高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版高階線性微分方程ppt課件

1、高階線性微分方程第六節(jié)一、高階線性微分方程的形式一、高階線性微分方程的形式 n 階線性微分方程的一般形式為階線性微分方程的一般形式為)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.0)(xf一、高階線性微分方程的形式一、高階線性微分方程的形式為二階線性微分方程. , )()()(xfyxqyxpy 二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.)()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.說(shuō)明說(shuō)明:不一

2、定是所給二階方程的通解.)()(2211xyCxyCy定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān), 否則稱為線性無(wú)關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上線性相關(guān),12xx在任何區(qū)間 I 上線性無(wú)關(guān).若存在不全為 0 的常數(shù)定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解, 那么)()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxa

3、yxayxaynnnn的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCy為任意常21,(CC三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齊次方程的通解 .定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無(wú)關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解 請(qǐng)寫出方程通解.321,yyy設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 例例1.22xxeey例例2. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 個(gè)解,232