高等數(shù)學(xué)3-5曲率ppt課件

1、3.5 3.5 曲率曲率凸凹性：凸凹性： 曲線的彎曲方向；曲線的彎曲方向； 曲線的彎曲程度怎么表示呢？曲線的彎曲程度怎么表示呢？什么叫急轉(zhuǎn)彎？什么叫急轉(zhuǎn)彎？11max,iii nMM 令01111,1,nnniiiABnAMMMMBA BLMM設(shè)平面內(nèi)曲線弧段在弧段上任意插入個分點:依次連接各分點，得到連接的折線，折線的長度為：0、弧長的定義、弧長的定義0MA1M2M1nMnM1010limniiiMM當(dāng)時，若極限存在，AB則稱曲線弧段是可度量的，101limniiisMM曲線弧長：0MA1M2M1nMnMs小弧段長很小時，近似等于小線段的長ds充分小的弧段長 弧微分NRTA0 xMxxx .

2、),()(內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfxyo),(:00yxA基點基點,),(為為任任意意一一點點yxM規(guī)定：規(guī)定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲線線的的正正向向與與 x,)2(sAM .,取取負(fù)負(fù)號號相相反反時時取取正正號號一一致致時時的的方方向向與與曲曲線線正正向向當(dāng)當(dāng)ssAM一、弧微分一、弧微分).(xss 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)22dddsxy弧微分弧微分( )()( )xttyt 若曲線由參數(shù)方程確定，弧微分：22 ( )( )dsttdt( ), 若曲線方程為極坐標(biāo)形式弧微分：22( )( )dsd ( ),yf x若曲線方程弧微分:21 (

3、 )dsfxdx曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1、曲率的定義、曲率的定義1 )二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式) S S) .M .MC0Myxo.MMs弧段的平均曲率為設(shè)曲線設(shè)曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點M, sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義0limss 曲線曲線C在點在點M處的曲處的曲率率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss d.ds2、曲率的計算

4、公式、曲率的計算公式注意注意: (1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù).,)(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds 例例1 1?2上上哪哪一一點點的的曲曲率率最最大大拋拋物物線線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時時當(dāng)當(dāng)abx .最大最大k,)44,2(2為為拋拋物物線線的的頂頂點點又又aacbab .最大最大拋物線在頂點處的曲率拋物線在頂點處的曲率(sin )(1 cos )3xa t

5、ttyat例2.計算擺線在處的曲率sin:(1 cos )dyatdxat解cot2t22421csc122csc(1 cos )42td ytdxata 故，曲率為：322|1|csc|42(1 )ytay1,32ta令得：定義定義D)(xfy Mk1 ( )( , )yf xM x y設(shè)曲線上一點,曲率中心曲率中心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑,M在點處的曲線的法線上1.DDMk凹的一側(cè)取點，使,()D以為圓心為半徑作圓 如圖.M稱此圓為曲線在點的曲率圓處(0).k k 曲率為1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線上一點處的曲率半徑與 曲線在該點處的曲率互

6、為倒數(shù)曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大, 曲線越平坦曲線越平坦; 曲率半徑越小曲率半徑越小, 曲線越彎曲曲線越彎曲.3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).(1,1)yx例3.求曲線在點處的曲率中心和曲率圓。.(1,1)解先求點處的曲率：5 52曲率半徑( , ), 設(shè)曲率中心為則有：12yx14yx x 332221|41(1 )(1)4yx xyx215 5x當(dāng)時，222(1)(1)111(1

7、)y 5 51(1),22y將，解得：2(1)25由曲線的凸性，10 7(4)2得曲率中心，227125()(4)24xy曲率圓：( )yf x對于一般曲線322|(1 )yy( , )M x y曲線在點處的曲率圓的中心為：22-(1 )1(1 )yxyyyyy222()()xy曲率圓方程：20.4yx例4.設(shè)某工件內(nèi)表面的截面為拋物線現(xiàn)用砂輪打磨其內(nèi)表面，應(yīng)選用多大直徑的砂輪？.解砂輪半徑應(yīng)不超過拋物線上曲率半徑的最小值。0.8 ,0.8,yx y332222|0.8(1 )(1 0.64)yyx曲率00.8x當(dāng)時，曲率最大11.25相應(yīng)的曲率半徑最小為2.5所以，砂輪的直徑不能超過單位長。運用微分學(xué)的理論運用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué)