河南省鄭州市2021-2022學年高三上學期高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量預測（1月）數(shù)學（理）試題（含答案）

1、鄭州市2022年高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預測理科數(shù)學試題卷注意事項：1. 答卷前， 考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2. 回答選擇題時， 選出每小題答案后， 用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 如 需改動， 用橡皮擦干凈后， 再選涂其他答案標號 回答非選擇題時， 將答案寫在答題卡上 寫 在本試卷上無效3. 考試結束后， 將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題： 本大題共 12 小題， 每小題 5 分， 共 60 分 在每小題給出的四個選項中， 只有 一項是符合題目要求的1. 已知集合 ， 集合 ， 則 2. A 3. B 4. C 5. D 6. 已知 是虛數(shù)單位， 若 ， 則 7.

2、 A 8. B 9. C 10. D 11. 已知命題 ； 命題 則下列命 題中為真命題的是12. A 13. B 14. C 15. D 16. 若實數(shù) 滿足 則 的最小值為17. A 18. B 119. C 20. D221. 若函數(shù) 滿足 ， 則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是22. A 23. B 24. C 25. D 26. 為了落實五育并舉， 全面發(fā)展學生素質(zhì) 學校準備組建書法、音樂、美術、體育社團 現(xiàn) 將 5 名同學分配到這 4 個社團進行培訓， 每名同學只分配到 1 個社團， 每個社團至配 1 名同學， 則不同的分配方案共有27. A 60 種28. B 120 種29. C 240

3、 種30. D 480 種31. 已知函數(shù) ， 為了得到函數(shù) 的圖象只需將 的圖象32. A 向右平移 個單位33. B 向右平移 個單位34. C 向左平移 個單位35. D 向左平移 個單位36. 數(shù)學家阿基米德建立了這樣的理論： “任何由直線與拋物線所圍成的弓形， 其面積都 是其同底同高的三角形面積的三分之四 如圖， 直線 與拋 物線 交于 兩點， 兩點在 軸上的射影分別為 ， 從長方形 內(nèi)任取一點， 則該點落在陰影部分的概 率為A B C D 37. 魏晉南北朝時期， 中國數(shù)學的測量學取得了長足進展劉徽提出重差術，應用中國傳統(tǒng)的出入相補原理 因其第一題為測量海島的高度和距離， 故題為海

4、島算經(jīng) 受此題啟發(fā)， 某同學依照此法測量鄭州市二七紀念塔的高度 如圖， 點 在水平線 上， 和 是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度， 稱 為 “表高”， 測得以下數(shù)據(jù) (單位： 米)： 前表卻行 ， 表高 ， 后表卻行 ， 表距 則 塔高 A 60 米B 61 米C 62 米D 63 米38. 在圓 上總存在點 ， 使得過點 能作橢圓 的兩條相互垂直的切線， 則 的取值范圍是39. A 40. B 41. C 42. D 43. 已知一圓柱的軸截面為正方形， 母線長為 ， 在該圓柱內(nèi)放置一個棱長為 的正四 面體， 并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動， 則 的最大值為44. A 45. B

5、 146. C 47. D 248. 已知 ， 函數(shù) ， 若函數(shù) 恰有兩個零點， 則 實數(shù) 的取值范圍是49. A 50. B 51. C 52. D 53. 二、填空題： 本題共 4 小題， 每小題 5 分， 共 20 分54. 已， 則 _55. 已知 的展開式中所有二項式系數(shù)之和是 64 ， 則它展開式中 的系數(shù)_56. 雙曲線 與拋物線 有共同的焦點 ， 雙曲線左焦點為 ， 點 是雙曲線右支一點， 過 向 的角平分線做垂線， 垂足為 1 ， 則雙曲線的離心率是_57. 已知正方體 的棱長為 是空間中任意一點若點 是正方體表面上的點， 則滿足 的動點軌跡長是 ；若點 是線段 上的點， 則

6、異面直線 和 所成角的取值范圍是 ；若點 是側面 上的點， 到直線 的距離與到點 的距離之和為 2 ， 則 的軌跡是橢圓；過點 的平面 與正方體每條棱所成的角都相等， 則平面 截正方體所得截面的最 大面積是 以上說法正確的有_三、解答題： 共 70 分 解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟 第 題為必考 題， 每個試題考生都必須作答 第 題為選考題， 考生根據(jù)要求作答(一) 必考題： 60 分58. (12 分)59. 已知等差數(shù)列 的公差為 ， 前 項和為 ， 現(xiàn)給出下列三個條件： 、 成等比數(shù)列； 請你從這三個條件中任選兩個解答下列問題 (I) 求 的通項公式；(II) 若 ， 且 ，

7、求數(shù)列 的前 項和 60. (12 分)61. 為深人貫徹黨的十九大教育方針 中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)關于進一步減 輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見 鄭州某中學數(shù)學建模小組隨機抽查 了我市 2000 名初二學生 “雙減” 政策前后每天的運動時間， 得到如下頻數(shù)分布表：62. 表一：“雙減”政策后時間 ()人數(shù)1060210520730345125表二： “雙減” 政策前時間 (分鐘)人數(shù)4024556061040313012(I) 用一個數(shù)字特征描述 “雙減”政策給學生的運動時間帶來的變化 (同一時間段的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值做代表)；(II) 為給參加運動的學生提供方便，

8、 學校在球場邊安裝直飲水設備 該設備需同時裝配兩個一級濾芯才能正常工作， 且兩個濾芯互不影響，一級濾芯有兩個品牌 品牌售 價 5 百元， 使用壽命 7 個月或 8 個月 (概率均為 )； 品牌售價 2 百元， 壽命 3 個月或 4 個 月 (概率均為 ) 現(xiàn)有兩種購置方案， 方案甲： 購置 2 個品牌 ； 方案乙： 購置 1 個品牌 和 2 個品牌 試從性價比 (設備正常運行時間與購置一級濾芯的成本之比) 角度考慮， 選擇 哪一種方案更實惠63. (12 分)64. 在矩形中 中， 是 中點， 連接 ， 將 沿 折起， 使得點 移動至點 ， 滿足平面 平面 (I ) 求證： ；(II) 求二面

9、角 的余弦值65. (12 分)66. 設函數(shù) 67. (I) 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；68. (II) 當 時， 證明： 69. (12 分)70. 已知橢圓 的左焦點為 ， 離心率為 ， 過 的直線與橢圓交 于 兩點， 當 軸時， 71. (I) 求橢圓 的方程；72. (II ) 設經(jīng)過點 的直線 與橢圓 相交于 兩點， 點 關于 軸的對稱點 為 ， 直線 與 軸交于點 ， 求 面積的取值范圍(二) 選考題 ： 共 10 分 請考生在第 題中任選一題作答 在答題卷上將所選題號涂 黑， 如果多做， 則按所做的第一題計分73. 選修： 坐標系與參數(shù)方程 (10 分)74. 在直角坐標系 中， 直

10、線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)) 以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系， 曲線 的極坐標方程為 75. (I) 若 ， 求直線 的普通方程和曲線 的直角坐標方程；76. (II) 設點 的直角坐標系下的坐標為 ， 直線 與曲線 交于 兩點， 且 ， 求直線 的傾斜角77. 選修： 不等式選講(10 分)78. 已知 均為正數(shù)， 且滿足 79. ( I ) 證明： ；80. ( II ) 證明： 鄭州市2021-2022上期高三理科數(shù)學評分參考1、 選擇題 二、填空題13.4; 14. 15. 16.三、解答題17.（12分）解：因為、成等比數(shù)列，則，即，因為，可得. .2分即.，可得，

11、可得.3分若選，則有，可得，則；若選，則，則；若選，則，可得，所以，.········6分（2）解：，且,所以，當時，則有，也滿足，故對任意的，···························9分則，所以，···&

12、#183;·····12分18（12分）解：雙減政策后運動時間的的眾數(shù)是65，雙減政策前眾數(shù)是55，說明雙減政策后，大多數(shù)學生的運動時間都變長；（平均數(shù)、中位數(shù)等都可以）·······························

13、3;4分（1） 若采用甲方案，記設備正常運行時間為（單位是月），則的取值有，則的分布列：它與成本之比為·········································

14、83;···············7分若采用乙方案，記設備正常運行時間為（單位是月），則的取值有,，它與成本之比為····························

15、;························11分方案乙性價比更高. ·······················

16、3;····················12分19.（12分）證明：在矩形中，連接，記··························

17、;······················2分在四棱錐中，線段取點滿足·························

18、83;········································4分·········&

19、#183;··········································6分（2）設平面的法向量為·····

20、··················································

21、8分設平面的法向量················································

22、83;···········10分設二面角的大小為的余弦值為····························12分20.（12分）解：（1）函數(shù)的定義域為 故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，無單增區(qū)間·&

23、#183;·································4分（2）當時，要證，即證即證·············

24、3;···································5分設 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,···········

25、3;·········································8分設 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增, ·····

26、83;················································10分又所以當時，

27、···············································12分21. （12分）解：（1）由

28、題意可知：，可得.又左焦點，當軸時，將帶入得.由解得所以橢圓的方程為··················································5分（2）由題意可知，直線斜率必存在且不為，設直線的方程為設，由得.，