高等流體力學(xué)第7講修改

1、理想流體動力學(xué)理想流體動力學(xué) (1)(2) 流函數(shù)與勢函數(shù)流函數(shù)與勢函數(shù)(1)無旋流動無旋流動理想流體理想流體實(shí)際流體實(shí)際流體理想不可壓縮流動理想不可壓縮流動NS方程方程 速度旋度處處為零的流動定義為無旋流動，其所在流場速度旋度處處為零的流動定義為無旋流動，其所在流場稱為無旋流場。該條件又可寫為：稱為無旋流場。該條件又可寫為：0 Vyuxvxwzuzvyw下面通過示意圖的方法進(jìn)一步解釋無旋運(yùn)動和下面通過示意圖的方法進(jìn)一步解釋無旋運(yùn)動和有旋運(yùn)動的區(qū)別有旋運(yùn)動的區(qū)別 無旋流動無旋流動 在無旋流中，公式在無旋流中，公式(8.6)表明速度的交叉偏導(dǎo)數(shù)相等，因此，在流場中表明速度的交叉偏導(dǎo)數(shù)相等，因此，

2、在流場中必然存在著這樣一個函數(shù)必然存在著這樣一個函數(shù) ，它對于某一坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)等于速度它對于某一坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)等于速度在該坐標(biāo)方向的分速度，即在該坐標(biāo)方向的分速度，即 式中函數(shù)式中函數(shù) 稱為勢函數(shù)或速度勢稱為勢函數(shù)或速度勢, ,因此因此),(tzyxVgrad)(wzvyuxV0)()()()(:0)(:222222 kyxyxjzxzxizyzyzyxzyxkjigradgrad 證證明明試試證證這說明如果存在勢函數(shù)這說明如果存在勢函數(shù), ,那么場必定無旋那么場必定無旋; ;反之也基本成反之也基本成立立, ,即如果場無旋即如果場無旋, ,那么那么“保守力保守力”或或“速度速度” 可以用可以用勢

3、函數(shù)的梯度來表示勢函數(shù)的梯度來表示 定理定理1:1:如果流場存在勢函數(shù)如果流場存在勢函數(shù), ,即即 , ,其中其中u,v在整個區(qū)域上都有一階偏導(dǎo)數(shù)在整個區(qū)域上都有一階偏導(dǎo)數(shù), ,那么在整個區(qū)域那么在整個區(qū)域上上, ,場必定無旋場必定無旋, ,即可推出即可推出: :jyixj viuF xvyu 定理定理2: :設(shè)設(shè) 是一個在單連通區(qū)域是一個在單連通區(qū)域D上的場上的場, ,其中其中u,v在整個區(qū)域上都有一階偏導(dǎo)數(shù)在整個區(qū)域上都有一階偏導(dǎo)數(shù), ,且且 在整個區(qū)域上都成立在整個區(qū)域上都成立( (無旋條件無旋條件),),即可推出即可推出: : F F是有勢場是有勢場, , j viuF xvyu jy

4、ixj viuF 非常重要的條件非常重要的條件:單連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域非單連通區(qū)域非單連通區(qū)域AByx12(A)(B)如果流動無旋如果流動無旋, ,則速度可以表示成則速度可以表示成勢函數(shù)的梯度勢函數(shù)的梯度做功做功猶如在重力場或電場中猶如在重力場或電場中積分與路徑與關(guān)積分與路徑與關(guān)表示成表示成那么可以把速度那么可以把速度如果如果,)()()()(02211ABdssdVABdssdVkwj viukzjyixVVBABABABA 0 V V單連通區(qū)域單連通區(qū)域1 2 3 4 5 U流動方向流動方向勢函數(shù)勢函數(shù)無旋無旋有勢有勢單連通區(qū)域單連通區(qū)域無旋條件與勢函數(shù)的相互依存關(guān)系為無

5、旋條件與勢函數(shù)的相互依存關(guān)系為: : yuxyyxyxxv)()(2若流動是定常的，那么勢函數(shù)只是空間坐標(biāo)的函若流動是定常的，那么勢函數(shù)只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此勢函數(shù)的全微分可以表示為：數(shù)，因此勢函數(shù)的全微分可以表示為：rdVwdzvdyudxdzzdyydxxd如果能夠找出描寫該流動特征的勢函數(shù)，那么就可以利用勢函如果能夠找出描寫該流動特征的勢函數(shù)，那么就可以利用勢函數(shù)的性質(zhì)求出這一流動的各點(diǎn)速度，再利用伯努利方程求出全數(shù)的性質(zhì)求出這一流動的各點(diǎn)速度，再利用伯努利方程求出全場的壓力分布。場的壓力分布。 C.流函數(shù)流函數(shù) 在平面流動中，不可壓縮流動的連續(xù)性方程為在平面流動中，不可壓縮流動的連續(xù)

6、性方程為: yvxuyvxu )(:0或者寫成或者寫成上式成為某一函數(shù)上式成為某一函數(shù)（x，y，t）全微分的充分全微分的充分必要條件，即必要條件，即udydxvd)(的全微分為的全微分為:流函數(shù)的特性流函數(shù)的特性1.1.沿同一流線流函數(shù)值為常數(shù)沿同一流線流函數(shù)值為常數(shù)2.平面流動中通過兩條流線間平面流動中通過兩條流線間(單位厚度單位厚度)的流量等的流量等于兩條流線上的函數(shù)值的差值于兩條流線上的函數(shù)值的差值3. .在有勢流動中流函數(shù)是一調(diào)和函數(shù)在有勢流動中流函數(shù)是一調(diào)和函數(shù)特性特性1 1流函數(shù)等值線流函數(shù)等值線: :vdyudxudyvdxtyxudyvdxdyydxxd0:,),(可得常數(shù)令此

7、為流線方程的平面形式此為流線方程的平面形式, ,這說明流函數(shù)的等值這說明流函數(shù)的等值線就是第三章中所述的流線線就是第三章中所述的流線udydxv)(12 設(shè)設(shè)1、 2是兩條相鄰流線，作其間一曲線是兩條相鄰流線，作其間一曲線AB，求通，求通過過AB兩點(diǎn)間單位厚度的流量兩點(diǎn)間單位厚度的流量? 特性特性2ddxxdyyvdxudydQ且沿且沿AB線積分線積分: :等于兩點(diǎn)流函數(shù)之差兩點(diǎn)任意連線的流量此式表明流過BAddQQABBABA,AB udy -vdx dQ x y流動流動流動流動2 1112 0）：流體從一點(diǎn)均勻地流向各方向）：流體從一點(diǎn)均勻地流向各方向 點(diǎn)匯（點(diǎn)匯（Q 0）：流體從各方向均

8、勻地流入一點(diǎn)）：流體從各方向均勻地流入一點(diǎn)當(dāng)源匯位于原點(diǎn)當(dāng)源匯位于原點(diǎn)O，勢函數(shù)和流函數(shù)為，勢函數(shù)和流函數(shù)為:速度分布式為速度分布式為:以點(diǎn)源為例以點(diǎn)源為例, ,由于各同由于各同心圓流量相等心圓流量相等: :02vrQvr勢函數(shù)為勢函數(shù)為(極坐標(biāo)極坐標(biāo)):rQrvr2rQln2流函數(shù)為流函數(shù)為(極坐標(biāo)極坐標(biāo)):rQrvr212Q把笛卡爾坐標(biāo)表達(dá)式化成極坐標(biāo)把笛卡爾坐標(biāo)表達(dá)式化成極坐標(biāo): :(x,y) )(,(122xyarctgyx (u,v) (dr/dt, d/dt) tyyftxxfxydtd )(tan1例例3 點(diǎn)渦點(diǎn)渦物理背景物理背景 與平面垂直的直渦線（旋渦強(qiáng)度為與平面垂直的直渦線

9、（旋渦強(qiáng)度為）誘導(dǎo)的流場）誘導(dǎo)的流場當(dāng)點(diǎn)渦位于原點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)渦位于原點(diǎn)O，勢函數(shù)和流函數(shù)為，勢函數(shù)和流函數(shù)為:常數(shù)rvdrv2可得速度分布式為可得速度分布式為:rv2rvrvrr2102勢函數(shù)勢函數(shù)rvvrrr201rln2流函數(shù)流函數(shù)自由渦自由渦(無旋流動無旋流動)受迫渦受迫渦(有旋流動有旋流動)例例4 偶極子偶極子物理背景物理背景 一個一個源和一個匯源和一個匯, 點(diǎn)源放在點(diǎn)源放在(- , 0)處處, 點(diǎn)匯放在點(diǎn)匯放在(0,0)處處. rMsin2:流函數(shù)是rQXPrQsin2-0sin-)(2-:1111，即有：時，當(dāng)軸的夾角與源和匯的連線和正分別是流場點(diǎn)和流函數(shù)是rMcos2-:勢函數(shù)是勢流概

10、念是極重要勢流概念是極重要,由于滿足無旋和不可壓縮條件由于滿足無旋和不可壓縮條件,就可引入就可引入流函數(shù)和勢函數(shù)流函數(shù)和勢函數(shù),這大大方便了計(jì)算這大大方便了計(jì)算,形成了應(yīng)用廣泛的勢流形成了應(yīng)用廣泛的勢流體系體系由于拉普拉斯方程應(yīng)用如此廣泛由于拉普拉斯方程應(yīng)用如此廣泛, 對它的求解方法已經(jīng)非常對它的求解方法已經(jīng)非常成熟成熟,伯努利方程的求解也比微分方程簡單伯努利方程的求解也比微分方程簡單求解步驟求解步驟:先分網(wǎng)格先分網(wǎng)格,求勢函數(shù)求勢函數(shù)分布分布:(1)基本函數(shù)的迭加基本函數(shù)的迭加;(2)數(shù)值分析數(shù)值分析;(3)保角變換保角變換(復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù));(4)電學(xué)等價法電學(xué)等價法zwyvxu再由伯努

11、利方再由伯努利方程求得壓力分程求得壓力分布布.321xxxxvx.321yyyyvy.321.321不可壓縮平面無旋流動的疊加不可壓縮平面無旋流動的疊加.321vvvv 幾個無旋流動的速度勢函數(shù)及流函數(shù)的代數(shù)和等于新幾個無旋流動的速度勢函數(shù)及流函數(shù)的代數(shù)和等于新無旋流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)。無旋流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)。 新無旋流動的速度是無旋流動速度的矢量和。新無旋流動的速度是無旋流動速度的矢量和。 yx平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流sin)2-(cos)2(22rrMvrrMv平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流圓柱體的總壓力圓柱體的總壓力x方向的分力

12、（阻力）方向的分力（阻力）y方向的分力（升力）理想流體無環(huán)量繞流圓柱體，圓柱體不受阻力，也不產(chǎn)理想流體無環(huán)量繞流圓柱體，圓柱體不受阻力，也不產(chǎn)生升力生升力0cos)sin41 (2122200dvprFFxD0sin)sin41 (2122200dvprFFyL平行流繞圓柱體的有環(huán)量繞流平行流繞圓柱體的有環(huán)量繞流 由平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流和純環(huán)流（點(diǎn)渦誘導(dǎo)由平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流和純環(huán)流（點(diǎn)渦誘導(dǎo)產(chǎn)生）疊加而成。產(chǎn)生）疊加而成。yxBAOyxO AOByxrrrrvrrrvln2cos)12cos)1220220（平行流繞圓柱體的有環(huán)量繞流平行流繞圓柱體的有環(huán)量繞流圓柱體的總壓力圓柱體的總壓力x方向的分力（阻力）方向的分力（阻力）y方向的分力（升力）方向的分力（升力）理想流體有環(huán)量繞流圓柱體，圓柱體不受阻力，但產(chǎn)生理想流體有環(huán)量繞流圓柱體，圓柱體不受阻力，但產(chǎn)生升力。升力