專題14數(shù)列基本量計算-十年高考(2009-2018)之高三數(shù)學分項與解讀(江蘇專版)(Word版含解析)

1、專題14數(shù)列基本量計算【考情概覽】年份題號考點難度層次考查內(nèi)容，方式，模型等201814數(shù)列基本量計算困難等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和20179數(shù)列基本量計算簡單等比數(shù)列基本量計算20168數(shù)列基本量計算簡單等差數(shù)列基本量計算201520147數(shù)列基本量計算簡單等比數(shù)列基本量計算201314數(shù)列基本量計算困難等比數(shù)列項數(shù)2012201113數(shù)列基本量計算困難等比數(shù)列公比20108數(shù)列基本量計算數(shù)列基本量計算200914數(shù)列基本量計算困難等比數(shù)列公比【命題規(guī)律】1 .高考對等差、等比數(shù)列的考查主要圍繞等差、等比數(shù)列的概念和通項公式及前n項和公式展開，一般通過其通項公式及前n項和公式構造關于 ai和

2、d或q的方程或方程組解決，即所謂的“知三求二”策略.如果在求解過程中能夠靈活運用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對等差、等比數(shù)列問題的認識.值得注意的是利用等比數(shù)列前n項和公式求和時，不可忽視對公比q是否為1的討論.2 .高考對等差、等比數(shù)列的主要考查題型：(1)通項公式的求解；(2)求和公式的靈活運用.【真題展示】112018江蘇，理14】已知集合 A x|x 2n 1,n N, B x|x 2n,n N .將AU B的所有兀素從小到大依次排列構成一個數(shù)列 an.記Sn為數(shù)列an的前n項和，則使得 Sn 12an 1成立的n的最小值為 分析：先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的

3、求和公式確定滿足條件的項數(shù)的取值范圍，再列不等式求滿足條件的項數(shù) 的最小值.詳解：設 an=2k,則 Sn (2 1 1)+(2 2 1)+L(2 2k 1 1) 2 22 L2k21-2由 E > 1得2+2-2> 12（2* +1）422尸 _2W2i）T4） 任24-1 >2jt>6所以只需研究于<2臺是否有淌足條件的解>此時名=2冗17>+<2/2_1）+-.十（2陋1）十2十22十.十暖二和2十2*1_2,小上廣加十L和為等全數(shù)列頂數(shù)，且聯(lián)>16.由e2+2*i 2> 12（2m+1）, 24jk+ 50>0, m &

4、gt;22.n=m-5 之27得滿足條件的機最小值為27 一點睛：本題采用分組轉化法求和，將原數(shù)列轉化為T等差數(shù)列與一個等比例列的和.分組轉化法求和的常 見類型主要有分段型（如二'1方鬻 不符號型如 =（1尸儲），周期型（如小=也?）.2.12009江蘇，14】設an是公比為q的等比數(shù)列，|q| 1,令bn4 1（n 1,2,L ）,若數(shù)列bn有連續(xù)四項在集合53, 23,19,37,82 中，則 6q =.【答案】-9.3 .【解析】an有連續(xù)四項在集合54, 24,18,36,81 ,四項24,36, 54,81成等比數(shù)列，公比為q -, 6q =2-9.一 2 一 、上,.2._

5、. ， , .2 - » ,3.12010江辦，8函數(shù)y=x2（x>0）的圖象在點（ak, ax）處的切線與x軸交點的橫坐標為 ak+1,其中kC N .若a1= 16,則 Ai+a3+a5 的值是.【答案】21.2【解析】函數(shù) y=x2（x>0）在點（a1，a）處（a = 16）即點（16,256）處的切線方程為 y-256=32（x- 16）.令y= 0得a2=8;同理函數(shù)y=x2（x>0）在點（a2, a 2）處（a2= 8）即點（8,64）處的切線方程為 y-64=16（x- 8）.令y= 0得a3=4,依次同理求得 a4=2, a5= 1.所以 a1 +

6、a3 + a5=21.4.【2011江蘇，13】設1 a1 a2a7,其中a1,23e5例成公比為q的等比數(shù)列，a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值為【答案】電.【解析】由題意得，a21,a3 qa2,a21q,q2a21,a22 q2,q3 a2 2要求q的最小值，只要求a2的最小值，而a2的最小值為1,所以q3 a2 2 1 2 3,q 3<3 .15.12013江辦，14】在正項等比數(shù)列an中 a5 , a6 + a7=3.則滿足a +a2+ an>a1a2an的取大正整數(shù) 2n的值為.【答案】12.【解析】設正項等比翻列的公比為事則由“+田=啾0+才）=3可得

7、q=2,于是四=2.£則（71+的 H卜 g= 3 2As1-232；砥二1 + g=2,2:內(nèi)電G】 = L當冏厚12舟，21+奧+日建=2?-£!1m2=012_=2不成立：當制取13舟，口 i斗32+ +13=2® <dial*" £iiiai2fli5=3 =2fl-17=213.龍>13 時，隨著骷噌大+,，4冬將恒小于32。的“Q-因此所求中的最大值為口.6.12014江蘇，7】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21,a8a62a4,則a6的值是.【答案】4.【解析】設公比為q ,因為a21 ,則由a8a6224得q6

8、q4 2a2 , q4q22 0 ,解得q2 2 ,所以4.a6 a2q4 .7.12016江蘇，8已知 an是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a af3, 85=10,則a§的值是.【答案】20【解析】由 S5 10 得 a3 2,因此 2 2d （2 d）23 d 3,故a9 2 3 6 20.【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量，對于特殊數(shù)列，一般采取待定系數(shù)法，即列出關于首項及公差（比） 的兩個獨立條件即可.為使問題易于解決，往往要利用等差數(shù)列相關性質(zhì)，如n(a an) n(am at),(m t 1 n,m,n,t N*)及 an am (n m)d等.

9、 228.12017江蘇，9等比數(shù)列an的各項均為實數(shù) 淇前n項的和為Sn,已知8 7, S6 a，則ag=A 44【答案】321解析】當。=1時1顯然不符合題意S碩-赤 =74，解得;4。-內(nèi) 631-g4【考點】等比數(shù)列通項【名師點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路，一是利用基本量，將多元問題簡化為一元問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標明確；二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì) ，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻 體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用.但在應用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當變形 .在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常

10、采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運 算量”的方法.【對癥下藥】1 .已知Sn求an的-三個步驟：口 先利用a1=S1求出a1.用n1(n>2替換Sn中的n得到一個新的關系，利用 an= SnSn-1(n>柒可求出當n>2時an的表達式.對n=1時的結果進行檢驗，看是否符合 n>2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果 不符合，則應該分 n=1與n>2兩段來寫.2 .解等差數(shù)列問題關鍵在于熟記等比數(shù)列定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式，利用方程思想和公式列出關 于首項與公比的方程，解出首項與公比，利用等比數(shù)列性質(zhì)可以簡化計算.3 .一般數(shù)列求和方法

11、(1)分組轉化法，一般適用于等差數(shù)列加等比數(shù)列，(2)裂項相消法求和， g ,anan 1cn n n! n 1 ! n!,cnC一=等的形式，(3)錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，.n 1. n(4)倒序相加法求和，一般距首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和和倒著寫和，兩式兩式相加除以2得到數(shù)列求和，(5)或是具有某些規(guī)律求和【考題預測】1.【蘇教版高中數(shù)學 高三二輪專題20數(shù)列的通項與求和 測試】設數(shù)列an滿足ai = 1, (1 an+i)(1 + an)=1(n CN ),則akak 1的值為k 1【解析=1, (1-%*)0+%) =1(祥E V) , J是等差額

12、列J首項與公差都為L，一 = 1+51)=，%Jt-1+4+1100,故答案為=101 1011012 .【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一數(shù)學試題】設數(shù)列an的前n項的和為Sn ,且an 4n 11,若對于任意的2* . 、都有14n3恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是【解析】2,3由題設可得sS 4n 3可化為n的最大值和最小值。912 .1124n12124n，則Sn4n -n1-1,不等式2由于點睛：解答本題的關鍵是求出數(shù)列3 3,即9-219_21,則問題轉化為求12n1 ,一一 一，一1 的最大值和最小值分別為2x 3,應填答案2,3 。an的前n項的和為Sn , Sn

13、 4n 一11 皿一，則21n2124n 23n1 一1,進而2n-2 23等價轉化為1 x 3 3n1 的最大值和最小值問題。221,求出Sn 4n31-n2112-，將不等式1xSn 4n329恒成立，從而將問題轉化為求21123.12017屆江蘇南通中學高三上期中數(shù)學（理）試卷】已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a11,2Sn（n1）an,若關于正整數(shù)n的不等式an2 tan < 2t2的解集中的整數(shù)解有兩個，則正實數(shù) t的取值范圍為 .一 一 3【答案】（1,3）2【解析】因此=六由%二乜w*1得武國, flL /I一上1因為關于正整麴用的解集中的整數(shù)解有兩個,因此2W><

14、;3=考點：疊乘法求數(shù)列通項4.【江蘇省揚州中學高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷】已知兩個正數(shù)a, b,可按規(guī)則c ab a b擴充為一個新數(shù)c,在a,b,c三數(shù)中取兩個較大的數(shù)，按上規(guī)則擴充得到一個新數(shù)，依次下去，將每擴充一次得到一個數(shù)稱為一次操作.若p q 0,經(jīng)過6次操作后擴充所得的數(shù)為q 1 m p 1 n 1 （m, n為正整數(shù)），則m n的值為【答案】21【解析】p> q>0 第一次得 c1 =pq+p+q= (q+1) (p+1) -1,因為 C1 >p>q,所以第二次得 c2= (G+1) (p+1) -1 =，, 2(pq+p+q) p+p+ (pq+p

15、+q) = p 1 q 11,所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，所以第三次可得 q= (C2+1)(c1+1)3253-1= p 1q11,第四次可得： c4=(c3+1) (c2-1)-1= p 1 q 11,故經(jīng)過6次擴充，所得數(shù)13, 8為 p 1q11 , . m=8, n=13, . .m+n=215.【遼寧省東北育才中學高三第六次模擬考試數(shù)學文卷】已知等差數(shù)列 an首項為a,公差為b,等比數(shù)列bn首項為b ,公比為a,其中a,b都是大于1的正整數(shù)，且 闞b1,b2 a3,對于任意的n N ，總存在m N ,使得am 3 bn成立，則an 【答案】5n 3解析】試題分析：/ Vej與</=

16、> b(ai?又二日且ab<a+2b.'.0 = 2f 1對于任意的汽匕V ,總存在me使得g+3=&成立-，令打=1.得7 _ 12+(jm 1)3+3 = &=辦(2渤)=5 ?m <2 f .- mb = 5考點：數(shù)列與不等式的綜合運用.【思路點睛】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關鍵是理清兩個數(shù)列的關系.如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起,要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進行求解.6 .【江蘇省江都中學高一下學期期末考試數(shù)學

17、】數(shù)列an的通項ancos2 sin2 ,其前 n項和為Sn ,則 S30【答案】470【解析】試題分析:Qan2 n cos 一.2 n sin 一2 2n n cos 一S302cos 31 224cos 332cos2302cos20122212323242425242624 10 16585262622822922923022 302282302_2_222325262 L22292 3025 11 17L 59=470.考點：數(shù)列求和.【方法點晴】 本題考查了二倍角的余弦公式，分組求和方法的應用， 是中檔題.解題的關鍵是平方差公式的應用，首先"利用二倍角公式將數(shù)列的通項公式

18、化簡后代入到求和公式中，求出特殊角的三角函數(shù)值之后，注意分組，再利用平方差公式求解.7 .【山東、湖北部分重點中學 2018年高考沖刺模擬試卷（二）理科數(shù)學試題】已知數(shù)列1%）的前內(nèi)項和為）, 且滿足%+ 5-= 2打+，若對?打£“'/2恒成立，則首項的取值范圍是 .【答案】【解析】因為L 4-力+1=2/+州，所以除t +7 = 25一1產(chǎn)十而一L生2）,兩式作差得.+ 口計1 =4n- Ln > 2?所以廝_l十乳=4n-Sn>3f兩式再作差得%.%t M I n > 3,可得數(shù)列的偶數(shù)項是以4為公差的等差數(shù)列,從%起奇數(shù)項也是以4為公差的等差鞅列一若

19、對E NL/ <喂l恒成立,當且僅當由 < as < fl3 < &4 一s_Qq 十 -3 " 3 2a 1" cig 7 a： 4 + 2 Ct 4 - 11= 72比1,所以4 V 3 - 2% <4+2% V 7 - 解得:一*5<:-即首項力的取值范圍是（一：.8 .【江西省上饒市2018屆高三下學期第三次高考模擬考試數(shù)學（文）試題】已知等比數(shù)列 "J的首項是1,公比 為3,等差數(shù)列 出的首項是-5,公差為1,把仇J中的各項按如下規(guī)則依次插入到 伍J的每相鄰兩項之間，構成 新數(shù)列kJ： 0 1,比，的，網(wǎng)，叫

20、聞，同，牝，卜6, 04,，即在/和% + 1兩項之間依次插入瓦J中心個項，則 £川通=.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】分析：由瓶意可得，而=3H】，%=-5十(ii-l) Xl=n-fi,當口=62 H,理普Ml%即此時其有 H2016項,且第2Q16項為3%而珈is=b皿5計算可得所求值.詳解：由題意可得，事中工bn=-5+ Xin6,由題意可得數(shù)列公1中的項為3% -5,里-4-3, % -2, -L3L- 3叫九共有項為1+2+41H (n+C 當空MT” 4T計力當中的時，照善=2016即此時共有ZH0項,目第2C項為3%，301口=61養(yǎng)5=1。55- ft=lY9.故答案為二ia乳點睛：本題重點考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和的應用，解題的關鍵是要準確判斷所求項在已知數(shù)列中所處的項的位置.9 .【上海市松江、閔行區(qū)2018屆高三下學期質(zhì)量監(jiān)控(二模)數(shù)學試題】設 用E N",為" + 4/-O+1的展開式的各項系數(shù)之和,% -1 t ¥ T 22"52 15rli田表示不超過實數(shù)，的最大整數(shù)|).則： "-£)+血，+。一的最小值為 4【答案】【解析】利用賦值法，令卜=1可得:利用數(shù)學歸納法證明: 當。=1時，1x2”成立，