=-8x , y2=-8x關于x軸對稱。例 3 方程 xy2-x2y=2x 所表示的曲線：A、關于y軸對稱B、關于直線x+y=0對稱C、關于原點對稱D、關于直線x-y=0對稱解：在方程中以-x換x,同時以-y換y得(-x)(

7、-y)2-(-x)2(-y)=-2x ，即 xy2-x2y=2x 方程不變、曲線關于原點對稱。函數(shù)圖象本身關于直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結論：1 、 函數(shù) f(x) 定義線為R， a 為常數(shù)， 若對任意xR， 均有 f(a+x)=f(a-x),則y=f(x)的圖象關于x=a對稱。這是因為a+x 和 a-x 這兩點分別列于a 的左右兩邊并關于a 對稱，且其函數(shù)值相等，說明這兩點關于直線x=a 對稱，由x 的任意性可得結論。例如對于f(x)若tR均有f(2+t尸f(2-t)則f(x)圖象關于x=2對稱。若將條件改為f(1+t)=f(3-t) 或 f(t)=f(4-t) 結論又如何呢?第一

8、式中令t=1+m 則 得 f(2+m)=f(2-m); 第 二 式 中 令 t=2+m ， 也 得f(2+m)=f(2-m) ，所以仍有同樣結論即關于x=2 對稱，由此我們得出以下的更一般的結論：2、函數(shù)f(x)定義域為 R, a、b為常數(shù)，若對任意xR均有f(a+x)=f(b-x) ，則其圖象關于直線x= 對稱。我們再來探討以下問題：若將條件改為f(2+t)=-f(2-t) 結論又如何呢?試想如果2 改成 0 的話得 f(t)=-f(t) 這是奇函數(shù)，圖象關于(0，0)成中心對稱，現(xiàn)在是f(2+t)=-f(2-t) 造成了平移，由此我們猜想，圖象關于M(2 ， 0)成中心對稱。如圖，取點A(2+t ， f(2+t) 其關于M(2 ， 0)的對稱點為A(2-x ， -f(2+x)-f(2+X)=f(2-x)A的坐標為(2-x , f(2-x)顯然在圖象上圖象關于M(2 , 0)成中心對稱。若將條件改為f(x)=-f(4-x) 結論一樣，推廣至一般可得以下重要結論：3、f(X)定義域為R, a、b為常