高數(shù)51定積分概念與性質(zhì)ppt課件

1、定積分 積分學積分學不定積分不定積分定積分定積分 第五章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例二、二、 定積分的定義定積分的定義三、三、 定積分的近似計算定積分的近似計算定積分的概念及性質(zhì) 第五章 四、四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A)(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bahyOxab目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1xix1ixxabyO1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入

2、n 1 個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,iA得1()(iiiiiiAfxxxx),2, 1,nii目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1niiAA1()niiifx4) 取極限取極限. 令1max ,iinx則曲邊梯形面積niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)某物體作直線運動, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過

3、的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經(jīng)2) 常代變常代變.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 個小段過的路程為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oab x,)(

4、上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對,ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi時只要0max1inix1, ( )niiifx總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) , 即baxxfd)(bat

5、tfd)(bauufd)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和AO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O1 xyninix1,nii取),2, 1(ni定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf定理定理2.,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個間斷點 (證明略)例例1. 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點為niix ), 1 ,0(ni.,)(可積在baxf2xy ii

6、iixxf2)(則32ni目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 iinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn注 O1 xyni2xy 注. 當n 較大時, 此值可作為 的近似值xx d102,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233兩端分別相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n目錄 上頁 下

7、頁 返回 結(jié)束 121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iixninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ,)(baCxf設(shè),d)(存在則baxxf根據(jù)定積分定義可得如下近似計算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii記baxxfd)(xyxyxyn110)(110nnabyyy將 a , b 分成 n 等份: Oabxyix1ix1. 左矩形公式)(21nnabyyyba

8、xxfd)(xyxyxyn212. 右矩形公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 baxxfd)(xyyii211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixayObx12 ixix222 ixmx20 xbaxxfd)(imiimimyyyymab211121202464. 拋物線法公式baxxfd)(等分，分成將mnba2,xyyyiii2)4(6121222)4(621222iiiyyymab上作拋物線(如圖)4(6212221iiimiyyymabimiimimyyyymab21112120246,222iixx在ayObx12 ixix222 ixmx20 x則以拋物線

9、為頂?shù)男∏吿菪蚊娣e經(jīng)推導(dǎo)可得：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxId14102解解: :計算計算yi(yi(見右表見右表) )的近似值.13993. 3I14159. 3Iixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n = 10, 計算時取5位小數(shù))用梯形公式得用拋物線法公式得積分準確值為1415926. 3d14102xxI計算定積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (設(shè)所列定積分

10、都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5證證: 當當bca時,因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠取 c 為分點 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(a

11、bc目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 abc,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)(1iinixf那么.0d)(xxfba證證:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推論推論1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf那么xxfbad)(xxgbad)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxfbad)(xxfbad)(證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7

12、. 設(shè)設(shè), )(min, )(max,xfmxfMbaba那么)(d)()(abMxxfabmba)(ba 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2dsin120 xxx證證: 設(shè)設(shè))(xf,sinxx則在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ,)(baCxf若則至少存在一點, ,ba使)(d)(abfxxfba證證: :,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)則由性質(zhì)7 可得Mxxfabmbad)(1根

13、據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性質(zhì)7 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計算從 0 秒到 T 秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度. 解解: 已知自由落體速度為已知自由落體速度為tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01TOtgv vTt221TgS 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 定積分的定義 乘積和式的極限2. 定積分的性質(zhì)3. 積分中值定理矩形公式 梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計算拋物線法公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OxO1xn1n2nn 11. 用定積分表示下述極限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如何用定積分表示下述極限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示: