函數(shù)與極限知識點(diǎn)

1、第一章函數(shù)與極限第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限函數(shù)與極限微積分中的二個(gè)重要基本概念微積分中的二個(gè)重要基本概念函數(shù)函數(shù)高等數(shù)學(xué)研究的基本對象高等數(shù)學(xué)研究的基本對象極限極限是否采用極限的運(yùn)算方法，是高等數(shù)學(xué)與是否采用極限的運(yùn)算方法，是高等數(shù)學(xué)與 初等數(shù)學(xué)的根本區(qū)別初等數(shù)學(xué)的根本區(qū)別第一節(jié)第一節(jié) 函函 數(shù)數(shù)一函數(shù)概念：一函數(shù)概念：常量與變量：常量與變量：常量常量：某一變化過程中：某一變化過程中保持?jǐn)?shù)值不變的量保持?jǐn)?shù)值不變的量. 變量變量：在某一變化過程中：在某一變化過程中取不同數(shù)值的量取不同數(shù)值的量一個(gè)量是常量還是變量只是一個(gè)量是常量還是變量只是相對相對而言的而言的例：同一地點(diǎn)的例：同一地點(diǎn)的=9.8米

2、米/秒秒2 (初等數(shù)學(xué)研究的主要對象初等數(shù)學(xué)研究的主要對象)例：自由落體例：自由落體=gt2/2中的中的S與與t都是變量都是變量.函數(shù)的概念：函數(shù)的概念：函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系變量之間的依賴關(guān)系變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)定義函數(shù)定義： 設(shè)設(shè)與是兩個(gè)變量與是兩個(gè)變量，如果對于在數(shù)集中所取的，如果對于在數(shù)集中所取的 每一個(gè)值，通過與之間的某一每一個(gè)值，通過與之間的某一對應(yīng)律對應(yīng)律, 都有一個(gè)都有一個(gè) (或多個(gè)或多個(gè))確定的確定的 y 值與之對應(yīng)值與之對應(yīng) , 則稱則稱 f 是上的函數(shù)是上的函數(shù). 記作：記作：y=f(x)，x X稱為自變量，稱為因變量稱為自變量，稱為因變量稱為函數(shù)的定義稱為函數(shù)的定義域域 而

3、所有對應(yīng)的值組成的數(shù)集則稱為函數(shù)的值域而所有對應(yīng)的值組成的數(shù)集則稱為函數(shù)的值域 函數(shù)的表示方法：函數(shù)的表示方法：解析法解析法 (如如 y = f (x)列表法列表法圖象法圖象法其其 他他函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法解析法可用一個(gè)式子表示也可用多個(gè)式子表示解析法可用一個(gè)式子表示也可用多個(gè)式子表示.例如例如:cosx -x01 0 x1 1/x x 1f (x) =(分段函數(shù)分段函數(shù))注：分段函數(shù)雖然由多個(gè)式子組成的，但它注：分段函數(shù)雖然由多個(gè)式子組成的，但它不是多個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)不是多個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù) 冪函數(shù)：冪函數(shù)：= xa 指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：= ax 對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：=logax

4、三角函數(shù)：三角函數(shù)：=sinx，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函數(shù)：反三角函數(shù)：y =arcsinx , y =arccosx , y =arctgx , y =arcctgx . 二初等函數(shù)：二初等函數(shù)：1 1基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)：( (中學(xué)學(xué)過的）中學(xué)學(xué)過的）2 2復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)：形如：形如：= f (x) ( u =(x) )定義定義:設(shè)變量設(shè)變量 y 是變量是變量 u 的函數(shù)的函數(shù) , 變量變量 u 又是變量又是變量 x 的函數(shù)即的函數(shù)即 y = f (u) , u =(x) , 如果變量如果變量x的某些值通過中間變量的某些值通過中間變量u 可以確定變

5、量可以確定變量 y 的值時(shí)的值時(shí) , 則稱則稱 y 是是 x 的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù) , 記作記作 y = f (x) ( y因變量因變量 , u中間變量中間變量 ( 既是自變量又是因變量既是自變量又是因變量 ) , x自變量自變量 )注注:函數(shù)函數(shù)u=(x)的值域不能超過函數(shù)的值域不能超過函數(shù)y=f(u)的定義域的定義域. 形成復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不止一個(gè)形成復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不止一個(gè),如如: y=f(x)例：例：y = cos (2t+/3)那么拆成什么形式好呢那么拆成什么形式好呢?.一般復(fù)合函數(shù)拆開的結(jié)果應(yīng)使拆成的每一個(gè)函數(shù)都是一般復(fù)合函數(shù)拆開的結(jié)果應(yīng)使拆成的每一個(gè)函數(shù)都是基本初等基

6、本初等 函數(shù)函數(shù)或是或是它們的和它們的和,差差,積積,商商.將復(fù)合函數(shù)拆成簡單函數(shù)：（重點(diǎn)）將復(fù)合函數(shù)拆成簡單函數(shù)：（重點(diǎn)）例：例：. 13sin2)13sin(2xvvuayayux，可分解為：21sin2122sin,.uxyyuvvx 可分解為：，例：例：可分解為可分解為 : y = cosx , x =2t+/3. 或或: y = cos2x , x =t+/63 3初等函數(shù)初等函數(shù)定義：由定義：由基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)經(jīng)過經(jīng)過有限次加，減，乘，除四則運(yùn)算有限次加，減，乘，除四則運(yùn)算和和 有限次復(fù)合運(yùn)算有限次復(fù)合運(yùn)算而構(gòu)成的而構(gòu)成的僅用一個(gè)解析式表達(dá)僅用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，的函數(shù)，

7、 稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù) （注：不用一個(gè)式子表示的函數(shù)就不是初等函數(shù)）（注：不用一個(gè)式子表示的函數(shù)就不是初等函數(shù)）問：分段函數(shù)是否是初等函數(shù)？問：分段函數(shù)是否是初等函數(shù)？不是初等函數(shù)，但它是一個(gè)函數(shù)不是初等函數(shù)，但它是一個(gè)函數(shù).例：例：.arcsin11cosln222xtgxxyxxayxy，都是初等函數(shù)。都是初等函數(shù)。第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 極限概念的引入極限概念的引入:例例1 . 有一變量其變化趨勢為有一變量其變化趨勢為:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . . 則該變量的極限是則該變量的極限是0.(數(shù)列極限數(shù)列極限)例例2 . 已知圓

8、的半徑為已知圓的半徑為R , 求圓面積求圓面積 S .解題思路解題思路:1.求圓的內(nèi)接正多邊形求圓的內(nèi)接正多邊形 (正正 n 邊形邊形) 的面積的面積2.取極限取極限 ( n時(shí)正時(shí)正 n 邊形的面積即邊形的面積即 為圓的面積為圓的面積)22sinlim2sin21limlim(222RnnRnRnSSnnnn一一. .函數(shù)的極限函數(shù)的極限: :對于函數(shù)對于函數(shù) y = f (x) , 我們將分別考察以下兩種情況的極限我們將分別考察以下兩種情況的極限:1 . 自變量自變量 x x0 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限.2 . 自變量自變量 x 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限.xx0-0 時(shí)時(shí),函數(shù)的極限函數(shù)的極

9、限xx0+0 時(shí)時(shí),函數(shù)的極限函數(shù)的極限x- 時(shí)時(shí),函數(shù)的極限函數(shù)的極限x+時(shí)時(shí),函數(shù)的極限函數(shù)的極限1 . 1 . x xx x0 0 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限: :記作記作 : 定義定義: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 附近有定義附近有定義 (但在但在 x0 處可以沒有定義處可以沒有定義) , 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 以以任何方式任何方式無限趨近于定值無限趨近于定值 x0 時(shí)時(shí) , 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 無限趨近于一個(gè)常數(shù)無限趨近于一個(gè)常數(shù) A ,就說當(dāng)就說當(dāng) x 趨近于趨近于 x0時(shí)時(shí) , 函數(shù)函數(shù) f (x)以以 A 為極限為極限 .注注: 僅要求函數(shù)僅要求函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)x

10、0 附近有定義附近有定義 ,但在但在 x0 處可以沒有定義處可以沒有定義. “自變量自變量 x 以任何方式以任何方式無限趨近于定值無限趨近于定值 x0”是指是指左趨近左趨近和和 右趨近右趨近 (對于一元函數(shù)對于一元函數(shù)) .Axfxx )(lim0 . . 函數(shù)的函數(shù)的單側(cè)極限單側(cè)極限 : :左極限左極限 ：右極限右極限： x從從左側(cè)左側(cè)趨近于趨近于x0時(shí)產(chǎn)生的極限時(shí)產(chǎn)生的極限.記作記作 : x從從右側(cè)右側(cè)趨近于趨近于x0時(shí)產(chǎn)生的極限時(shí)產(chǎn)生的極限.記作記作 : Axfxx)(lim00Axfxx)(lim00即左極限和右極限即左極限和右極限都存在并且相等都存在并且相等時(shí)時(shí),才能說函數(shù)的極限存在

11、才能說函數(shù)的極限存在例例 : 右圖中的函數(shù)右圖中的函數(shù)f(x) (分段函數(shù)分段函數(shù))AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)( :)(lim00000當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)存在的充要條件存在的充要條件極限極限.BAxyx0oAxfxx)(lim00Bxfxx)(lim00AB, 即左極限即左極限右極限右極限此函數(shù)此函數(shù) f (x)在在 x0處的極限不存在處的極限不存在.2 . x 2 . x 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限 : : 函數(shù)在正無限處極限函數(shù)在正無限處極限:函數(shù)在負(fù)無限處極限函數(shù)在負(fù)無限處極限:函數(shù)在正負(fù)無限處極限函數(shù)在正負(fù)無限處極限:oxyAAxfx)(limAxfx)(limA

12、xfx)(lim例例 : 對于函數(shù)對于函數(shù) f (x) = arctgx , x時(shí)極限是否存在時(shí)極限是否存在?解解 : 當(dāng)當(dāng) x +時(shí)時(shí) , f (x) = arctgx /2 ,函數(shù)極限不存在函數(shù)極限不存在 (當(dāng)當(dāng) x 時(shí)時(shí)).)(lim)(limxfxfxxOYx/2-/2當(dāng)當(dāng) x -時(shí)時(shí) , f (x) = arctgx -/2 .AxfxfAxfxxx )(lim)(lim)( :)(lim當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)存在的充要條件存在的充要條件極限極限.極限不存在極限不存在的幾種情形式的幾種情形式 : :1 . 當(dāng)當(dāng) x x0 (x ) 時(shí)時(shí) , f (x) , 極限不存在極限不存在 .這時(shí)雖然

13、這時(shí)雖然 f (x) 的極限不存在的極限不存在 , 但也可記作但也可記作 :2 . 左右極限至少有一個(gè)不存在或都存在但不相等時(shí)左右極限至少有一個(gè)不存在或都存在但不相等時(shí),極限不存在極限不存在.3 . 當(dāng)當(dāng) x x0 (x ) 時(shí)時(shí) , f (x) 的變化趨勢振蕩不定的變化趨勢振蕩不定,此時(shí)函數(shù)極限此時(shí)函數(shù)極限 不存在不存在 .)(lim0 xfxx)(limxfx二二. . 無窮小和無窮大無窮小和無窮大. .1 . 1 . 無窮小定義無窮小定義 : : 以以零為極限的變量零為極限的變量就是無窮小量就是無窮小量 .例例 : 當(dāng)當(dāng) x + 時(shí)時(shí) , 1/x 的極限為零的極限為零 ; 注注 : 稱一

14、個(gè)函數(shù)是無窮小量時(shí)稱一個(gè)函數(shù)是無窮小量時(shí) , 必須指出其自變量的變化趨勢必須指出其自變量的變化趨勢.無窮小量是無窮小量是變量變量而不是常數(shù)而不是常數(shù) 0 , 也不是很小的數(shù)也不是很小的數(shù) ( 如如 10-10000) 但但0可以看成是無窮小量?？梢钥闯墒菬o窮小量。當(dāng)當(dāng) x 1時(shí)時(shí) , x-1 的極限也是零的極限也是零 .2 . 2 . 無窮大定義無窮大定義 : 在變化過程中在變化過程中其絕對值無限變大其絕對值無限變大 , (無窮大量的變化趨勢和無窮小的變化趨勢相反無窮大量的變化趨勢和無窮小的變化趨勢相反)例例 : 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) , 1/x 的值無限增大的值無限增大 ; 注注 : 稱一個(gè)函

15、數(shù)是無窮大量時(shí)稱一個(gè)函數(shù)是無窮大量時(shí) , 必須指出其自變量的變化趨勢必須指出其自變量的變化趨勢.無窮大量是無窮大量是變量變量 , 而不是一個(gè)很大的量而不是一個(gè)很大的量 . . 無窮大量無窮大量 , 無窮小量是無窮小量是變量變量 , 而不是一個(gè)確定的量而不是一個(gè)確定的量 .當(dāng)當(dāng) x /2 時(shí)時(shí) , y = tgx 的絕對值的絕對值 y無限增大無限增大 .3 .3 . 無窮小與無窮大的無窮小與無窮大的關(guān)系關(guān)系 : : 互為倒數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系關(guān)系例例 : 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) , 1/x 為無窮大量為無窮大量 , 而而 x 為無窮小量為無窮小量 .(在在同一變化過程中同一變化過程中).4 . 4 . 無

16、窮小無窮小定理定理 : : 定理定理1 . 函數(shù)函數(shù) f (x) 以以A為極限的充分必要條件是函數(shù)為極限的充分必要條件是函數(shù) f (x)與常數(shù)與常數(shù)A 之差是一個(gè)無窮小量之差是一個(gè)無窮小量 .即即 lim f (x) =A 成立的充要條件是成立的充要條件是 : lim f (x) -A = 0亦即亦即 , 若函數(shù)若函數(shù) f (x)以以A為極限為極限 , 若設(shè)若設(shè) f (x) -A =,則則為該極限過程中的無窮小量為該極限過程中的無窮小量 .0211lim211lim:22）（例xxxx定理定理2 .有限個(gè)有限個(gè)無窮小無窮小的代數(shù)和仍為無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量 . 定理定理3 . 有界函數(shù)與

17、有界函數(shù)與無窮小無窮小的乘積仍為無窮小量的乘積仍為無窮小量 .(有界函數(shù)有界函數(shù) : 若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間 X內(nèi)滿足內(nèi)滿足 : Af(x)B ,其中其中 A , B 是兩個(gè)定數(shù)是兩個(gè)定數(shù) , 則稱則稱 f (x)在區(qū)間在區(qū)間X內(nèi)有界內(nèi)有界 , A下界下界 ,B上界上界).推論推論1. 常數(shù)與常數(shù)與無窮小量無窮小量之積仍為無窮小量之積仍為無窮小量 . 推論推論2. 有限個(gè)有限個(gè)無窮小量無窮小量的乘積仍為無窮小量的乘積仍為無窮小量 .0sinlimxxx例：5 . 5 . 的比較的比較 : : 設(shè)設(shè),為兩個(gè)無窮小為兩個(gè)無窮小 . . 若若 lim / = 0 (或或 lim

18、 / =) , 則稱則稱是比是比高階的無窮小高階的無窮小 或稱或稱是比是比低階的無窮小低階的無窮小 .若若 lim / = k0 , 則稱則稱與與是同階無窮小是同階無窮小 .特別地若特別地若 lim / =1 ,則稱則稱與與是等價(jià)無窮小是等價(jià)無窮小 . 記作記作 : 即即 lim / =0 是比是比高階高階的無窮小的無窮小. 是比是比低階低階的無窮小的無窮小 .k0 與與是是同階同階無窮小無窮小 .1 與與是是等價(jià)等價(jià)無窮小無窮小. 在在求等價(jià)無窮小的比值的極限求等價(jià)無窮小的比值的極限時(shí)時(shí),可將其中每一個(gè)可將其中每一個(gè)(或僅僅一個(gè)或僅僅一個(gè))換為與其等價(jià)的無窮小換為與其等價(jià)的無窮小. 即即 若

19、若1,1, 則則lim / = lim 1/ = lim / 1 = lim 1/ 1注注:等價(jià)無窮小有一個(gè)很有用的性質(zhì)等價(jià)無窮小有一個(gè)很有用的性質(zhì):例例: 求求33402limln 12xxxx（）解解: 利用利用x0 時(shí)時(shí),ln (1+2x) 2x得得:3342xx33x ，原式原式= 1/2330lim2xxx三三 . . 極限的極限的四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則 : :定理定理: 設(shè)在某變化過程中有設(shè)在某變化過程中有 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,則有則有: lim f (x)g (x)=lim f (x) lim g (x) =AB. lim f (x) g (x

20、) =lim f (x) lim g (x) =AB lim f (x) / g(x) =lim f (x) / lim g (x) =A / B (B0)性質(zhì)性質(zhì): lim C=C ( C為常量為常量) . limC f (x) = C lim f (x) lim f (x)n = lim f (x)n (n為正整數(shù)為正整數(shù)).）（：求例12lim1232xxx1lim2limlim:22232xxxxx原式解1)lim(2)lim(2232xxxx118815lim. 221xxx求例251lim5lim:211）（原式解xxxx11lim. 331xxx求例31) 1)(1(lim, 0

21、,1( :21xxxxxx原式故不能用極限的商定理)分母的極限為時(shí)當(dāng)解152263lim:5233xxxxx求例332233152263lim152263lim:xxxxxxxxxx解231lim1lim521lim21lim63332xxxxxxxx對于有理分式函數(shù)對于有理分式函數(shù)F(x)=P(x)Q(x)求極限小結(jié)如下：求極限小結(jié)如下：當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí) 若多項(xiàng)式若多項(xiàng)式P(x)的次數(shù)低于分母的次數(shù)低于分母Q(x)的次數(shù)的次數(shù),則函數(shù)則函數(shù)F(x)的極限為的極限為0.若若P(x)與與Q(x)為同次多項(xiàng)式為同次多項(xiàng)式,則則F(x)的極限為的極限為p(x)與與Q(x)中中x最高最高 次冪的系數(shù)之比次

22、冪的系數(shù)之比.若若P(x)的次數(shù)高于的次數(shù)高于Q(x)的次數(shù)的次數(shù),則則F(x)的極限為無窮大的極限為無窮大. 當(dāng)當(dāng) xx0時(shí)時(shí)若分母極限不為若分母極限不為0,則可直接應(yīng)用商定理求出其極限則可直接應(yīng)用商定理求出其極限.若分母的極限為若分母的極限為0時(shí)時(shí),想法消去使分母極限為零的因子想法消去使分母極限為零的因子,而后用而后用 商定理出其極限商定理出其極限 .求分式函數(shù)的極限時(shí)求分式函數(shù)的極限時(shí),可能會遇到可能會遇到 0/0型型 , /型型 , 0型等極限型等極限, 這時(shí)需對分式函數(shù)作恒等變換這時(shí)需對分式函數(shù)作恒等變換,而后約去公因式而后約去公因式,化為可求解化為可求解 的的 形式形式. 利用羅必

23、塔法則求解利用羅必塔法則求解.四 . 兩個(gè)重要極限 :第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性反映在圖形上就是：函數(shù)曲線是連續(xù)而不間斷的函數(shù)的連續(xù)性反映在圖形上就是：函數(shù)曲線是連續(xù)而不間斷的xyxyoo（連續(xù)的）（連續(xù)的）（在（在x0處間斷）處間斷）x0y=f(x)y=f(x)一一 . . 函數(shù)的增量函數(shù)的增量 : : 函數(shù)函數(shù) y =f (x) , 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 從從 x0 變到變到 x1 時(shí)時(shí) , 函數(shù)函數(shù) y 就從就從 f (x0)變到變到 f (x1) , 這時(shí)稱這時(shí)稱 x=x1-x0為自變量為自變量 x的增量的增量 , 稱稱y= f (x1) -f (x0)或或y=

24、 f (x0+ x) -f (x0)為函數(shù)為函數(shù) 在在 x=x0處的增量處的增量.函數(shù)函數(shù)增量增量的的幾何意義幾何意義: :yf(x0)f(x1)x0 x1=x0+xy=f (x)xABxyo記作記作: y= f (x1) -f (x0) 或或 y= f (x0+ x) -f (x0)二二. .函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)與間斷點(diǎn): :1.連續(xù)性定義連續(xù)性定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0及其附近有定義及其附近有定義,當(dāng)當(dāng)x0有一增量有一增量x時(shí)時(shí),相應(yīng)地相應(yīng)地函數(shù)也有一增量函數(shù)也有一增量:y=f (x0+x)-f (x0),若若則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處

25、連續(xù)(并稱并稱x0為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn))0)()(limlim0000 xfxxfyxx若以若以x=x0+x代入上式代入上式,則有則有x0.則有則有)()(lim00 xfxfxx于是函數(shù)的連續(xù)性定義可用以下三種不同的形式給出于是函數(shù)的連續(xù)性定義可用以下三種不同的形式給出: :)()(lim000 xfxxfx )()(lim00 xfxfxx 0lim0 yx(其中其中x=x-x0 , y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的幾何意義幾何意義: :xyoy=f (x)x0(x0 ,y0)由定義知由定義知: :函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x

26、x0 0處連續(xù)處連續(xù)必須滿足以下三個(gè)條件必須滿足以下三個(gè)條件: : f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0及其附近有定義及其附近有定義.(要求比極限存在的條件高要求比極限存在的條件高)2 . 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn): 不滿足以上三個(gè)條件之一的點(diǎn)就叫做不滿足以上三個(gè)條件之一的點(diǎn)就叫做 f(x)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).極限必須存在（極限必須存在（ 即即 ）)(lim0 xfxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx )()(lim00 xfxfxx （即該極限等于點(diǎn)（即該極限等于點(diǎn)x0處的函數(shù)值）處的函數(shù)值）例例 :舉一例說明間斷點(diǎn)的第舉一例說明間斷點(diǎn)的第種情形種情形: 11sin)(xxxfy當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x=001

27、sinlim)(lim00 xxxfxx解解: 而而f (0) =1y= f (x) 在在 x =0處不連續(xù)處不連續(xù).(若定義中若定義中 x=0 時(shí)時(shí) , f (x) =0 , 則則 f (x) 在在 x=0 處連續(xù)處連續(xù))3 .3 .函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù): :4 .4 .函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x0 0處連續(xù)的處連續(xù)的充分必要條件充分必要條件是是: :左連續(xù)左連續(xù) : 若函數(shù)若函數(shù)f (x)在在x0點(diǎn)及某一鄰域內(nèi)有定義點(diǎn)及某一鄰域內(nèi)有定義 , 且只有且只有 則稱則稱 f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0處左連續(xù)處左連續(xù). )()(lim000 xfxfxx (即充要條件為

28、即充要條件為: f (x)在在x0點(diǎn)既是左連續(xù)又是右連續(xù)點(diǎn)既是左連續(xù)又是右連續(xù))(lim)(lim00000 xfxfxxxx )()(lim00 xfxfxx即即:右連續(xù)右連續(xù) : 若函數(shù)若函數(shù)f (x)在在x0點(diǎn)及某一鄰域內(nèi)有定義點(diǎn)及某一鄰域內(nèi)有定義 , 且只有且只有 則稱則稱 f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0處右連續(xù)處右連續(xù). )()(lim000 xfxfxx 5 . 5 . 連續(xù)點(diǎn)與極限的關(guān)系連續(xù)點(diǎn)與極限的關(guān)系: :函數(shù)在函數(shù)在x0點(diǎn)處連續(xù)點(diǎn)處連續(xù)函數(shù)在函數(shù)在x0處極限存在處極限存在(回憶極限定義與連續(xù)點(diǎn)定義回憶極限定義與連續(xù)點(diǎn)定義)解解: f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x=3 處沒處沒有定義有定義

29、.點(diǎn)點(diǎn) x=3 是一個(gè)間斷點(diǎn)是一個(gè)間斷點(diǎn).例例 : 考察函數(shù)考察函數(shù) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn). 39)(2xxxf0 xyA(3 , 6)3(雖然雖然 極限存在極限存在)2339limlim363xxxxx（）2)2(lim)(lim20000 xxfxx)(lim)(lim0000 xfxfxx 例例 : 討論函數(shù)討論函數(shù) 212)(22xxxf當(dāng)當(dāng) x0當(dāng)當(dāng) x= 0 的連續(xù)性的連續(xù)性.當(dāng)當(dāng) x02)2(lim)(lim20000 xxfxx解解 : x0 時(shí)時(shí), 函數(shù)的極限不存在函數(shù)的極限不存在. x = 0 點(diǎn)是間斷點(diǎn)點(diǎn)是間斷點(diǎn) , 而其余點(diǎn)是連續(xù)的而其余點(diǎn)是連續(xù)的. 0 xy+2-2三三.

30、 . 在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù): :1 . f (x)在在開區(qū)間開區(qū)間(a , b)上連續(xù)上連續(xù) : 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x)在在開區(qū)間開區(qū)間 (a , b)上每一點(diǎn)都連續(xù)上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)在在開區(qū)間開區(qū)間(a , b)上連續(xù)上連續(xù) .2 . f (x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a , b上連續(xù)上連續(xù) : 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在在開區(qū)間開區(qū)間 (a , b)上連續(xù)上連續(xù) , 且有且有(即即 f(x) 在在左端點(diǎn)處右連續(xù)左端點(diǎn)處右連續(xù)) , , (即即 f(x)在在右端點(diǎn)處左連續(xù)右端點(diǎn)處左連續(xù)) , 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a , b

31、上連續(xù)上連續(xù). )()(lim0afxfax)()(lim0bfxfbx它們在區(qū)間它們在區(qū)間 (- , +)上是連續(xù)的上是連續(xù)的.例例:xxysin在區(qū)間在區(qū)間 (- , +) 是否都連續(xù)是否都連續(xù) ?例例 : y =2x , y = sinx. 在區(qū)間在區(qū)間 (- , +) 是否都連續(xù)是否都連續(xù) ?它們在區(qū)間它們在區(qū)間 (- , +)上任一點(diǎn)都是連續(xù)的上任一點(diǎn)都是連續(xù)的.解解 :解解 : x =0 處函數(shù)無定義處函數(shù)無定義.函數(shù)在函數(shù)在 x =0 點(diǎn)處是間斷點(diǎn)點(diǎn)處是間斷點(diǎn) , 即在即在 (- , +)不是都連續(xù)的不是都連續(xù)的. 在在閉區(qū)間閉區(qū)間上上連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)的兩個(gè)性質(zhì): :定

32、理定理1. (1. (最大值最小值定理最大值最小值定理) )在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上至少至少取得它的最大值和最小值取得它的最大值和最小值各一次各一次.即一段連續(xù)曲線必有最高點(diǎn)和最低點(diǎn)即一段連續(xù)曲線必有最高點(diǎn)和最低點(diǎn).ymaxyminoxyy=f(x)定理定理2. (2. (介值定理介值定理):):如果函數(shù)如果函數(shù) y=f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a , b上連續(xù)上連續(xù) , 且且f (a)f (b) , 則對介于則對介于f (a)和和 f (b)之間的任何值之間的任何值C,在開區(qū)間在開區(qū)間(a , b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使使f ()=C , (ab).a123boxycf(a)f(b)其其幾何意義幾何意義:連續(xù)曲線連續(xù)曲線 y=f(x)與水平直線與水平直線 y=c至少相交于一點(diǎn)至少相交于一點(diǎn).特殊地特殊地,若若f (a)與與f (b)異號異號則連續(xù)曲線則連續(xù)曲線 y=f (x)與與x軸至少相交于一點(diǎn)軸至少相交于一點(diǎn),即方程即方程f(x)=0在區(qū)間在區(qū)間a , b內(nèi)至少有一實(shí)根內(nèi)至少有一實(shí)