(完整版)高中數學歸納法大全數列不等式精華版

1、§ 數學歸納法1 .數學歸納法的概念及基本步驟數學歸納法是用來證明某些與正整數n有關的數學命題的一種方法.它的基本步驟是：(1)驗證：n= n°時,命題成立；(2)在假設當n = k(kn0)時命題成立 的前提下，推出當 n= k+ 1時，命題成立.根據(1)(2)可以斷定命題對一切正整數 n都成立.2 .歸納推理與數學歸納法的關系數學上，在歸納出結論后，還需給出嚴格證明.在學習和使用數學歸納法時， 需要特別注意：(1)用數學歸納法證明的對象是與 正整數n有關的命題；(2)在用數學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可.3 .用數學歸納法證明命題的第一步時，是驗證使命題成立的最

2、小正整數n,注意n不一定是1.4 .當證明從k到k+1時，所證明的式子不一定只增加一項；其次，在證明命 題又n = k+ 1成立時，必須運用命題對 n = k成立的歸納假設.步驟二中，在 由k到k+1的遞推過程中，突出兩個“湊”：一 “湊”假設，二“湊”結論.關鍵是明確n = k+ 1時證明的目標，充分考慮由 門=卜到門=卜+ 1時命題 形式之間的區(qū)別與聯(lián)系，若實在湊不出結論，特別是不等式的證明，還可以應 用比較法、分析法、綜合法、放縮法等來證明當n=k+ 1時命題也成立，這也是證題的常用方法.5 .用數學歸納法證命題的兩個步驟相輔相成，缺一不可.盡管部分與正整數 有關的命題用其他方法也可以解

3、決，但題目若要求用數學歸納法證明，則必須 依題目的要求嚴格按照數學歸納法的步驟進行，否則不正確.6 .要注意“觀察一一歸納一一猜想一一證明”的思維模式，和由特殊到一般的 數學思想的應用，加強合情推理與演繹推理相結合的數學應用能力.7 .數學歸納法與歸納推理不同.(1)歸納推理是根據一類事物中部分事物具有 某種屬性，推斷該類事物中每一個都有這種屬性.結果不一定正確，需要進行 嚴格的證明.(2)數學歸納法是一種證明數學命題的方法，結果一定正確.8 .在學習和使用數學歸納法時，需要特別注意：(1)用數學歸納法證明的對象是與正整數n有關的命題，要求這個命題對所有的正整數n都成立；(2)在用數學歸納法證

4、明中，兩個基本步驟缺一不可.數學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通 過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟， 是命題具有后繼傳遞的保證，即只要命題對某個正整數成立，就能保證該命題 對后繼正整數都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數學歸納法，這兩 步各司其職，缺一不可.特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證 明命題是否具有傳遞性.如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是 假命題.例題 1 證明：22+'+211 + 2n= 1 2n(其中 nW N+).一 .1, -1 1 證明(1)當n=1時，左邊=1,右邊=

5、12 = 2,等式成立.假設當n=k(k> 1時，等式成立，即2+2+ 宙+ + 2k1 + 2k= 1 一/,那么當n=k+1時，左邊=2 +/+ 抖 +211 + 尹211,11. 2-1,1=1-2卜+ 2卜+1 = 1 2卜+1 =12卜+1 =右邊.這就是說，當n = k+1時，等式也成立.根據(1)和(2),可知等式對任何n C N +都成立.變式舟用，用數學歸納法證明：1 -1+1-1+ 0 1廠J2 3 4 2n - 12n=+而、 一 ，.1 11.證明當n=1時，左邊=12=2=k=右邊,當n=1時，等式成立.假設n=k時等式成立，即111111,1, 11-2 +

6、3-4+ " + 2k- 1 云=kT7 +k+2 +汞則當n=k+ 1時，11 11111邊二 -2 + 3- 4+ "+2k- 1-2k+2k+1-2k+ 2= (S +111k+2+ " +2k) + 2k+112k+2,1 , 1 ,=3+2k+12k+1、一1)+(k+1, 1, _JL-k+2+ +2k+2k+ 1+2k+2一右邊.；n=k+1時等式成立.由知等式對任意nCN+都成立.點評在利用歸納假設論證n = k+1等式成立時，注意分析n=k與n = k + 1的兩個等式的差別.n=k+1時，等式左邊增加兩項，右邊增加一項，而且 右式的首項由 士變

7、到士.因此在證明中，右式中的 士應與一4y合并，才k+1k+2k+12k+2能得到所證式.因此，在論證之前，把 n=k+1時等式的左右兩邊的結構先作 一下分析是有效的.證明不等式例超2用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數 門，不等式11 一 1,2n+1-、1+3 1+5 .十指2成上證明當n=2時，左=1 + 1=4,右=者，左>右， 3 32.不等式成立.假設n=k(k>2a k N )時，不等式成立，2k 1 )2那么當n=k+1時，11.11J2k+1 2k+ 21 + 3 1+5 1 + 2kT 1+2 k+1 -1 >2 布2k+ 24k2+8k+4 .4k2+

8、8k+ 32 «2k+ 1 2y2k+ 122k+ 1_N2k+3Y2k+1 _、2 k+1 +12 也k+12，n=k+ 1時，不等式也成立.對一切大于1的自然數n,不等式成立.點評(1)本題證明n=k+ 1命題成立時，利用歸納假設并對照目標式進行了 k1恰當的縮小來實現，也可以用上述歸納假設后，證明不等式丑三>2k+ 1/ k+1 + 1 +、2成立.(2)應用數學歸納法證明與非零自然數有關的命題時要注意兩個步驟：?第步p(no)成立是推理的基礎；?第步由p(k)? p(k+1)是推理的依據(即no成立，則no+1成立，no + 2 成立，從而斷定命題對所有的自然數均成立

9、).?另一方面，第步中，驗證 n=n0中的n0未必是1,根據題目要求，有 時可為2,3等；第步中，證明n=k+ 1時命題也成立的過程中，要作適 當的變形，設法用上上述歸納假設.變應用(2013大慶實驗中學高二期中)用數學歸納法證明：,111 - 1 , 一、1 + 22+ 32+n2<2-n (nA 2)分析按照數學歸納法的步驟證明，由 n = k到n = k+ 1的推證過程可應用放 縮技巧，使問題簡單化.1513證明1當n=2時，1+22=4<22=2,命題成立.2彳貿設n = k時命題成立，即1 + 22+ $+ $<2：1 111當 n= k+ 1 時，1 +72+ ,

10、 +;-2+;2<2 3 k k+12 1+12<2 ：+1=2_Hk k+1 2 k k k+1 k k k+11 一一=2 一命題成立.k+ 1由1°、2°知原不等式在n2時均成立.證明整除問題例第3用數學歸納法證明下列問題：(1)求證：3X52n+1 + 231 是 17的倍數；(2)證明:(3n+1) 7n 1能被9整除.分析(2)先考察：f(k+ 1) f(k)=18k7k+ 27 7k,因此，當 n = k+1 時，(3k+ 4)7k1 = (21k+ 28) 7k1 = (3k+1) 7k-1+ 18k 7k+27 7k.證明(1)當 n=1 時，

11、3X 53 + 24=391= 17X23是 17的倍數.假設 3 x 52k+1 + 23k+1 = 17m(m 是整數)，則 3X52(k+1)+1 + 23(k+1)+1 = 3X52k+1+2 + 23k+1+3=3X 52k+1X25+23k+1X8=(3X 52k+1 + 23k+1) X8+17X 3X 52k+1=8X 17m+3X 17X 52k 1= 17(8m+3X52k1), . m k都是整數，17(8m+3X52k+1)能被17整除， 即n=k+ 1時,3x 52n+23m是17的倍數.(2)令 f(n)=(3n+1) 7n 1f(1)=4X 71 = 27能被9整

12、除.假設f(k)能被9整除(kC N ), vf(k+1)-f(k) = (3k+4) 7k+1 (3k+ 1) 7k= 7k (18k+ 27) = 9 x 7k(2k+ 3)能 被9整除， f(k+ 1)能被9整除.由可知，對任意正整數n, f(n)都能被9整除.點評用數學歸納法證明整除問題，當 n=k+ 1時，應先構造出歸納假設的條 件，再進行插項、補項等變形整理，即可得證.蠻冗應用 (2014南京一模)已知數列a滿足ai = 0, a2=1,當n 6 N+時，an+2= an+i +an.求證：數列an的第 4m+1 項(mW N+)能被 3整除.證明(1)當 m= 1 時，a4m+i

13、 = a5 = a4+a3= (a3+a2)+(a2+a1)= (a2+ai) + 2a2+ai = 3a2 + 2ai = 3+0 = 3.即當m=i時，第4m+1項能被3整除.故命題成立.(2)假設當m=k時，a4k+1能被3整除，則當m=k+1時，a4(k+ 1)+1= a4k+ 5= a4k+4+ a4k+ 3= 2a4k+3 + a4k+2二2(a4k+ 2+ a4k+1) + a4k+2= 3a4k+2+ 2a4k+1.顯然，3a4k+ 2能被3整除，又由假設知a4k+1能被3整除. - 3a4k+2 + 2a4k+1 能被 3 整除.即當m=k+1時，a4(k+1)+1也能被3整

14、除.命題也成立.由(1)和(2)知，對于nCN+,數列an中的第4m+1項能被3整除.百.函靛k幾何問題倒商4平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓 都不相交于同一點.求證：這 n個圓把平面分成n2 n + 2個部分.分析用數學歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當n=k+1時比n = k時，分點增加了多少，區(qū)域增加了幾塊.本題中第 k+1個圓被原來的k個圓分成 2k條弧，而每一條弧把它所在的部分分成了兩部分，此時共增加了2k個部分,問題就容易得到解決.解析當n=1時，一個圓把平面分成兩部分，12-1 + 2 = 2,命題 成立.假設當n=k時命題成立(kC N*), k個圓把平面分

15、成k2k+2個部 分.當n=k+ 1時，這k+ 1個圓中的k個圓把平面分成k2-k+ 2個部分, 第k+ 1個圓被前k個圓分成2k條弧，每條弧把它所在部分分成了兩個 部分，這時共增加了 2k個部分，即k+ 1個圓把平面分成(k2-k+ 2) + 2k = (k+1)2(k+1) + 2個部分，即命題也成立.由、可知，對任意 n N命題都成立.點評利用數學歸納法證明幾何問題應特別注意語言敘述準確清楚，一定要 講清從口=卜到口 =卜+1時，新增加量是多少.一般地，證明第二步時，常用的 方法是加一法.即在原來k的基礎上，再增加1個，也可以從k+ 1個中分出1 個來，剩下的k個利用假設.支式應用* I

16、平面內有n(nCN+, nA2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數 f(n)= n n2 1 .分析找到從口 =卜到n=k+ 1增加的交點的個數是解決本題的關鍵.證明(1)當n = 2時，兩條直線的交點只有一個. 1又 f(2) = 2>2X21)=1,。當n = 2時，命題成立.(2)假設n = k(k>2)t命題成立，即平面內滿足題設的任何k條直線交點個1數 f(k) = 'k(k 1),那么，當n = k+1時，1任取一條直線1,除l以外其他k條直線父點個數為f(k) = -k(k-1),1與其他k條直線交點個數為k.從而k+ 1條直線共有

17、f(k)+ k個交點，1111即 f(k+ 1) = f(k) + k = 2k(k1) + k=2k(k1 + 2) = 2k(k+1) = (k+1)(k+ 1)-1,當n=k+ 1時，命題成立.由(1)(2)可知，對nC N+(n領題都成立.點評關于幾何題的證明，應分清 k到k+1的變化情況，建立k的遞推關系.探索延拓創(chuàng)新囪工煙犯/>歸納一猜想一證明例.5 (2014湖南常德4月，19)設a>0, f(x) = ax,令 a1=1, an+1 = f(an), n6N + . a x(1)寫出a2, a3, a4的值，并猜想數列an的通項公式；(2)用數學歸納法證明你的結論.

18、a - a 一解析(1)a1=1, . a2= f(a1)= f(1) = 1qa; a3 = f(a2)= 2+ a； a4 = f(a3) =3+a-猜想 an =a(n N+).n-1 +a'證明:(ii )假設即ak=(i)易知，n=1時，猜想正確.n = k時猜想正確，ak 1 +a則ak + 1 = f(ak)a aka+ akaa . k-1 + aaa+ ;'k 1 +ak- 1a+a+1 ;k+1 -1 + a這說明，n = k+ 1時猜想正確.由(i )(五)知,對于任何nCN+,都有a an=.n 1 +a變式應用1已知數列Xn滿足XL, Xn+1 =n

19、N+.猜想數列X2n的單調性，并證明你的結論;1證明：|Xn+1 Xn|061-解析(1)解：由xi=2及125Xn+1 = ,彳寸 X2=1, X4 = K，1 + Xn3813刈=折由X2>X4>X6,猜想數列X2n是單調遞減數列.下面用數學歸納法證明：當n=1時，已證明X2>X4,命題成立.假設當n=k時,命題成立，即X2k>X2k+2.易知Xn>0,那么，當n = k+1時,11X2k+3 X2k+1X2k+ 2 X2k+ 4= =一""X2kX2k+21 +x2k+11+x2k+31+x2k+11 + X2k + 3=/ ,>

20、,> ,> ,>0，1 + X2k1 + X2k+11 + X2k+21 + X2k+3即X2(k+1)>X2(k+1)+2.也就是說，當n=k+1時命題也成立.綜合和知，命題成立.一. 一1(2)證明：當 n=1 時，|Xn + 1 Xn|= |X2X1|=6，結論成乂.當n12時，易知0<xn1<1.11Xn - -1> q .1+Xn-1 2(1 + Xn)(1+Xn 1)=1 + 1+Xn-1 (1 + Xn 1)=2+Xn 1411|Xn 一 Xn 11必+1*| 1+Xn1+Xn-1 -1 + Xn1+Xn-12. 22l一一妄|Xn Xn

21、 1| 專 |Xn 1 Xn 2| 2n 1,_1 25X2-X1|-6 5易錯辨誤警示判斷2+4+2n=n2 + n+1對大于0的自然數n是否都成立？若成立請給出證明.誤解假設n=k時，結論成立，即2+4+-+2k= k2+k+1,那2+4 + + 2k+2(k+ 1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2 + (k+1)+1.即當n=k+1時，等式也成立.因此，對大于0的自然數n,2 + 4+-+2n=n2+n+1都成立.誤解假設n=k時，結論成立，即2+4+2k= k2+k+1,那2+4 + + 2k+2(k+ 1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2 + (k+1)+1.即當

22、n=k+1時，等式也成立.因此，對大于0的自然數n,2 + 4+-+2n=n2+n+1都成立.?正解不成立.當n=1時，左邊=2,右邊=12+1 +1 = 3,左邊w右 邊，所以不成立.點評用數學歸納法證明命題的兩個步驟是缺一不可的.特別是步驟 (1),往往十分簡單，但卻是不可忽視的步驟.本題中，雖然已經證明了： 如果n=k時等式成立，那么n=k+1時等式也成立.但是如果僅根據這 一步就得出等式對任何nC N+都成立的結論，那就錯了.事實上，當n=1時，上式左邊=2,右邊=12+1 + 1 = 3,左邊w右邊.而且等式對任 何n都不成立.這說明如果缺少步驟(1)這個基礎，步驟(2)就沒有意義了.劭鹿7用數學歸納法證明1,1,1,.1+ + + +2X 4 4X6 6X8 丁 2n 2n+ 2n4 n+ 1(nW N ).誤解略.(2)假設當n = k(k>l k N+)時等式成立，那么當n=k+ 1時，直接使用裂 項相減法求得1111+ +2M 十 44 6>82k 2k+ 212k+2 2k+ 411,11 , 1 ，,，2 4 + 4 6 + 2k 2k+ 2 + 2k+2 2k+ 41 112 22k+4k+1=4 k+1 +1,即n = k+1時而就成立一一 1 一 .一 11，-1 正解(1)當n=1時，