高等數(shù)學(xué)1-1映射與函數(shù)

1、高等數(shù)學(xué)1 教案編號(hào):課時(shí)安排：2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課日實(shí)驗(yàn)課口 習(xí)題課 其它口題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）： § 1.1 映射與函數(shù)教學(xué)目的要求（分掌握、熟悉、了解三個(gè)層次）：1 .理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法。2 . 了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性。3 .理解復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)的概念。4 .熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5 .會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的概念，復(fù)合函數(shù)的概念；難點(diǎn)：函數(shù)的概念及性質(zhì)教學(xué)方式、手段、媒介：由于本次課是本章的基礎(chǔ)課，概念性東西較多，同時(shí)部分也是以前高中就學(xué)過(guò)的知識(shí)，所以1、

2、 本次課以ppt演示為主，重要的地方輔以板書注解2、 課堂提問(wèn)，活躍氣氛，增加同學(xué)的上課積極性3、 理論知識(shí)講解結(jié)合實(shí)例，讓同學(xué)能更好的掌握知識(shí)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）一集合1定義具有某種特定性質(zhì)的事物的總體；組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素，元素a屬于集 合A,記作aA,元素a不屬于集合A, a"2集合的表示法：（提問(wèn)交流）3集合間的關(guān)系：（提問(wèn)交流）4常見(jiàn)的數(shù)集N-自然數(shù)集；Z-整數(shù)集；Q-有理數(shù)集；R-實(shí)數(shù)集它們間關(guān)系：N Z, Z Q, Q R.5例子2A=1,2, C=xx 3x+2=0,貝ljA=C不含任何元素的集合稱為空集

3、，記作。例如,x xW R,x2 +1 =0 =0規(guī)定空集為任何集合的子集.6運(yùn)算(提問(wèn)交流)5)其運(yùn)算律(1) A B= B A A.B =B.A(2) (AjB ) 2c =Aj(B cC) , (A cB尸 A(B cC)(3) (AjB ) c C =(Ac C ) u(B c C)(A - B ) - C =(A - C ) (B - C)(4) (A - B)c = AC - BC,(A - B)c = Ac 一 Bc注意A與B的直積A>B u (x,y) I x A且y三B例如：R W=(x,y) IxWR且 yWR表示xoy面上全體點(diǎn)的集合，R父R常記為R27鄰域：設(shè)a與

4、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)且6 >0 ,稱集合x|a -6 <x<a + 6為點(diǎn)a的6鄰域。點(diǎn)a叫 做這鄰域的中心，6叫做這鄰域的半徑。記作U§(a) =x| a-6Mx <a+6點(diǎn) a的去心 6 鄰域記做 U0(a) , Ud(a)=x0 <|x-a<6。注意：鄰域總是開集。二、映射1 .映射的概念定義設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f,使得對(duì)X中每個(gè)元素x,按法 則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作f : X，Y,其中y稱為元素x(在映射f下)的像，并記作f(X),即y=f(x),而元素X稱為元素y(在映射f下)的一個(gè)

5、原像；集合X稱為映射f的定義域,記作Df,即 Df=X;X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f的值域，記為Rf,或f(X),即 Rf=f (X) =f (x)| x X).注意：(1) 三個(gè)要素：集合X,即定義域Df=X;集合Y,即值域的范圍：RfUY;對(duì)應(yīng)法則f ,使對(duì)每個(gè)xwX,有唯一確定的y=f(x)與之對(duì)應(yīng).(2) 對(duì)每個(gè)xwX,元素x的像y是唯一的；而對(duì)每個(gè)ywRf,元素y的原像不一定是 唯一的；映射f的值域Rf是Y的一個(gè)子集，即Rf cY,不一定Rf=Y .例1 設(shè)f :叫R對(duì)每個(gè)xR f(x)=x2.例 2 Xg(x, y)| x2+y2=l, Y4x, 0)| x|<1

6、), f : X t Y,對(duì)每個(gè)(x, y)wX 有 唯一確定的(x, 0)正丫與之對(duì)應(yīng).例 3 f ： _1；T 1, 1, 對(duì)每個(gè) xw 之芻，f(x)=sin x .2 22 2滿射、單射和雙射：提問(wèn)：上述三例各是什么映射？2 .逆映射與復(fù)合映射逆映射：設(shè)f是X到Y(jié)的單射，則由定義，對(duì)每個(gè)yRf ,有唯一的x運(yùn)X 適合f(x)方，于是，我們可定義一個(gè)從Rf到X的新映射g,即g : Rf >X,對(duì)每個(gè)ywRf,規(guī)定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.這個(gè)映射g稱為f的逆映射，記作f,其定義域D - =Rf , 值域R1=X .按上述定義，只有單射才存在逆映射.上述三例中哪個(gè)映射存在逆

7、映射？復(fù)合映射：設(shè)有兩個(gè)映射g : X，Y1,f : Y2，Z,其中Y1CY2.則由映射g和f可以定出一個(gè)從X到Z的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè)xWX映射成 fg(x) -Z .顯然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從 X到Z的映射，這個(gè)映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射，記作f o g,即f o g: X，Z,( f o g)( x) =fg(x),x X .討論：映射g和f構(gòu)成復(fù)合映射的條件是什么？例 4 設(shè)有映射 g : Z-1,1, 對(duì)每個(gè) xwR g(x)=sin x,映射 f : 1, 1t0, 1,對(duì)每個(gè)u可-1,1, f(u)=v'h ,則映射g和f構(gòu)成復(fù)映射f o g:X0, 1, 對(duì) 每

8、個(gè)xwR有(f g)(x) =fg(x) =f (sinx) = 1-sinx0=0x=0. -1x：0稱為符號(hào)函數(shù).其定義域?yàn)镈K-00,")，值域?yàn)镽f=-1,0, 1.例 設(shè)x為任上實(shí)數(shù).不超過(guò)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作x .函數(shù)y = x 稱為取整函數(shù).其定義域?yàn)?X*, f 值域?yàn)镽f =Z.x =|cosx|.三、函數(shù)1定義：設(shè)非空數(shù)集DuR,則稱映射f: Dt R為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為 y = f (x) , xw D，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df,即Df = D注意:(1)記號(hào)f和f(x)的含義是有區(qū)別(2)函數(shù)的兩要素：例：

9、求函數(shù)y=L-d乒二的定義域.x介紹單值函數(shù)與多值函數(shù)的概念。表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法(公式法)函數(shù)的例子:例.函數(shù)yx|= x xx -0x <0稱為絕對(duì)值函數(shù).其定義域?yàn)?4(3"），值域?yàn)镽f =0, f.例.函數(shù)y =sgnx申，“2"， n=3, -1=-1, -3. 5 =4.分段函數(shù)：在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).例。函數(shù) y = 324 0yl.1 +x x >1這是一個(gè)分段函數(shù)，其定義域?yàn)?d0, 1 50,收)=0, g).當(dāng) 0女W1 時(shí)，y=2“'X；當(dāng) x>1

10、 時(shí)，y=1+x.例如 f(1)=2j，=v2； f(1) =2<T=2; f(3) =1+3=4.2函數(shù)的幾種特性1)有界性：若f(x)在I上有定義，3M >0 , Vxw I有f(x) WM成立則稱函數(shù)f(x)在I上有界， 否則稱無(wú)界。2)單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1<x2,恒有f (x1) < f (x2)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；包有f (x1) A f (x2)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上 是單調(diào)減少的。3)奇偶性設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于VxW D ,有f (x) = f (x),稱f(x)為偶函數(shù)。設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)

11、對(duì)稱，對(duì)于VxWD,有f(-x) = -f (x),稱f(x)為奇函數(shù)。4)周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈f(x),如果存在一個(gè)不為0的常數(shù)T ,對(duì)任意的xWD均有F(x+T) =f(x)則稱f (x)為周期函數(shù)，T為f(x)的周期。(通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是 指其最小正周期)3 .反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù):設(shè)函數(shù)f:DT f(D)是單射，則它存在逆映射f：f(D)T D,稱此映射f為函數(shù)f的反函數(shù)。一般地，y=f(x), xwD的反函數(shù)記成y=f(x), xwf(D).討論：什么樣的函數(shù)必存在反函數(shù)？相對(duì)于反函數(shù)y(x)來(lái)說(shuō)，原來(lái)的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù).把函數(shù)y=f(x)和1它的反函數(shù)

12、.y=f (x)的圖形圓在同一坐標(biāo)平面上，這兩個(gè)圖形關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的.(原因是什么？)復(fù)合函數(shù)：設(shè)函數(shù)y = f (u)的定義域?yàn)镈i ,函數(shù)u = g(x)在D上有定義g(D)a D1,則由下式 確定的函數(shù)y = f幻(x) I xw D稱為由函數(shù)u =g(x)和函數(shù)y = f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)?D,變量u稱為中間變量。函數(shù) g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為 f °g,即(f °g) (x) = f b (x) 1 討論兩個(gè)函數(shù)能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件?例 如,y=f(u) =arcsinu, 的定 義域?yàn)橐?, 1,u=g(x)=2jl-x2 在dn-

13、i,-q“巧3,1上有定義，且g(D1-1, 1, 則g與f可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y =arcsin2 1 -x2 , x D提問(wèn)：函數(shù)ywrcsinu和函數(shù)u=2+x2能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù)？為什么?4 .函數(shù)的運(yùn)算和(差)f ±g ： ( f 土g)( x)=f (x)%(x), xD(f g)( x) =f(x) g(x), x D(g)(xfx Dx|g(x)=0.上的偶函數(shù)g(x)及奇函例11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1, l),證明必'存在(-1, l) 數(shù)h(x),使得f(x)=g(x) h(x).分析 如果 f(x) p(x) +h(x),則 f( -x) =g(x) -h(x),于是1 .1 .g(x) = f (x) f (-x) , h(x) = f (x) - f (-x).2 25.初等函數(shù)基本初等函數(shù)：幕函數(shù)：yB» （ NwR是常數(shù)）；指數(shù)函數(shù)：y=ax（a>0且a*1）;對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log ax （ a>0且a.1,特別當(dāng)a=e時(shí)，記為y=ln x）；三角函數(shù)：y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x； 反三角函數(shù)：y=arcs