排列與排列數(shù)公式應(yīng)用題

1、排列數(shù)的應(yīng)用莆田二中高二1班例例1：（：（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種位同學(xué)站成一排，共有多少種 不同的排法？不同的排法？(2) 7位同學(xué)站成兩排位同學(xué)站成兩排(前前3后后4)，共有多少種，共有多少種不同的排法？不同的排法？(3) 7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置置,共有多少種不同的排法？共有多少種不同的排法？(4) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？端的排法共有多少種？(5) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？頭和排尾的排法共有多少種？(5

2、) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？頭和排尾的排法共有多少種？解法一解法一:(特殊位置法特殊位置法)第一步第一步:從其余從其余5位同學(xué)中找位同學(xué)中找2人站排頭和排尾人站排頭和排尾,有有 種種;25A第二步第二步:剩下的全排列剩下的全排列,有有 種種;55A25552400A A共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。解法二解法二:(特殊元素法特殊元素法)第一步第一步:將甲乙安排在除排頭和排尾的將甲乙安排在除排頭和排尾的5個(gè)個(gè)位置中的兩個(gè)位置上位置中的兩個(gè)位置上,有有 種種;25A第二步第二步:其余同學(xué)全

3、排列其余同學(xué)全排列,有有 種種;55A25552400A A共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。(5) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？頭和排尾的排法共有多少種？(5) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？頭和排尾的排法共有多少種？解法三解法三:(排除法排除法)先全排列有先全排列有 種種,其中甲或乙站排頭有其中甲或乙站排頭有 種種,甲或乙站排尾的有甲或乙站排尾的有 種種,甲乙分別站在排頭和甲乙分別站在排頭和排尾的有排尾的有 種種.77A662A

4、662A2525A A7625762542400AAA A共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。若三個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？若三個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個(gè)女孩看作一人與四個(gè)男孩排隊(duì)，有 種排法，而三個(gè)女孩之間有 種排法，所以不同的排法共有： （種）。5353720A A 55A33A捆 綁 法捆 綁 法若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也

5、要站在一若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？起，有多少種不同的排法？不同的排法有：不同的排法有：234234288A A A （種）說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō)捆綁法一般適用于捆綁法一般適用于 問(wèn)題的處理問(wèn)題的處理。 相鄰相鄰例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。捆綁法捆綁法:對(duì)于對(duì)于相鄰相鄰問(wèn)題問(wèn)題,常常先將要相鄰的元素常常先將要相鄰的元素捆綁捆綁在一起在一起,視作為一個(gè)元素視作為一個(gè)元素,與其余與其余元素全排列元素全排列,再

6、再松綁松綁后它們之間進(jìn)行全后它們之間進(jìn)行全排列排列.這種方法就是這種方法就是捆綁法捆綁法.若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個(gè)男孩排成一排有解：先把四個(gè)男孩排成一排有 種排法，在每一排種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有空檔中有 種方法，所以共有：種方法，所以共有： （種）（種）排法。排法。35A44A43451440A A 插 空 法插 空 法例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩

7、站個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？解：先把四個(gè)男孩排成一排有解：先把四個(gè)男孩排成一排有 種排法，在每一排種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有空檔中有 種方法，所以共有：種方法，所以共有： （種）（種）排法。排法。33A44A4343144A A 插 空 法插 空 法例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站個(gè)男孩，三家是一

8、個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。甲、乙兩人的兩邊必須有其他人，有多少種不甲、乙兩人的兩邊必須有其他人，有多少種不 同的排法？同的排法？解：先把其余五人排成一排有 種排法，在每一排列中有四個(gè)空檔（不包括兩端），再把甲、乙插入空檔中有 種方法，所以共有： （種）排法。24A55A52541440A A 插 空 法插 空 法例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。插空法插空法:對(duì)于對(duì)于不相鄰不相鄰問(wèn)題問(wèn)題,先將其余元素全排先

9、將其余元素全排列列,再將這些不相鄰的元素再將這些不相鄰的元素插入空擋插入空擋中中,這種方法就是這種方法就是插空法插空法.幾種特殊的排列幾種特殊的排列1.1.優(yōu)先排列優(yōu)先排列3 6例人排一排，甲不在頭，也不在尾，有幾種排法？解法三：間接法65652480PP1545480P P ()特殊位置 頭和尾解法一：2454480P P 解法二：()特殊元素 甲2.2.集團(tuán)排列（捆綁法）集團(tuán)排列（捆綁法）443例已知 男 女排成一排，男一起；女一起；男一起，女一起，分別有幾種排法？3535720P P 432432288P P P 44P1 第第一一步步：排排男男生生有有)(44P有有一一起起后后看看作作

10、一一個(gè)個(gè)整整體體，第第二二步步：把把男男生生捆捆綁綁在在576PP4444 共共有有3.3.間隔排列間隔排列543例已知 男 女排成一排，男不一起；女不一起；男不一起，女不一起，分別有幾種排法？43451440P P 3434144P P 33P1 第第一一步步：排排女女生生有有)(44P4個(gè)空位排男生，即個(gè)空位排男生，即兩端共有兩端共有第二步：女生之間加上第二步：女生之間加上441PP4433 共共有有644例已知 男 女排成一排，男不一起且女不一起，有幾種排法？ 解：或4314421152P P P 4.4.有序排列有序排列75例已知 人比賽跑步，甲比乙快，有幾種情形？解：甲比乙快和甲比乙

11、慢的情形一樣多，55/ 260P8, , , , ,a b c d e fa b c例，按順序的排列有幾種？6633120PP解：963例書(shū)架上有 本書(shū)，插入 本，要求不改變?cè)樞?，有幾種插法？99669 8 7504PP 解：有附加條件的排列應(yīng)用題的基本解法：1）優(yōu)先法）優(yōu)先法有關(guān)特殊元素有關(guān)特殊元素“在不在在不在”特殊位置的排列問(wèn)題要先找特殊位置的排列問(wèn)題要先找出出“受限位置受限位置”與與“受限元素受限元素”，然后以，然后以“受限位置受限位置”為主，用直接法逐位排列之，有時(shí)用間接法解之。為主，用直接法逐位排列之，有時(shí)用間接法解之。2）捆綁法）捆綁法若干個(gè)元素相鄰排列問(wèn)題，一般用若干個(gè)元素相

12、鄰排列問(wèn)題，一般用“捆綁法捆綁法”。先把。先把相鄰的若干元素相鄰的若干元素“捆綁捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再排列，然后再“松綁松綁”，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列3）插空法）插空法若干個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，一般用插空法，即若干個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，一般用插空法，即先將先將“普通元素普通元素”全排列，然后再在排就的每?jī)蓚€(gè)全排列，然后再在排就的每?jī)蓚€(gè)元素之間及兩端插入特殊元素。元素之間及兩端插入特殊元素。4）排除法）排除法對(duì)某些問(wèn)題的反面比較明了，可用排除法。對(duì)某些問(wèn)題的反面比較明了，可用排除法。練習(xí)1:用 0 到 9 這十個(gè)數(shù)字，可

13、以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？6488992919PP648899181919PPP百位十位個(gè)位解法一：對(duì)排列方法分步思考。解法二：間接法. 從0到9這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 ，P310.648898910P310P29 所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是 其中以0為排頭的排列數(shù)為 . P29練習(xí)2：7位同學(xué)排成一列，且甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？ 解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有A52種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有A4種方法；最后將甲、乙

14、兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有A2種方法所以這樣的排法一共有A52A4A2960種方法甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？ 解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素， 若丙站在排頭或排尾有2A5種方法， 所以丙不能站在排頭和排尾的排法有 (A6-2A5)P2=960種方法甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有P41種方法， 再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有P5種方法， 最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”

15、，所以這樣的排法一共有P41P5P2960種方法3.1, 2,95從中取出 個(gè)，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。規(guī)定奇數(shù)數(shù)字必須排在奇數(shù)位號(hào)，求這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)。4.1 884穿有號(hào)運(yùn)動(dòng)衣的位運(yùn)動(dòng)員排成一排，其中號(hào)運(yùn)動(dòng)員必須排在號(hào)碼比他大的運(yùn)動(dòng)員左邊，共有幾種排法？解：偶數(shù)位上只能放偶數(shù)，而奇數(shù)位上皆可。23472520P P共有個(gè)8064x8858!xPx解：設(shè)有 種排法，45, 6, 7,8x把號(hào)分別與號(hào)運(yùn)動(dòng)員互換位置，仍然分別得到種排法。5. 2534(1)(2)(3)(4)名教師， 名學(xué)生排二排照相，前排人，后排人。共有幾種排法？?jī)山處熢谇芭牛績(jī)山處熛噜徢以谇芭?？教師甲在前排，乙在后排?15345(4)1440P P P 125225(3)2480P P P 將教師作為一個(gè)整體，先合后分，2535(2)720P P 解：本題關(guān)鍵在于將兩排對(duì)應(yīng)到一排。77(1)5040P 6. 104個(gè)同學(xué)排一隊(duì)行走，要求女相鄰，且既不走前面，又不走后面，問(wèn)有幾種排法？16456486400P P P 解：7.1, 2,7(1)(2)(3)用排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)。偶數(shù)不相鄰，有幾種排法？偶數(shù)一定在奇數(shù)位上？奇數(shù)位上一定是奇數(shù)，偶數(shù)位上一定是偶數(shù)？4343(3) P P4345(1)P P解： 間隔排列。3444(2)4P P先在個(gè)奇數(shù)位上排偶數(shù)。8. 38