-多元函數(shù)積分學(xué)一

1、第七講多元函數(shù)積分學(xué)(一) 知識點(diǎn)分析： 一、二重積分 1、二重積分的概念： 設(shè)二元函數(shù)f(x,y)定義在有界閉區(qū)域D上，則二重積分 n f(x,y)dlim0f(i,i)i Di1 nnbadcbadc 精確定義求極PM問題：f(x,y)dlimf(abai,c-cj)adc Dniijinnnn 先提出11,在湊出二，可以看出L是0到i上的x,1是0到i上的y,工是0到innnnnnn 上的dx,dy 注：二重積分的存在性，也稱二元函數(shù)的可積性，設(shè)平面有界閉區(qū)域D由一條或幾條逐 段光滑閉曲線圍成，當(dāng)f(x,y)在D上連續(xù)時，或者f(x,y)在D上有界，且在D除了有限個點(diǎn)和有限條光滑曲線外都

2、是連續(xù)的，則f(x,y)在D上可積。 極限存在與D的分割方式無關(guān)。ddxdy D (2)可積函數(shù)必有界：當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域D上可積時，則 (3)線性性質(zhì)：kif(x,y)k2g(x,y)dkif(x,y)d DD (4)可加性：DDi|jD2,Dip|D2,f(x,y)d D 保號性：若在D上f(x,y)g(x,y),則f(x,y)dg(x,y)d; DD 特殊的有|f(x,y)d|If(x,y)|d。 DD (6)估值定理：設(shè)Mmaxf(x,y),mmjnf(x,y),D的面積為，則有 mf(x,y)dM D 重積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù), 一點(diǎn)(，)D使得f(x,

3、y)df(,) D 3、二重積分的計(jì)算 (i)直角坐標(biāo)系計(jì)算法 幾何意義曲頂柱體的體積V 2、二重積分的性質(zhì) f(x,y)d;物理意義D的質(zhì)量m D (x,y)d。 D (i)區(qū)域面積d A,其中A為區(qū)域D的面積。 f(x,y)在D上必有界 k2g(x,y)dki,k2為常數(shù)。 D f(x,y)df(x,y)d。 DiD2 D的面積為 ,則至少存在 X型：D (x,y)i(x)y 2(x),axb,i(x),2(x)在a,b上連續(xù)，則 f(x,y)d D b2(x) adxi(x)f(x,y)dy Y型：D (x,y) i(y)x 2(y),cyd,i(y),2(y)在c,d上連續(xù)，則 (2)

4、極坐標(biāo)系計(jì)算法 f(x,y)d D d2(y) cdyi(y)f(x,y)dx 文檔 (4)(輪換對稱性)若D關(guān)于yx對稱，有f(x,y)df(y,x)d DD 若yx將D分成D1,D2兩部分，有f(x,y)df(y,x)d DID2 二、三重積分 1、三重積分的概念 設(shè)三元函數(shù)f(x,y,z)定義在三維有界空間區(qū)域上，則三重積分 n f(x,y,z)dvlim0f(k,k,k)M 0i1 111iik 方法：先提出一一一，在湊出一,一,一,可以看出nnnnnn k是0到1上的Z,1是0到1上的dx,dy,dz。nn 2、三重積分的性質(zhì) (1)區(qū)域面積dvV,其中V為區(qū)域的面積。 (2)可積函

5、數(shù)必有界：當(dāng)f(x,y,z)在閉區(qū)域上可積時，則f(x,y,z)在上必有界 1U2,1Pl2, f(x,y,z)dvf(x,y,z)dv 1 g(x,y,z),則 f(x,y,z)dv nnn limf(a n i1j1k1 一i,cn dc. j,e fe,badcfe k) nnnn D(r,)1()r2(), 其中1(),2()在,上連續(xù)，則 f(x,y)df(rcos,rsin)rdrdd DD 注意：X型，Y型和極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化有時可方便解題 4、二重積分的對稱性 2() f(rcos,rsini() xrcosyrsin )rdr f(x,y)d，記D1為其對稱區(qū)域的一半 D (1

6、)若D關(guān)于x軸對稱，有f(x,y)d D (2)若D關(guān)于y軸對稱，有f(x,y)d D (3)若D關(guān)于原點(diǎn)對稱，有f(x,y)d D 0,f(x,y)=f(x,y) 2f(x,y)d,f(x,y)=f(x,y) DI 0,f(x,y)=f(x,y) 2f(x,y)d,f(x,y)=f(x,y) DI 0,f(x,y)=f(x,y) 2f(x,y)d,f(x,y)=f(x,y)DI 上是0到1上的x,是0至u1上的y, nn Kf(x,y,z)k2g(x,y,z)dvk f(x,y,z)dvk2g(x,y,z)dv， f(x,y,z)dv。 2 f(x,y,z)dvg(x,y,z)dv； 文檔

7、(3)線性性質(zhì): k1，k2為常數(shù)。 (5)保號性：若在上f(x,y,z) 若光滑曲面方程為 F(x,y,z)0,且Fz0,則 Fxz Fz,y ?,(x,y)Fz DXy 2、質(zhì)心 Fx2Fy2Fz2dxdy Fz 文檔 特殊的有|f(x,y,z)dv|f(x,y,z)dv。 (6)估值定理：設(shè)Mmaxf(x,y,z),mminf(x,y,z),的體積為V,則有 mVf(x,y,z)dvMV (7)三重積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域上連續(xù), 一點(diǎn)(，)使得f(x,y,z)dvf(,)V。 3、三重積分的計(jì)算 (x,y,z)z1(x,y)z，(x,y),(x,y)Dxy 的體積為V,

8、則至少存在 (1)坐標(biāo)平面投影法(二套一) f(x,y,z)dv z2(x,y) ZI(x,y) f(x,y,z)dzdxdy dxdy D Z2(x,y) (x,y) f(x,y,z)dz (2)坐標(biāo)軸投影法(一套二) (x,y,z)(x,y)Dz,azb b f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydza Dz (3)柱面坐標(biāo)法“直角坐標(biāo)系+極坐標(biāo)系” xcos,ysin,zz,其中0 dz a Dz f(x,y,z)dxdy ,02 f(x,y,z)dv f(cos,sin,z)dddz (4)球坐標(biāo)計(jì)算法 xrsincosy f(x,y,z)dv rsinsinzrcos其中0r,

9、0 2. f(rsincos,rsinsin,rcos)rsin 2,0drdd 4、三重積分的對稱性 (1)若關(guān)于xoy平面對稱，則 0 ,f(x,y,z)f(x,y,z) f(x,y,z)dv2f(x,y,z)dv,f(x,y,z)f(x,y,z) 1為對稱區(qū)域的一半。 1 同理與關(guān)于yoz平面對稱和xoz平面對稱 (2)輪換對稱性：若關(guān)于x,y,z具有輪換對稱性(即若x,y,z,將x,y,z意互換 后的點(diǎn)也屬于),則被積函數(shù)中的自變量可以任意輪換而不改變積分值 f(x,y,z)dvf(y,x,z)dvf(y,z,x)dv f(x)dv f(y)dv f(z)dv,有f(x)f(y)f(z

10、)dv3f(x)dv 三、重積分的應(yīng)用 1、曲面的面積 設(shè)曲面由方程zf(x,y)組成，則曲面的面積A ,22, .1ZxZydxdy D 4、引力 (1)對xOy面上的平面薄片D對原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為 匚(x,y)x,匚(x,y)y,(戶下、 FxGD3d，F(xiàn)yGD3d，(-xV) (2)空間立體的對空間任意一點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為 G(x,y,z)(xxo)FG(x,y,z)(yy。)G(x,y，z)(zz) FxG3dvFyG3dvFzG3dv rrr 注： 勻質(zhì)球?qū)η蛲獾囊毁|(zhì)點(diǎn)的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時兩質(zhì)點(diǎn)的引力;勻質(zhì)球?qū)η騼?nèi)的某一質(zhì)點(diǎn)的引力等于球心到該質(zhì)點(diǎn)為

11、半徑的球?qū)υ擖c(diǎn)的引力。 練習(xí)題： 1、求極限lim工 ni1j1(ni)(n 2、交換下列積分次序 2J2xx2eInxsinx (1) dxf(x,y)dy;dxf(x,y)dy;(3)dxx 12x100sin- 2 1 lx23J9x2 (4)Idx2f(x,y)dydxf(x,y)dy0010 3、計(jì)算下列二重積分 xy1vxy- (1) eyd,D(x,y)|xy1；(2)I0dx0e2dy;(3) D 4、將在下列區(qū)域表示為極坐標(biāo)形式(函數(shù)為f(x,y) 00 1 (1)溥片的質(zhì)心：M(x,y)d,xDM (x,y)d 若薄片是均勻的，密度為常數(shù)，則質(zhì)心即形心 xd 1 y(x,y

12、)dMD 1 一yd AD (2)空間立體質(zhì)心：M (x,y,z)dv, 11 則：xx(x,y,z)dv,y一 MM 3、轉(zhuǎn)動慣量 y(x,y,z)dv,z z(x,y,z)dv (1) 平面薄片D的轉(zhuǎn)動慣量，若面密度為 (x,y),(x,y)D 2 Ixy(x,y)dxdy,Iy D (2)空間立體的轉(zhuǎn)動慣量， Ix(y2z2)(x,y,z)dv, 2 x(x,y)dxdy D 若密度為(x,y,z),(x,y,z) 22、 22 Iz(xz)(x,y,z)dv j2) f(x,y)dy ,sinx dydx yx 1 1 (3) 0dx0f(x,y)dy; 5、用極坐標(biāo)計(jì)算積分 2 2a

13、-i2ax-o 1 x (4) 0dx0f(x,y)dy 2,x3X2 y2)dy;(2)0dx/x2 3dx(x2 (1)D(x,V)x2V22x；(2)D(x,y)0 V1x,0 x 1 1 V2)萬dy;(3)I x2 dx; (4) ln(1x2 V2)d ，其中D是x2y21在第一象限區(qū)域; 文檔 22 1xy22,-0 2-Ad，其中D是xy1在第一象限區(qū)域; 1 xy 2 222 6、(1)求曲面zx2y與z62xy圍成立體體積。2222 (2)計(jì)算xoy面上xyax圍成的閉區(qū)域?yàn)榈?，以曲面zxy為曲頂枉體體積。 (1)Iaf(x)bf(y)d,f(t)是定義在(，)連續(xù)正值函數(shù)

14、，常數(shù)a0,b0。Df(x)f(y) I(exey)d,常數(shù)0。 D F(x,y)f(x,y)在Da,bc,d上連續(xù)，求I xy 14、已知函數(shù)f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1,y) 0f(x,1)0,f(x,y)dxdy D a, 其中D(x,y)0 x1,0y 15、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t) x 16、設(shè)f(x)連續(xù)，F(xiàn)(x)odt 17、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x) 1,計(jì)算二重積分Ixyfxy(x,y)dxdy。 Dtt dy丫f(x)dx,貝UF(2). 0uf(u2t2)du，求F(x)。xx 0dttf(ut)du,求證F(0)f(0)。 18、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)

15、間0,1上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(0)1, f(t)d,其中Dt(x,y)0ytx,0 Dt xt,0t 且滿足f(xy)d Dt 1,求f(x)表達(dá)式。 19*、求極限lim t0 20*、計(jì)算I D -13dx2arctancos(3x5.y)dyix/xDt(x,y)x y1,x0,y0。 文檔 (5) D 7、設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù)，且f(x,y)xD 圍成，求f(x,y)。 8、設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D(x,y)x2 f(x,y),1x2y2- 9、設(shè)平面閉區(qū)域D(x,y)axa,x貝U(xycosxsiny)d D (A)2cosxsinyd(B)2xyd DIDI 10、計(jì)算Ix

16、ln(yJI_y2)dxdy其中D 11、計(jì)算x1yf(x2y2)dxdy,其中D 12、已知D(x,y)|xy|1,計(jì)算下列 1.一 yf(u,v)dudv,其中D是由y-,x1,y2x y2y,x0上連續(xù)，且 f(x,y)dxdy,求f(x,y)。 D ya,DI(x,y)0 xa,xya, () (C)4(xycosxsiny)d(D)0 DI D由y4x2,y3x,x1圍成 )由yx3,y1,x1圍成。 二重積分 13、設(shè) F(x,y)d 21、求極限lim n 22、計(jì)算 i1j1k1 dxdydz 8k 22 (ni)(nj)n 23、(1x yz) 為平面 x0,y0,z0,xy

17、 z1所圍成閉區(qū)域。 (1)計(jì)算I zdv,其中是由錐面 (x2 2、 y)dv,是yOz平面 zh6y2與平面z后繞z旋轉(zhuǎn)所得與z h所圍成閉區(qū)域。 2,z8所圍區(qū)域。 24、 計(jì)算 xyzdxdyd乙其中為球面 1在第一卦限的閉區(qū)域。25、計(jì)算 x2dxdydz,其中為球面 1的閉區(qū)域。26、計(jì)算 zdv,其中是不等式x2 (z a)2 a2,x2y2z2所圍成閉區(qū)域。 27、計(jì)算 (x2 y2)dv,其中 是不等式0 2 z2A,z0所圍成閉區(qū)域。 28、求球體上r a位于錐面 29、 空間閉區(qū)域 0,y 0,z 1 0, (x,y,z) 則有 一之間的部分的體積。 R2,z0, (x,

18、y,z)x2y2z2R2 (A) xdv xdv (B) ydv 4ydv 2 (C) zdv zdv (D) xyzdv 30、 計(jì)算 2 zln(x2 xyzdv 2 31、 計(jì)算 1) 32、 求球面 2 y 1 dx 0 dy 33、34、求兩個直交圓柱面 求均勻薄片 35、36、37、求均勻立體設(shè)球體x2求均勻薄片 38、39、 1) 1 其中 為球面 1的閉區(qū)域。ysinz 0(1z)2 (2) 1 dx 0 1 dy x sinz,dz z 2 z 2 x D是介于 是z 22 yz D是由y 2- a含在圓枉面 2f22 yR,xacos, 2 x 2 z ax內(nèi)部的那部分面積。